X
matematika PEMINATAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum sistem persamaan linear kuadrat. 2. Menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan sistem persamaan linear kuadrat. 3. Menyelesaikan permasalahan sehari-sehari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear kuadrat.
A.
DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT Sistem persamaan linear kuadrat adalah sistem persamaan yang terdiri dari sebuah fungsi linear dan sebuah fungsi kuadrat yang masing-masing mempunyai dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear kuadrat dapat dituliskan sebagai berikut. y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 ... fungsi kuadrat y = mx + n ... fungsi linear Contoh: 1.
y = 2x + 3 y = x2 – 3x + 7
2.
x+y=7 y = x2 + 10x + 14
1
Kela s
K-13
3.
4x – y – 9 = 0 y2 – 4y – 5 – x = 0
4.
x2 + y2 = 25
(walaupun kedua variabel berpangkat dua, akan tetapi langkah
2x + 3y = 18
penyelesaiannya mirip)
Keempat bentuk sistem persamaan di atas adalah bentuk sistem persamaan linear kuadrat.
B.
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT Solusi sistem persamaan linear kuadrat adalah titik-titik yang memenuhi fungsi linear sekaligus fungsi kuadrat. Dengan kata lain, solusi sistem persamaan linear kuadrat merupakan koordinat-koordinat titik potong antara fungsi linear dan fungsi kuadrat. Misalkan (x1, y1) merupakan solusi sistem persamaan linear kuadrat, berarti berlaku: y1 = ax12 + bx1 + c , a ≠ 0 y1 = mx1 + n Contoh: a.
Diketahui sistem persamaan linear kuadrat berikut. y = 2x + 3 y = x2 – 3x + 7 (1, 5) adalah solusi dari sistem persamaan tersebut karena: y = 2x + 3 ⇔ 5 = 2(1) + 3 ⇔ 5 = 5 benar y = x2 − 3x + 7 ⇔ 5 = 12 − 3.1+ 7 ⇔ 5 = 5 benar
b.
Diketahui sistem persamaan linear kuadrat berikut. x+y=7 x2 + 10x + 14 = y (1, 6) bukan solusi dari sistem persamaan tersebut karena: x+y =7 ⇔ 1+ 6 = 7 ⇔ 7 = 7 benar x 2 +10 x +14 = y ⇔ 12 +10.1+14 = 6 ⇔ 25 = 6 salah
2
x+y =7 ⇔ 1+ 6 = 7 ⇔ 7 = 7 benar x 2 +10 x +14 = y ⇔ 12 +10.1+14 = 6 ⇔ 25 = 6 salah
C.
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT Sistem persamaan linear kuadrat dapat diselesaikan dengan teknik substitusi. Langkahlangkah teknik substitusi untuk menentukan solusi sistem persamaan linear kuadrat adalah sebagai berikut. 1.
Substitusikan nilai y pada fungsi linear ke y pada fungsi kuadrat atau sebaliknya. Jika langkah tersebut sulit dilakukan, kamu bisa menggunakan cara lain, yaitu dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi linear ke x pada fungsi kuadrat atau sebaliknya.
2.
Sederhanakan persamaan satu variabel hingga terbentuk persamaan kuadrat dengan bentuk umum berikut.
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 atau ay2 + by + c = 0, a ≠ 0
3.
Tentukan akar dari persamaan kuadrat dengan teknik faktorisasi atau rumus abc. Jika yang diminta oleh soal hanya banyak solusi realnya, maka gunakan analisis diskriminan.
4.
•
Jika D > 0, maka sistem memiliki dua solusi real
•
Jika D = 0, maka sistem memiliki satu solusi real
•
Jika D < 0, maka sistem tidak memiliki solusi real
Substitusi balik untuk mencari nilai variabel lainnya.
Contoh Soal 1 Tentukan solusi real dari sistem persamaan berikut. y = x2 + 4x + 3 y = 2x + 6 Pembahasan: Misal: y1 = x2 + 4x + 3 y2 = 2x + 6 Substitusikan y2 ke y1 sehingga diperoleh:
3
x2 + 4 x + 3 = 2x + 6 ⇔ x2 + 2x − 3 = 0 ⇔ ( x + 3)( x − 1) = 0 x = −3 atau x = 1 Substitusikan balik nilai x yang diperoleh. Gunakan y = 2x + 6. ➀ Untuk x = –3, diperoleh: y = 2(–3) + 6 = –6 + 6 = 0
Solusi (–3, 0)
➁ Untuk x = 1, diperoleh: y = 2(1) + 6
=2+6 = 8
Solusi (1, 8)
Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah (–3, 0) dan (1, 8).
Contoh Soal 2 Tentukan solusi real dari sistem persamaan berikut. y = 2x2 – 3x – 7 x + 2y – 7 = 0 Pembahasan: Misal: y1 = 2x2 – 3x – 7 x + 2y2 – 7 = 0 Substitusikan y1 ke y2 sehingga diperoleh: x + 2(2x2 – 3x – 7) – 7 = 0 ⇔ x + 4x2 – 6x – 14 – 7 = 0 ⇔ 4x2 – 5x – 21 = 0 ⇔ (4x + 7)(x – 3) = 0 7 x = − atau x = 3 4 Substitusikan balik nilai x yang diperoleh. Gunakan x + 2y – 7 = 0.
4
7 ➀ Untuk x = − , diperoleh: 4 7 − + 2y − 7 = 0 4 ⇔ −7 + 8 y − 28 = 0 ⇔ 8 y = 35 35 ⇔y= 8
7 35 Solusi − , 4 8
➁ Untuk x = 3, diperoleh:
3 + 2y – 7 = 0
⇔ 2y – 4 = 0
⇔ 2y = 4
⇔y=2
Solusi (3, 2)
7 35 Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah − , dan (3, 2). 4 8
Contoh Soal 3 Tentukan solusi real dari sistem persamaan berikut. x=y–1 2y2 – 5y + 4 – x = 0 Pembahasan: Misal: x1 = y – 1 2y2 – 5y + 4 – x2 = 0 Substitusikan x1 ke x2 sehingga diperoleh: 2 y 2 − 5 y + 4 − ( y − 1) = 0 ⇔ 2y2 − 6y + 5 = 0 Persamaan kuadrat tersebut tidak dapat difaktorkan. Untuk menentukan solusinya, periksa dahulu nilai determinannya. Dari 2y2 – 6y + 5 = 0 diketahui nilai a = 2, b = –6, dan c = 5. Dengan demikian, diperoleh:
5
D = b2 – 4ac ⇔ D = (–6)2 – 4(2)(5) ⇔ D = 36 – 40 ⇔ D = –4 < 0 Oleh karena nilai D < 0, maka 2y2 – 6y + 5 = 0 tidak memiliki solusi real. Jadi, sistem persamaan tersebut juga tidak memiliki solusi real.
Contoh Soal 4 Tentukan banyak solusi real dari sistem persamaan berikut. y = 4x2 + 3x – 10 x + 4y = 50 Pembahasan: Misal: y1 = 4x2 + 3x – 10 x + 4y2 = 50 Substitusikan y1 ke y2 sehingga diperoleh: x + 4 ( 4 x 2 + 3 x − 10 ) = 50 ⇔ 16 x 2 +13 x − 90 = 0 Dari 16x2 + 13x – 90 = 0 diketahui nilai a = 16, b = 13, dan c = –90. Dengan demikian, nilai determinannya adalah sebagai berikut. D = b2 – 4ac ⇔ D = (13)2 – 4(16)(–90) ⇔ D = 169 + 5760 ⇔ D = 5929 > 0 Oleh karena nilai D > 0, maka sistem memiliki 2 solusi real. Jadi, banyak solusi real dari persamaan tersebut adalah 2.
Contoh Soal 5 Tentukan banyak solusi real dari sistem persamaan berikut. y = 9x2 – 13x + 2 x+y+2=0
6
Pembahasan: Misal: y1 = 9x2 – 13x + 2 x + y2 + 2 = 0 Substitusikan y1 ke y2 sehingga diperoleh: x + ( 9 x 2 − 13 x + 2 ) + 2 = 0
⇔ 9 x 2 − 12 x + 4 = 0 Dari 9x2 – 12x + 4 = 0 diketahui nilai a = 9, b = –12, dan c = 4. Dengan demikian, nilai determinannya adalah sebagai berikut. D = b2 – 4ac ⇔ D = (–12)2 – 4(9)(4) ⇔ D = 144 –144 ⇔D=0 Oleh karena nilai D = 0. maka sistem memiliki satu solusi real. Jadi, banyak solusi real dari persamaan tersebut adalah 1.
Contoh Soal 6 Tentukan banyak solusi real beserta solusinya dari sistem persamaan berikut. y=x–6 x2 + y2 = 26 Pembahasan: Misal: y1 = x – 6 x2 + y22 = 26 Substitusikan y1 ke y22 sehingga diperoleh: 2 xx 22 + + ( xx − −6 6) = = 26 26 2 2 2 2 ⇔ ⇔ xx + − 12 + xx − 12 xx + + 36 36 = = 26 26 2
2 ⇔ ⇔2 − 12 2 xx 2 − 12 xx +10 +10 = =0 0 2 2 − 6x + 5 = 0 ⇔ x ⇔ x − 6x + 5 = 0 ⇔ ⇔ (( xx − − 5) 5)(( xx − − 1) 1) = =0 0
xx = =5 5 atau atau xx = =1 1
7
Substitusikan balik nilai x yang diperoleh. Gunakan y = x – 6, jangan menggunakan x2 + y2 = 26. ➀ Untuk x = 5, diperoleh: y = 5 – 6
= –1
Solusi (5, –1)
➁ Untuk x = 1, diperoleh: y = 1 – 6
= –5 Solusi (1, –5)
Jadi, banyaknya solusi real dari persamaan tersebut ada 2, yaitu (5, –1) dan (1, –5).
Contoh Soal 7 Diketahui (1, 1) dan (a, b) adalah solusi real dari sistem persamaan berikut. y = px + q y = x2 + 2px + q – 4 Tentukan nilai dari a + b + p + q! Pembahasan: Misal: y = px + q
...(1)
y = x + 2px + q – 4
...(2)
2
(1, 1) merupakan solusi real dari sistem persamaan, sehingga persamaan (1) dan (2) dapat dituliskan sebagai berikut. 1 = p(1) + q ⇔ p + q = 1 ...(3) 1 = 12+ 2p(1) + q – 4 ⇔ 2p + q = 4 ...(4) Eliminasi variabel q: p+q =1 2p + q = 4− = −3 −p ⇔ p =3
8
Substitusi p = 3 ke persamaan (3) sehingga diperoleh: 3+q=1 ⇔ q = –2 Substitusi (p, q) = (3, –2) ke persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh: y = 3x – 2 y = x2 + 6x – 6 Misal: y1 = 3x – 2 y2 = x2 + 6x – 6 Substitusikan y1 ke y2 sehingga diperoleh: x2 + 6x – 6 = 3x – 2 ⇔ x2 + 3x – 4 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 1) = 0 x = –4 atau x = 1 Oleh karena x = 1 sudah menjadi solusi satunya, maka dapat disimpulkan bahwa nilai a = –4. Substitusi balik nilai x yang diperoleh. Gunakan y = 3x – 2. Untuk x = –4, diperoleh: y = 3x – 2 ⇔ b = 3 (–4) – 2 ⇔ b = –12 – 2 ⇔ b = –14 Dengan demikian, diperoleh: a + b + p + q = –4 + (–14) + 3 + (–2) = –17 Jadi, nilai dari a + b + p + q adalah –17.
Contoh Soal 8 Tentukan solusi sistem persamaan berikut ini dengan metode grafik. y = –x2 + 2x + 4 x+y=4 Pembahasan: Untuk menentukan solusi sistem persamaan linear kuadrat dengan metode grafik, gambarkan dahulu kedua fungsi tersebut.
9
Untuk mempermudah, tentukan dahulu titik-titik yang memenuhi persamaan. Kemudian, plot titik-titik tersebut pada bidang. Selanjutnya, hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus. Untuk x + y = 4: x
y=4–x
4
0
0
4
Untuk y = –x2 + 2x + 4: x
y = –x2 + 2x + 4:
–1
1
0
4
1
5
2
4
3
1
4
–4
Dengan demikian, grafiknya adalah sebagai berikut. y 6 5 4 3 2 1 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
6
x
–2 –3 –4
10
Solusi dari sistem persamaan tersebut adalah titik potong kedua grafik, yaitu (0, 4) dan (3, 1). Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah (0, 4) dan (3, 1).
D. APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan konsep sistem persamaan linear kuadrat. Salah satunya seperti contoh berikut.
Contoh Soal 9 Sebuah meriam setinggi 1,5 meter menembakkan sebutir peluru ke udara dari atas tanah. Peluru yang keluar dari meriam tersebut membentuk lintasan parabola. Jika posisi 3 3 peluru dapat dinyatakan dengan fungsi y = − x 2 + 2 x + dan kemiringan tanah dapat 32 2 dinyatakan dengan fungsi y = 0,2x, maka tentukan di titik mana peluru tersebut akan menyentuh tanah! Pembahasan: Permasalahan pada soal dapat digambarkan sebagai berikut. y
y=−
3 2 3 x + 2x + 32 2
y = 0,2x
x
Misal: y1 = −
3 2 3 x + 2x + 32 2
y2 = 0,2x
11
Substitusikan y2 ke y1 sehingga diperoleh:
Super "Solusi Quipper" 3 2 3 x + 2 x + = 0,2 x 32 2 ⇔ −3 x 2 + 64 x + 48 = 6, 4 x −
(kedua ruas dikali 32)
⇔ 30 x − 640 x − 480 = −64 x (kedua ruas dikali - 10) 2
⇔ 30 x 2 − 576 x − 480 = 0
(kedua ruas dibagi 6)
⇔ 5 x − 96 x − 80 = 0 2
⇔ x 2 − 96 x − 400 = 0 ⇔ ( x − 100)( x + 4) = 0 100 4 x= atau x = − 5 5 4 x = 20 atau x = − 5 Oleh karena x > 0, maka nilai yang memenuhi adalah x = 20. Substitusikan balik nilai x yang diperoleh. Gunakan y = 0,2x. y = 0,2x = 0,2(20) = 4 Jadi, peluru tersebut akan menyentuh tanah pada titik (20, 4).
12
