BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Sistem persamaan ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Dalam bidang ilmu ukur sistem persamaan diperlukan untuk mencari titik potong beberapa garis yang sebidang, di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya peubah dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi peubah (variabel). Dalam bab ini, akan dibahas sistem persamaan linear bukan hanya yang mampunyai penyelesaian tunggal tetapi juga yang mempunyai penyelesaian tak hingga banyaknya, serta yang tidak mempunyai penyelesaian. TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan sistem persamaan dan pertidaksamaan 1.1. Persamaan Jika ditinjau dari penampilan peubahnya, persamaan dapat dibedakan menjadi persamaan linear dan persamaan tidak linear. Jika ditinjau dari banyak peubahnya, persamaan linear terbagi atas persamaan dengan satu peubah, dua peubah, atau lebih dari dua peubah. Apabila ditinjau dari banyak persamaannya, dapat dibedakan atas persamaan linear biasa yang hanya terdiri atas satu persamaan, dan sistem persamaan linear yang terdiri atas lebih dari satu persamaan. Persamaan non linear terbagi atas persamaan polinomial dengan satu peubah, dua peubah, atau lebih dari dua peubah, dan persamaan pecah rasional yang pembilang dan penyebutnya berupa polinomial. Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : a1 x1 a 2 x2 a3 x3 ... a n xn b
dengan a1 , a 2 , a3 , ..., a n dan b adalah bilangan- bilangan real dan x1 , x2 , x3 , ..., xn adalah peubah. Secara khusus, persamaan linear dengan satu peubah mempunyai bentuk ax + b = 0, a 0 Jika semesta pembicaraannya adalah R (himpunan bilangan real), maka selesaian persamaan di atas dapat diperoleh dengan menambahkan lawan b, yaitu –b pada kedua ruasnya, kemudian kedua ruas pada hasilnya dikalikan dengan kebalikan a, yaitu
1 . a
Secara matematik proses penyelesaian tersebut dapat ditulis sebagai : 1
1 1 (ax + b – b) = (0 – b) a a 1 1 (ax) = ( – b), a a b a
x= . Contoh : 1. Carilah selesaian persamaan 2x + 8 = 10. Penyelesaian : 2x + 8 = 10 2x = 10 – 8 2x = 2 x = 1. 2. Tentukan banyaknya alkohol yang terdapat dalam 60 ml larutan alkohol berkadar 20%. Penyelesaian : Banyaknya alkohol yang terdapat dalam 60 ml larutan alkohol berkadar 20%
adalah
20 .60 ml 12 ml. 100
Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat adalah :
ax2 + bx + c = 0 , a 0
Bilangan real t disebut akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, jika memenuhi at2 + bt + c = 0. Untuk mendapatkan akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu: pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, dan rumus abc. Contoh : 1. Carilah akar dari persamaan kuadrat x2 + 4x – 5 = 0. Penyelesaian : Cara pemfaktoran : x2 – 4x – 5 = 0 (x+ 5)(x - 1) = 0 Diperoleh x1 = -5 atau x2 = 1. Cara melengkapkan kuadrat : x2 + 4x – 5 = 0 x2 + 4x + 2 2 – 22 – 5 = 0 (x +2)2 – 9 = 0 (x +2)2 = 9 x+2=3 x = -2 3 Diperoleh x1 = -2 + 3 = -1 atau x2 = -2 – 3 = -5 2
Dengan Rumus abc: x12
b b 2 4ac 2a
x2 + 4x – 5 = 0 a = 1, b = 4, dan c = -5 x12 =
4 4 2 4.1.( 5 ) 2.1
=
46 = -2 3 2
Diperoleh x1 = -2 + 3 = -1 atau x2 = -2 – 3 = -5. 2. Diketahui tetapan kesetimbangan untuk reaksi: PCl5(g) PCl3(g) + Cl2(g) adalah 0,08. Hitunglah jumlah mol PCl3 dan Cl2 yang terbentuk, jika ke dalam ruang yang volumenya 5,0 liter dimasukkan 0,5 mol PCl5. Penyelesaian : Misalkan jumlah PCl5 yang terurai membentuk PCl3 dan Cl2 adalah x mol, maka PCl3 yang terbentuk =
koefisien reaksi PCl 3 .mol PCl 5 yang terurai koefisien reaksi PCl 5
1 1
= .x mol = x mol Cl2 yang terbentuk =
koefisien reaksi Cl 2 .mol PCl 5 yang terurai koefisien reaksi PCl 5
1 1
= .x mol = x mol PCl5 yang tersisa
= PCl5 awal - PCl5 yang teruarai = (0,5 – x) mol
[PCl3]
=
mol PCl 3 volume ruang
[Cl2]
=
mol Cl 2 x = mol/liter 5 volume ruang
[PCl5]
=
mol PCl 5 volume ruang
K =
=
=
x mol/liter 5
0,5 x mol/liter 5
[PCl 3 ][Cl 2 ] [PCl 5 ]
x x . x2 0,80 = 5 5 = 0 ,5 x 5( 0 ,5 x ) 5
x2 = 4(0,5 – x) = 2 – 4x x2 + 4x – 2 = 0
3
x12
2 b b 2 4ac 4 4 4.1.( 2 ) 4 24 = = –2 2 2a 2.1
Jadi jumlah PCl3 dan Cl2 yang terbentuk adalah
2 6 5
6
mol.
Persamaan Derajat Tinggi Pembicaraan persamaan polinomial dengan derajat lebih dari dua, dibatasi hanya pada derajat tiga, dengan penekanan pada dua rumus: x3 – a 3 = (x – a)(x2 + ax + a 2) dan x3 + a3 = (x + a)(x2 - ax + a2) Untuk pemfaktoran persamaan derajat tinggi dapat digunakan metode Horner. Contoh : Carilah bentuk pemfaktoran dari x3 – 8 dan 8x3 – 27 Penyelesaian : x3 – 8 = x3 – (2)3 = (x – 2)(x2 + 2x +4) 8x3 – 27 = (2x)3 – (3)3 = (2x – 3)(4x2 + 6x +9) Soal Latihan 1. Tentukan volume dan kadar alkohol yang diperoleh dari penambahan 50 ml air kedalam 150 ml alkohol berkadar 30% 2. Seorang mahasiswa diminta untuk mencampurkan 75 ml air ke dalam 25 ml larutan alkohol berkadar 20%. Tentukan kadar alkohol yang dihasilkan oleh mahasiswa tersebut. 3. Tentukan banyaknya air yang harus ditambahkan pada 50 ml larutan alkohol berkadar 25%, agar menjadi larutan alkohol berkadar 15% dan tentukan pula volume larutan alkohol berkadar 15% yang dihasilkan. 4. Seorang mahasiswa diminta untuk membuat 100 ml larutan alkohol berkadar 15%. Jika larutan alkohol yang dimiliki adalah larutan alkohol berkadar 40%, maka tentukan banyaknya alkohol berkadar 40% yang harus digunakan, sehingga hanya diperoleh larutan alkohol yang dibutuhkan saja. 5. Carilah bentuk pemfaktoran dari polinomial di bawah ini ! a. x3 – 27 d. 27x3 – 1 b. x3 + 125
e. 27x3 +
c. 27x3 – 81
f.
1 8
1 3 1 x + 8 27
6. Tentukan nilai x yang memenuhi a. x3 + 4x2 + x – 6 = 0 b. -x3 + 13x – 12 = 0 c. x3 + 2x2 - 7x + 4 = 0 d. x3 - 3x2 - 2x + 2 = 0 e. x3 + 3x2 - 15x + 106 = 0 4
1.2. Sistem Persamaan Linear Bentuk umum sistem persamaan linear adalah : a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 a 21 x1 a 22 x2 a 23 x3 ... a 2n x n b2 a31 x1 a32 x 2 a33 x3 ... a3n xn b3 ........................................................... a m1 x1 a m 2 x2 a m3 x3 ... a mn x n bm
Sistem persamaan di atas terdiri dari m persamaan dan n peubah, dan dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks sebagai
a11 a 21 a 31 . . . a m1
Jika Amxn
a11 a 21 a 31 = . . . a m1
a12
a13
a 22 a 32
a23 a33
. .
. .
.
.
am2
a m3
a12 a 22
a13 a 23
a 32 .
a 33 .
. .
. .
a m2
a m3
. . . a1n x1 b1 . . . a 2 n x 2 b2 . . . a 3n x3 b3 . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . a mn x n bm
. . . a1n x1 b1 b . . . a2 n x 2 2 x3 b3 . . . a 3n . . . . , Xnx1 = . , dan Bmx1 = . , maka sistem . . . . . . . . . . . . b . . . amn xn m
persamaan linear di atas dapat dituliskan sebagai AX = B. Jika B merupakan matriks nol, maka sistem persamaan linearnya disebut sistem persamaan linear homogen. Sedangkan jika B bukan matriks nol, maka sistem persamaan linearnya disebut sistem persamaan linear non homogen. Matriks Y disebut penyelesaian dari sistem persamaan linear AX = B, jika AY = B bernilai benar. Contoh : a. Tentukan apakah x = 1, y = -1, dan z = 1 merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + 2y + 2z = 1, 2x – y + 3z = 6, 3x –2y + z = 6 1 b. Tentukan apakah Y = 1 merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear 1
5
3 2 2 3 1 3 X = 1 2 1
3 1 . 2
Penyelesaian : a. Jika x = 1, y = -1, dan z = 1 ke sistem persamaan linear, maka diperoleh x + 2y + 2z = 1 + 2(-1) + 2.1 = 1 2x – y + 3z = 2.1 – (-1) + 3.1 = 6 3x –2y + z = 3.1 – 2(-1) + 1 = 6 Jadi x = 1, y = -1, dan z = 1 merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + 2y + 2z = 1, 2x – y + 3z = 6, 3x –2y + z = 6. 1
2
b. Jika Y = 1 disubstitusikan ke sistem persamaan linear 3 1
1
3 1 2
2 3 X = 1
3 1 , 2
maka diperoleh 2 3 2 3 1 3 1 2 1
1 3 3 1 = 1 1 . 1 2 2
Dengan demikian Y bukan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 2 2 3 1 3 X = 1 2 1
3 1 2
Soal Latihan 1. Tentukan apakah nilai peubah/variabel yang diberikan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear (SPL) yang diberikan. a. b. c. d.
x = 1, y = -2, z = -1, SPL : x + 2y + 2z = 1, 2x – y + 3z = 6, dan 3x –2y + z = 6 x = 1, y = -1, z = -1, SPL : x + 2y + 2z = -3, x – y + 3z = -1, dan 3x –2y - z = 3 x = 2, y = -1, z = 2, SPL : x + y + 2z = 7, 3x – 2y - 3z = 2, dan x –2y + z = 6 SPL : x + y + z = 2, x +2y + 3z = -5, dan 2x + 3y + 4z = -3, i. x = -7, y = -5, z = 0 ii. x = -6, y = -5, z = -1 iii. x = -4, y = -9, z = 1
2. Tentukan apakah matriks di bawah ini merupakan penyelesaian dari SPL yang diberikan. 1 a. Y = 1 , SPL : 1
2 3 2 3 1 3 X = 1 2 1
7 5 0
6
2 b. Y = 1 , SPL : 3
2 3 2 3 1 1 X = 1 2 1
13 4 3
1 c. Y = 1 , SPL : 3
2 2 1 1 1 1 X = 1 2 1
3 4 4
2 2 1 d. SPL : 1 1 1 X = 3 2 1 4 i. Y = 7 1
3 4 1
7 ii. Y = 11 0
1 iii. Y = 3 2
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Di SMU telah diajarkan metode substitusi, eliminasi, metode invers matriks, dan metode Cramer untuk menyelesaian sistem persamaan linear, khususnya sistem persamaan linear dengan dua atau tiga persamaan dan dua atau tiga peubah. Dalam bagian ini diberikan metode lain, yaitu metode Gauss-Jordan. Pada metode Gauss-Jordan, alat bantu yang digunakan adalah matriks baris eselon tereduksi dan operasi baris elementer. Matriks Baris Eselon Tereduksi Matriks A (sebarang) disebut matriks baris eselon tereduksi, jika memenuhi : 1. Jika ada baris yang elemennya ada yang tidak nol, maka elemen pertama yang tak nol adalah 1 dan disebut utama 1 2. Utama 1 pada baris yang lebih bawah ada di sebelah kanan utama 1 baris sebelumnya 3. Elemen di atas dan di bawah utama 1 adalah nol 4. Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka baris tersebut berada pada baris paling bawah. Contoh : 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 merupakan matriks baris eselon tereduksi, sedangkan 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
dan
0 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
bukan matriks baris eselon tereduksi
(mengapa?).
7
Suatu matriks A dapat diubah ke bentuk matriks baris eselon tereduksi dengan menggunakan operasi baris elementer. Terdapat tiga jenis operasi baris elementer, yaitu : 1. menukarkan dua baris 2. mengalikan baris tertentu dengan konstanta tak nol 3. menambah satu baris dengan kelipatan baris yang lain Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan operasi baris elementer, maka B disebut ekivalen baris dengan A. Penyelesaian SPL dengan Metode Gauss-Jordan Jika SPL : AX = B akan diselesaikan dengan metode Gauss-Jordan, maka terlebih
dahulu dibuat matriks A B kemudian dengan serangkaian operasi baris elementer
elementer dibuat matriks yang ekivalen dengan matriks A B dengan matriks di sebelah kiri tanda partisi memuat matriks identitas dengan orde terbesar. Contoh Tentukan penyelesaian SPL di bawah ini : a. x + 2y – z = 2, 2x – 3y + z = -1, dan –x + 5y + z = 12 b. x + y – 3z = 1 dan x – y – 2z = -1. c. x – y = 4, x + y = 2, 2x – y = 7, dan 2x – 3y = 9 Penyelesaian : a. SPL : x + 2y – z = 2, 2x – 3y + z = -1, dan –x + 5y + z = 12 dapat dituliskan sebagai : AX = B, dengan 2 1 1 x A= 2 3 1 , X = y , dan B = 1 5 z 1 2 1 2 1 B = 2 3 1 1 1 5 1 12
A
2 - 1 . 12
b2 2 b1 1 b3 b1
2 1 2 1 2 1 2 b2 b3 0 7 3 5 0 0 3 9 0 7 0 7 0 14 0 14
b2 / 3b3 / 7 1 b2 / 3b3 / 7
2 1 2 1 2 0 5 b 2b 1 0 0 1 b b 0 1 0 2 1 3 0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 . 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3
Dari hasil operasi di atas diperoleh x = 1, y = 2 dan z = 3. b. SPL : x + y – 3z = 1 dan x – y – 2z = -1 dapat dituliskan sebagai AX = B, dengan 1 1 3 A= ,X= 1 1 2
A B = 11
x y , dan B = z
1 - 1 .
1 3 1 b2 b1 1 1 3 1 2b1 b2 2 0 5 0 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2
8
b1 / 2 b2 / 2
1 0 5 / 2 0 . 0 1 1 / 2 1
Dari hasil operasi di atas diperoleh : x–
5 5 z = 0 atau x = z dan y – ½ z = 1 atau y = ½ z + 1. 2 2
5 t, dan y = ½ t + 1. 2 SPL : x – y = 4, x + y = 2, 2x – y = 7, dan 2x – 3y = 9 dapat dituliskan sebagi AX=B, dengan
Oleh karena itu penyelesaian SPL di atas adalah z = t, x =
1 1 1 1 , X = A= 2 1 2 3
1 1 1 1 A B = 2 1 2 3
4 2 7 9
b2 b1 b3 2 b1 b4 2 b1
4 2 x . , dan B = y 7 9
1 1 4 b1 b3 1 0 2 2 bb24 2b3b3 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0
3 1 b2 b3 0 0 b2 b3 0 0 1 1 0 0 0
0
3 1 1 . 0 0 0 0
Dari hasil operasi di atas diperoleh x = 3 dan y = -1. 1.3. Persamaan Eksponensial dan Logaritma Bentuk umum persamaan eksponensial adalah: ax = b dengan a > 0 dan a 1, sedangkan bentuk umum persamaan logaritma adalah: a
log x = b, dengan a> 0 dan a 1 dan x > 0.
e
Jika a = e, maka log x ditulis sebagai ln x, sedangkan jika a = 10, maka alog x ditulis sebagai log x. Sifat-sifat persamaan eksponensial dan logaritma adalah sebagai berikut: Persamaan eksponensial: 1. ax ay = ax + y 2.
ax a
y
= ax – y
3. (ax)y = axy 4. 5.
ax
a x b b y
x
ax a y
x
Persamaan logaritma: 1. alog xy = alog x + alog y 2.
an
log x m
m a log x n
x y
3. a log a log x a log y 4. alog x xlog y = alog y b
5. a log x
b
log x log a
9
Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: 1. 2 x+2 = 8 2. 2log x = 8 Penyelesaian: 1. Karena 2x+2 = 8 = 23, maka x + 2 = 3, sehingga x = 1 2. Karena 2log x = 8 = 2log 28, maka x = 28 = 256. Soal Latihan Dengan menggunakan metode Gauss-Jordan, tentukan penyelesaian dari SPL di bawah ini. 1. 2x – y + 3z = 13, x + y + 2z = 5, dan 3x + 5y + 2z = -1 2. x – 2y + z = 7, 2x + 2y + 3z = 11, dan 4x - 2y + 9z = 37 3. 2p + q + r + s = 1, 3p - 2q + r - s = 3, p + 2q + 3r - 2s = -6, dan p + 3q + 2r + 2s = -2 4. p + q + r + s = 3, p - 2q + 3r + 5s = 14, 2p + 3q + 3r - s = 4, dan 3p - 2q + 6r - 5s = 12 5. x + 2y + z = 6, dan -2x + y - 3z = -2 6. p + q + r - s = 1, 2p - q + 2r + s = 2, dan 3p + q + 2r + 4s = 3 7. 2x – 3y + z = 12, 4x + 2y + 3z = 21, 3x – 2y + z = 13, dan x - y + 2z = 12 8. p + q + r + s = 5, p - q - r + s = 5, p - q + r - s = 3, p + q - r - s = -5, dan p - q - r - s = -1 9. Seorang mahasiswa mempunyai 100 ml larutan alkohol berkadar 60% dan 200 ml alkohol berkadar 20%. Dari kedua larutan alkohol tersebut ditambahkan larutan alkohol berapa liter dan berkadar berapa agar memperoleh 400 ml alkohol berkadar 30%, 20%, dan 10%. 10. Seorang mahasiswa mempunyai 80 ml larutan alkohol berkadar 40% dan 60 ml alkohol berkadar 20%. Tentukan komposisi campuran kedua larutan alkohol tersebut agar diperoleh 100 ml alkohol berkadar 25%. 11. Diketahui sebuah perusahan memproduksi tiga jenis obat, misalkan obat I, II, dan III. Untuk memproduksi obat-obat tersebut digunakan bahan baku A, B, dan C. Untuk memproduksi obat I dibutuhkan 3 unit bahan baku A, 2 unit bahan baku B, dan 1 unit bahan baku C. Untuk memproduksi obat II dibutuhkan 5 unit bahan baku A, 1 unit bahan baku B, dan 3 unit bahan baku C. Untuk memproduksi obat III dibutuhkan 2 unit bahan baku A, 3 unit bahan baku B, dan 5 unit bahan baku C. Jika suatu hari perusahaan tersebut menghabiskan bahan baku A, B, dan C berturut-turut adalah 16000 unit, 8500 unit, dan 14500 unit, maka buatlah sistem persamaan linear yang berhubungan dengan permasalahan di atas dan carilah banyaknya obat yang dapat diproduksi pada hari tersebut. 12. Untuk menghindari resiko tabungan, Andi mendepositokan uangnya sejumlah Rp35.000.000,- sebagian di bank A, sebagian di bank B, dan sebagian di bank C, dengan bunga bank A, B, dan C berturut-turut sebesar 16%, 17% dan 18% per tahun. 10
Diketahui bahwa Andi setiap tahunnya menerima bunga deposito dari ketiga bank di atas sebesar Rp5.960.000,-dan dua kali besar tabungan Andi di bank C, Rp4.000.000,lebih banyak dibandingkan dengan jumlah tabungan Andi di bank A dan B. Carilah besar tabungan Ali pada masing-masing bank. 13. Perusahaan Bintang Merah barang A dan B menggunakan 3 jenis faktor produksi, yaitu bahan baku, modal, dan tenaga kerja. Untuk setiap unit barang A digunakan 200 unit bahan baku dan 500 unit modal, sedangkan untuk setiap unit barang B digunakan 100 unit bahan baku dan 300 unit modal. Faktor tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi barang A dan B berturut-turut adalah 400 unit dan 300 unit. Jika biaya produksi untuk setiap unit barang A dan B berturut-turut adalah Rp19.000,- dan Rp12.000,-, maka tentukan harga yang mungkin untuk masing-masing faktor produksi. 14. Seorang ahli diet menyiapkan bahan yang terdiri atas 3 jenis makanan A, B, dan C. Setiap ons makanan jenis A mengandung 2 unit protein, 3 unit lemak, dan 4 unit karbohidrat. Setiap ons makanan jenis B mengandung 3 unit protein, 2 unit lemak, dan 1 unit karbohidrat. Setiap ons makanan jenis C mengandung 3 unit protein, 3 unit lemak, dan 2 unit karbohidrat. Tentukan berapa ons setiap jenis makanan yang harus digunakan, jika makanan yang akan dibuat harus mengandung 25 unit protein, 24 unit lemak, dan 21 unit karbohidrat. 15. Sebuah perusahaaan memproduksi dua jenis belerang, yaitu yang berkualitas rendah dan yang berkualitas tinggi. Setiap ton belerang kualitas rendah diproses selama 5 menit di tempat pencampuran dan 5 menit di tempat penyaringan, sedangkan setiap ton belerang kualitas tinggi diproses selama 4 menit di tempat pencampuran dan 2 menit di tempat penyaringan. Jika dalam satu periode produksi tempat pencampuran hanya dapat digunakan selama 3 jam dan tempat penyaringan hanya dapat digunakan selama dua jam, maka tentukan banyaknya masing-masing belerang yang dapat diproduksi dalam satu periode. 16. Sebuah pabrik membuat tiga jenis produk kimia, yaitu jenis A, B, dan C. Setiap produk dihasilkan melalui pemrosesan dua mesin, yaitu mesin X dan Y. Setiap ton produk A diproses dalam mesin X selama 2 jam dan 2 jam dalam mesin Y. Setiap ton produk B diproses dalam mesin X selama 3 jam dan 2 jam dalam mesin Y. Setiap ton produk C diproses dalam mesin X selama 4 jam dan 3 jam dalam mesin Y. Jika mesin X dan Y setiap minggunya masing-masing dapat digunakan selama 80 jam dan 60 jam, maka tentukan banyaknya masing-masing jenis produk kimia yang dapat dibuat. 17. Tentukan nilai x yang memenuhi : a. 2 x 6
1 2 2 x 5
b. 6x = 2(72x+1) c. log (x2 – 4x + 7) = 1 d. 8x = 2(82x+1) 11
e. e3x = 2 f. ex – 4e-x = 3 g. 2log(x+3) = 5 1.4. Pertidaksamaan Pada dasarnya untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan dilakukan dengan langkahlangkah berikut: a. ubahlah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan b. cari selesaian persamaan pada langkah a c. cari tanda dari nilai-nilainya d. tentukan himpunan penyelesaian berdasarkan langkah c. Untuk pertidaksamaan eksponensial dan pertidaksamaan logaritma ada beberapa hal yang harus diperhatikan, yaitu : 1. Untuk a > 1 berlaku: jika alog x < alog y, maka x < y jika a x < a y, maka x < y 2. Untuk 0 < a < 1 berlaku: jika alog x < alog y, maka x > y jika a x < ay, maka x > y Contoh: Carilah selesaian pertidaksamaan: 1. x2 – 3x – 4 0 2. 2 x > 8 3. (½)x > 4 4. ½log(2x2) > –1 Penyelesaian: 1. x2 – 3x – 4 0 x2 – 3x – 4 = 0 (x + 1)(x – 4) = 0 x = –1 atau x = 4 +++++++++ --------–1
++++++++++ 4
Selesaiannya adalah –1 x 4 2. Karena 2x > 8 = 23 dan a = 2 > 1, maka x > 3 Jadi selesaiannya adalah x > 3 3. Karena (½)x > 4 = (½)-2 dan a = ½ < 1, maka x < -2 12
Jadi selesaiannya adalah x < -2 4.
½
log (2x2) > –1.
Syarat : 2x2 > 0, sehingga x 0. Karena ½log (2x2) > –1 = ½log (½)-1 dan a = ½ < 1, maka 2x2 < (½)-1 = 2 atau x2 – 1 < 0 atau –1<x<1. Karena x 0, maka selesaiannya adalah –1 < x < 0 atau 0 < x < 1.
Soal Latihan Tentukan nilai x yang memenuhi : 1
1. 2 x 6
9.
2 2 x 5
x 3 27 0 x2 9
2. 6 x > 2(7 2x+1)
10. ( 1 2 log x ) log x 1
3. ( ½)x 2(½)2x+1
11. 4 x 3 4 8 x 5
4.
½
log (x2 – 4x + 7) 1
5. 35 x 1 27 x 3 6. 9 3 x 2 7.
x
1 2 x 5
81
log( 3x 1 ) 2
8. 5 x 1 51 x 11
12. 5 x 1 51 x 11 13. 2 5 x 2 x 1 0 1 4
14. ( ) x 1 3 2 3 x _ 1 15.
x 1 x 2 2 x 1 1 x
16. 1000 x
2
3 x 4
10 x
2
2 x 3
13
