PENERAPAN MATRIKS HOUSEHOLDER PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN
SKRIPSI
Diajukan sebagai salah satu prasyarat untuk meraih gelar Sarjana (S1) Pendidikan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang
Disusun oleh : Adytia Ari Setiawan 03320033
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN JURUSAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 2010
ii
iii
iv
MOTTO & PERSEMBAHAN
Tugas kita bukanlah untuk berhasil. Tugas kita adalah untuk mencoba, karena didalam mencoba itulah kita menemukan dan belajar membangun kesempatan untuk berhasil. ( Mario Teguh )
Orang-orang yang berhenti belajar akan menjadi pemilik masa lalu. Orangorang yang masih terus belajar, akan menjadi pemilik masa depan. ( Mario Teguh )
Yang terpenting dari kehidupan bukanlah kemenangan, namun bagaimana bertanding dengan baik. ( Baron Pierre De Coubertin )
Jangan takut dengan kesalahan. Kebijaksanaan biasanya lahir dari kesalahan. (Paul Galvin, founder Motorola)
v
Skripsi ini kupersembahkan kepada : 1.
Ibu dan Bapak yang telah banyak berkorban demi penulis, memberikan dukungan moral dan material, nasihat, motivasi, perhatian, do’a dengan kesabaran dan kelapangan dada serta kasih sayang yang tak ternilai harganya. Terimakasih atas semua pengorbanannya.
2.
Yang tercinta dan terkasih Laily Ayu Rahmadhani yang dengan setia selalu memberi motivasi dan dukungan di saat aku lelah. Terimakasih atas semua pengorbanannya ya sayank…
3. Adikku Singgih Heru Samudro, Heru Prabowo, dan adikku yang paling cantik Widya Pratiwi yang selalu mendo’akan dan membantuku, serta memberi support. 4. Seluruh teman-teman MatKom. Perjuangan kita tidak hanya sampai di sini, terus berjuang dan berkarya ya….
vi
KATA PENGANTAR
Assalamua’alaikum Wr.Wb. Puji syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Penerapan Matriks Householder Pada Sistem Persamaan Linear Tak Konsisten” yang merupakan syarat untuk memperoleh gelar sarjana di Universitas Muhammadiyah Malang. Keberhasilan penulisan skripsi ini tentu tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu dengan setulus hati penulis mengucapkan rasa terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada : 1.
Bapak dan Ibu yang telah banyak berkorban demi penulis, memberikan dukungan moral dan material, nasehat, motivasi, perhatian, do’a dengan kesabaran dan kelapangan dada serta kasih sayang yang tak ternilai harganya.
2.
Bapak Dr. Yus M Cholily, M.Si, selaku dosen pembimbing I yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan, dorongan, dan nasehat sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
3.
Bapak Drs. Hendarto Cahyono, M.Si, selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan dorongan, masukan, dan bimbingan selama penyusunan skripsi ini.
4.
Seluruh dosen Jurusan Matematika dan Komputasi yang telah memberikan bekal ilmu pengetahuan, pengalaman dan motivasi belajar sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.
vii
5.
Bapak / Ibu dewan penguji yang telah memberikan masukan demi sempurnanya skripsi ini.
6.
Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini yang tak dapat disebutkan satu per satu.
Semoga Allah SWT membalasnya dengan sesuatu yang lebih baik. Penulis menyadari bahwa karya tulis ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun sangat penulis harapkan demi kesempurnaan karya tulis ini. Penulis berharap semoga karya tulis ini dapat bermanfaat. Amin Ya Robbal’alamin.
Malang,
Februari 2010
Penulis
viii
ABSTRAK
Sistem persamaan linear dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan merupakan matriks koefisien berukuran , matriks kolom yang elemennya merupakan peubah berukuran dan matriks yang elemennya merupakan konstanta berukuran . Matriks kolom dan pada sistem dapat dianggap sebagai vektor kolom. Sistem persamaan linear dapat dibedakan menjadi dua sistem yaitu sistem konsisten dan sistem tak konsisten. Sistem konsisten merupakan sistem yang memiliki penyelesaian dan sistem tak konsisten merupakan sistem yang tidak memiliki penyelesaian. Pada penulisan skripsi ini difokuskan pada sistem persamaan linear tak konsisten yang memiliki jumlah persamaan lebih banyak dari pada jumlah peubahnya atau yang disebut dengan sistem kelebihan persamaan. Pada sistem tak konsisten kelebihan persamaan tidak dapat mencari vektor sehingga sama dengan . Namun dapat dicari sebuah vektor sehingga mendekati . Penyelesaian tersebut dinamakan dengan solusi kuadrat terkecil. Mencari solusi kuadrat terkecil dari ekivalen dengan mencari solusi dari dengan sebagai matriks Householder berukuran yang didefinisikan sebagai
dengan
vektor bukan nol di dalam
dan
matriks identitas.
Kata kunci : matriks Householder, solusi kuadrat terkecil.
ix
ABSTRACTION
System of linear equations can be written in matrix form where is a coefficient matrix order , is a column matrix which its element represent variable with order , and is a column matrix which its element represent constanta with order . Column matrix and on the system can be regarded as a column vector. System of linear equations can be divided into two systems that is consistent system and inconsistent systems. Consistent system is a system that has a solution and inconsistent systems is a system which does not have a solution. At the writing of this skripsi focused on the inconsistent systems was to amount of equation more than its amount of variable. In inconsistent system can not find a vector such that equal to . But can be searched a vector such that approaches . That solution is called the least squares solution. Searching squares solutions from equivalent to finding solutions of with as Householder matrix order which defined as
with
as column vector non zero in
and
as identity matrix.
Keyword : Householder matrix, least squares solutions.
x
DAFTAR ISI
Halaman judul........................................................................................ i Lembar Persetujuan .............................................................................. ii Lembar Pengesahan............................................................................... iii Surat Pernyataan ................................................................................... iv Motto dan Persembahan ....................................................................... v Kata Pengantar ...................................................................................... vii Abstrak ................................................................................................... ix Daftar Isi ................................................................................................. xi
BAB I
: PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang .................................................. 1 1.2. Rumusan Masalah............................................. 4 1.3. Tujuan Masalah ................................................ 5 1.4. Batasan Masalah ............................................... 5
BAB II
: KAJIAN TEORI 2.1. Matriks .............................................................. 7 2.2. Sistem Persamaan Linear .................................. 13 2.3. Ruang Vektor .................................................... 15 2.4. Ruang Bagian Vektor ....................................... 17 2.5. Rentang ............................................................. 17 2.6. Kebebasan Linear ............................................. 19 2.7. Basis Ruang Vektor .......................................... 20 2.8. Hasil Kali Skalar ............................................... 21
xi
2.9. Hasil Kali Dalam .............................................. 22 2.10. Ruang Bagian Ortogonal .................................. 23 2.11. Himpunan Ortonormal ...................................... 24 2.12. Transformasi Similar ........................................ 26 2.13. Transformasi Hessenberg ................................. 26
BAB III
: PEMBAHASAN 3.1. Matriks Householder ........................................ 30 3.2. Operasi Perkalian Matriks Householder ........... 32 3.3. Matriks Householder Pada Transformasi Similar ........................................ 36 3.4. Mengkonstruksi Matriks Householder.............. 39 3.5. Mencari Solusi Kuadrat Terkecil ...................... 46
BAB IV
: PENUTUP 4.1. Kesimpulan ....................................................... 62 4.2. Saran ................................................................. 64
DAFTAR PUSTAKA
xii
xiii
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1991. Aljabar Linear Elementer. Jakarta : Erlangga. Johnson, Lee. 1989. Introduction To Linear Algebra. Canada : Addison and Wesley Company. Leon, Steven. 2001. Aljabar Linear Dan Aplikasinya. Jakarta : Erlangga. Lipschutz, Seymour. 2006. Aljabar Linear. Jakarta : Erlangga. Suryadi. 1991. Pengantar Aljabar Linier Dan Geometri Analitik. Jakarta : Gunadarma.
65
