Bab 3
PERSAMAAN KUADRAT 1. Bentuk Umum : ax bx c 0, a 0, a, b, c Re al Menyelesaikan persamaan kuadrat : 2 1 1. dg. Memfaktorkan : ax bx c a (ax p)(ax q) 2
= ax 2 ( p q) x dimana : b = p + q dan c
pq a
pq a
, Jika ac 0 p dan q berbeda tanda ac 0 p dan q sama tanda 2. dg. Melengkapkan bentuk kuadrat ( kuadrat sempurna ) : Untuk suatu kuadrat sempurna x 2 bx c , nilai c diperoleh dengan membagi koefisien x dengan 2, kemudian mengkuadratkan hasilnya. c b2
3. dg. Rumus abc : x1, 2
b b 2 4ac 2 ; b 4ac 0 2a
Soal Latihan 1. Nilai a ,b dan c berturut-turut dari persamaan … a. 1 , 10 , 256
2
b. 0 , 6 , -256
x 4 x 4 10 , x 4 dan x 4 adalah x4 x4 3
c. 4 , 0 , -256
d.0 , 6 , 256
2. Jika p dan q adalah bil. Bulat positip yang memenuhi
e. 10 , 4 , 256
1 1 4 , Nilai p 2 q 2 ... p q 7
a. 50 b. 100 c. 150 d. 200 e. 250 3. Jumlah tiga kali kuadrat suatu bilangan dengan 7 kali bilangan itu sama demgan 20. Jika bilangan itu p atau q dan p
a.
r p ;1 qr
b.
a.
3 5 2
b.
pq qr r p q p c. d. e. ;1 ;1 ;1 ;1 qr pq pq pr 5. Persamaan kuadrat x 2 3x 1 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 ; Jika x1 x2 , nilai dari x1 ... x2
3 5 2
c.
7 5 2
d.
73 5 2
e.
14 6 5 2
2. Pemakaian Diskriminan Bentuk Umum : D = b 2 - 4ac Fungsi Diskriminan untuk menyelidiki sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Jika : 1. D > 0 , maka pers.kuadrat memp. dua akar nyata dan berlainan 2. D = 0, maka pers. Kuadrat memp. 2 akar sama 3. D< 0, maka pers. Kuadrat memp. akar imajiner/tidak nyata 4. D k 2 , merupakan bil kuadrat sempurna yg. memp. Dua akar rasional. 3. Sifat-sifat akar pers. Kuadrat mempunyai dua akar yg. positip x1 0; x2 0
b c 0; x1.x2 0 a a mempunyai dua akar yg. negatif x1 0; x2 0 b c Syarat : D 0; x1 x2 0; x1.x2 0 a a mempunyai dua akar yg. berbeda tanda x1 0; x2 0 Syarat : D 0; x1 x2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
12
Syarat : D 0;
c 0 a
mempunyai dua akar yg. berlawanan x1 x2 Syarat : D 0; b 0
mempunyai akar yg. saling berkebalikan x1
1 x2
Syarat : D 0; c a Contoh : 2 Jika akar-akar dari (2k 7) x 3x 5 0 , saling berkebalikan maka tentukan nilai k Jawab : Saling berkebalikan syarat : a = c 2k – 7 = 5 2k = 12 k=6 4. Jumlah,Selisih dan Hasil kali akar-akar pers. Kuadrat x 1 +x 2 =
b a
x1 . x 2 =
c a
x1 x2 ( x1 x2 )2 2 x1x2 2
2
x1 x2 ( x1 x2 )( x1 x2 ) 2
2
D a 1 1 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 x2
x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1x2 2( x1 x2 )2 4
2
4
x1 x2 ( x1 x2 )3 3x1x2 ( x1 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1x2 ( x1 x2 )( x1 x2 ) 3
4
3
4
x1 x2 ( x1 x2 )3 3x1x2 ( x1 x2 ) 3
3
Contoh : Jika akar-akar pers. x 2 2ax 8 0 ialah x1 dan x2 , sedangkan akar-akar persamaan
x 2 10 x 16 p 0 ialah 3x1 dan 4x2 , maka nilai p = … A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
E. 16
Jawab dg. Cerdik :
c 8 a 3x1.4 x2 16 p 12 x1.x2 16 p x1.x2
12(-8)=-16p maka p = 6 5. Perbandingan Akar Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 jika x1 m.x2 maka
mb2 ac(m 1)2 Contoh : 2 Jika akar-akar pers. x ( p 3) x (2 p 2) 0 ialah x1 dan x2 , Jika p bil. Asli dan x1 3x2 maka p= … A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 7 Jawab dg. Cerdik :
mb2 ac(m 1)2 3( p 3)2 1(2 p 2)(3 1)2 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
13
3( p 2 6 p 9) 32 p 32 3 p 2 14 p 5 0 (3p+1)(p-5)=0
p
1 ,p=5 3
6. Hubungan dua persamaan kuadrat Dua persamaan kuadrat ekuivalen (memp. Akar-akar yg. sama )
a1 x 2 b1 x c1 0 a2 x2 b2 x c2 0 a b c maka : 1 1 1 a2 b2 c2
Dua persamaan tidak ekuivalen
a1 x b1 x c1 0 a2 x2 b2 x c2 0 a b c maka : 1 1 1 a2 b2 c2 2
7. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat maka dapat disusun persamaan kuadrat dengan dinyatakan dengan : ( x x1 )( x x2 ) 0 atau x ( x1 x2 ) x ( x1 .x2 ) 0 2
1. Pers baru yang akar-akarnya n kali akar pers. ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + nbx + n 2 .c = 0 2. Pers baru yang akar-akarnya berkebalikan pers. ax 2 + bx + c = 0 cx 2 + bx + a = 0 3. Pers. Baru yang akar-akarnya berlawanan pers. ax 2 + bx + c = 0 ax 2 - bx + c = 0 4.Pers. Baru yang akar-akarnya x1 m dan x2 m dari pers. ax 2 + bx + c = 0 a(x-m) 2 +b(x-m)+c=0 5.Pers. Baru yang akar-akarnya x1
2
dan x2
2
dari.pers. ax 2 + bx + c = 0
a 2 x 2 (b2 2ac) x c 2 0 Contoh : Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat
x 2 8x 10 0 adalah …. A. x 2 16 x 20 0 D. x 2 16 x 120 0
B. x 2 16 x 40 0 E. x 2 16 x 160 0
C. x 2 16 x 80 0
Jawab dg. Cerdik : ax 2 + nbx + n 2 .c = 0 x 2 + 2.8x + 2 2 .10 = 0 x 2 + 16x +40 = 0 8. Persamaan harga mutlak :
x jika x 0 x jika x 0
Jika x adalah bilangan real maka x Contoh :
x 6 2 x Tentukan akar-akar persamaan tersebut. 2 2 Jawab : ( x 6) 2 x ( kuadratkan kedua ruas ) Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
14
3x 2 12 x 36 0 x 2 4 x 12 0 ( x 6)( x 2) 0 x = 6 atau x = -2 ( Ujilah x kedalam persamaan awal ) maka Hp = {6} 9. Persamaan Tak Rasional Persamaan tak rasional adalah persamaan yang variabelnya dibawah tanda akar. Misalnya
x 1 memiliki nilai rasional jika ( x 1) 0 Contoh :
2 x 2 x 5 x 1 ( untuk menghilangkan tanda akar maka kuadratkan kedua ruas ) 2 x 2 x 5 ( x 1) 2 x2 x 6 0 ( x – 3 )( x + 2 ) = 0 x = 3 atau x = - 2 ( Uji x ke persamaan awal ) Maka Hp : {3} 10. Persamaan yang diselesaikan dengan pemisalan. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari x 4 4 x 2 5 0 Misal x 2 u maka persamaan akan menjadi persamaan kuadrat. u 2 4u 5 0 Maka dapat diseleaikan dengan hasil u = -5 atau u = 1 Substitusikan kembali pada pemisalan semula maka diperoleh : x 2 5 dan x 2 1 Jadi Hp { -1 , 1 } Soal Latihan : 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan harga mutlak berikut : 2 b. x 4 8
a. x 4 7
c. 2 x 4 x
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan tak rasional berikut : a. x 2 x 7 x 3 b. 3x 1 x 1 2 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut : 2
a. ( x 2) 4( x 2) 21 2
2
2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
b. x 4 5 x 4 6
15
Soal Latihan. 1. Persamaan (m-1)x 2 + 4x + 2m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah(98) … A. 1 m 2 B. 2 m 1 C. 1 m 2 D. m 2 atau m 1 E. m 1 atau m 2 2. Persamaan (2m 4) x 5x 2 0 mempunyai akar-akar real berkebalikan, maka nilai m adalah(97) … 2
1 1 C. D. 3 E. 6 3 3 x2 4 x 2 3. Persamaan t 2 memiliki 2 akar sama ( kembar ) , maka t adalah … x 6x 3 A. 12 dan 23 B. 14 dan 12 C. 34 dan 32 D. 1 dan 23 E. 2 dan 32 B.
A. –3
4. Dikatahui persamaan 2 x 2 4 x a 0 dengan a bilangan real . Supaya didapat 2 akar berlainan yang positip , maka haruslah … A. a > 0 B. a<0 C. 0 < a < 2 D. 0 < a < 4 E.
2a4
2 5. Akar-akar persamaan x px
6.
1 2 q 0 adalah p dan q , p + 2q = 6 dan p 0 . Nilai p – q = 2
A. 4 B. 2 C. –2 D. –6 E. –8 2 Akar-akar persamaan kuadrat 2 x x 5 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( 1) dan ( 1) adalah …
A. 2 x 2 x 6 0 B. 2 x 2 x 5 0 C. 2 x 2 3x 1 0 D. 2 x 2 5x 2 0 E. 2 x 2 5x 4 0 2 7. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan 4 x bx 4 0, b 0 , maka 1
1
x1 x2 16( x1 x2 ) berlaku untuk b2 b sama dengan … 3
3
A. 0 atau 2 B. 6 atau 12 C. 20 atau 30 D. 42 atau 56 E. 72 atau 90 8. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 bx c 0 adalah x1 dan x2 . Persamaan kaudrat dengan akar-akarnya x1 x2 dan x1.x2 adalah … A. x 2 bcx b c 0
B. x 2 bcx b c 0
x (b c) x bc 0 2 D. x (b c) x bc 0
E. x (b c) x bc 0
C.
2
2
9. Akar-akar persamaan kuadrat ax 3ax 5(5 3) 0 adalah x1 dan x2 , Jika 2
x1 x2 117 , maka a 2 a sama dengan … 3
3
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0 2 2 2 10. Jika p 0 dan akar-akar persamaan x px q 0 adalah p dan q maka p q A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E.6 2 11. Dalam persamaan kuadrat 2 x (a 1) x (a 3) 0 dengan a konstanta . Jika selisih kedua akarnya sama dengan 1, maka kuadrat jumlah akar-akarnya adalah … A. 1 atau 25 B. 1 atau 5 C. 3 atau 9 D. 9 atau 81 E. 5 atau 25 12. Agar akar-akar x1 dan x2 dari persamaan kuadrat 2 x 2 8x m 0 memenuhi
7 x1 x2 20 , haruslah m = … A. –24 B. –12 C. 12 D. 18 E. 20 2 13. Supaya kedua akar persamaan px qx 1 p 0 real dan yang satu kebalikan dari yang lain, maka haruslah … A. q = 0 B. p 0 atau p 1 C. q 1 atau q 1 D. q 4 p 4 p 0 2
2
E.
p 1 ( p 1)
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
16
14. Jika dalam persamaan cx 2 bx c 0 , diketahui c < 0, maka kedua akar persamaan ini A. Positip berlainan B. Negatif dan berlainan C. berlawanan D. Berlawanan tanda E. tidak real 15. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2 3x 5 0 , maka persamaan kuadrat
1 1 dan - adalah … a b 2 A. 5x 3x 2 0 B. 5x 2 3x 2 0 C. 5x 2 3x 2 0 D. 5x 2 3x 2 0 E. 5x 2 2 x 3 0 16. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x 2 3x n 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x 2 x n 0 , maka nilai n adalah … yang akar-akarnya -
A. 8 B. 6 C. –2 D. –8 E. –10 17. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 - ax + 2a - 7 = 0 adalah x1 dan x2 . Jika 2 x1 - x2 = 7, maka nilai a adalah : A. 72 atau -2 B. 72 atau 2 C. 72 atau 2 D. 7 atau 2 E. 7 atau –2 18. Persamaan kuadrat yang masing-masing akarnya tiga kali akar persamaan kuadrat x 2 + px + q = 0 adalah : A. 2x 2 + 3px + 9q = 0 D. x 2 - 3 px + 9q = 0 B. 2x 2 + 3px + 18q = 0 E. x 2 + 3 px + 9q = 0 C. x2 + 3px – 9q = 0 19. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x 2 - (k + 1)x + (k + 3) = adalah dua kali akar lainnya, maka nilai k adalah : A. 5 atau -5 B. -5 atau 52 C. 5 atau 52 D. 5 atau 52 E. -5 atau 52 20. Jika dan merupakan akar-akar persamaan x 2 + bx - 2 = 0 ,
1 ( ) maka nilai b 2 2
: A. -4 B. – 2 C. 1 D. 2 E. 4. 21. Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat x 2 - 3x +1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya
p q + 1 dan 1 adalah: q p
A. x 2 +9x+9 =0 B. x 2 +9x-9 =0 C. x 2 -9x +9 =0 D. 9x 2 +x+9 =0 E. 9x 2 - x + 9 = 0 22. Jika p dan q akar-akar dan persamaan 3x 2 - 2x - 5 = 0 maka persamaan yang akar-akarnya adalah (p + 2) dan (q + 2) adalah A. 3x2 11x 14 0 D. 3x2 14 x 11 0 B. x2 14 x 11 0 E. x2 9 x 14 0 C. x2 9 x 14 0 23. Akar-akar persamaan kuadrat (p - 2)x 2 + 4x + (p+2) = 0 adalah dan . Jika
2 20 , maka p = A. -3 atau -6 / 5
B .3 atau 5 / 6
C. -3 atau -5 / 6
D. 3 atau 6 / 5 E. -3 atau 5/6
24. Jika x 1 dan x 2 akar persamaan kuadrat x - (5 - a)x - 5 = 0; dan x1 x2 2 6 maka nilai a sama dengan : A. -2 atau 2 B. -7 atau 7 C. -3 atau 3 D. 3 atau 7 E. -3 atau 7 25. Jika dalam persamaan cx 2 + bx - c = 0 diketahui c > 0, maka kedua akar persamaan ini : A. positif dan berlainan D. negatif dan berlainan B. berlawanan E. berlainan tanda C. tidak real 2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
17
SOAL UNAS Materi Pokok : Persamaan Kuadrat 1.
Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 adalah …. a.
x2 – 2x = 0
b.
x2 – 2x + 30 = 0
c.
x2 + x = 0
d.
x2 + x – 30 = 0
e.
x2 + x + 30 = 0
Soal Ujian Nasional Tahun 2007 2.
Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 72 m2. Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tersebut adalah …m. a.
2
6
b.6
c.4 15
6
d.4
e.6 15
30
Soal Ujian Nasional Tahun 2006 3.
Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m2. Selisih panjang dan lebarnya adalah 4 m. Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan tersebut adalah …m2. a.
96
b.128
c.144
d.156
e.168
Soal Ujian Nasional Tahun 2006 4.
Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB = … cm.
a.
4
2
b.4 –
2
c.8 – 2
2
d.4 – 2
2
e.8 – 4
2
Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004 5.
Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka (p) tersebut adalah … m.
a.
16
b.18
c.20
d.22
e.24
Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004 6.
Diketahui akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah
dan
. Persamaan kuadrat baru
yang akar – akarnya dan adalah …. a.
x2 – 6x + 1 = 0
b.x2 + 6x + 1 = 0
4.
x2 + 6x – 1 = 0
e.x2 – 8x – 1 = 0
c.x2 – 3x + 1 = 0
Soal Ujian Nasional Tahun 2005
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
18
7.
Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 = 4, maka nilai q = …. d.
– 6 dan 2
b.– 6 dan – 2
c.– 4 dan 4
d.– 3 dan 5
e.– 2 dan 6
Soal Ujian Nasional Tahun 2004
8.
Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 – 9x + c = 0 adalah 121, maka c = …. a.
–8
b.– 5
c.2
d.5
e.8
Soal Ujian Nasional Tahun 2004 9.
Persamaan (1 – m)x2 + ( 8 – 2m )x + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = …. a.
b. 3
–2
c.0
d. 3
2
e.2
2
Soal Ujian Nasional Tahun 2003 10. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + x – p = 0, p kostanta positif, maka x1 dan x2 x2
x1
= …. a.
2
1 p
b. 1 2
c. 2 1
p
d. 1
p
e. 2 1
p
p
Soal Ujian Nasional Tahun 2002 11. Persamaan kuadrat x2 + (m – 2)x + 9 = 0 mempunyai akar – akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah …. a.
m – 4 atau m 8
b.m – 8 atau m 4
a.
– 4 m 8
e.– 8 m 4
c.m – 4 atau m 10
Soal Ujian Nasional Tahun 2002 12. Peramaan kuadrat mx2 + ( m – 5 )x – 20 = 0, akar – akarnya saling berlawanan. Nilai m = …. a.
4
b.5
c.6
d.8
e.12
Soal Ujian Nasional Tahun 2001 13. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar - akarnya 2 2 dan x1 + x2 adalah …. x1
x2
a.
x2 – 2p2x + 3p = 0
b.x2 + 2px + 3p2 = 0
a.
x2 – 3px + p2 = 0
e.x2 + p2x + p = 0
c.x2 + 3px + 2p2 = 0
Soal Ujian Nasional Tahun 2001 14. Akar – akar persamaan 2x2 + 2px – q2 = 0 adalah p dan q. Jika p – q = 6 maka nilai pq = …. a.
6
b. – 2
c.– 4
d.– 6
e.– 8
Soal Ujian Nasional Tahun 2000 1. C 12.B
2. C 13. C
3. B 14. E
4. E
5. C
6. A
7. E
8. B
9. A
10. A
11. A
Tidak ada kebanggaan, kecualiSaat mampu memecahkan persoalan
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
19
