BAB IV. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
Cara penyelesaian SPLTV lebih mudah dengan menggunakan metoda gabungan (eliminasi dan substitusi) Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
Persamaan Linear: 1. Persamaan linear satu variabel : ax + b = 0 dengan a ≠ 0 2. Persamaan linear dua variabel ax + by = c dengan a dan b ≠ 0
y = ax + b y = px 2 + qx + r
Æ bentuk linear Æ bentuk kuadrat
Sistem Persamaan Kuadrat (SPK) Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) a1x + b1y = c1 a2 x + b2 y = c2 dengan a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 ∈ R Penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan:
y = ax2 + bx + c y = px 2 + qx + r
Cara penyelesaian SPLKDV dan SPK lebih mudah dengan menggunakan metoda substitusi yaitu mensubtitusi persamaan yang satu ke persamaan yang lainnya.
1. Metoda Grafik a. Menggambar grafik dengan metoda titik potong sumbu b. Bila kedua garis berpotongan pada satu titik didapat sebuah anggota yaitu (x,y) c. Bila kedua garis sejajar (tidak berpotongan maka) maka tidak didapat angota himpunan penyelesaian d. Bila kedua garis berimpit maka didapat himpunan penyelesaian yang tak terhingga 2. Metoda Substitusi Menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain 3. Metoda Eliminasi Menghilangkan salah satu variabel 4. Metoda Eliminasi – Substitusi Menggabungkan metoda Eliminasi dan Substitusi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) a1x + b1y + c1z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 www.belajar-matematika.com - 1
4. SOAL-SOAL PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT EBTANAS2000 1. Himpunan penyelesaian sistem persamaan ⎧6 3 ⎪⎪ x + y = 21 adalah {(x 0 , y 0 ) } ⎨7 4 ⎪ − =2 ⎪⎩ x y Nilai 6. x 0 . y 0 = …..
EBTANAS 2002 2. Jika suatu sistem persamaan linear: ax + by = 6 2ax +3by = 2 mempunyai penyelesaian x = 2 dan y =- 1, maka a2 + b2 = … A. 200
B.174
C. 265
D.164
E.110
jawab: Substitusikan nilai x=2 dan y=1 ke dalam persamaan:
A.
1 6
B.
1 5
C. 1
D. 6
E. 36
a. 2 - b.1 = 6 2. a. 2 - 3.b.1 = 2
jawab: Soal-soal seperti ini pemecahannya menggunakan metoda substitusi dan eliminasi. eliminasi y : 6 3 + = 21 | x 4 | x y 7 4 − =2 |x3 | x y
2b = 20 b = 10
24 12 + = 84 x y 21 12 − =6 + x y 45 + 0 = 90 x
substitusikan nilai b = 10
bisa + atau – (agar bisa mengeliminasi) 45 = 90 x ⇔ 45 = 90 .x 1 x= 2 6 3 Substitusikan ke persamaan + = 21 x y 6 3 3 + = 21 ⇔ 12 + = 21 1 y y 2 3 ⇔ =9 y 3 1 ⇔ y= = 9 3 1 1 sehingga 6. x 0 . y 0 = 6 . . = 1 2 3 jawabannya adalah C
eliminasi a 2. a - b = 6 |x 4| 8.a - 4. b = 24 4. a - 3b = 2 |x 2| 8.a - 6.b = 4 -
2.a - b = 6 2a – 10 = 6 2a = 16 a=8 sehingga a 2 + b 2 = 8 2 + 10 2 = 164 jawabannya adalah D EBTANAS2002 3. Himpunan penyelesaian sistem persamaan ⎧ x y ⎪ 3+ 2−z=7 ⎪⎪ x 3 y z + = −6 ⎨ − 4 2 2 ⎪ ⎪ x − y − z =1 ⎪⎩ 6 4 3
adalah {x,y,z}
Nilai x – y – z = …. A. 7
B. 5
C. -1
www.belajar-matematika.com - 1
D. -7
E. -13
jawab:
jawab:
x y + −z=7 x 6 ⇒ 2x +3y – 6z = 42 …(1) 3 2 x 3y z − + = −6 x8 ⇒ 2x – 12y + 4z = -48 ….(2) 4 2 2 x y z − − =1 x 24 ⇒ 4x – 6y – 8z = 24 ….(3) 6 4 3
x0, y0 Pers (1) dan (2) Æ eliminasi x (kebetulan bisa langsung dikurang karena nilai x sama) x 0 , y 2x +3y – 6z = 42 2x – 12y + 4z = -48 15y – 10z = 90
2x + z = 5 ….(1) y – 2z = -3 …(2) x + y =1 …(3) Pers (1) dan (2) (eliminasi z) 2x + z = 5 y – 2z = -3
x2 ⇒ 4x + 2z = 10 x1 ⇒ y - 2z = -3
4x + y = 7 ….(4) pers (3) dan (4) (eliminasi y) (bisa langsung dikurang) ….(4)
Pers (1) dan (3) Æ eliminasi x
x+y =1 4x + y = 7 -
2x +3y – 6z = 42 x 4 ⇒ 8x + 12y – 24z = 168 4x – 6y – 8z = 24 x 2 ⇒ 8x - 12y – 16z = 48
-3x = -6 x=2
24y - 8z = 120 24y - 8z = 120 :8 ⇒ 6y – z = 30 ….(5)
masukkan nilai x =2 ke pers (1)
Pers (4) dan (5) Æ eliminasi y 15y – 10z = 90 x6 ⇒ 90y - 60z = 540 6y - z = 30 x15 ⇒ 90y - 30z = 450 - 30z = 90 z = -3 substitusikan z = -3 ke pers (4) 15y – 10z = 90 ⇒ 15y +30 = 90 15y = 60 y=4 substitusikan y=4 dan z=-3 ke pers (1) 2x +3y – 6z = 42 ⇒ 2x + 12 +18 = 42 2x = 12 x=6 Sehingga x – y – z = 6 – 4 –(-3) = 5 Jawabannya adalah B EBTANAS1998 4. Jika x 0 , y 0 , z 0 penyelesaian sistem persamaan 2x + z = 5 ⎫ ⎪ y − 2 z = −3⎬ maka x 0 + y 0 + z 0 = …. x + y = 1 ⎪⎭
A. -4
B. -1
+
C. 2
D. 4
E. 6
2x + z = 5 ⇒ 4 + z =5 z =1 Masukkan nilai z=1 ke pers (2) y – 2z = -3 ⇒ y – 2 = -3 y = -1 didapat x = 2, y = -1 dan z =1 maka x 0 + y 0 + z 0 = 2 – 1 + 1 = 2 jawabannya adalah C EBTANAS2002 SMK 5. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y = x 2 + 2x + 1 dan y = 6x – 2 adalah: A. {(1,-4), (3,-16)} B. {(-1,-4), (-3,-16)} C. {(1,4), (3,16)}
D. {(2,3), (3,16)} E. {(0,1), (0,-2)}
Jawab: Substitusikan y = 6x – 2 ke da;am persamaan kuadrat: 6x – 2 = x 2 + 2x + 1 ⇔ x 2 + 2x + 1-6x + 2 = 0 ⇔ x 2 - 4x + 3 = 0 www.belajar-matematika.com - 2
UN2005 7. Himpunan penyelesaian sistem persamaan
⇔ (x - 3 ) (x – 1 ) = 0
didapat himpunan penyelesaian {(1,4), (3,16)}
⎧1 1 1 ⎪x + y + z = 6 ⎪ ⎪2 2 1 ⎨ + − = 3 adalah {(x,y,z)}, Nilai dari (x+2y+3z)=… ⎪x y z ⎪3 − 1 + 2 = 7 ⎪x y z ⎩
Jawabannya adalah C
A. 14
x = 3 atau x = 1 Masukkan nilai x ke salah satu persamaan: Jika x = 1 maka y = 6x -2 = 6-2 = 4 jika x = 3 maka y = 6.3 – 2 = 16
EBTANAS 2003 SMK 6. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ⎧ x+ y =5 adalah ⎨ 2 2 ⎩ x + y = 17 A. {(-3,2), (-2,3)} B. {(1,-4), (4,-1)} C. {(-4,1), (-1,4)}
D. {(-4,1), (2,3)} E. {(4,1), (1,4)}
Jawab: x + y = 5 ..(1) x 2 + y 2 = 17 …(2)
Dari (1) y = 5 –x …(3) substitusikan ke (2) x 2 + (5 − x) 2 = 17 ⇔ x 2 + 25 − 10 x + x 2 = 17 2 x 2 − 10 x + 8 = 0 (2x - 2 ) (x – 4) = 0 didapat x = 1 atau x = 4 Masukkan ke (3) jika x=1 maka y = 5 –x = 5 – 1 = 4 jika x = 4 maka y = 5-4 = 1 Himpunan penyelesaiannya adalah {(1,4), (4,1)} Jawabannya adalah E
B.12
C. 3
D.1
E.0
jawab: 1 1 1 + + = 6 ….(1) x y z 2 2 1 + − = 3 ….(2) x y z 3 1 2 − + = 7 ….(3) x y z Pers (1) dan (2) Æeliminasi x 1 1 1 2 2 2 + + = 6 x2 ⇒ + + = 12 x y z x y z 2 2 1 2 2 1 + − = 3 x1 ⇒ + − = 3 x y z x y z 3 =9 z 3 1 = z = 9 3 (kebetulan y juga ikut tereliminasi) pers (1) dan (3) 1 1 1 3 3 3 + + =6 x3 ⇒ + + = 18 x y z x y z 3 1 2 3 1 2 − + =7 x1 ⇒ − + =7 x y z x y z 4 1 + = 11 …(4) y z Masuikkan nilai z ke (4) 4 1 4 1 + = 11 ⇔ + = 11 y z y 1/ 3
www.belajar-matematika.com - 3
3x – 3y + 2z = 25
4 + 3 = 11 y 1 4 =8 ⇒ y= y 2
pers (4) dan (5) Æ eliminasi y 3y + 5z = 19 x9 ⇒ 27y + 45z = 171 9y – 13 z = -83 x3 ⇒ 27y - 39z = -249 -
Masukkan nilai y dan z ke (1) 1 1 1 1 1 1 + + =6 ⇒ + + =6 x y z x 1/ 2 1/ 3 1 +2+3= 6 x 1 +5= 6 x 1 =1 ⇒ x = 1 x 1 1 sehingga (x+2y+3z)= 1 + 2. + 3. = 3 2 3 jawabannya adalah C
84z = 420 z=5 Masukkan nilai z ke (4) 3y + 5z = 19 ⇒ 3y + 25 = 19 3y = -6 y = -2
UN2006 8. Jika (x 0 , y 0 , z 0 ) memenuhi sistem persamaan linear berikut 2x + y – 3x = -11 x + 2y + z = 4 3x – 3y + 2z = 25
B. -3
C.1 D. 3
E. 6
2x + y – 3z = -11 …..(1) x + 2y + z = 4 …..(2) 3x – 3y + 2z = 25 …..(3)
D. 54 tahun E. 78 tahun
jawab: perhatikan kata-katanya dengan teliti !!
Pers (1) dan (2) Æ eliminasi x x1 ⇒ 2x + y – 3z = -11 x2 ⇒ 2x + 4y +2z = 8 -3y -5z = -19 3y + 5z = 19 ..(4) Pers (1) dan (3) Æ eliminasi x 2x + y – 3z = -11
jawabannya adalah D
A. 39 tahun B. 43 tahun C. 49 tahun
jawab:
2x + y – 3z = -11 x + 2y + z = 4
masukkan nikai y dan z ke (1) 2x + y – 3z = -11 ⇒ 2x – 2 – 15 = -11 2x = -11 + 17 2x = 6 x=3
UN2005 9.Tujuh tahun lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah…
maka nilai x 0 adalah: A. -6
x2 ⇒ 6x – 6y +4z = 50 9y – 13 z = -83 ..(5)
misal umur ayah = x umur Budi = y x – 7 = 6 (y-7) ⇒ x – 7 = 6y - 42 2( x+ 4) = 5 (y+4)+9 ⇒ 2x +8 = 5y+20 +9 x – 7 = 6y - 42 ⇒ x – 6y = -35 ….(1) 2x +8 = 5y+20 +9 ⇒ 2x – 5y = 21 ….(2)
x3 ⇒ 6x +3y – 9z = -33 www.belajar-matematika.com - 4
2A + 3B = 1400 ⇒ 2A + 3 . 300 = 1400 2A = 1400 – 900 2A = 500 A = 250
pers (1) dan (2) Æeliminasi x x – 6y = -35 x2 ⇒ 2x – 12y = -70 2x – 5y = 21 x1 ⇒ 2x - 5y = 21
-
Yang ditanyakan: A + B = 1000 – kembalian kembalian = 1000 – (300+250) = 1000 – 550 = Rp.. 450
- 7y = -91 y = 13 masukkan nilai y ke (1) x – 6y = -35 ⇒ x – 78 = -35 x = 78 -35 = 43
Jawabannya adalah D
jawabannya adalah B catatan: x – 7 = 6 (y-7) Æ kondisi 7 tahun yang lalu antara umur ayah dan Budi (masing-masing umur dikurang 7 tahun) 2( x+ 4) = 5 (y+4)+9 Æ kondisi 4 tahun yang akan datang, umur ayah dan Budi masing-masing ditambah 4 tahun EBTANAS1999 10. Lia membeli 2 buah kue A dan 3 buah kue B dengan harga Rp.1400. Pada tempat yang sama Mety membeli 3 buah kue A san 4 kue B dengan harga Rp.1950. Jika Nova membeli 1 buah kue A dan 1 kue B kemudaian ia membayar dengan selembar uang Rp.1000, maka uang yang dikembalikan adalah… A. Rp.250 B. Rp.300
C. Rp. 350 D. Rp. 450
E. 550
jawab: Dari soal dapat dibuat persamaan linearnya: 2A + 3B = 1400 ….(1) 3A + 4B = 1950 (2) Pers (1) dan (2) 2A + 3B = 1400 x 3 ⇒ 6A + 9B = 4200 3A + 4B = 1950 x 2 ⇒ 6A + 8B = 3900 B = 300 masukkan nilai B ke (1) www.belajar-matematika.com - 5
