TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linear
Sistem Persamaan Linear
Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
OUTLINE 1
OBJEKTIF
2
TEORI
3
CONTOH
4
SIMPULAN
5
LATIHAN
OBJEKTIF
Teori
Contoh
Simpulan
Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu: 1. Menjelaskan definisi sistem linear 2. Membangun matriks augmentasi 3. Menyelesaikan sistem linear melalui operasi baris elementer
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Pendahuluan Materi sistem persamaan linear dan cara mendapatkan solusi sistem tersebut merupakan salah satu topik utama dalam aljabar linear. Hal ini disebabkan kegunaannya dalam banyak bidang ilmu. Sebagai contoh, mencari arus yang mengalir dalam rangkaian listrik, solusi mkasimal atau minimal dalam masalah pemrograman linear (optimasi sistem).
Objektif
TEORI
Contoh
Menu
Persamaan Linear
Persamaan NonLinear Sistem Linear Sistem Linear Homogen Operasi Baris Elementer Bentuk Reduksi Eselon Baris
Simpulan
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Persamaan Linear Garis dalam bidang-xy:
y
a1x + a2 y = b x
Persamaan linear: n variabel x1, x2, …, xn a1, a2, …, an dan b konstan
a1x1 + a2 x2 + + an xn = b
Contoh:
2x + 5 y = 9
x1 + 2 x2 − 3 x3 = 5
y = 12 x + z + 1
x1 + x2 + + xn = 1
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Persamaan Nonlinear y
− 2x2 + y = 1
y
y − sin x = 0 x
x
Contoh lain: x − 2 y + xy = 3
x1 + x2 + x3 = 1
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Sistem Linear • Sistem linear: m persamaan n variabel x1, x2, …, xn
• Matriks augmentasi:
a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2 am1x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm
a11 a12 a1n b1 a a a b 2n 2 21 22 am1 am 2 amn bm
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Sistem Linear Homogen Sistem linear homogen: n variabel x1, x2, …, xn m persamaan
Matriks augmentasi:
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = 0 am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = 0 a11 a12 a1n a 21 a22 a2 n am1 am 2 amn
Solusi: Trivial: x1=0, x2=0, …, xn=0 Nontrivial
0 0 0
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Operasi Baris Elementer
1
2
3
Kalikan baris dengan konstanta tak nol
Tukarkan dua baris
Tambahkan perkalian baris pada baris lain
0.5×b2
b1 ⇔ b3
-b1 + b2
1
3
5
7
1 2
2 4
4 8
3 6
1
0
1
2
1
3
5
7
1
2
4
3
1
0
1
2
1
0
1
2
1 0
2
4 3
3 1
1
3
5
7
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Bentuk Eselon Baris Tereduksi 1) Baris tak-nol, bilangan tak-nol pertama dalam baris adalah satu (leading 1) 2) Baris nol diletakkan di bagian bawah matriks
1
03
5
7
0
1
4
3
0
0
0
0
3) Dua baris tak nol berturut-turut, leading 1 (pivot) pada baris dibawahnya terjadi pada kolom sebelah kanannya 4) Tiap kolom berisi pivot, entri lainnya adalah nol
Objektif
Teori
CONTOH
Contoh 1
Simpulan
Latihan
Contoh 2
Dapatkan solusi sistem persamaan linear berikut: x1 + x2 + 2 x3 = 8 − x1 − 2 x2 + 3 x3 = 1 3 x1 − 7 x2 + 4 x3 = 10
Solusi:
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Solusi Contoh 1 (1) Bentuk matriks augmentasi:
1. b1+b2: tambahkan baris 1 pada baris 2
2. -3b1+b3: tambahkan -3 kali baris 1 pada baris 3
1 1 2 8 − 1 − 2 3 1 3 − 7 4 10 1 1 2 8 0 − 1 5 9 3 − 7 4 10
1 2 8 1 0 − 1 5 9 0 − 10 − 2 − 14
Objektif
Teori
Solusi Contoh 1 (2)
CONTOH
Simpulan
Latihan
eliminasi Gauss
3. -1×b2: baris 2 dikalikan -1
1 2 8 1 0 1 5 9 − − 0 − 10 − 2 − 14
4. 10b2+b3: tambahkan 10 kali baris 2 pada baris 3
2 8 1 1 0 1 − 5 9 − 0 0 − 52 − 104
5. -1/52×b3: kalikan baris 3 dengan -1/52
1 1 2 8 0 1 − 5 − 9 0 0 1 2
eselon baris
Objektif
Teori
Solusi Contoh 1 (3)
CONTOH
Simpulan
Latihan
eliminasi Gauss - Jordan
6. -b2+b1: tambahkan -1 kali baris 2 pada baris 1
1 0 7 17 0 1 − 5 − 9 0 0 1 2
7. -7b3+b1: tambahkan -7 kali baris 3 pada baris 1 5b3+b2: tambahkan 5 kali baris 3 pada baris 2
1 0 0 3 0 1 0 1 0 0 1 2
Solusi: x1 = 3; x2 = 1; x3 = 2
eselon baris tereduksi
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Contoh 1
Latihan
Contoh 2
Dapatkan solusi sistem linear berikut: x1 − 2 x2 + x3 = 1 2 x1 − 5 x2 + x3 = − 1 3 x1 − 7 x2 + 2 x3 = 0
Solusi:
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Solusi Contoh 2 (1) Bentuk matriks augmentasi:
1 − 2 1 1 2 − 5 1 − 1 3 − 7 2 0
1. -2b1+b2: tambahkan -2 kali baris 1 ke baris 2 -3b1+b3: tambahkan -3 kali baris 1 ke baris 3
1 − 2 1 1 0 − 1 − 1 − 3 0 − 1 − 1 − 3
2. -1×b2: baris 2 kalikan dengan -1
1 − 2 1 1 0 3 1 1 0 − 1 − 1 − 3
Objektif
Teori
Solusi Contoh 2 (2)
CONTOH
Simpulan
Latihan
eliminasi Gauss - Jordan
3. b2+b3: tambahkan baris 2 ke baris 3
1 − 2 1 1 0 1 1 3 0 0 0 0
4. 2b2+b1: tambahkan 2 kali baris 2 pada baris 1
1 0 3 7 0 1 1 3 0 0 0 0
variabel bebas
x3 = t
variabel leading
x2 = 3 – t
x1 = 7 – 3t
Objektif
Teori
Contoh
SIMPULAN
Latihan
Sistem Persamaan Linear • Sistem linear: kumpulan dari persamaan linear m persamaan n variabel
• Matriks dalam bentuk eselon baris diperoleh dari eliminasi Gauss • Matriks dalam bentuk reduksi eselon baris diperoleh dari eliminasi Gauss-Jordan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Soal: 1) Dapatkan solusi sistem linear berikut: 5 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 4 3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 2 x2 + x3 = 5
2) Dapatkan solusi sistem linear homogen berikut: 2x + 2 y + 4z = 0 w − y − 3z = 0 2w + 3x + y + z = 0 − 2w + x + 3 y − 2 z = 0
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 1 Bentuk matriks augmentasi:
1. (1/5)b1: kalikan baris 1 dengan 1/5
2. -3b1+b2: tambahkan -3 kali baris 1 pada baris 2
5 3 2 4 3 3 2 2 0 1 1 5
1 3 2 4 5 5 5 3 3 2 2 0 1 1 5 4 1 3 2 5 65 54 2 0 5 5 − 5 0 1 1 5
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 1 3. (5/6)b2: kalikan baris 2 dengan 5/6
4. -b2+b1: tambahkan -1 kali baris 2 pada baris 1
5. 3b3: kalikan baris 3 dengan 3
4 1 3 2 5 5 52 1 0 1 3 − 3 0 1 1 5
1 3 5 0 1 0 0
2 5 2 3 1 3 2 5 2 3
4 5 − 13 16 3 4 5 1 − 3
1 3 5 0 1 0 0 1 16
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 1 6. (-3/5)b2+b1: tambahkan -3/5 kali baris 2 pada baris 1
1 0 0 1 0 1 2 − 1 3 3 0 0 1 16
7. (-2/3)b3+b2: tambahkan -2/3 kali baris 3 pada baris 2
1 1 0 0 0 1 0 − 11 0 0 1 16
Solusi: x1 = 1; x2 = -11; x3 = 16
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 2 Bentuk matriks augmentasi:
0 1 2 − 2
2
1. b1 b2: tukarkan baris 1 dengan b2
1 0 2 − 2
0 −1 − 3 2 2 4 3 1 1 1 3 −2
2 4 0 0 − 1 − 3 0 3 1 1 0 1 3 − 2 0 0 0 0 0
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 2 2. -2b1+b3; 2b1+b4
3. (1/2)b1
1 0 0 0
0 − 1 − 3 0 2 2 4 0 3 3 7 0 1 1 − 8 0
1 0 0 0
0 −1 − 3 1 1 2 3 3 7 1 1 −8
0 0 0 0
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 2 4. -3b2+b3; -b1+b4
5. 10b3+b4
1 0 0 0 1 0 0 0
0 −1 1 0 0
− 3 0 1 2 0 0 1 0 0 − 10 0
0 − 1 − 3 0 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 2 1 0 0 0
6. 3b3+b1; -2b3+b2
Solusi: w = y
x = -y
y= t z= 0
w= t x = -t
0 − 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
