PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aeni Prodi Matematika, FST-UINAM [email protected]

Info:

ABSTRAK

Jurnal MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli – Desember 2015 Artikel No.: 5 Halaman: 34 - 38 ISSN: 2355-083X Prodi Matematika UINAM

Pada artikel ini akan membahas penerapan teorema titik tetap untuk menunjukkan adanya penyelesaian pada sistem persamaan linier. Dalam membangun suatu matriks A sehingga sistem persamaan linier (SPL) Ax = b mempunyai penyelesaian tunggal adalah dengan pemilihan beberapa norma pada R n yaitu: untuk norma ‖. ‖dengan rumus: ‖𝑥 − 𝑦‖ = 𝑚𝑎𝑘𝑠‖𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 ‖, maka untuk matriks C dengan C = I – A berlaku max ∑𝑛𝑗=1|𝑎𝑖𝑗 | < 1, untuk norma ‖𝑥 − 𝑦‖ = ∑𝑛𝑖=1|𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 |; x, y 𝜖 Rn maka 1≤𝑖≤𝑛

untuk matriks C = I – A berlaku max [∑𝑛𝑗=1|𝑎𝑖𝑗 |] < 1, untuk norma ‖𝑥 − 𝑦‖𝑦 =

[∑𝑛𝑖=1|𝑥𝑖

1

𝑛≤𝑗≤1

|2 2

− 𝑦𝑖 ] maka untuk matriks C dengan C = I – A 1

2 2

berlaku (∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖𝑗 ) ) < 1. Kata Kunci: Titik Tetap, Ruang Vektor, Transformasi Linier, dan Ruang Banach

1. PENDAHULUAN

Ruang Vektor

Ada tidaknya titik tetap pada suatu transformasi, bukan saja bergantung pada jenis transformasinya, melainkan juga bergantung pada domain transformasi, ini menunjukkan bahwa ruang/domain dari suatu transformasi juga penting diperhatikan. Masalah yang cukup menarik diselidiki adalah bagaimana membangun suatu matriks A sehingga sistem persamaan linier Ax = b senantiasa mempunyai penyelesaian tunggal untuk setiap vektor B, untuk itu diperhatikan suatu transformasi T : R n → R n dengan rumus Tx = Cx + b, dengan C berordo n x n dan b berordo n x 1. Berdasarkan hal tersebut, penulis tertarik mengkaj “Penerapan Teorema Titik Tetap untuk menunjukkan adanya penyelesaian pada sistem persamaan linier”.

Suatu himpunan menjadi ruang vektor jika himpunan tersebut dilengkapi dengan dua operasi yaitu operasi tambah dan operasi kurang perkalian “skalar” dan memenuhi beberapa aksioma tertentu. Himpunan ini juga harus tertutup terhadap kedua operasi ini artinya jika V suatu himpunan sebarang dan R suatu himpunan skalar maka kedua operasi tersebut harus memenuhi definisi berikut:

2. TINJAUAN PUSTAKA

(A) Untuk setiap pasangan vektor x, y di V terdapa vektor yang disebut “jumlah x dan y”, dinotasikan x + y di V, dan berlaku: (A1) x + y = y + x untuk setiap x, y 𝜖 V (A2) x + (y + z) = (x + y) + z untuk setiap x, y, z 𝜖 V

RUANG Banach Ruang Banach bernorma.

34

merupakan

ruang

vektor

Definisi 2.1 (Berberian, 1961 : 3) Ruang vektor V atas R adalah himpunan obyekobyek x, y, z, ... disebut vektor. Vektor nol dinotasikan dengan 𝜃, untuk setiap vektor x, negatif dari x dinotasikan dengan –x. Aksiomaaksioma berikut diasumsikan berlaku:

Jurnal MSA Vol. 3 No. 2 Ed. Juli-Desember 2015 (A3) Terdapat dengan tunggal 𝜃 𝜖 V sedemikian sehingga x + 𝜃 = x untuk setiap x 𝜖 V (A4) Untuk setiap x 𝜖 V, terdapat dengan tunggal –x 𝜖 V yang disebut negatif x sedemikian sehingga x + (-x) = 𝜃 (M) Untuk setiap skalar 𝜆 dan setiap vektor x di V, terdapat vektor disebut “hasil kali x dengan 𝜆”, dinotasikan dengan 𝜆x di V, dan berlaku: (M1) 𝜆 (x + y) = 𝜆x + 𝜆y, untuk setiap x, y 𝜖 V dan 𝜆 adalah skalar (M2) (𝜆 + 𝜇) x = 𝜆x + 𝜇x, untuk setiap x 𝜖 V dan 𝜆, 𝜇 adalah skalar (M3) (𝜆𝜇) x = 𝜆( 𝜇x ), untuk setiap x 𝜖 V dan 𝜆, 𝜇 adalah skalar (M4) 1 . x = x untuk setiap x 𝜖 V Sebagai catatan x + (-y) biasa ditulis dengan x – y Teorema 2. 2 (Berberian, 1961: 6) Untuk sebarang ruang vektor: (i) Persamaan vektor x + y = z mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian x (ii) Jika z + z = z maka z = 𝜃 (iii) 𝜆𝜃 = 𝜃 untuk setiap skalar 𝜆 (iv) 0x = 𝜃 untuk setiap vektor x (v) Jika 𝜆𝑥 = 𝜃 maka 𝜆 = 0 atau x = 𝜃 Bukti: (i) Jika y, z adalah vektor maka x = z + (-y) adalah penyelesaian dari x + y = z, sebab x + y = [z + (-y)] + y = z +[(-y) + y] = z + 𝜃. Selanjutnya jika x1 dan x2 penyelesaian dari x + y = z maka x1 + y = z = x2 + y. Diperoleh (x1 + y) + (y) = (x2 + y) + (-y), x1 + [ y + (-y)] = x2 + [ y + (-y)], x1 + 𝜃 = x2 + 𝜃, x1 + x2. Jadi persamaan x + y = z mempunyai tepat satu penyelesaian. (ii) 𝜃 adalah penyelesaian dari z + z = z sebab 𝜃 + z = z. Berdasarkan (i) z = 𝜃 adalah satu-satunya penyelesaian dari z + z = z. (iii) 𝜆𝜃 = 𝜆(𝜃 + 𝜃) = 𝜆𝜃 + 𝜆𝜃. berdasarkan (ii), 𝜆𝜃 = 𝜃. (iv) 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x . berdasarkan (ii), 0x = 𝜃. (v) Diberikan 𝜆𝑥 = 𝜃.

35

Jika 𝜆 = 0 maka bukti selesai. 1 1 Jika 𝜆 ≠ 0 maka terdapat 𝜆 sehingga 𝜆. 𝜆 = 1. Jadi

1

𝜆

1

1

1

. 𝜆𝑥 = (𝜆) . 𝜃, (𝜆 . 𝜆) 𝑥 = (𝜆) . 𝜃, 1. 𝑥 = 𝜃, 𝑥 = 𝜃

Akibat 2.3 (Berberian, 1961: 7) Untuk sebarang ruang vektor V beerlaku: (i) (-𝜆)x = 𝜆(−𝑥) = -(𝜆𝑥) (ii) 𝜆(x – y) = 𝜆x – 𝜆y (iii) (𝜆 − 𝜇)x =

Jurnal MSA Vol. 3 No. 2 Ed. Juli-Desember 2015 b. Jika x 𝜖 𝑉, ‖𝑥‖ = 0, jika dan hanya jika x = 𝜃 c. ‖𝑎𝑥‖ = |𝑎|‖𝑥‖, untuk semua x 𝜖 𝑉 𝑑𝑎𝑛 𝑎 𝜖 R d. ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ , untuk semua x, y 𝜖 𝑉 Catatan: 1. 2.

Pasangan (V, ‖. ‖) disebut ruang vektor bernorma dan ‖𝑥‖ disebut norma dari x. Jarak antara vektor x dan y, ditulis ‖𝑥 − 𝑦‖ atau ‖𝑦 − 𝑥‖

Pengertian Ruang Banach Definisi 2.5 (Nababan, 1992 : 13) Ruang vektor V dikatakan “bernorma” jika terdapat fungsi bernilai riil pada ‖. ‖: 𝑉 → 𝑅 dengan sifat-sifat sebagai berikut: ‖𝑎‖ ≥ 0 untuk setiap a 𝜖 V 1. ‖𝑎‖ = 0 jika dan hanya jika a = 𝜃 ‖𝛼a‖ = |𝛼|‖a‖ untuk setiap α 𝜖 R, a 𝜖 V 2. ‖a + b‖ ≤ ‖a‖ + ‖𝑏‖ untuk setiap a, b 𝜖 V 3. Jika Vruang vektor bernorma, notasi yang biasa digunakan adalah (V, ‖. ‖). Definisi 2.6 (berberian, 1961 : 97) Ruang Banach adalah ruang vektor bernorma yang lengkap TRANSFORMASI LINIER Transformasi linear merupakan fungsi linier antar ruang vektor. Definisi 2.7 T : V  W disebut transformasi linear jika: (i). T( x + y) = T(x) + T(y) untuk semua vektor x dan y di V (ii). T(kx) = k T(x) untuk semua vektor x dan V dan semua skalar k. Definisi 2.8 (Nababan, 1992 : 15) Misalkan X dan Y dua ruang Banach atas K. Transformasi T : X → Y dikatakan linier jika untuk setiap α, β, ϵ K dan x, y ϵ X berlaku T (α.x + β.y) = α. T(x) + β. T(y)

Transformasi linier jika dari ruang Banach X ke himpunan skalar K disebut fungsional linier pada X. Jika f funsional linier pada X ke K, maka f (α.x + β.y) = α. f (x) + β. f(y), ∀ x, y ϵ X dan ∀ α, β, ϵ K jika T : X → Y linier maka T (0) = 0 dan T (-x) = -T(x), sebab T(0) = T (x – x) = T (x) – T(x) = 0 dan T (-x) = T (0 – x) = T(0) – T (-x) = 0 – T (-x) = -T(x) Definisi 2.9 (Nababan, 1992 : 11) Suatu transformasi T : V → W dari suatu ruang Banach (V, ‖. ‖v ) ke ruang Banach (W, ‖. ‖w ) dikatakan kontinu di x0, jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga setiap x ϵ V dengan ‖x − x0 ‖v < 𝛿 berlaku ‖T(x) − T(x0 )‖w < 𝜀. Transformasi T dikatakan kontinu di setiap titik pada V. 3. PEMBAHASAN Untuk membangun suatu matriks A sehingga sistem persamaan linier Ax = b senantiasa mempunyai penyelesaian tunggal untuk setiap vektor B, untuk itu diperhatikan suatu transformasi T : R n → R n dengan rumus Tx = Cx + b, dengan C berordo n x n dan b berordo n x 1. Sesuai teorema sebelumnya jika T suatu kontraksi maka T mempunyai titik tetap tunggal artinya terdapat vektor x sehingga x = Tx atau x = Cx + b diperoleh (I – C) x = b selalu mempunyai penyelesaian jika T : R n → R n dengan rumus Tx = (I – A) x b suatu kontraksi. Untuk menguraikan sifat-sifat matriks yang memenuhi sifat di atas kita akan meninjau ruang R n untuk beberapa norma yang berbeda. Misalkan X = R n dan T : X → X suatu pemetaan dengan Tx = Ax + b , dimana A = (aij) suatu matriks n x n dan b 𝜖 R. Maka persamaan fungsional x = Tx = Ax + b ekivalen dengan Mx = b, dimana M = I – A dengan M matriks n x n dan I matriks identitas n x n Untuk menunjukkan T mempunyai titik tetap dapat dilakukan dengan pemilihan norma sebagai berikut:

36

Jurnal MSA Vol. 3 No. 2 Ed. Juli-Desember 2015 1.

Pada R n didefinisikan norma ‖. ‖ dengan rumus ‖𝑥 − 𝑦‖ = 𝑚𝑎𝑘𝑠‖𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 ‖ , untuk setiap x, y 𝜖 R n Dimisalkan T : R n → R n dengan Tx = Ax + b, jika T suatu kontraksi maka ada 0 ‖𝑥 < 𝛼 <1 sehingga ‖𝑇𝑥 − 𝑇𝑦 ‖ ≤ 𝛼 − 𝑦‖, sekarang perhatikan ‖𝑇𝑥 − 𝑇𝑦 ‖𝑦 = ‖𝐴𝑥 + 𝑏, 𝐴𝑦 + 𝑏‖𝑥

= ∑𝑛𝑖=1|∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 (𝑥𝑗 − 𝑦𝑗 )| ≤ ∑𝑛𝑖=1|∑𝑛𝑗=1|𝑎𝑖𝑗 ||𝑥𝑗 − 𝑦𝑗 || ≤ [ max ∑𝑛𝑖=1|𝑎𝑖𝑗 |] ∑𝑛𝑗=1|𝑥𝑗 − 𝑦𝑗 | 1≤𝑖≤𝑛

Dimana 𝛼 = max [∑𝑛𝑗=1|𝑎𝑖𝑗 |]

= max |[𝐴(𝑥 − 𝑦)]𝑖 |

𝑛≤𝑗≤1

1≤𝑖≤𝑛

Jika 𝛼 < 1, maka T mempunyai titik tetap.

= max |∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 (𝑥𝑗 − 𝑦𝑗 )| 1≤𝑖≤𝑛

1

3. Misalkan ‖𝑥 − 𝑦‖𝑦 = [∑𝑛𝑖=1|𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 |2 ]2 Maka, ‖𝑇𝑥 − 𝑇𝑦‖2𝑦 = [‖(𝐴𝑥 + 𝑏) − (𝐴𝑦 + 𝑏)‖]2

≤ max ∑𝑛𝑗=1|𝑎𝑖𝑗 ‖𝑥𝑗 − 𝑦𝑗 ‖| 1≤𝑖≤𝑛

≤ [ max ∑𝑛𝑗=1|𝑎𝑖𝑗 |] ‖𝑥 − 𝑦‖ 1≤𝑖≤𝑛

Jika

𝛼

= max ∑𝑛𝑗=1|𝑎𝑖𝑗 | < 1 1≤𝑖≤𝑛

maka

= ∑𝑛𝑖=1[∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 (𝑥𝑗 − 𝑦𝑗 )]

T

mempunyai titik tetap.

= 𝑦𝑗 )2 ]

Contoh 2 Pemetaan T : R n → R n dengan Tx = Ax + b yaitu 𝑥1 1/2 𝑇 (𝑥 ) = ( 1/4 2

1/3 𝑥1 𝑏 ) ( ) + ( 1) 1/2 𝑥2 𝑏2

Dengan demikian salah satu sistem persamaan linier yang selalu memiliki penyelesaian tungal adalah (I – A)x = b, atau

(

𝑥1 1/2 1/3 𝑏 1 0 )−( )) (𝑥 ) = ( 1 ) 1/4 1/2 𝑏2 0 1 2

1/2 −1/3 𝑥1 𝑏 ) (𝑥 ) = ( 1 ), atau −1/4 1/2 𝑏2 2

1/2x1 – 1/3x2 = b1 -1/4x1 + 1/2x2 = b2

2.

Misalkan ‖𝑥 − 𝑦‖ = ∑𝑛𝑖=1|𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 |; 𝑥, 𝑦 𝜖 Rn

Maka: ‖𝑇𝑥 − 𝑇𝑦 ‖ = ‖(𝐴𝑥 + 𝑏) − (𝐴𝑦 + 𝑏)‖ 37

∑𝑛𝑖=1[∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖𝑗 )2 . ∑𝑛𝑗=1(𝑥𝑗 −

(dengan menggunakan ketaksaamaan Cauchy) Maka 2

‖𝑇𝑥 − 𝑇𝑦‖𝑦 ≤

1 2

{[∑𝑛𝑖=1. ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖𝑗 ) ] } ‖𝑥 − 𝑦‖𝑥 1

Jika 𝛼 = ((

2

2 2 (∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖𝑗 ) )

< 1,

Maka T mempunyai titik tetap.

4. KESIMPULAN Untuk membangun suatu matriks A sehingga sistem persamaan linier Ax = b senantiasa mempunyai penyelesaian tunggal untuk setiap vektor b, yang perlu diperhatikan adalah transformasi T : R n → R n dengan rumus Tx = Cx + b, dengan C berordo n x n dan b berordo n x 1. Sesuai teorema sebelumnya jika T suatu kontraksi maka T mempunyai titik tetap tunggal artinya terdapat vektor x sehinggax = Tx atau x = Cx + b diperoleh (I – C) x = b selalu mempunyai penyelesaian jika T : R n → R n dengan rumus Tx

Jurnal MSA Vol. 3 No. 2 Ed. Juli-Desember 2015 = (I – A) x b suatu kontraksi. Untuk menguraikan sifat-sifat matriks yang memenuhi sifat di atas kita akan meninjau ruang R n untuk beberapa norma yang berbeda. Misalkan X = R n dan T : X → X suatu pemetaan dengan Tx = Ax + b , dimana A = (aij) suatu matriks n x n dan b 𝜖 R. Maka persamaan fungsional x = Tx = Ax + b ekivalen dengan Mx = b, dimana M = I – A dengan M matriks n x n dan I matriks identitas n x n. Untuk menunjukkan T mempunyai titik tetap dapat dilakukan dengan pemilihan norma sebagai berikut: 1. Jika pada R n didefinisikan norma ‖. ‖ dengan rumus: ‖𝑥 − 𝑦‖ = 𝑚𝑎𝑘𝑠‖𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 ‖ , untuk setiap x, y 𝜖 R n, makaharus berlaku max ∑𝑛𝑗=1|𝑎𝑖𝑗 | < 1 1≤𝑖≤𝑛

2. Jika pada R n didefinisikan norma ‖. ‖ dengan rumus‖𝑥 − 𝑦‖ = ∑𝑛𝑖=1|𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 |; 𝑥, 𝑦 𝜖R n

maka harus berlaku max [∑𝑛𝑗=1|𝑎𝑖𝑗 |] < 1 𝑛≤𝑗≤1

3. Jika pada R n didefinisikan norma ‖. ‖ dengan 1

rumus: ‖𝑥 − 𝑦‖𝑦 = [∑𝑛𝑖=1|𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 |2 ]2 1

Maka harus berlaku

2 2 (∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖𝑗 ) )

<1

5. DAFTAR PUSTAKA Berberian, K. S. 1961. Introduction to Hilbert Space. Oxpord University Press, New York. Dwijanto, E . 1994. Analisis Real. Ikip Semarang Press, Semarang. Kreyzeg, E. 1978. Introduction Funcional Analysis with Application. Kanada: John Wiley & Sons Nababan, T. P. 1992. Teorema Titik Tetap di Ruang Metrik dan Aplikasinya. Institut Teknologi Bandung, Bandung.

38