PERSAMAAN KUADRAT
Persamaan
Sistem Persamaan Linear
PENGERTIAN
Definisi
Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c=0 dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0 . Contoh : x2 − 4 = 0 , x2 − 9x = 0, x2 + 7x = 10 dan lain sebagainya.
PERSAMAAN KUADRAT
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT
Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 disebut penyelesaian persamaan kuadrat.
Beberapa cara untuk menyelesaikan (mencari akarakar) persamaan kuadrat : 1. Memfaktorkan 2. Melengkapkan kuadrat sempurna 3. Menggunakan rumus kuadrat (rumus kuadratis)
MEMFAKTORKAN
PERSAMAAN KUADRAT
Sebelum dibahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 . Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ” berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol.
PERSAMAAN KUADRAT
Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini. a. 4x2 − 32x = 0 b. 7x2 = −84x c. d. x2 + 5x + 6 = 0
PERSAMAAN KUADRAT
Persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0 dapat diubah menjadi 4x(x − 8) = 0 dengan menggunakan aturan distributif. Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh 4x = 0 atau x − 8 = 0 Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 . Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0 adalah x = 0 atau x = 8
PERSAMAAN KUADRAT
Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian persamaan kuadrat 7x2 = −84x sebagai berikut. 7x2 + 84x = −84x + 84x 7x(x +12) = 0 7x = 0 atau x +12 = 0
Kedua ruas ditambah dengan 84x Menggunakan sifat distributif Menggunakan aturan faktor nol
Jadi penyelesaian persamaan 7x2 = −84x adalah x = 0 atau x = −12 .
PERSAMAAN KUADRAT
Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 ?
Untuk memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini. Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar berikut ini.
1
x x a)
x2
x 1 b)
c)
1
PERSAMAAN KUADRAT
Persegi (a) menyatakan banyaknya x2 , persegi panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta. Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x2 + 5x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.
PERSAMAAN KUADRAT
Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar berikut dengan ukuran luas yang sama. x +3
x +2
Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masingmasing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x +2)(x + 3). Jadi persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 sama dengan persamaan (x + 2)(x + 3) = 0 . Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah.
PERSAMAAN KUADRAT
Dengan menggunakan aturan faktor nol diperoleh (x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0 . Jadi penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 adalah x = −2 atau x = −3.
Jadi secara umum, jika x1 dan x2 merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut adalah x2 - x ( x1 + x2 )+ x1 . x2 = 0. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan
PERSAMAAN KUADRAT
MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA
Bentuk :
Ubahlah persamaan kuadrat semula dalam bentuk (x + p)2 = q, dengan q 0
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir. (x + p) =
q, atau x = -p
q
PERSAMAAN KUADRAT
Tentukan nilai x dari persamaan x2 – 2x – 2 = 0 Penyelesaian : x2 – 2x + 1 + (-1) – 2 =0 (x – 1)2 – 3 =0 ... (a+b)2 = a2 +2ab +b2 (x – 1)2 =3 3 (x – 1) =
x–1= x=1+
3 3
jadi HP = {1 –
atau x – 1 = atau x = 1 3 ,1+
3 }
3 3
PERSAMAAN KUADRAT
RUMUS KUADRATIS
Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus kuadratis. Jika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,c ∈ R, a 0 Maka
b b 4ac x 2a 2
PERSAMAAN KUADRAT
JUMLAH & HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jika x1 dan x2 adalah akar- akar persamaan ax2 + bx + c = 0 maka diperoleh: x1 + x2 = - b/a
x1 . x2 = c/a
LATIHAN 1. Persamaan kuadrat 2x2 – 6x – 5 = 0 mempunyai akar α dan β. Tentukan Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1/α dan 1/β. 2. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x – 2 = 0. Carilah persamaan kuadrat yang akarakarnya p2q dan pq2.
3. Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 – 4x + 2 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akarakarnya 2α dan 2β. 4. Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + x – 2 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akarakarnya
1
1
dan
1
1
