BAB I TEOREMA‐TEOREMA LIMIT BARISAN Definisi : Barisan bilangan real X = (xn) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sedemikian sehingga |xn| ≤ M untuk semua n ∈ N. Catatan : X = (xn) terbatas jika dan hanya jika himpunan dari suku‐suku barisan tersebut,
yaitu {xn | n ∈ N} terbatas di R
Teorema 1.1 : Barisan bilangan real yang konvergen adalah barisan terbatas. Bukti : X = (xn) merupakan barisan konvergen artinya … Jika diambil ε = 1, maka akan diperoleh K(1) ∈ N ∋ ∀ n ≥ K(1) maka … Oleh karena itu, untuk n ≥ K diperoleh |xn| < |x| +1. Jika kita tetapkan M = sup {|x1|,|x2|,|x3|, …, |xK+1|, |x|+ 1} maka |xn| ≤ M, ∀ n ∈ N. Teorema 1.2 (a) X = (xn) dan Y = (yn) marupakan barisan‐barisan bilangan real yang masing‐masing konvergen ke x dan y. c ∈ R. Maka akan diperoleh barisan‐barisan : 1) X + Y konvergen ke x + y 2) X – Y konvergen ke x ‐ y 3) XY konvergen ke xy 4) cX konvergen ke cx (b) Jika X = (xn) konvergen ke x dan Z = (zn) barisan bilangan real tidak nol yang konvergen ke z, dan z ≠ 0, maka konvergen ke Bukti :
(a) 1) Untuk menunjukkan bahwa barisan X + Y konvergen ke x + y, maka kita harus menunjukkan bahwa ∀ ε > 0, ∃ K(ε) ∈ N ∋ ∀ n ≥ K(ε) → |(X + Y) – (x + y)| < ε Kita tahu bahwa |(X + Y) – (x + y)| = |(X – x) + (Y – y)| ≤ |X ‐ x| + |Y ‐ y| yang harus kita tunjukkan nilainya kurang dari ε Untuk itu kita kembali pada fakta bahwa barisan‐barisan X = (xn) konvergen ke x dan Y = (yn) konvergen ke Y
X = (xn) konvergen ke x : ∀ ε > 0, ∃ K1∈ N ∋ ∀ n ≥ K1→ |X– x| < , dan Y = (yn) konvergen ke y : ∀ ε > 0, ∃ K2∈ N ∋ ∀ n ≥ K2→ |Y– y| < (mengapa?) Oleh karena itu, jika kita ambil K(ε) = sup {K1, K2} (?), maka akan diperoleh : |(X + Y) – (x + y)| ≤ |X ‐ x| + |Y ‐ y| <
= ε
1) Buktikan : X – Y konvergen ke x – y ! 2) Dengan cara yang sama akan ditunjukkan XY = (xnyn) konvergen ke xy Untuk menunjukkan barisan XY = (xnyn) konvergen ke xy, harus ditunjukkan bahwa : ∀ ε > 0, ∃ K(ε) ∈ N ∋ ∀ n ≥ K(ε) → | xnyn – xy| < ε | xnyn – xy|= | xnyn – xny + xny - xy| =… ≤… , dan harus ditunjukkan bahwa |XY –xy| < ε. Barisan X konvergen, berarti X terbatas, sehingga ∃ M ∈ R, M > 0, ∋|xn| ≤ M, ∀ n ∈ N Sehingga, |xnyn – xy| ≤ M |yn - y| + |y||xn - x|, perhatikan bahwa M dan |y| merupakan bilangan-bilangan real yang berbeda, sehingga dengan mengambil M1∈R, dan M1 = sup{M,|y|}akan diperoleh |xnyn – xy| ≤ … , yang nilainya harus lebih kecil dari ε. Kembali kita perhatikan X = (xn) dan Y = (yn) adalah barisan-barisan yang konvergen ke x dan y, sehingga dengan menggunakan definisi barisan konvergen dan mengambil K(ε) = …, akan dapat dibuktikan bahwa |XY –xy| < ε atau dengan kata lain XY= (xnyn) konvergen ke xy Tunjukkan bahwa cX = (cxn) konvergen ke cx ! (Pembuktian dengan menentukan barisan Y sebagai barisan konstan (c, c, c, …) ) (b) Ambil Z = (zn) merupakan barisan bilangan real tidak nol yang konvergen ke z, z ≠ 0, maka barisan
) akan konvergen ke .
Z = (zn) konvergen ke z, maka untuk sembarang ε > 0, ∃ K1∈N, ∋ ∀ n ≥ K1 → |zn ‐ z| < ε.
Apabila ditetapkan α = |z|, maka α > 0, sehingga bisa kita ambil ε = α, sehingga |zn ‐ z| < α. Dengan menggunakan teorema Ketidaksamaan Segitiga diperoleh : ‐α ≤ ‐ |zn – z| ≤ |zn| ‐ |z| ∀ n ≥ K1(?) Oleh karena itu : |z| = |z| ‐ α ≤ |zn|, ∀ n ≥ K1 ↔ Karena akan ditunjukkan bahwa
|
|
≤ , ∀ n ≥ K1 | |
) konvergen ke , maka harus ditunjukkan bahwa
| < ε
∀ n ≥ K1 : |
|
| = |
| = …. ≤ …, ∀ n ≥ K1
Z = (zn) konvergen ke z , jika diambil sembarang ε > 0, ∃ K2∈ N, ∋ ∀ n ≥ K2 maka … Oleh karena itu, jika diambil K(ε) = sup{K1,K2}, akan diperoleh … Karena pengambilan sembarang ε > 0, maka dapat disimpulkan lim
) =
Untuk membuktikan konvergen ke , dilakukan dengan menggunakan perkalian barisan X yang konvergen ke x dan Y =
) barisan yang tidak nol dan konvergen ke , sehingga
X.Y konvergen ke Catatan : Apabila A = (an), B = (bn), C = (Cn), …, Z = (zn) merupakan barisan‐barisan bilangan real yang konvergen, maka :
(1) A + B + C + … + Z = (an + bn + cn + … + zn) merupakan barisan yang konvergen, dan lim(an + bn + cn + … + zn) = lim(an) + lim(bn) + lim(cn) + … + lim(zn) (2) A x B x C x … x Z = (an . bn . cn . … .zn) merupakan barisan konvergen, dan lim (an . bn . cn . … .zn) = lim(an). lim(bn).lim(cn). … . lim(zn) (3) Jika k ∈ N dan A = (an) barisan yang konvergen, maka lim( ) = (lim(an))k
Teorema 1.3 Jika X = (xn) adalah barisan bilangan real yang konvergen, dan xn ≥ 0, ∀n∈N, maka x = lim(xn) ≥ 0 Bukti: Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi (mengapa?) Andaikan x < 0, maka ε = ‐x > 0. Karena X konvergen ke x, maka untuk sembarang ε > 0, ∃ K∈N ∋ x ‐ ε< x < x + ε, ∀ n ≥ K ε = ‐x, sehingga diperoleh xk < … Hal tersebut kontradiksi dengan …, sehingga terbukti bahwa x ≥ 0 Teorema 1.4 Jika X = (xn) dan Y = (yn) barisan‐barisan bilangan real yang konvergen dan jika xn ≤ yn, ∀n∈N , maka lim(xn) ≤ lim(yn) Bukti : xn ≤ yn, ∀n∈N, sehingga jika zn = yn ‐ xn, maka … Apabila Z = (zn), maka Z = … dan … Dari teorema 1.2 dan 1.3 diperoleh …, sehingga lim(xn) ≤ lim(yn) Teorema 1.5 X = (xn) barisan bilangan real yang konvergen, dan jika a ≤ xn ≤ b, ∀n∈N; maka a ≤ lim(xn) ≤ b Bukti : Pembuktian dilakukan melalui 2 langkah, dan menggunakan pembuktian teorema 1.4.
Langkah 1 : Ambil Y = (a, a, a, …) dan X = (xn) yang konvergen ke x, jika … maka … Langkah 2 : Ambil Y = (b, b, b, …) dan X = (xn) yang konvergen ke x, jika … maka … Teorema 1.6 (Teorema Squeeze/Teorema Apit) X = (xn), Y = (yn), dan Z = (zn)adalah barisan‐barisan bilangan real sedemikian hingga xn ≤ yn ≤ zn, ∀n∈N; dan lim(xn) = lim(zn). Maka Y = (yn) merupakan barisan konvergen dan lim(xn) = lim(yn) = lim(zn). Bukti : Misalkan lim(xn) = lim(zn) = w. Artinya : … Dengan demikian ∃ K∈N, sehingga ∀ n ≥ K diperoleh : … dan … Diketahui bahwa : xn ≤ yn ≤ zn, ∀n∈N, ↔ xn – w ≤ yn – w ≤ zn – w , ∀n∈N Akibatnya diperoleh : ‐ε < yn – w < ε, ∀ n ≥ K, hal ini membuktikan bahwa lim(yn) = w (??) Contoh‐contoh
1. Barisan (n) divergen, buktikan! Bukti : Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi (mengapa?) Perhatikan, barisan X = (n), andaikan X barisan konvergen, maka X merupakan barisan terbatas, artinya … Hal tersebut kontradiksi dengan … Kontradiksi terjadi karena kita mengandaikan bahwa X = (n) barisan konvergen. Artinya … 2. Barisan ((-1)n) divergen, buktikan! Bukti : Barisan ((-1)n) merupakan barisan terbatas, dengan M = 1, kita tidak dapat langsung mengatakan barisan tersebut konvergen (??). Andaikan barisan tersebut konvergen, dan lim X = b, ada. Jika diambil ε = 1, maka ∃ K∈N, ∋ |(-1)n – a| < 1 Untuk n ganjil, diperoleh …. Untuk n genap, diperoleh … Karena berlaku ∀ n ≥ K, maka terdapat kontradiksi (mengapa?)
Kontradiksi terjadi karena pengandaian bahwa X = ((-1)n) merupakan barisan konvergen, sehingga kesimpulannya adalah … 3. lim (
) = 2. Buktikan!
Bukti : Jika diambil X = (2n + 1) dan Y =(n), maka tampak bahwa barisan-barisan tersebut nerupakan barisan divergen, sehingga teorema 1.2 tidak bisa digunakan. Agar kita dapat menggunakan teorema tersebut, maka ditetapkan X = (2) dan Y = ( , karena Dengan demikian (
) = (2) + ( , sehingga lim(
4. lim (
= 2. Buktikan!
5. lim(
0, buktikan!
) = lim(2) + lim(
=2 +
= 2 + 0 = 2.
Teorema 1.2 tidak dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran limit tersebut (mengapa?) Akan digunakan teorema 1.6 untuk membuktikannya, yaitu dengan memperhatikan : -1 ≤ sin n ≤ 1
→
≤
≤
, ∀n∈N, dengan mengaplikasikan teorema
… ≤… ↔ … ≤
apit, maka diperoleh … ≤ Jadi dapat disimpulkan bahwa …
… ≤…
Teorema 1.7 X = (xn) adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x,maka (|xn|) akan konvergen ke |x|. Jika x = lim (xn), maka |x| = lim (|xn|) Bukti :
Dengan menggunakan definisi barisan konvergen, yaitu dengan mengambil sembarang ε > 0, kita harus dapat menentukan K∈N, ∋ ∀ n ≥ K, maka ||xn| ‐ |x|| < ε Perhatikan juga bahwa x = lim (xn), artinya : … Gunakan teorema Ketidaksamaan segitiga, ∋ ||xn| ‐ |x|| ≤ … , dengan mengambil K = ? maka terbukti bahwa (|xn|) konvergen ke |x|. Teorem 1.8
X = (xn) adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x, dan anggap xn ≥ 0. Maka barisan ( akar positifnya konvergen dan lim(
) yaitu
) = √
Bukti : X = (xn) adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x, dan xn ≥ 0, ∀n∈N, maka … Sehingga terdapat 2 kasus, yaitu (i) x = 0 dan (ii) x > 0.
(i) Untuk x = 0, ambil sembarang ε > 0, karena (xn) konvergen ke 0, maka ∃K∈N, ∋ ∀ n ≥ K diperoleh : 0 ≤ xn = xn – 0 < ε2 → … ∀ n ≥ K Karena ε diambil sembarang, maka dapat disimpulkan bahwa (
) konvergen ke 0
(ii) Untuk x > 0, maka √ > 0 ‐ √ = …
,
+ √ ≥ √ > 0, maka
=
|
X konvergen ke x, artinya …
Sehingga, dengan mengambil K(ε) = …, maka |
√
‐ √ | ≤ …
bahwa (
‐ √ | < ε dan dapat disimpulkan
) konvergen ke √
Teorema 1.9 X = (xn) adalah barisan bilangan real positif, sedemikian hingga L = lim Jika L < 1, maka (xn) konvergen dan lim(xn) = 0 Bukti : L ≥ 0 (mengapa?) Ambil r sedemikian hingga L < r < 1, maka bagaimana dengan r – L?
ada.
Tetapkan ε = r – L, maka ∃K∈N, ∋ ∀n ≥ K diperoleh : |
‐ L | < ε
< … = …
Sehingga untuk n ≥ K akan diperoleh :
Oleh karena itu, untuk n ≥ K : 0 < xn + 1 < xnr < xn – 1r2 < … < xK rn – K + 1 Jika ditetapkan bahwa C = , maka 0< xn + 1 < C rn + 1, ∀ n ≥ K. Karena 0 < r < 1, dan …, maka terbukti bahwa lim(xn) = 0 Latihan 1
1. Tunjukkan apakah barisan X = (xn) konvergen / divergen, jika : a. xn =
b. xn =
d. xn = (-1)n n2
c. xn =
2. Jika X dan Y adalah barisan-barisan bilangan real, sedemikian sehingga X dan X + Y merupakan barisan konvergen, tunjukkan Y konvergen 3. Tentukan nilai limit dari barisan-barisan berikut : a. ((2 + )2)
b. (
√ √
)
c. (√
1-√ )
4. Jika a dan b memenuhi pertidaksamaan 0 < a < 1, dan b > 1, tentukan apakah barisanberikut konvergen/divergen (gunakan teorema 1.9) a. ( )
b. (n2 an)
c. ( ) !
d. (
)
