BAHAN AJAR
A. Kompetensi Inti KI 1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. KI 2 : Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI 3 : Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. KI 4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. B. Kompetensi Dasar Mendeskripsikan konsep sistem persamaan linear dua dan tiga variabel serta pertidaksamaan linear dua variabel dan mampu menerapkan berbagai strategi yang efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa kebenaran jawabannya dalam pemecahan masalah matematika. C. Indikator Pencapaian Kompetensi 1.
Terlibat secara aktif dalam proses pembelajaran Persamaan Linear Dua Variabel.
2.
Bekerjasama dalam kegiatan kelompok dan toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif.
3.
Menjelaskan dan memahami definisi Persamaan Linear Dua Variabel
4.
Menentukan Himpunan Penyelesaian untuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
D. Tujuan Pembelajaran 1. Dapat menjelaskan dan memahami definisi Persamaan Linear Dua Variabel 2. Dapat Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistrem Persamaan Linear Dua Variabel.
E. Materi A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) yaitu dua buah persamaan linear dengan dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua variabel x dan y adalah
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 ………..(persamaan ke-1) 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 ……….(persamaan ke-2)
dimana, 𝑥 , 𝑦 : variabel 𝑎1 , 𝑎2 : koefisien variabel 𝑥 𝑏1 , 𝑏2 : koefisien variabel 𝑦 𝑐1 , 𝑐2 : konstanta B. Teknik Penyelesaian SPLDV SPLDV dapat diselesaikan dengan tiga cara, yaitu : 1. Metode Substitusi Metode ini dilakukan dengan cara mensubtitusikan nilai peubah yang ada untuk mendapatkan nilai peubah yang lain. Langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan cara : a. Pilihlah salah satu persamaan (pilihlah persamaan yang sederhana jika ada), kemudian nyatakan salah satu variabel persamaan itu ke dalam variabel persamaan yang lain. b. Substisusikan persamaan itu kepersamaan yang lain. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3𝑥 + 𝑦 = 7 dan 2𝑥 – 5𝑦 = 33
Penyelesaian : 3𝑥 + 𝑦 = 7 … . (1 2𝑥 – 5𝑦 = 33 … . (2 3𝑥 + 𝑦 = 7 → 𝑦 = 7 – 3𝑥 … . . (3 persamaan ke (3) disubstitusikan ke (2) → →
2𝑥 – 5𝑦 = 33 2𝑥 – 5 7 – 3𝑥 = 33
→ 2𝑥 – 35 + 15 𝑥 = 33 → 2𝑥 + 15𝑥 – 35 = 33 → 17𝑥 = 33 + 35 → 17𝑥 = 68 → 𝑥 = 68/17 → 𝑥 = 4 … . (4 dari hasil nilai 𝑥 pada persamaan ke (4), kita distribusikan kembali ke persamaan (3) 𝑦 = 7 – 3𝑥 𝑦 = 7 – 3(4) 𝑦 = 7 – 12 𝑦 = –5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 4, – 5 2. Metode Eliminasi Mengeliminasi salah satu dari dua variabel misal mengeliminasi x untuk mendapatkan nilai dari variabel y. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3𝑥 + 𝑦 = 7 dan 2𝑥 – 5𝑦 = 33 Penyelesaian : kita eliminasikan persamaan 1 dan 2 untuk mendapatkan nilai x dengan menyamakan konstanta variabel 𝑦 (× 5 → 15𝑥 + 5𝑦 = 35 3𝑥 + 𝑦 = 7 2𝑥 − 5𝑦 = 33 (× 1 → 2𝑥 − 5𝑦 = 33 17𝑥 = 68 𝑥 =
+
68 17
𝑥 = 4 3𝑥 + 𝑦 = 7 (× 2) → 6𝑥 + 2𝑦 = 14 2𝑥 − 5𝑦 = 33 (× 3 → 6𝑥 − 15𝑦 = 99
−
17𝑦 = – 85 𝑦 = –5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 4, – 5 3. Metode Campuran Metode gabungan antara metode substitusi dan metode eliminasi. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3𝑥 + 𝑦 = 7 dan 2𝑥 – 5𝑦 = 33 Penyelesaian : 3𝑥 + 𝑦 = 7 (× 5) → 15𝑥 + 5𝑦 = 35 2𝑥 − 5𝑦 = 33 (× 1) → 2𝑥 − 5𝑦 = 33 + 17𝑥 = 68 𝑥 =
68 17
𝑥 = 4 substitusikan 𝑥 = 4 ke 3𝑥 + 𝑦 = 7 3𝑥 + 𝑦 = 7 3(4 + 𝑦 = 7 12 + 𝑦 = 7 𝑦 = 7 – 12 𝑦 = –5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 4, – 5 4. Grafik Penyelesaian dengan metode grafik adalah dengan cara mencari titik potong koordinat sumbu x dan sumbu y. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3𝑥 + 𝑦 = 7 dan 2𝑥 – 5𝑦 = 33 Penyelesaiaan : 3𝑥 + 𝑦 = 7 … . (1 dan 2𝑥 – 5𝑦 = 33 … . (2 3𝑥 + 𝑦 = 7 𝑥 = 0 maka 𝑦 = 7 7
𝑦 = 0 maka 𝑥 = 3
(0,7) 7
(3 , 0)
2𝑥 – 5𝑦 = 33 𝑥 = 0 maka 𝑦 = − 𝑦 = 0 maka 𝑥 =
33 2
33 5
3
atau 𝑦 = −6 5 1
atau 𝑥 = 16 2
3
(0, −6 5) 1
(16 2 , 0)
C. Model Matematika yang Berkaitan dengan SPLDV Soal yang akan diselesaikan terlebih dahulu disederhanakan dan diubah ke dalam bentuk model matematika berupa SPLDV, kemudian baru diselesaikan dengan salah satu dari tiga cara di atas. Contoh : Budi dan Wati masing-masing membeli buku dan pensil yang berjenis sama. Jika Budi membeli 3 pensil dan 2 buku dengan harga Rp 17.500,- sedangkan Wati membeli 2 pensil dan 5 buku dengan harga Rp 30.000,- Berapakah harga setiap bukunya? Penyelesaian : Langkah 1 Buatlah model matematikanya terlebih dahulu, jika pensil = 𝑥 dan buku = 𝑦, maka : Budi → 3𝑥 + 2𝑦 = 17.500 Wati → 2𝑥 + 5𝑦 = 30.000 Langkah 2 Menyelesaikan SPLDV tersebut dengan menggunakan metode campuran metode campuran : 3𝑥 + 2𝑦 = 17.500 (× 2 → 6𝑥 + 4𝑦 = 35.000 2𝑥 + 5𝑦 = 30.000 (× 3 → 6𝑥 + 15𝑦 = 90.000 − −11𝑦 = −55.000
𝑦 = 5.000 substitusikan nilai 𝑦 = 5.000 ke persamaan ke (1) 3𝑥 + 2𝑦 = 17.500 3𝑥 + 2(5.000 = 17.500 3𝑥 + 10.000 = 17.500 3𝑥 = 17.500 − 10.000 3𝑥 = 7.500 𝑥 = 2.500 di peroleh nilai 𝑥 = 2.500 dan 𝑦 = 5.000 Jadi harga setiap bukunya adalah 𝑅𝑝 5.000, −
