Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear.
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
Diperoleh solusi x = 1 ; y = 2 Catatan : Pada proses penyelesaian di atas, langkah‐langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut : 1. Mengalikan suatu persamaan (baris) dengan suatu bilangan tak nol 2. Menukar baris 3. Menjumlahkan atau mengurangkan suatu persamaan dengan persamaan yang lain.
Langkah‐langkah ini dinamakan operasi baris elementer (OBE)
1
Setelah matriks augmentasi menjadi matriks dalam bentuk eselon baris, maka kita dapat memperoleh solusi sistem persamaan linear tersebut dengan melakukan substitusi dimulai dari baris terakhir. Pada sistem persamaan linear di atas : 6z = 18 ⇒ z = 3 z=3⇒ y=2 y=2⇒ x=1 Akhirnya diperoleh solusi x =1; y =2 dan z = 3.
2
Definisi: Elemen taknol pertama dari setiap baris pada matriks dinamakan elemen pivot. Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris jika memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: 1. Semua bilangan pada kolom di bawah elemen pivot adalah nol. 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bagian bawah dari matriks.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas dengan metode eliminasi Gauss, langkah –langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut : 1. Menentukan matriks augmentasi. 2. Melakukan OBE untuk memperoleh bentuk eselon baris. 3. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan substitusi. (Musthofa, 2011) MENENTUKAN
PENYELESAIAN
SISTEM
PENYELESAIAN
PERSAMAAN
LINEAR TIGA VARIABEL DENGAN DETERMINAN Pengantar Menentukan Determinan Matriks Persegi Ordo 3 A =[
] Khusus untuk menentukan determinan matriks ordo 3 x 3, Sarrus menemukan suatu cara yaitu dengan meletakkan lagi elemen-elemen kolom pertama dan kedua di belakang kolom ketiga sebagai berikut:
3
Latihan (Tugas Individu buat 1 soal matriks ordo 3 dan gunakan metode determinan atau aturan cramer dan eliminasi gaus) Carilah menggunakan metode eliminasi gauss dan bandingkan jawaban anda. 2x + y + z = 7 3x + 2y + z = -3 y+z =5 Jawab : { jika menggunakan metode cramer, sbb:} [
[
][ ]=[
]
]
det A = (2.2.1)+(1.1.0)+(1.3.1)-(1.2.0)-(2.1.1)-(1.3.1) =4+0+3–0–2–3=2 4
[
]
det Ax = (7.2.1)+(1.1.5)+(1.(-3).1)-(1.2.5)-(7.1.1)-(1.(-3).1) = 14 + 5 +(-3) – 10 – 7 – (-3) = 14 + 5 – 3 –17 +3 = 2
x=
= =1
[
]
det Ay = (2.(-3).1)+(7.1.0)+(1.3.5)-(1.(-3).0)-(2.1.5)-(7.3.1) = -6 + 0 + 15 – 0 – 10 – 21 = -6 + 5 – 21 = -22
y=
=
= -11
[
]
det Az = (2.2.5)+(1.(-3).0)+(7.3.1)-(7.2.0)-(2.(-3).1)-(1.3.5) = 20 + 0 + 21 – 0 – (-6) – 15 = 20 + 27 – 15 = 20+12 = 32
z=
=
= 16
Untuk memastikan jawaban anda sistem uji coba; Misal Uji pers. (1) Pers. (3) : y + z = 5 2x + y + z = apa menghasilkan 7 -11 + 16 = .....? 2(1) + (-11) + 16 = 2 -11 + 16 = 7 OK =
MENYELESAIKAN PERSAMAAN DENGAN METODE GAUS Prosedur persamaan dengan menggunakan eliminasi gauss didasarkan pada upaya mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris yang direduksi. Proses mengeliminasikan variabel satu, persamaan-persamaan lainnya adalah: 1. Kalikan semua persamaan dengan konstanta yang tidak sama dengan nol, supaya konstanta (koefisien) variabel yang akan dieliminasikan dari persamaan yang lain, nilainya adalah 1. 2. Pertukarkan dua persamaan. 3. Tambahkan kelipatan suatu persamaan, kepada persamaan lain, eliminasikan variabel tertentu. Proses mereduksi baris kedalam matriks yang diperbesar yang bersesuaian dengan pengerjaan pada sistem persamaan tersebut. Operasi baris elementer yaitu: 5
1. Kalikan suatu baris dengan konstanta tertentu, yang tidak sama dengan nol. 2. Pertukarkan kedua baris 3. Tambahkan kelipatan suatu baris kepada baris yang lain. Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode eliminasi gauss: x + 2y + 4z = 16 ... (i) 3x + y z = 4 ... (ii) 2x + 3y + z = 10 ... (iii) Jawaban: x + 2y + 4z = 16 ... (i) 3x + y z = 4 ... (ii) + (-3 x baris ke-i) 2x + 3y + z = 10 ... (iii) + (-2 x baris ke-i) Untuk mengeliminasikan x dari persamaan 1. Kalikan pers. (i), (ii), dan (iii), kemudian tambahkan ke pers. (ii); kalikan pers. (i) & (ii), kemudian tambahkan dengan pers. (iii) Persamaannya menjadi: x + 2y + 4z = 16 -5y – 13z = -44 -y – 7z = -22 (x (-1)) 2. Kalikan baris ke-3 dengan (-1), kemudian pertukarkan dengan baris ke-2 x + 2y + 4z = 16 y + 7z = 22 (x (-2) + baris 1) x (5) + ke baris 3 -5y – 13z = -44 3. Kalikan baris ke-2 dengan (-2), kemudian tambahkan ke baris pertama dan kalikan baris ke-2 dengan 5, kemudian tambahkan ke baris ke-3 x – 10z = -28 y + 7z = 22 (x ( ) ) 22z = 66 4. Kalikan baris ke 3 dengan , kalikan (-7) kemudian tambahkan pada baris ke-2; dikali 10 + pada baris I x – 10z = -28 y + 7z = 22 z = 3 x (-27) + pada baris ke-2; x (10) + pada baris I x
= 2 y = 1 z = 3
Tugas Individu (mandiri) cukup 1 nomor soal matriks ordo 3 menggunakan aturan cramer dan metode gauss yang tiap mahasiswa berbeda soal & jawabannya, dikumpul (Senin, 11 April 2016). Oleh bu ANDI MARIANI. R RRRAMLAN
6
