Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
TEOREMA TITIK TETAP BANACH Esih Sukaesih
Abstrak Ruang Banach menjamin setiap barisan akan konvergen ke vektor di ruang tersebut. Barisan iterasi yang kontraktif menjamin bahwa barisan tersebut akan konvergen ke suatu titik. Kedua hal di atas yang menjamin keberadaan titik tetap pada operator kontraktif di ruang Banach. Selain menunjukkan titik tetap pada ruang Banach, akan diberikan juga beberapa aplikasi titik tetap. Kata-kata kunci: ruang metrik lengkap, operator kontraktif
dikenal sebagai Teorema Titik Tetap
Pendahuluan Teorema titik tetap pertama kali
Banach. Berikut ini diperkenalkan beberapa
diperkenalkan oleh L. E. J. Brouwer pada
tahun
1912
yakni
pemetaan
Definisi
kontinu T pada bola tutup satuan di mempunyai paling sedikit satu titik tetap, yakni titik
=
sehingga
definisi dalam metrik.
.
pada tahun 1922 untuk membuktikan teorema keberadaan titik tetap dalam teori waktu
persamaan yang
menemukan
differensial. sama,
S.
menemukan
Pada
Ruang
adalah himpunan
dan metrik pada ∶ ×
→ ℝ, yang memenuhi: 1. ∈ , 2.
( ; ) = 0
untuk
setiap
, dan ( ; ) > 0 untuk setiap ∈ , dengan ≠ . ( ; ) = ( ; )
Banach
setiap , ∈ .
teorema
3.
kontraksi titik tetap atau lebih umum
metrik ( ; )
didefinisikan sebagai fungsi
Teorema titik tetap Brouwer digunakan oleh G. D. Birkho dan O. D. Kellog
[6]
untuk
( ; ) ≤ ( ; ) + ( ; )
untuk setiap , , ∈ .
114
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
Definisi
ISSN 1979-8911
[7] Barisan bilangan real
(barisan di
) adalah fungsi yang
terdefinisi
pada
bilangan
{1,2,3, … } = ℕ dengan
asli
range
pada
himpunan bilangan real. Definisi konvergen lim
) disebut
∈
ke
(
→∞
jika
, ) = 0. Ditulis (
Definisi [6] Barisan (
)→ .
) di ruang
= ( ; ) disebut
barisan
Cauchy, jika untuk setiap
> 0 ,
metrik
terdapat bilangan
∈ ℕ sehingga untuk
bilangan
, >
asli
dan
misal
terdapat
⊆
Misal himpunan :
fungsi
→ℝ .
konstanta
( ( ); ( )) ≤ setiap ,
Barisan (
[6]
Definisi [7]
∈
Lipshitz. Jika
Jika
sehingga
( ; )
, maka
untuk
disebut fungsi
∈ (0, 1) maka disebut
fungsi kontraktif. Definisi [7] Titik tetap fungsi adalah peta
∈
∶ →
yang dipetakan ke
dirinya sendiri, yakni, = peta
oleh
adalah .
berlaku Titik Tetap Banach
(
;
) < .
Atau dapat dituliskan, ( barisan
Teorema
titik
merupakan
suatu
, →∞
Cauchy (
,
Banach
) adalah prosedur
untuk
jika menyatakan
lim
tetap
keberadaan
dan
) = 0. ketunggalan titik tetap suatu pemetaan, yang disebut iterasi. Dengan metode ini
Teorema [6] Setiap barisan konvergen untuk
sembarang
dalam
suatu
adalah barisan Cauchy. himpunan didefinisikan barisan rekursif Definisi [6] Ruang metrik
disebut
,
,
, … yakni
ruang metrik lengkap (ruang Banach) = jika
setiap
barisan
Cauchy
di dengan
= 1,2, …, sehingga diperoleh
merupakan barisan konvergen di . = 115
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
(
=
;
) ≤
( ; ) dengan
∈ (0,1)
= ⋮
dan
Berikut ini merupakan teorema titik
memenuhi
iterasi
sehingga diperoleh (
tetap Banach.
)= (
,
Teorema
Titik
(
lengkap
(
=
)
,
≠ ∅ . Jika
∶ →
dan
operator kontraktif pada
)
,
Tetap
Banach. [1] Misal = ( ; ) adalah ruang metrik, dengan
)
,
≤ Teorema
barisan
(
≤
adalah
)
,
⋮
, maka
( ,
≤
)
mempunyai tepat satu titik tetap.
Untuk
Bukti.
pertidaksamaan segitiga diperoleh
Pertama; kita konstruksi barisan ( ∈
Pilih sebarang barisan iterasi ( ,
=
,
).
dan didefinisikan
) dengan =
,
(
pemetaan
terhadap .
=(
Kedua: akan ditunjukkan bahwa ( adalah
barisan
Cauchy,
.
+
( ,
)+
)
+ ⋯+
) ( ,
)
) ( ,
)
=
sehingga
konvergen dalam ruang lengkap Karena
)
)+
( ,
⋯+
)+
;
)
;
( ,
≤
)
; )+ (
;
⋯+ (
Barisan tersebut merupakan barisan dari
dengan menggunakan
) = (
≤ (
=
,…
;
>
(1 +
+ ⋯+ ( ,
=
merupakan pemetaan yang karena
)
∈ (0,1) , dan 1 −
<1
kontraktif maka memenuhi sehingga diperoleh
116
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
( Pada
;
ruas
( ,
ISSN 1979-8911
)<
( ,
kanan,
∈ (0,1)
≤ ( ;
). dan
) tetap, sehingga dapat kita
ambil pada ruas kanan sekecil mungkin dengan
yang cukup besar (dan
> ). Ini menunjukkan bahwa (
)
akan
ditunjukkan
kekonvergenan pada ruang lengkap. Karena (
) adalah barisan Cauchy yang lengkap maka (
pada ruang
)
adalah barisan yang konvergen dan (
) konvergen ke suatu titik di ∈
Misalkan
.
(
sehingga
lim(
akan
)=
ditunjukkan
) + (
bahwa ( ( ;
bahwa
;
)
) ≤
) dan diketahui
)≤
( ; ) sehingga
)≤ ( ;
;
( ;
;
= ( ; (
>0
(
karena
disimpulkan
bahwa
)→
bahwa =
.
( ;
Dapat )=0 ,
. Ini menunjukkan
adalah titik tetap
.
Kelima, akan ditunjukkan bahwa tidak
mempunyai
Misalkan
titik
tetap
lain.
mempunyai dua titik tetap = dan
dan ′ sehingga
′ = ′.
Oleh karena itu ( , ′) = (
,
′) ≤
( , ′)
( ;
) = 0 karena
∈ (0,1) . Jadi
= ′.
. Dengan pertidaksamaan
segitiga diketahui bahwa ( ;
sekecil mungkin untuk
hal tersebut hanya mungkin untuk
adalah titik tetap dari
pemetaan
dan jumlah sebelah kanan dapat dibuat
)
konvergen ke . Keempat,
)
;
akibatnya
adalah barisan Cauchy. Ketiga,
(
)+
)+ ( )+
;
)
Akibat (Iterasi, batas error). Misal ruang metrik adalah : pada
→
ruang
, dan
≠ ∅ . Misal
lengkap
dan
misal
adalah operator kontraktif . Misal untuk sebarang
didefinisikan barisan (
∈
) dengan
117
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
=
,
=
,
=
, =
, …,
=
estimasi
; ) ≤
di . Dan
error
( ,
1−
( ,
≤
prior
)
Untuk > , dengan pertidaksamaan segitiga diperoleh (
(selanjutnya disebut estimasi prior) (
⋮
,…
konvergen ke tepat satu titik mempunyai
ISSN 1979-8911
)≤ (
,
)
,
)
+ (
,
+ (
,
)+⋯ )
dan estimasi error posterior (selanjutnya ( ,
≤
)+
( ,
)+
disebut estimasi posterior) ( ,
⋯+ (
; ) ≤
(
1−
,
)
=(
Bukti. ∈
Diketahui sebarang =
,
=
,
=
) ( ,
)
+⋯+
) ( ,
adalah operator kontraktif (
+⋯+
(1 +
,…
pada , yang memenuhi
+
=
=
, =
, …, dengan
dengan
)
;
) ( ,
=
)
) ≤ ∈ (0,1) , akibatnya
karena
1−
( ; ). < 1. Sehingga diperoleh, Akan ditunjukkan (
) adalah barisan (
Cauchy. (
)= (
,
≤
, (
,
)
Pada
)
( ,
,
ruas
)≤
1−
kanan,
( ,
).
∈ (0,1)
dan
) tetap, sehingga dapat kita
ambil pada ruas kanan sekecil mungkin =
(
)
,
dengan
yang cukup besar ( dan
> ). Ini menunjukkan bahwa ( ≤
(
,
)
) 118
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
→ ∞ maka
adalah Cauchy. Untuk
Akan ditunjukkan bahwa (
diperoleh (
, )≤
( ,
1−
semua
).
, )≤
(
( (
dengan )≤
,
( ,
mengganti
, )
( ,
).
,
yang berada di . Misal
karena
∈ (0,1) diperoleh (
dan
ke
)≤
). Misal
pada bola tertutup
= { : ( ,
} ,
yakni
yang
(
)≤
( ; ) untuk
,
;
∶ →
adalah operator konstraktif )≤
memenuhi
( ,
) < (1 − ) .
, , …,
∈
<
1 1−
) ( ,
)
(1 − ) =
berada di
. Begitu
→
karena
dan
tertutup.
Lema (Kekontinuan) [1] Pemetaan kontraksi
pada ruang metrik
adalah
pemetaan kontinu.
Maka barisan iterasi =
gunakan
semua
∈ , lebih jauh, asumsikan bahwa
,
1 1−
Karena semua juga
( ,
≤
adalah pemetaan di ruang ke dirinya sendiri (
dan
1−
Teorema (Kontraksi pada bola) [1]
metrik
) dan dengan
) < (1 − ) diperoleh
( ,
Misal
) untuk
= 0 Untuk estimasi posteri or,
≤
Bukti.
=
=
, =
konvergen ke suatu
=
,
yang
merupakan titik tetap dari merupakan titik tetap tunggal di
∶ →
Misalkan
,… ∈
Bukti.
dan .
adalah operator
kontraktif pada ruang metrik →
misal
di
. dan
. Maka untuk suatu
< 1, (
,
)≤
(
, ) 119
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
→
karena (
di
,
, ) → 0 jika →
ISSN 1979-8911
sehingga
→ ∞ . Berarti
, sehingga
kontinu di .
Untuk menggunakan teorema Banach,
= ( ). Misalkan
dengan
=(
)=
, jadi dari persamaan (1) dan (2) diperoleh ( , )= (
) = max|
,
−
|
diperlukan ruang metrik lengkap dan (
= max pemetaan
kontraktif.
himpunan
dari semua urutan-
−
)
Misalkan ≤ max| − | max
bilangan real, ditulis = ( ,…,
), = ( , … , = ( ,…,
= ( , ) max
didefinisikan
Perhatikan bahwa pertidaksamaan di atas
dengan
dapat
( , )≤
( , ) = max | − |. (1)
didefinisikan
:
bentuk
.
(3)
→ Teorema (Persamaan linear) [1] Jika
=
=
+
=
dengan ×
(2)
adalah matrik real ∈
dan
=
+
(
(1)
dapat
dinyatakan
dalam komponennya dengan cara +
=
,
tententu)
(4) dari
persamaan
= ( ,…,
vektor kolom. Persamaan
suatu sistem
adalah vektor
tetap. Untuk selanjutnya vektor adalah
=∑
dalam
= max ∑
dengan
tetap
ditulis
( , ), dengan
= ( , ) lengkap. Pada
.
),
dan seterusnya. Pada metrik
),
linear
dengan
) yang belum diketahui
memenuhi ∑
< 1 ( = 1, … , )
(5)
= ,…, ,
120
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
mempunyai tepat satu solusi . Solusi
=
tersebut dapat diperoleh dengan limit
yang bersesuaian. Maka (8) menjadi
( )
dari barisan iterasi ( )
dengan sebarang (
)
( )
=
,
( )
,
( )
=
( )
, )≤
+
atau
= 0,1, … .
(
=
(6)
+ ).
Ini memberikan iterasi (4.6) dengan
Batas galat (
dengan matrik nonsingular
,… ,
dan
+
−
(
(
)
,
( )
)≤
(
( )
,
( )
= (7)
).
=
,
. (9)
Perhatikan pada dua metode standar, iterasi Jacobi, dan iterasi Gauss-Seidel, Kondisi (5) adalah syarat cukup yang sering digunakan dalam aplikasi untuk kekonvergenan. Ini merupakan Matematika. criteria jumlah baris karena melibatkan jumlah baris dengan menjumlahkan Iterasi Jacobi
nilai mutlak dari setiap unsur baris dari
Metode baris
iterasi
ini
didefinisikan
. Jika (1) digantikan dengan dengan
metrik yang lain, maka akan diperoleh (
kondisi yang berbeda. Suatu sistem dari dengan
persamaan linear
variabel yang tidak diketahui,
dengan
=
dalam
(8)
dan
≠ 0 untuk = 1, … , .
(8) Iterasi
adalah matrik persegi
(10)
diasumsikan
=
( )
−∑
=
= 1, … ,
biasanya ditulis sebagai
dengan
)
ini
diharapkan
dapat
baris. menyelesaikan persamaan ke j dalam
Banyak metode iterasi untuk persamaan persamaan (8) untuk (8)
dengan det
≠ 0 yakni
. Persamaan (10)
salah dapat ditulis dalam bentuk (6) dengan
satunya
dengan
mentransformasikan =−
( − ),
=
(11) 121
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
= diag
dengan
ISSN 1979-8911
adalah matrik
diagonal dengan unsur tak nol adalah
dengan
= 1, … ,
≠ 0 untuk setiap . Matrik (3) dapat dituliskan dalam
diagonal utama dari . Kondisi (5) diaplikasikan pada
di
bentuk =− +
persamaan (11) merupakan syarat cukup kekonvergenan
dan diasumsikan
dari
iterasi
Jacobi.
dengan
−
adalah iterasi Jacobi dan ,
dalam (11) cukup sederhana,
adalah matrik segitiga bawah dan matrik
persamaan (5) dapat dinyatakan dalam
segitiga atas dengan unsur diagonal
unsur-unsur . Hasil dari criteria jumlah
utama semuanya nol. Jika persamaan
baris untuk iterasi Jacobi
(13) dikalikan dengan
Karena
∑
< 1,
= 1, … , , (12)
,
maka
diperoleh solusi sistem dalam bentuk (
)
(
= +
)
( )
+
atau atau ∑
<
,
= 1, … , . (12*) ( − )
Ini menjamin kekonvergenan untuk diagonal utama dari
. Metode iterasi
Jacobi adalah metode koreksi simultan.
(
)
= +
( )
Kalikan dengan ( − )
sehingga
persamaan (6) berbentuk =( − )
,
=( − )
Persamaan (5) diaplikasikan ke Iterasi Gauss-Seidel
metode koreksi berturutan. Metode ini didefinisikan dengan
∑
)
−∑
= ( )
. (14) dalam
persamaan (14) adalah syarat cukup
Metode iterasi Gauss-Seidel adalah
(
.
kekonvergenan iterasi Gauss-Seidel. Misalkan persamaan diferensial biasa eksplisit dengan orde pertama
(
)
−
= ( , ) dengan nilai awal ( ) = (13)
(15)
122
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
dengan
dan
ISSN 1979-8911
adalah bilangan real (
)
tertentu.
=
1
( )
−
Contoh 1. Teorema titik tetap Banach diperoleh
hasil
iterasi
pada
tabel
pada persamaan linear. berikut: Misal sistem persamaan linear 2
+
+
=4
+2
+
=4
+2
=4
+
Persamaan di atas dapat dituliskan
2 1 1 2 1 1
( )
0 2 0 2 0
Perhatikan dari table di atas diperoleh
dalam bentuk 1 8
( ) ( ) Iterasi ke-m 0 0 0 1 2 2 2 0 0 3 2 2 4 0 0 Tabel 1. Iterasi Jacob
1 1 2
hasil iterasi yang divergen, sehingga
4 = 4 4
kita tidak bisa menentukan solusi dari
sehingga persamaan matrik di atas
sistem persamaan linear di atas.
memenuhi kondisi (4.5), yakni ∑
|
|=
+
+
=
<1,
(b) Akan
digunakan
metode
iterasi
Gauss-Seidel ∑
|
|=
++
=
<1 , (
dan ∑
|
|=
+
Sehingga diperoleh
dengan (a) Akan
( )
+
=
Jacob,yakni
=
1
(
−
)
< 1. ( )
−
=
0 = 0 0
digunakan
)
diperoleh
hasil
iterasi
pada
tabel
berikut: metode
iterasi
Iterasi ke- m 0 1
( )
( )
0 2
( )
0 1
0 0.5 123
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10
ISSN 1979-8911
1.25 1.125 0.8125 1.03125 1.078125 0.945313 0.988281 1.033203 0.989258 0.98877 1.010986 1.000122 0.994446 1.002716 1.001419 0.997932 1.000324 1.000872 0.999402 0.999863 1.000367 0.999885 0.999874 1.000121 1.000003 0.999938 1.000029 Tabel 2. Iterasi Gauss-Seidel
Perhatikan bahwa hasil iterasi setiap unsur dari ( )
Lipschitz)
sehingga
( ; ), ( ; ) ∈ | ( , ) − ( , )| ≤ | − |. Maka nilai awal dari masalah (15) mempunyai solusi tunggal. Solusi ini berada pada interval [
( )
→ 1 , dan
( )
+ ],
− ,
dengan
masing-masing konvergen
→ 1,
untuk
< min
, ,
1
.
→ 1. Bukti.
Jadi dapat disimpulkan bahwa solusi
Misal ( ) adalah ruang metrik dari
dari sistem persamaan di atas adalah semua fungsi kontinu bernilai real pada 1 = 1 . 1
interval
=[
− ,
+ ]
dengan
metrik didefinisikan dengan Teorema (Teorema keberadaan dan ( ; ) = max| ( ) − ( )|. ∈
ketunggalan Picard pada Persamaan Diferensial
Biasa)[1]
Misalkan
adalah persamaan kontinu pada persegi = {( , ): | − dan untuk suatu sehingga
| ≤ ,| −
|≤ }
∈ ℝ dan
∈ℝ,
terbatas, misalkan
| ( , )| ≤
untuk semua ( , ) ∈ . (16)
Misalkan bahwa
memenuhi kondisi
Lipschitz pada R yang bersesuaian dengan (4.15), yakni terdapat konstanta
sehingga ( ) adalah lengkap. Misal adalah subruang dari ( ) yang memuat semua fungsi
∈ ( ), yang memenuhi
| ( )− Sehingga
|≤
.
adalah ruang lengkap.
Dengan mengintegrasikan diperoleh (15) yang dapat ditulis dalam bentuk =
,
diketahui
∶
→
didefinisikan dengan
(konstanta 124
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
( )=
, ( )
+∫
terdefinisi untuk setiap < ∈
c, sehingga jika , ( ) ∈
dan
(17) ada karena Akan
(17)
.
Teorema
titik
tetap
Banach
∈ , karena
menyatakan bahwa
mempunyai titik
∈
tetap tunggal
∈
, yakni, sebuah
, maka
dan integral
fungsi kontinu di memenuhi
kontinu pada .
diperlihatkan
memetakan
ISSN 1979-8911
bahwa
=
pada
yang =
. Dengan
dan persamaan (4. 17) diperoleh ( )=
ke dirinya sendiri, dapat
+∫
, ( ) ∈
, ( )
digunakan (17) dan (4.15), sehingga
Karena
diperoleh
(18) dapat dideferensialkan. Berarti
|
( )−
|=
dengan
kontinu,
terdeferensialkan dan memenuhi (15).
, ( )
Sebaliknya, setiap solusi (15) harus ≤ | −
|≤
Akan ditunjukkan bahwa pada
.
memenuhi (18).
kontraksi
. Dengan kondisi Lipshitz ,
|
( )−
≤| −
solusi
( )|
| max
∈
, ( )
, maka bisa kita peroleh nilai
−
|≤
( )= dengan
maksimum dari ruas kiri yakni |
dari (15) adalah
| ( ) − ( )|
Karena ruas kanan tidak bergantung pada
( ; ) dengan
dengan
< min
, ,
=
< 1, sehingga
mengakibatkan
, … } diperoreh
iterasi Picard
( , ).
≤
Banach
limit dari barisan { ,
, ( ) −
= ∫
Teorema
+∫
,
( )
(19)
= 0,1,2, ….
Selanjutnya
akan
dipaparkan
Teorema titik tetap Banach sebagai syarat dari keberadaan dan ketunggalan
=
) diperoleh kontraktif pada
untuk persamaan integral. Persamaan integral dalam bentuk ( )− ∫
( , ) ( )
= ( ) (20) 125
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
disebut persamaan Fredholm bentuk
Karena
kedua, dengan [ , ] adalah interval,
mendefinisikan operator
dalah parameter. Kernel
persamaan
adalah
fungsi
dari
bahwa
yang
integral
( yang
dengan
menjadikan
persamaan (22) diperoleh
adalah fungsi pada [ , ]. Persamaan
: [ , ]→
kontraktif. Dari persamaan (21) menjadi
= [ , ] × [ , ], dan
terdefinisi pada
kontinu, persamaan (23)
[ , ] . Selanjutnya akan ditunjukkan
adalah fungsi yang tidak diketahui pada [ , ],
dan
akan
) = max
,
max
∈
|
( )+ ∫
∈
( )−
( )|
( , ) ( )
−
dibahas adalah persamaan integral yang ( )+ ∫
( , ) ( )
berada pada ruang [ , ] yakni ruang max
=
semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada interval = [ , ] dengan metrik ( , ) = max
∈
(21)
∫
( , ) ( )
−
( , ) ( )
∫
| ( ) − ( )|
∈
= | | max
∈
∫
( , ) ( )
−
Untuk mengaplikasikan teorema titik tetap Banach maka ruang [ , ] harus lengkap. Asumsikan bahwa dan
kontinu pada
∈ [ , ]
. Maka
adalah
fungsi terbatas pada , misalkan
( , ) ( )
∫
≤ | |max ∫ | ( , ) ( ) − ∈
( , ) ( )| ≤ | |max ∫ | ∈
| ( , )| ≤
( )−
( )|
untuk setiap ( , ) ∈ .(22) = | | max ∫ | ( ) − ( )| ∈
Persamaan (20) dapat dituliskan ke dalam bentuk
=
≤ | | max| ( ) − ( )| ∫
yakni
( ) = ( )+ ∫
( , ) ( )
(23)
∈
.
=| |
( , )( − )
Hal ini dapat ditulis dalam bentuk (
,
)≤
( , ), dengan
126
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
= | | ( − ). Perhatikan
bahwa
=2+
merupakan
+
( )= 2+∫
2+ +
=2+∫
1+ +
−1
kontraktif ( < 1) jika | |≤ Teorema
titik
. )
(
=
(24)
Tetap
2+
Banach
+
( )= 2+∫
memberikan teorema berikut ini.
+
∙
2+ +
+
−1
∙
Contoh 2. Teorema titik tetap Banach =2+∫
1+ +
+
pada persamaan diferensial. Misalkan persamaan differensial
∙
− 1 dengan nilai awal (0) = 2.
= Akan
diselesaikan
iterasi
Picard
dengan
( ) = 2, sehingga diperoleh ( )=
+∫ ( ) =
+
iterasi
konvergen ke 1 +
+
∙
di
atas
∙ ∙
akan
, sehingga dapat =
disimpulkan bahwa solusi dari
1+ ,
dengan
+
1 dengan nilai awal
( )
,
Barisan
metode = 0 dan
dengan
=2+
−
(0) = 2 adalah
.
( ) − 1.
Diperoleh: Teorema ( )=2+
(2 − 1)
(Persamaan
Fredholm)[1]. Misalkan
integral dan
pada
persamaan Fredholm (20) kontinu pada =2+
1 ×
=2+ ( ) = 2 + ∫ (2 + − 1) ∫ (1 + )
dan
bahwa = 2+
terdefinisi
= [ , ] , dan asumsikan memenuhi (24) dengan pada
(22).
Maka
mempunyai solusi tunggal
(20) di
.
127
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
Fungsi
ini adalah limit dari barisan
iterasi { ,
, … } , dengan
dan
Perhatikan bahwa persamaan (26) dapat
( , )
( )
= ( ). (26)
Perbedaan antara persamaan (20) dan (26) adalah batas atas dalam persamaan
persamaan (26) adalah varibel. Faktanya, diperoleh teorema
Karena
| ( , )| ≤
integral
Misalkan
pada
adalah
adalah fungsi
untuk setiap ( , ) ∈ .
Dengan (21), diperoleh untuk setiap ∈ [ , ]
,
|
(Persamaan
dan
terbatas pada , misalkan,
( )−
( )+ ∫
=
Volterra)[1].
kontinu pada
tertutup dan terbatas,
keberadaan dan ketunggalan.
Teorema
( , ) ( )
(27)
(20) adalah konstan , sedangkan pada
tanpa restriksi pada
didefinisikan
( ) = ( )+ ∫
.(25)
( , ) ( )
dengan
sebagai
Misalkan persamaan integral Volterra ( )− ∫
=
dituliskan
: [ , ]→ [ , ]
= 0,1,2, …, ( )= ( )+
∫
Bukti.
adalah
sebarang fungsi kontnu pada untuk
ISSN 1979-8911
( )+ ∫
( )|
( , ) ( )
−
( , ) ( )
=
persamaan (4.26) merupakan fungsi ∫ kontinu pada [ , ] dan kernel
kontinu
pada daerah
dengan
≤
≤ ,
dalam bidang-
≤ ≤ . Maka persamaan
(26) mempunyai solusi tunggal [ , ] untuk setiap .
∫
( , ) ( )
−
( , ) ( )
=
pada
∫ ∫
( , ) ( )
−
( , ) ( )
128
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
≤| | ∫
( , ) ( )
ISSN 1979-8911
=| | ∫
−
( , ) ( )
∫
=| | ∫
( , )
( )−
( , )
( )−
( )
( , )
( )− ( )
≤| |
∫
=| |
( , )∫
=| |
( , )( − ).
=| | ∫
( )− ( )
( ) ≤ | | (4.28) ∫ ≤| |
( )−
( )
(
∫| |
)
( , )
!
=| | | |
( , ) ∫
(
) !
Akan ditunjukkan dengan induksi |
bahwa (
| |
)
( )−
( , ).
!
( )| ≤
(28). Asumsikan pertidaksamaan (29) berlaku untum
, dari pertidaksamaan
=
)!
( , ).
∈ ℕ.
(29) berlaku untuksetiap
Dengan menggunakan −
≤
( )−
( )+ ∫
∈
( )
akan
tercapai, sehingga akan diperoleh
( )|
( , )
−
pada ruas kanan pertidaksamaan (29) dan nilai maksimum untuk
(27) diperoleh |
) (
Jadi terbukti bahwa pertidaksamaan
(29)
= 1 diperoleh pertidaksamaan
Untuk
(
=| |
(
−
)≤
,
( , )
dengan ( )+ ∫ =
( , )
∫
( , )
( )
∫
( , )
( )
=| | ∫
( , )
( )
( )
(
=| | −
Untuk
tetap dan
.
yang cukup besar
maka akan diperoleh −
) !
< 1 . Berarti
adalah pemetaan kontraktif pada [ , ] . Akibat dari teorema akan
∫
( , )
( ) diperoleh lema berikut ini. 129
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
Lema (Titik Tetap)[1]. Misal :
→
tetap dari
adalah pemetaan pada ruang metrik = ( , ) , dan misal
lengkap
Maka
, Perhatikan bahwa
Contoh 3. Teorema titik tetap Banach .
pada persamaan integral.
mempunyai titik tetap.
Diketahui ( ) = sin(
Bukti.
( )
∫
Asumsikan bahwa
=
tidak bisa
memiliki titik tetap lebih dari satu.
adalah pemetaan kontraktif pada untuk suatu bilangan bulat positif
dari
juga merupakan titik tetap
, dan
)−
( ) = sin(
+ ).
adalah Akan ditentukan solusi dari persamaan
pemetaan kontraktif pada
. Dengan di atas dengan metode iterasi
teorema titik tetap Banach, pemetaan ini mempunyai tetap satu titik tetap yakni
=
.
=
Berarti
.
Teorema Banach juga mengakibatkan bahwa
( )
∫
)−
+
.
Sehingga diperoleh barisan sebagai berikut:
→ Khususnya
( ) = sin(
,
jika
=
→ ∞.
, karena
=
( )= ,
sin(
)−
+∫
sin(
)−
+
sin(
)
sin(
)−
+
∫
sin(
)
( )
maka diperoleh = = lim →
= lim →
∫
= lim →
= = lim →
=
. Ini menunjukkan bahwa
titik tetap dari
adalah
. Karena setiap titik 130
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
= sin( cos( = sin(
)−
ISSN 1979-8911
)+
−
−
= sin(
)−
+∫
( )
)+
sin(
sin( )−
)) −2+
+
) + 2 cos(
))
( )=
= sin(
(−4
−
cos(
2
( )=
+
) + 2 cos(
)−
4
)
)+
sin(
2
))
cos(
sin(
cos(
4
(1 −
+
)− ( )
∫
+
+
= sin(
∫
)+ sin(
−
)−
− (sin(
∫ cos( =
−2+4
sin(
)+
−
cos(
)+
)+
=
)
)− (sin(
∫
(−4
−
cos(
)))
sin(
= sin(
−
+ 2 cos(
−
sin(
+2
)−
∫
)−
) (−4
sin(
+
)− (−4
+
2 cos(
)−
−2+4 sin(
+2 −2+
+ − cos(
)+
)+
)))
131
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
=
untuk | | ≤ 1 ,
barisan
{ ( )} akan konvergen ke
( )=
Perhatikan sin(
)−
(−32
−
−4
24 cos(
.
pada persamaan integral. Diketahui ( ) = −
−
( )
∫
)+
(sin(
24
)−
Contoh 4. Teorema titik tetap Banach
)+
cos(
8
sin(
)+
)+
cos(
16
−
+
(sin(
16
− 16
cos(
24 + 32 8
+
)) +
, dan
+√ + ( )=√ .
Akan ditentukan solusi dari persamaan di atas dengan metode iterasi
)
=
( )= sin(
)−
(−32
− 24 + 32 8 16 16 8 24
−
+
cos(
−4
)+
−
)+
cos(
)+
(sin(
.
berikut: ( )= −
)+
cos(
( )
Sehingga diperoleh barisan sebagai
+
(sin(
24 cos(
− 16
+√ +∫
−
+√ +∫
( )
=−
+√ +∫
=−
+√ +
=−
+√ +
)) + )
132
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
( )= −
=−
+√ +∫
( )
+√ + −
∫
+
−
+
+
= −
+√ + =− −
∫
+
+√ +
+√ +
+
+ −
=−
−
−
∫
+
+
+ =−
+√ −
+
−
+ + =−
+√ +
−
+
+ ( )=
+ − =−
+√ −
+
+
+√ +∫
( )
= −
+√ +
∫
−
+
−
( )= + −
+√ +∫
−
+
( ) +
= −
+√ +
∫
− +
=− +
+
−
+√ + −
+
∫ −
−
+ +
+
133
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
=−
+√ +
ISSN 1979-8911
−
+
linear,
persamaan
differensial
dan
integral. −
+
−
+
+
Ucapan Terima Kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada DIPA-BOPTAN UIN SGD
=−
+√ −
+
− Bandung
+
−
+
yang
telah
memberikan
bantuan penelitian kepada penulis.
+ Referensi [1.] untuk | | ≤ 1 ,
barisan
{ ( )} akan konvergen ke
( )=
Perhatikan
Functional Analysis With Applications,( 1978). [2.]
−
+√ .
Erwin Kreyszig, Introductory
Fell, D.A., “Metabolic Control
Analysis: a survey of its theoretical and experimental development”, Biochem. J. 286 (1992), 313-330.
Kesimpulan
[3.] Titik tetap operator dapat ditentukan dengan cara membentuk barisan iterasi yang kontraktif,. Barisan kontraktif
S.M.,
Heinrich, Metabolic
R.
dan
Rapoport,
regulation
and
mathematical models, Prog. Biophys. Molec. Biol. 32 (1977),1-82. [4.]
Shifton, D.C., An introduction to
dapat diperoleh jika operator bersifat
Metabolic Control Analysis, Deanna C,
kontraktif, dan teorema titik tetap
Shifton, 2007.
Banach menjamin bahwa titik tetap ada
[5.]
Einar Hille, Method in Classical
and Functional dan
tunggal.
Keberadaan
dan
ketunggalan titik tetap tersebut dapat diaplikasikan pada sistem persamaan
Analysis,
Addison-
Wesley Publising Company, 1972. [6.]
Casper Goffman and George
Pedrick, First Course in Functional Analysis, Prentice hall, India, 1974. 134
Edisi Juli 2015 Volume IX No. 2
ISSN 1979-8911
Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis 4th Edition, John Willes and Sons Inc, 2011.
Esih Sukaesih* Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Gunung Djati Bandung
[email protected] *Corresponding author
135
