Muhammad Dakim
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Jenis-jenis soal persamaan kuadrat yang sering diujikan adalah soal-soal tentang : 1. Menentukan akar-akar 2. Jenis-jenis akar 3. Jumlah dan hasil kali akar-akar 4. Tanda-tanda akar 5. Menyusun persamaan kuadrat 6. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat SOAL DAN PEMBAHASAN 1.1 Soal dan pembahasan menentukan akar-akar Soal menentukan akar-akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.1 Konsep 4.1 Akar-akar persamaan kuadrat ditentukan dengan : 1. Memfaktorkan + + = ( − )( − ) dengan p + q = b dan pq = ac 2. Rumus ABC
x1, 2
b b2 4ac 2a
Contoh Soal : 1. UN 2011 Akar-akar persamaan kuadrat 2 dari 2x1 + 3x2 = ….
− 13 − 7 = 0 adalah x1 dan x2.jika x1 > x2, maka nilai
Penyelesaian : ac = p.q = 2(-7) = 1 x (-14)= -14 b = p + q = 1 + (-14) = -13 (2 + 1)(2 − 14) = 0 + =− Jadi, 2
( − 7) = 0 atau +3
=7 = 2(7) + 3 −
= 14 − = 12
2. UN 2012 Diketahui persamaan kuadrat x2 – 10x + 24 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 dengan x1 > x2. Nilai dari 10x1 + 5x2 adalah.... Penyelesaian : ac = p.q 1 x 24 = (-6) x (-4) = 24 b = p + q = (-6) + (-4) = -10 ( − 6)( − 4) = 0 ( − 6)( − 4) = 0 = 6 atau = 4 Jadi, 10 + 5 = 10(6) + 5(4) = 60 + 20 = 80
Matematikasmart.wordpress.com
Page 13
Muhammad Dakim 1.2 Soal dan pembahasan jenis-jenis akar Soal jenis-jenis akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.2 Konsep 4.2 Rumus menentukan akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0 adalah :
,
=
±√
Biasa ditulis bahwa : D = b2 – 4ac (D = diskriminan) (1) D 0 : mempunyai akar real/nyata (2) (3) (4) (5)
D k 2 : mempunyai akar rasional D 0 : mempunyai dua akar real yang berlainan D 0 : mempunyai akar yang sama D 0 : tidak mempunyai akar real
Contoh soal : Ebtanas 1990 Agar persamaan kuadrat + ( − 2) + yang memenuhi adalah ….
− 2 = 0 mempunyai akar yang nyata, maka nilai a
Penyelesaian : + ( − 2) + − 2 = 0 Akar nyata ≥0 −4 ≥ 0 ( − 2) − 4(1)( − 2) ≥ 0 −4 +4−4 +8≥ 0 − 8 + 12 ≥ 0 ( − 2)( − 6) ≥ 0 ≤ 2 atau ≥ 6 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
Ingat..!!! Penyelesaian pertidaksamaan : (i) ( − )( − ) ≤ 0 adalah ≤ ≤ (ii) ( − )( − ) ≥ 0 adalah ≤ atau ≥
≤ 2 atau
≥6
1.3 Soal dan Pembahasan Jumlah dan Hasil kali Akar-akar Soal jumlah dan hasil kali akar-akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.3 Konsep 4.3 Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0, maka : 1.
x1 x2
2.
x1.x2
b a
c a
Rumus-rumus lain : 2 2 3. x1 x2 ( x1 x 2 ) 2 2 x1 .x2 4. 5.
3
3
x1 x2 ( x1 x2 ) 3 3 x1 x2 ( x1 x2 ) 1 1 x1 x2 x1 x2 x1.x2
Tips : Setiap persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya, apapun yang ditanya carilah jumlah dan hasilkali akar-akarnya.
Matematikasmart.wordpress.com
Page 14
Muhammad Dakim Contoh Soal: UN 2011 Akar-akar persamaan kuadrat 3 Nilai
+
−
+ 9 = 0 adalah x1 dan x2.
=
=3
=⋯
Penyelesaian : 3 − +9 = 0
+
=
+
=
=
=
(
)
.
=
=
=−
1.4 Soal dan Pembahasan Tanda-tanda Akar Soal tanda-tanda akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.4 Konsep 4.4 Syarat-syarat agar akar-akar memenuhi tanda-tanda tertentu adalah : (1) Mempunyai dua akar positif (a) x1 x2 0 (b) x1.x2 0 (c) D 0 (2) Mempunyai dua akar negative (a) x1 x2 0 (b) x1.x2 0 (c) D 0 (3) Mempunyai akar berlainan tanda
x1.x2 0
Contoh Soal : PP 1981 Bila akar-akar persamaan kuadrat
−2
+
+ 2 = 0 tidak sama tandanya, maka a = …
Penyelesaian : −2 + +2= 0 Syarat mempunyai akar-akar berlainan tanda : +2 . = = <0 1 < −2
Matematikasmart.wordpress.com
Page 15
Muhammad Dakim 1.5 Soal dan Pembahasan Menyusun Persamaan Kuadrat Soal menyusun persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.5 Konsep 4.5 Rumus menentukan persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya x1 dan x2 adalah :
x 2 ( x1 x2 ) x x1.x2 Tips : Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat yang akarakarnya : 2 1. x1 p dan x 2 p a ( x p) b( x p) c 0 2.
x px1 dan px2 a p
2
x b c 0 atau ax2 bpx cp2 0 p
2
1 1 1 1 3. dan a b c 0 atau cx 2 bx a 0 x1 x2 x x 2 2 2 2 4. x dan x 2 a x (b 2 2 ac ) x c 2 0 1
Contoh Soal : 1. UN 2010 Jika p dan q adalah akar-akar persamaan akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah …
− 5 − 1 = 0 maka persamaan kuadrat baru yang
Penyelesaian : −5 −1= 0 Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x1 dan x2 maka: + = =5 . = = −1 = (2 + 1), = (2 + 1) + = (2 + 1) + (2 + 1) = 2( + ) + 2 = 2.5 + 2 = 12 . = (2 + 1)(2 + 1) = 4 . + 2( + ) + 1 = 4(−1) + 2.5 + 1 = 7 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah : −( + ) + . = 0 − 12 + 7 = 0 2. UN 2011 Akar-akar persamaan 3 − 12 + 2 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akarakarnya (α + 2) dan (β + 2) adalah … Penyelesaian : 3 − 12 + 2 = 0 Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x1 dan x2 maka: + = = =4 . = = ( ) = +2 , = ( + 2) + = ( + 2) + ( + 2) = ( + ) + 4 = 4 + 4 = 8 . = ( + 2)( + 2) = ( ) + 2(( + ) + 4 = + 2(4) + 4 = Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (α + 2) dan (β + 2) adalah : −( + ) + . = 0 Matematikasmart.wordpress.com
Page 16
Muhammad Dakim
−8 + 3
= 0 (kedua ruas dikali 3)
− 24 + 38 = 0 Cara Smart : 3 − 12 + 2 = 0 → a = 3, b = -12, c = 2 Akar-akarnya : (α + 2) dan (β + 2) → p = 2 Gunakan rumus : ( − ) + ( − ) + = 3( − 2) + (−12)( − 2) + 2 = 3 − 12 + 12 + (−12 + 24) + 2 = 3 − 24 + 38 = 0
3. UN 2012 Diketahui persamaan kuadrat x2 – 4x + 1 akar-akarnya x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3x1 dan 3x2 adalah … Penyelesaian : −4 +1= 0 Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x1 dan x2 maka: ( ) + = = =4 . = =1 =3 , =3 + = 3 +3 = 3( + ) = 3.4 = 12 . = 3 . 3 = 9( . ) = 9.1 = 9 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 −( + ) + . = 0 − 12 + 9 = 0
dan 3
adalah :
Cara Smart : − 4 + 1 = 0 → a = 1, b = -4, c = 1 Akar-akarnya 3 dan 3 → p = 3 Gunakan rumus : + + = =
+ (−4)3 + 1.3 − 12 + 9
Matematikasmart.wordpress.com
Page 17
Muhammad Dakim 1.6 Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat Soal pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.6 Konsep 4.6 Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0 Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah : 1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku) 2. Ubah tanda pertidaksamaan menjadi “ = “ 3. Tentukan nilai x yang memenuhi 4. Gambar nilai x pada garis bilangan 5. Tentukan benar atau salah setiap interval dengan menguji nilai x tertentu sebagai wakil interval pada pertidaksamaan 6. Jawabannya adalah nilai x pada interval yang bernilai benar. No
Pertidaksamaan
Daerah HP penyelesaian
Keterangan
+++ – – – + + + a
>
x1 x2 Hp = {x | x < x1 atau x > x1}
x1, x2 adalah akar–akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0
+++ – – – + + + b
≥
Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau
x1 x2 Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1} +++ – – – + + +
c
<
d
≤
x1 x2 Hp = {x | x1 < x < x2} +++ – – – + + +
Daerah HP (tebal) ada tengah x1, x2 adalah akar–akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0
x1 x2 Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2}
Contoh Soal : 1. UN 2011 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan −2
+ 11 − 5 ≥ 0 adalah …
Penyelesaian : −2 + 11 − 5 ≥ 0 (kedua ruas dikali -1, tanda pertidaksamaan berubah) 2 − 11 + 5 ≤ 0 Cara Smart : Langkah 1 : 2 − 11 + 5 = 0 Penyelesaian pertidaksamaan : ( )( ) Langkah 2 : −5 2 −1 =0 (i) ( − )( − ) ≤ 0 adalah = 5, = ≤ ≤ Langkah 3 : (ii) ( − )( − ) ≥ 0 adalah ½ 5 ≤ atau ≥ Langkah 4 : tes x = 0, maka : 2.0 − 11.0 + 5 ≤ 0 Jadi penyelesaiannya : 5 ≤ 0 (salah) −2 + 11 − 5 ≥ 0 S B S (− + 5)(2 − 1) ≤ 0 ½ 5 ½≤x≤5 Langkah 5 :½≤x≤5 Matematikasmart.wordpress.com
Page 18
Muhammad Dakim 2. UN 2012 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (2 + 5) > 12 adalah … Penyelesaian : (2 + 5) > 12 2 + 5 − 12 > 0 Langkah 1 : 2 + 5 − 12 > 0 Langkah 2 : (2 − 3)( + 4) = 0 = ∨ = −4
Cara Smart : Penyelesaian pertidaksamaan : ( − )( − ) ≥ 0 adalah ≤ atau ≥ Jadi penyelesaiannya : { Ι < −4 > ,
Matematikasmart.wordpress.com
}
Page 19
