PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Kompetensi: mengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan. Sub Kompetensi: menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear, menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, menyelesaikan sistem persamaan. Kriteria Kinerja: • Persamaan dan pertidaksamaan linear ditentukan penyelesaiannya • Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat ditentukan penyelesaiannya • Persamaan kuadrat disusun berdasarkan akar-akar yang diketahui • Persamaan kuadrat disusun berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain • Sistem persamaan ditentukan penyelesainnya.
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR Sebelum memahami konsep persamaan linear, sebelumnya perlu kita ketahui terlebih dahulu beberapa istilah berikut ini. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya (benar atau salah), karena masih mengandung unsur variabel (peubah). Variabel adalah sesutu yang belum diketahui dalam kalimat terbuka. Variabel biasanya dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c, x, y, dsb. Penyelesaian adalah pengganti variabel yang membuat suatu kalimat terbuka menjadi kaliamat yang bernilai benar. Himpunan Penyelesaian (HP) adalah himpunan dari semua penyelesaian. Kesamaan adalah pernyataan yang memuat hubungan sama dengan “=”. Contoh: a. 2 + 5 = 7 (pernyataan yang benar) b. 20 = 4 +8 (pernyataan yang salah) Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat hubungan sama dengan “=”. Contoh: a. n + 5 = 11 b. – 2 = 5x + 8 c. x2+2xy+y2 = 0 A. Persamaan Linear Persamaan Linear adalah persamaan yang variabelnya berpangkat satu (linear). Persamaan linear memiliki bentuk umum: ax + b = 0; a ≠ 0, a, b ∈ R. Keterangan: a = koefisien x = variabel b = konstanta Contoh: a. 3 x − 1 = 5 x + 4 (persamaan linear dengan satu variabel) b. 4 x − 2 y = −6 (persamaan linear dengan dua variabel) Untuk memahami bagaimana menyelesaikan sebuah persamaan linear, perhatikanlah beberapa contoh berikut ini.
Contoh: x x x x (1) − 3 = 4 + ⇔ 6 − 3 = 6 4 + (kedua ruas dikali 6) 2 3 3 2 ⇔ 3x − 18 = 24 + 2 x (kedua ruas dikurangi 2x dan ditambah 18) ⇔ 3x − 2 x = 24 + 18 ⇔ x = 42 1
∴ HP = {x x = 42, x ∈ R} atau cukup ditulis HP = {42} 1 1 1 1 (kedua ruas dikali 4) = −3 y − ⇔ 4 − 4 y − = 4 − 3 y − 4 2 4 2 ⇔ −16 y − 1 = −12 y − 2 (kedua ruas ditambah 12y dan 1) ⇔ −16 y + 12 y = −2 + 1 ⇔ −4 y = −1 1 1 1 (kedua ruas dikali − ) ⇔ −4 y − = −1 − 4 4 4 1 ⇔ y= 4 1 1 ∴ HP = y y = , y ∈ R = 4 4 (3) Harga sebuah celana tiga kali harga sebuah baju. 3 celana dan 4 baju harganya Rp. 65.000,00. berapakah harga satu celana dan satu baju? Jawab: Misal: harga 1 baju B = x, maka harga 1 celana C = 3x Dari soal diketahui, Harga 3C + 4B = 65.000 3(3x) + 4x = 65.000 9x + 4x = 65.000 13x = 65.000 x = 5.000 C = 3x C = 3(5.000) = 15.000 Jadi, harga 1 celana Rp. 15.000,00 dan harga 1 baju Rp. 5.000,00.
(2) − 4 y −
B. Sistem Persamaan Linear Bentuk persamaan linear seperti yang telah kita pelajari di atas adalah bentuk persamaan linear satu variabel. Dan sekarang kita akan lihat bagaimana bentuk juga cara menyelesaikan persamaan linear dua variabel. Persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dan diketahui nilainya jika berada dalam satu Sistem Persamaan Linear (SPL). Untuk memahami bagaimana menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear, kita lihat contoh-contoh berikut.
Contoh: 1) Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut. 3 x + 2 y = 22 4 x + y = 21 Jawab: Cara I (eliminasi) 3 x + 2 y = 22 × 4
4 x + y = 21 × 3
12 x + 8 y = 88 12 x + 3 y = 63 − 5 y = 25 y=5 2
(menghilangkan x)
3 x + 2 y = 22 × 1
3 x + 2 y = 22
4 x + y = 21 × 2
8 x + 2 y = 42 − 5 x = 20
(menghilangkan y )
x=4 Jadi HP = {(4,5)} Cara II (substitusi) 3 x + 2 y = 22................(1)
4 x + y = 21..................(2) Dari (1) diperoleh: 3 x + 2 y = 22 ⇔ 2 y = 22 − 3 x
3 ⇔ y = 1− x ................(3) 2 Masukkan (3) ke (2) diperoleh: 4 x + y = 21 3 4 x + 11 − x = 21 2 8 x + 22 − 3 x = 42 5 x = 20 x = 4.........................(4 ) Masukkan (4) masuk ke (2) 4 x + y = 21 4 × 4 + y = 21 16 + y = 21 y =5 Jadi, HP = {(4,5)}
C. Pertidaksamaan Linear Kalau pada persamaan kita berhubungan dengan tanda sama dengan “=”, maka pada bentuk pertidaksamaan kita akan berhubungan dengan tanda-tanda ketidaksamaan “ <, >, ≤, ≥ ”. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang mengandung tanda ketidaksamaan. Contoh: a. 5 x + 10 > 8 x + 4 (Pertidaksamaan linear. Apa tandanya?) 2 2 b. 6 y − 5 ≤ −3 y + 2 (Bukan pertidaksamaan linear. Kenapa?)
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat satu. Bagaimana cara menyelesaikan atau mencari HP sebuah pertidaksamaan linear? Ada beberapa sifat yang perlu kita perhatikan dalam menyelesaikan sebuah pertidaksamaan secara umum, termasuk pertidaksamaan linear. Sifat-sifat itu adalah: a. Jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama maka tanda ketidaksamaannya tetap (tidak berubah) 3
b. Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama maka tanda ketidaksamaannya tetap (tidak berubah) c. Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka tanda ketidaksamaannya berubah (dibalik). Untuk memahami cara menyelesaikan pertidaksamaan linear, dengan menggunakan sifat di atas kita lihat beberapa contoh berikut.
Contoh: (1) 5 x + 6 ≥ 2 x − 9, x ∈ Q ⇔ 5 x − 2 x ≥ −9 − 6 ⇔ 3 x ≥ −15 1 1 ⇔ 3 x ⋅ ≥ −15 3 3 ⇔ x ≥ −5 ∴ HP = { x x ≥ −5, x ∈ Q}
(kedua ruas dikurangi 2x dan 6, tanda tetap) (kedua ruas dikali
1 , tanda tetap) 3
(2) 2 x − 4 < 3x + 6, x ∈ R ⇔ 2 x − 3x < 6 + 4 (kedua ruas dikurangi 3x dan ditambah 4, tanda tetap) (kedua ruas dikali -1, tanda berubah, dibalik) ⇔ − x(− 1) > 10(− 1) ⇔ x > −10 ∴ HP = {x x > −10, x ∈ R}
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT A. Persamaan Kuadrat Kita telah mengenal persamaan kuadrat (disingkat PK) dan cara menyelesaikannya (coba lihat kembali materi persamaan kuadrat di buku matematika SMP kelas 3!) dan sekarang kita akan pelajari kembali materi tersebut berikut beberapa perluasannya. 1. Apa itu persamaan kuadrat? Suatu malam salah seorang siswa kelas 1 di SMKN 1 Cidaun bermimpi bertemu dengan Isaac Newton. Ahli fisika dan matematika yang sangat terkenal itu mengajaknya ke sebuah puncak gedung dengan ketinggian 10 m dari tanah. Di hadapannya, ia mendemonstrasikan suatu prinsip fisika yang ditemukannya lebih dari 300 tahun yang lalu. Ia melemparkan bola hampir vertikal ke udara dengan kelajuan vertikal awal v0 = 5 m/s. Jika percepatan gravitasi g = 10 m/s2, ketinggian bola di atas 1 tanah, h sebagai fungsi waktu t, menurut fisika dinyatakan oleh h = − gt 2 + v0 t + 10 , 2 dengan h dalam meter, dan t dalam detik. 1. Berapa nilai h ketika bola menumbuk tanah? 2. Tulis persamaan yang harus diselesaikan untuk menentukan kapan bola menumbuk tanah! 3. Selesaikan persamaan yang diperoleh untuk menentukan kapan bola menumbuk tanah! Permasalahan di atas adalah salah satu contoh pemodelan matematika yang dapat diselesaikan menggunakan konsep persamaan kuadrat. 4
Lalu apa itu persamaan kuadrat? Sekarang perhatikan beberapa contoh persamaan berikut! 3 x 2 + 2 x + 5 = 0 6 x 2 − 11 x = 0 8x 2 + 1 = 0 x2 − 4 = 0 x2 = 0 2x + 5 = 0
(Persamaan kuadrat. Perhatikan apa tandanya?)
(Bukan persamaan kuadrat. Kenapa?)
Dari bentuk di atas kita turunkan definisi berikut: Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi sama dengan dua. Sehingga kita bisa merumuskan bentuk umum sebuah persamaan kuadrat sebagai berikut. Bentuk umum: ax 2 + bx + c = 0 ; dengan a, b, c ∈ R , a ≠ 0 , b dan c boleh nol. keterangan: x adalah variabel a adalah koefisien dari x2 b adalah koefisien dari x c adalah konstanta Catatan: a. ax 2 = 0 disebut persamaan kuadrat murni. 2 b. ax + bx = 0 disebut persamaan kuadrat tak lengkap.
2. Menyelesaikan persamaan kuadrat Ketika kita menemui sebuah persamaan kuadrat, pekerjaan kita salanjutnya adalah menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut, yakni mencari akar-akar persamaan kuadrat atau kita kenal dengan himpunan penyelesaian (HP). Mencari HP adalah menentukan nilai-nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut. Kita sudah mengenal ada tiga cara yang dapat dilakukan untuk menentukan HP, yaitu: memfaktorkan (faktorisasi), melengkapkan bentuk kuadrat, dan menggunakan rumus (rumus abc). (a) Faktorisasi Perhatikan contoh-contoh yang bervariasi berikut ini agar nantinya kita cekatan dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan (faktorisasi). Berikut adalah prinsip yang perlu dipahami untuk selanjutnya tidak lupa kita hapalkan agar kelak kita bisa menyelesaikan sebuah persamaan kuadrat. Prinsip pemfaktoran: p q ax 2 + bx + c = a x + x + a a hasil kalinya (pq) = ac jumlahnya (p+q) = b
Contoh: 1) x 2 − 5 x + 6 = 0 (x − 3)(x − 2) = 0 x1 = 3 atau x2 = 2
{-3 × (-2) = 6 dan -3 + (-2) = -5}
5
2) x 2 − 5 x − 6 = 0 (x + 1)(x − 6) = 0 x1 = −1 atau x2 = 6 3) 3 x 2 + 2 x − 8 = 0 6 4 3 x + x − = 0 3 3 6 4 1 x1 = − = −2 atau x2 = = 1 3 3 3 2 4) 4 x − x − 3 = 0 3 4 4 x + x − = 0 4 4 3 4 x1 = − atau x2 = = 1 4 4 2 5) x − 5 = 0 x+ 5 x− 5 =0
(
)(
{1 × (-6) = -6 dan 1 + (-6) = -5}
{6 × (-4) = -24 dan 6 + (-4) = 2}
{3 × (-4) = -12 dan 3 + (-4) = -1}
)
{ 5 × (- 5 ) = -5 dan
x1 = − 5 atau x2 = 5 (b) Melengkapkan bentuk kuadrat Prinsipnya adalah: x 2 = p 2 ⇔ x = ± p (contoh: x 2 = 4 ⇔ x = ± 4 = 2 )
(x + a )2 = b 2 ⇔ x + a = ±b Contoh: 1) x 2 − 2 x − 3 = 0 x2 − 2x = 3 (x − 1)2 − 1 = 3
(x − 1)2 = 4
⇒ (x − 1) = ± 4 = 2 x1 = 1 + 2 = 3 atau x2 = 1 − 2 = −1
2) x 2 + 4 x − 12 = 0 x 2 + 4 x = 12 (x + 2)2 − 4 = 12
(x + 2)2 = 16
⇒ (x + 2 ) = ± 16 = ±4 x1 = −2 + 4 = 2 atau x2 = −2 − 4 = −6 Secara umum: ax 2 + bx + c = 0 b c x2 + x + = 0 a a b c x2 + x = − a a 2
b b2 c x + − =− 2 2a 4a a 2
b b 2 − 4ac c =− x+ = 2 2a 4a a
6
5 + (- 5 ) = 0}
b b 2 − 4ac 1 =± b 2 − 4ac x+ = ± 2 2 a 4 a 2 a −b 1 x1 = + b 2 − 4ac 2a 2a −b 1 − b 2 − 4ac x2 = 2a 2a atau − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac dan x2 = 2a 2a Rumus ini dikenal dengan nama rumus abc atau rumus kuadrat. x1 =
(c) Rumus abc ax 2 + bx + c = 0
x1,2 =
−b ± b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac atau x1 = dan x2 = 2a 2a 2a
Contoh: 1) x 2 − 2 x − 3 = 0
x1, 2 =
− (−2) ± (−2) 2 − 4(1)(−3) 2(1)
2 ± 4 + 12 2 ± 4 = 2 2 2+4 2−4 x1 = = 3 atau x2 = = −1 2 2 2) 2 x 2 + 3x − 9 = 0 =
x1, 2 =
− 3 ± 32 − 4( 2)(−9) 2( 2)
− 3 ± 9 + 27 − 3 ± 9 = 4 4 −3+9 6 1 − 3 − 9 − 12 x1 = = = 1 atau x2 = = = −3 4 4 2 4 4 =
3) x 2 − 6 x − 1 = 0
x1, 2 =
− (−6) ± (−6) 2 − 4(1)(−1) 2(1)
6 ± 36 + 4 6 ± 40 = 2 2 6 40 2 10 6 40 2 10 x1 = + = 3+ = 3 + 10 atau x2 = − = 3− = 3 − 10 2 2 2 2 2 2 =
3. Diskriminan Diskriminasi artinya melihat atau membuat perbedaan-perbedaan. Diskriminan artinya suatu yang mampu membedakan.
7
Perhatikan penggunaan rumus abc pada penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini: 1) x 2 − 2 x − 3 = 0
x1, 2
− (−2) ± (−2) 2 − 4(1)(−3) = 2(1)
2 ± 4 + 12 2 ± 4 = 2 2 2+4 6 2−4 −2 x1 = = = 3 atau x2 = = = −1 (akar-akarnya, x1 dan x2 berlainan) 2 2 2 2 2) x 2 − 6 x + 9 = 0 =
x1, 2
− (−6) ± (−6) 2 − 4(1)(9) = 2(1)
6 ± 36 − 36 6 ± 0 = 2 2 6+0 6 6−0 6 x1 = = = 3 atau x2 = = =3 2 2 2 2 3) x 2 − 2 x + 3 = 0 =
x1, 2
(akar-akarnya, x1 dan x2 kembar)
− (−2) ± (−2) 2 − 4(1)(3) = 2(1)
2 ± 4 − 12 2± −8 = (tidak memiliki , sebab tidak terdapat harga 2 2 akar bilangan negatif; perhatikan bilangan di bawah tanda akar!) =
Dari contoh di atas, terlihat bahwa ada tiga hal yang mungkin terjadi berkenaan dengan akar-akar persamaan kuadrat itu. Akar-akarnya itu bisa berlainan, sama atau bahkan tidak ada akar real yang memenuhi. Dan ternyata ketiga kemungkinan ini bisa diidentifikasi dengan melihat bilangan yang ada di bawah tanda akar pada rumus abc. Dari rumus abc sebuah persamaan kuadrat; − b ± b 2 − 4ac ; D = b 2 − 4ac disebut Diskriminan. 2a Berikut diidentifikasi beberapa kemungkinan nilai Diskriminan: jika D > 0 akan didapat 2 akar yang berlainan jika D = 0 akan didapat 2 akar sama atau kembar jika D < 0 akarnya khayal/imajiner (tidak didapat akar real) ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1, 2 =
Contoh: 1) Tentukan harga m agar persamaan kuadrat x 2 − 8 x + m + 6 = 0 mempunyai akar yang sama! Jawab: x 2 − 8x + m + 6 = 0 x 2 − 8 x + ( m + 6) = 0 .....................(*) persamaan (*) memiliki koefisien-koefisien a = 1, b = 8, dan c = m+6. Agar persamaan kuadrat mempunyai akar yang sama maka nilai D=0. D = 0 ⇒ b2-4ac =0 64 - 4(m+6) = 0 16 - (m+6) = 0 8
m = 10 Jadi, agar persamaan x 2 − 8 x + m + 6 = 0 memiliki dua akar kembar, maka nilai m=10. k 2) Tunjukkan bahwa persamaan x 2 + (1 + k ) x + = 0 mempunyai dua akar real untuk 2 semua harga k ∈ R ! Jawab: k k x 2 + (1 + k ) x + = 0 memiliki koefisien-koefisien a = 1, b = 5, dan c = . 2 2 k 2 D = b 2 − 4ac = (1 + k ) − 4(1) = 1 + 2k + k 2 − 2k 2 2 D = k +1 (k2 selalu berharga positif atau nol sehingga D = k 2 + 1 selalu positif) D>0 Oleh karena nilai diskriminan selalu positif, maka persamaan kuadrat selalu memiliki dua akar real untuk semua harga k ∈ R . 3) Tunjukkan batas nilai c agar persamaan x 2 + 5 x + −2c = 0 memiliki penyelesaian! Jawab: x 2 + 5 x + −2c = 0 memiliki koefisien-koefisien a = 1, b = 5, dan c = -2c. D = b 2 − 4ac = (5)2 – 4 (1) (-2c) = 25 + 8c Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki penyelesaian maka: D≥0 25 + 8c ≥ 0 − 25 8c ≥ −25 ⇔ c ≥ 8 Jadi, agar persamaan x 2 + 5 x + −2c = 0 memiliki penyelesaian maka haruslah − 25 dipenuhi c ≥ . 8
(
)
4. Sifat Akar dan Bentuk Simetris (a) Sifat Akar Dari PK ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac 2a
−b 1 + b 2 − 4ac ......................... (*) 2a 2a −b 1 x2 = − b 2 − 4ac ........................ (**) 2a 2a Dari (*) dan (**) diperoleh: − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac x1 + x2 = + 2a 2a x1 =
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac 2a − 2b b = =− 2a a b Jadi, x1 + x 2 = − a =
9
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac x1 ⋅ x 2 = × 2a 2a
)
(− b )2 − (
2
b 2 − 4ac = 4a 2 b 2 − b 2 − 4ac 4ac c = = 2 = a 4a 2 4a c Jadi, x1 × x2 = a
(
)
Contoh: Tanpa meneyelesaikan persamaan, hitunglah jumlah, dan hasil kali dari akar-akar persamaan kuadrat berikut! 1) 2 x 2 + 3 x + −4 = 0 x2 − 3 2) = 1, x ≠ 0 x Jawab: 1) Dari PK 2 x 2 + 3x − 4 = 0 diperoleh a = 2, b = 3, dan c = -4. maka: b 3 Jumlah akar-akar; x1 + x2 = − = − a 2 c −4 Hasil kali akar-akar; x1 × x2 = = = −2 a 2 x2 − 3 2) = 1, x ≠ 0 x Karena x ≠ 0 , kalikan kedua ruas dengan x sehingga diperoleh x2 − 3 = x x2 − x − 3 = 0 (bentuk baku persamaan kuadrat) a = 1, b = -1, dan c = -3 (koefisien-koefisien PK ) ( ) b − −1 =1 (sifat jumlah akar-akar) x1 + x2 = − = a 1 c −3 x1 × x 2 = = = −3 (sifat perkalian akar-akar) a 1 (b) Bentuk Simetris Untuk mengitung besar harga bentuk-bentuk simetris, semuanya dikembalikan ke bentuk sifat akar x1 + x2 dan x1 . x2. 2 2 2 x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) 1 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 3
3
3
Cobalah kalian turunkan kesamaan-kesamaan bentuk simetris di atas!
Contoh: Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 2 x 2 − x + 4 = 0 , tanpa menyelesaikan PK tersebut, tentukan nilai dari 10
1) 2 x1 + 2 x 2 1 1 2) + x1 x2 2
3) x1 + x2
4) x1 × x2 + x1 × x2 2
5)
2
(x1 − x2 )2
2
Jawab: Dari PK 2 x 2 − x + 4 = 0 , diperoleh a = 2, b = -1, dan c = 4. maka b − (− 1) 1 x1 + x2 = − = = a 2 2 c 4 x1 × x 2 = = = 2 a 2 1 1) 2 x1 + 2 x2 = 2(x1 + x2 ) = 2 = 1 2 1 x2 x1 x + x1 2 1 1 1 + = + = 2 = = 2) x1 x 2 x1 × x 2 x1 × x2 x1 × x 2 2 4 2
3 1 2 2 2 3) x1 + x 2 = (x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = − 2(2 ) = −3 4 2 1 2 2 4) x1 × x 2 + x1 × x 2 = x1 × x2 (x1 + x2 ) = 2 = 1 2 2 2 2 5) (x1 − x2 ) = x1 + x 2 − 2 x1 x 2 = (x1 + x 2 ) − 2 x1 x2 − 2 x1 x 2
(ingat x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 )
2
2
2
2
2
3 1 2 = (x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = − 4(2 ) = −7 4 2 kasus ini juga bisa diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat selisih akarakar 2 2 (x1 − x2 )2 = D2 = b − 24ac = (− 1) − 42(2)(4) = 1 − 32 = − 31 = −7 3 4 4 4 a a (2) Variasi Soal Bentuk Simetris (Pengayaan)
Contoh: Jika α dan β adalah akar-akar dari persamaan x 2 + 4 x + q − 4 = 0 dan α = 3β , tentukan nilai q! Jawab: Koefisien-koefisien PK x 2 + 4 x + q − 4 = 0 ; a = 1, b = 4, c = (q - 4). b a
α +β =− =
− (− 4 ) = 4 ⇔ α + β = 4 ..........(*) 1
Substitusi α = 3β ke persamaan (*), diperoleh
11
( rumus jumlah akar-akar)
3β + β = −4 ⇔ 4 β = −4 ⇔ β = −1
α ×β =
c a
3β × β =
( rumus hasil kali akar-akar) q−4 ⇔ 3β 2 = q − 4 1 3(-1)2 = q – 4 q=7
( substitusi β = −1 )
5. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dalam hal ini langsung dijelaskan melalui contoh.
Contoh: 1) Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya a. 2 dan 5 b. − 3 dan 3 Jawab: a. Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan 2 cara: Cara I PK itu: (x − x1 )(x − x2 ) = 0 (x − 2)(x − 5) = 0
x 2 − 7 x + 10 = 0 Cara II PK itu: x 2 − ( x1 + x 2 )x + x1 x 2 = 0
x 2 − (2 + 5)x + 2 ⋅ 5 = 0 ⇔ x 2 − 7 x + 10 = 0 Jadi, PK yang akar-akarnya 2 dan 5 adalah x 2 − 7 x + 10 = 0 b. Diselesaikan dengan Cara I, PK itu: (x − x1 )(x − x2 ) = 0
(x − (− 3 ))(x − 3 ) = 0 ⇔ (x + 3 )(x − 3 ) ⇔ x
2
−3= 0
Jadi, PK yang akar-akarnya − 3 dan 3 adalah x 2 − 3 = 0 2) Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan PK x 2 − 2 x − 4 = 0 , susunlah PK yang akar-akarnya (x1 + 2 ) dan ( x 2 + 2) ! Jawab: Dari PK x 2 − 2 x − 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = 2
x1 ⋅ x 2 = −4 Misal akar yang baru y1 dan y2, maka: y1 + y 2 = (x1 + 2 ) + ( x2 + 2) = ( x1 + x2 ) + 4 = 2 + 4 = 6
y1 ⋅ y 2 = ( x1 + 2)(x 2 + 2 ) = x1 ⋅ x 2 + 2 x1 +2 x 2 + 4
12
= x1 ⋅ x 2 + 2( x1 + x 2 ) + 4 = (− 4) + 2(2 ) + 4 = 4 Sehingga persamaannya adalah:
y 2 − ( y1 + y2 ) y + y1 ⋅ y2 = 0 ⇔ y 2 − 6 y + 4 = 0 Atau jika ditulis dalam variabel x, Persamaannya adalah x 2 − 6 x + 4 = 0
B. Pertidaksamaan Kuadrat Suatu pertidaksamaan kuadrat bisa diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai berikut: Cari akar – akar bentuk persamaan kuadratnya Gambar garis bilangan, lengkapi titik-titik pembuat nol kemudian periksa tandanya Tarik kesimpulan sesuai pertidaksamaan yang diminta.
Contoh: 1) Selesaikan x 2 > 7 x − 10 ! Jawab: x 2 > 7 x − 10 ⇔ x 2 − 7 x + 10 > 0 ⇔ (x − 2 )( x − 5) > Maka diperoleh x1 = 2; x 2 = 5 sebagai pembuat nol fungsi. Buat garis bilangan dengan titik nol dan tandanya.
Jadi, HP = {x x < 2 \ atau x > 5} 2) Selesaikan 3 x 2 − x − 14 < 0 ! Jawab: 3 x 2 − x − 14 < 0
7 6 ⇔ 3 x − x + < 0 3 3 7 x1 = ; x 2 = −2 3
HP = x − 2 < x <
7 3 13
3) Tentukan syarat p agar x 2 − ( p − 1)x + (2 p − 5) = 0 salah satu akarnya positif. Jawab: Syarat agar salah satu akarnya positif: D>0 x1 x2 < 0 D>0 ( p − 1)2 − 4(2 p − 5) > 0
(p
2
)
− 2 p + 1 − 8 p + 20 > 0
p 2 − 10 p + 21 > 0 ( p − 3)( p − 7 ) > 0 .................... (*) x1 x2 < 0 2p −5 < 0 5 p < ..................................... (**) 2 Dari (*) dan (**) cari daerah yang memenuhi keduanya melalui garis bilangan.
Berdasarkan gambar di atas dapat disimpulkan p < 2
1 2
Nah sekarang, coba dan latihlah pemahaman tentang semua materi yang telah kita pelajari di atas dengan soal-soal berikut ini. Selamat berlatih!
LATIHAN 1. Selesaikan persamaan berikut! a. 3 x − 10 = 5 x − 20 x +1 x + 4 d. = 1 1 2 3 b. x + 6 = x + 12 2 3 2x − 2 2x + 8 e. = 1 4 5 (6 x − 9) = 1 (24 + 4) c. 3 4 2. Carilah hara x dan y dari SPL berikut dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi atau kombinasi keduanya yang kamu anggap paling mudah! − 5 x + 2 y = −7 2 x + 5 y = −7 a. b. 3 y = 12 x − 3 y = 13
14
5 x − 3 y = −13 c. 2 x + 7 y = 3
2 1 3 5 x + 2 y = 10 e. 1 − 1 = 1 2 x 4 y 24
3x 2 y 8 5 + 3 = 15 d. x − y = 1 2 4 24 3. Suneo membeli selusin buku tulis. Dia membayarnya dengan uang ribuan sebanyak tiga lembar dan mendapat uang kembalian Rp. 600,00. berapakah harga sebuah buku tulis itu? 4. Enam kemeja dan empat T-Shirt harganya Rp. 186.000,00. dua kemeja dan dua TShirt harganya Rp. 68.000,00. berapa harga masing-masing? 5. Selesaikan PK berikut dengan cara memfaktorkan, melengkapkan bentuk kuadrat, atau dengan rumus yang menurut kamu paling mudah! d. x 2 − x − 1 = 0 a. x 2 − 3 x − 40 = 0 b. 5 x 2 + 2 x − 7 = 0 e. 4 x 2 + 10 x + 2 = 0 2 c. − 4 x − 3 x + 1 = 0 6. Dengan meninjau harga D tentukan banyaknya akar persamaan berikut! a. x 2 − x − 100 = 0 d. x 2 + 4 = 0 1 2 b. x − x +1 = 0 4 c. x 2 − 3 x + 3 = 0 7. Persamaan berikut mempunyai akar kembar, hitunglah m. b. mx 2 + m = x 2 + 2 x − 1 a. x 2 + mx + m = 0 8. Jika A dan B adalah akar-akar persamaan x 2 − 5 x + 10 = 0 , tentukan: 1 1 b. A3 + B 3 a. + A2 B 2 9. Susunlah PK dalam x yang akar-akarnya: a. -5 dan 8 c. 2 3 dan 2 3 1 1 b. dan 2 3 10. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x 2 − 5 x − 3 = 0 , susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: 1 1 a. x1 + 1 dan x 2 2 c. dan x1 x2 b. x1 − 2 dan x2 − 2 11. Tentukanlah HP dari pertidaksamaan berikut! a. x 2 − 3 x − 10 ≥ 0 b. 3 x 2 − 5 x − 2 < 0 c. − 2 x 2 + x + 15 ≤ 0 12. Sebuah pabrik menjual produknya x unit per minggu dengan harga p rupiah per unit, dengan p = 250 - x. Berapa unit harus dijual tiap minggu untuk memperoleh penerimaan paling sedikit Rp. 10.000,00 per minggu? 13. Sebuah barang dijual dengan harga p rupiah (dalam ribuan) terjual x kilogram, dengan x = -140 + 20p. Berapa harga yang harus dikenakan agar memperoleh penerimaan paling sedikit Rp. 15.000,00?
15
14. Diketahui rumus investasi adalah A = P(1 + r ) dengan A = Rp. 36.300.000,00. jika P = Rp. 30.000.000,00, tentukan suku bunga r? 15. selesaikan sistem persamaan-persamaan berikut ini! y = x2 y = x 2 − 6x + 5 a. c. y = 3 − 2x y − x +1 = 0 2 x − y = 9 b. y = 0 2
********************************************************************* Teka-Teki Matematika Bilbo seorang hobbit petualang memelihara janggut selama petualangannya bersama ketiga belas kurcaci dalam perburuan harta leluhur para kurcaci yang telah dicuri oleh Smaug, si naga jahat yang berprilaku buruk. Pada akhir perjalanannya, Bilbo menyadari bahwa tiga kali panjang janggutnya ditambah dengan kuadrat panjangnya ditambah 30 sama dengan lama petualangannya. Jika Bilbo mengukur panjang janggutnya dalam sentimeter dan ia bertualang selama 210 hari, berapakah panjang janggutnya pada akhir petualangannya? “Aku selalu berusia 45 tahun lebih tua dari ayahmu,” kata Nenek kepada Trickle muda. Trickle mengira Neneknya agak rendah kecerdasan otaknya.tetapi kini, dia berpikiran lain tentang Neneknya itu. “Tetapi kini akan kuberitahukan apa yang aneh mengenai umur kami sekarang” lanjutnya. “Dua digit dalam umurku merupakan kebalikan dari digit umur ayahmu.” Trickle tak dapat mempercayai telinganya. Ia kini sedang melakukan pengamatan matematik. Trickle merasa malu, karena seringkali membuat lelucon tentang otak neneknya di belakangnya. Mmm, mungkin di situlah ia telah menyembunyikan usianya selama ini. Berapakah usia Si Nenek?
Ayaso’04 *********************************************************************
16
