PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Makalah ini Disusun guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian Matematika SMP 1 Dosen Pengampu :Palupi Sri Wijayanti, M. Pd
Disusun Oleh: Deviana Nian Kumandari (14144100079)/3A3 Evaderika Ayu Atikasari (14144100085) /3A3 Evi Nur Ngaeni (14144100086) /3A3 Siti Khotimah (14144100087) /3A3
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2015
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL A. Pernyataan Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah). Contoh 1: 1.
Jakarta adalah ibu kota Indonesia.
2.
Gunung Merapi terletak di Jawa Tengah.
3.
8 > –5.
Ketiga kalimat di atas merupakan kalimat yang bernilai benar, karena setiap orang mengakui kebenaran kalimat tersebut. Contoh 2: 1.
Tugu Monas terletak di Jogjakarta.
2.
2 + 5 < –2
3.
Matahari terbenam di arah timur.
Ketiga kalimat tersebut merupakan kalimat yang bernilai salah, karena setiap orang tidak sependapat dengan kalimat tersebut. B. Kalimat Terbuka, Variabel, dan Konstanta a.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya.
b.
Variable (peubah) adalah lambang (symbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan
c.
Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu
Contoh 1: x + 5 = 12 Belum dapat mengatakan kalimat itu benar atau salah, sebab nilai (x) belum diketahui. Bila lambang (x) diganti dengan lambang bilangan cacah, barulah itu dapat dikatakan kalimat itu benar atau salah. Jika (x) diganti dengan “3” , kalimat itu bernilai salah ; tetapi bila (x) diganti dengan 7 , kalimat itu bernilai benar. Lambang (x) dapat pula diganti menggunaan hurufhuruf kecil dalam abjad lainnya, yaitu ; a, b,c,… x,y,z dari bentuk diatas x+5 +12
(kalimat terbuka) 1
3+ 5 = 12
(kalimat Salah )
7+5 = 12
(kalimat benar)
Huruf x pada x + 5 = 12 disebut variable (peubah), sedangkan 5 dan 12 disebut konstanta Contoh 2 : Kalimat Terbuka
Peubah
Konstanta
x + 13 + 17
x
13 dan 17
7 – y = 12
y
7 dan 12
4z – 1 = 11
z
-1 dan 11
Catatan : Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya. C. Persamaan Linier Satu Variabel Persamaan Linier Satu Variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan tanda sama dengan (“=”) dan hanya mempunyai satu variable berpangkat 1 . bentuk umum persamaan linier satu variable adalah ax + b = 0 Contoh : 1.
x+3–7
2.
3a + 4 = 19
Pada contoh diatas x, a adalah variable (peubah) yang dapat diganti dengan sembarang bilangan yang memenuhi . Kesamaan yaitu kalimat yang sudah dinyatakan benar atau salah dengan menggunakan tanda sama dengan (=). Tidak semua kalimat terbuka memiliki hubungan sama dengan merupakan persamaan. Untuk itu perhatiakan contoh berikut : 1. x+2 = 15 2. x+2 = x+2 Dari contoh nomor 1, x+2 = 15 merupakan suatu persamaan .
2
x+2 = 15 akan bernilai benar hanya jika x diganti dengan nilai 13 dan akan bernilai salah jika x bernilai bukan 13. Sedangkan contoh nomor 2, x+2 = x+2 merupakan kesamaan. Jika x diganti dengan bilangan sembarang berapapun akan selalu diperoleh kalimat benar. Persamaan-Persamaan yang Ekuivalen Perhatikan uraian berikut. a.
x–3=5 Jika x diganti bilangan 8 maka 8 – 3 = 5 (benar). Jadi, penyelesaian persamaan x – 3 = 5 adalah x = 8
b.
2x – 6 = 10 ... (kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2) Jika x diganti bilangan 8 maka 2(8) – 6 = 10 ⟺16 – 6 = 10 (benar). Jadi, penyelesaian persamaan 2x – 6 = 10 adalah x = 8.
c.
x + 4 = 12 ... (kedua ruas pada persamaan a ditambah 7) Jika x diganti bilangan 8 maka 8 + 4 = 12 (benar). Jadi, penyelesaian persamaan x + 4 = 12 adalah x = 8.
Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa ketiga persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan-persamaan di atas disebut persamaan yang ekuivalen. Suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan “⟺”. Dengan demikian bentuk x – 3 = 5; 2x – 6 = 10; dan x + 4 =12 dapat dituliskan sebagai x – 3 = 5 ⟺ 2x – 6 = 10 ⟺ x + 4 =12. Jadi, dapat dikatakan sebagai berikut. Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “⟺”. Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) Himpuana
Penyelesaian
(HP)
adalah
himpunan
dari
penyelesaian-
penyelesaian suatu persamaan .
3
Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu persamaan linier satu variable , yaitu : a. Subtitusi ; b. Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen, dengan cara :
Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama
Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.
Menyelesaikan Persamaan Linear 1 Variabel dengan Cara Substitusi Cara substitusi artinya menyelesaikan persamaan dengan cara mengganti variabel dengan biangan-bilangan yang telah ditentukan sehingga persamaan tersebut menjadi benar. Contoh: 1.
Selesaikan persamaan 3x – 1 = 14; Jika x merupakan anggota himpunan P = ( 3,4,5,6) ! Jawab : 3x-1+14 x Є P = (3,4,5,6) 3x-1= 14; jika x = 3 = maka 3(3) – 1 = 8 (salah) 3x-1= 14; jika x = 4 = maka 3(4) – 1 = 11 (salah) 3x-1= 14; jika x = 5 = maka 3(5) – 1 = 14 (benar) 3x-1= 14; jika x = 6 = maka 3(6) – 1 = 17 (salah) Jadi , penyelesaian dari 3x-1+14 adalah 5
Menyelesaikan persamaan linear 1 variabel dengan cara menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama (Ekivalen) Contoh: 1.
Selesaikan persamaan 3x-1=14; jika x Merupakan anggota himpunan P = ( 3,4,5,6) Persamaan (a) 3x-1=14 (i)
Operasi Hitung
Hasil
Kedua ruas ditambah 1
3x-1+1 = 14 + 1
4
3x = 15 (b)
3x = 15
Kedua ruas dikalikan 1/3
(ii)
3x = 15 x = 5 (iii)
(c)
x=5
Dari table diatas, bila x = 5, disubtituskan pada (a),(b) dan (c) maka persamaan tersebut menjadi suatu kesamaan . (a)
3x-1=14
3 (5) – 1 = 14 14 = 14
(b) 3x =15
(ekuivalen)
15 = 15 (ekuivalen)
(c) x = 5
5=5
(ekuivalen)
Berarti 3x – 1 = 14 dan 3x = 15 merupakan persamaan yang ekuivalen . Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk Pecahan Dalam menentukan penyelesaian persamaan linear satu variabel bentuk pecahan, caranya hampir sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian selesaikan persamaan linear satu variabel. Contoh: Tentukan penyelesain dari persamaan
3x
2
6
Jawab: 3x
2
6
⟺ 5
3x
⟺ 2 3x
2
2
4
30
⟺6
4
4
⟺6
34
⟺
6 ( kedua ruas dikalikan 5)
30
⟺6
⟺6 6
5
34
30
6
4
(kedua ruas ditambah 4)
(kedua ruas di bagi 6)
5
5
⟺
5
Jadi penyelesaiannya adalah ⟺
5
Grafik Penyelesaian Persamaan dengan Satu variabel Penyelesaian dari suatu persamaan dapat ditunjukan pada garis bilangan yang disebut grafik penyelesaian. Pada garis bilangan grafik penyelesaian dari suatu persamaan dinyatakan dengan noktah(titik tebal). Contoh: Buatlah grafik penyelesaian dari 2x – 1 = 7 dengan x variabel pada bilangan cacah. Jawab: 2
1
7, x adalah biangan cacah.
⟺2
7
⟺2
8
1
⟺ ⟺
4
Penyelesaiannya adalah
4
Grafik penyelesaian dari persamaan diatas adalah:
D. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel Pengertian Ketidaksamaan Dari kalimat 8 = 5 + 3 , maka diperoleh hubungan: 8 lebih dari 5 ditulis 8 > 5 8 lebih dari 3 ditulis 8 > 3 5 kurang dari 8 ditulis 5 < 8 3 kurang dari 8 ditulis 3 < 8
6
Kalimat-kalimat ini 8 > 5, 8 > 3, 5 < 8, 3 < 8 disebut ketidakasamaan. Jika a tidak sama dengan b maka dapat ditulis dengan notasi a ≠ b. Untuk sembarang bilangan a dan b selalu berlaku salah satu hubungan berikut ini : a < b (dibaca a kurang dari b)a = b (dibaca a sama dengan b) a > b (dibaca a lebih dari b) Selain tanda-tanda ketidaksamaan di atas terdapat tanda ketidaksamaan lainnya yaitu :
dibaca “kurang dari atau sama dengan “ atau “tidak lebih dari” dan
dibaca “lebih dari atau sama dengan” atau “tidak kurang dari”
Pengertian Pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambing <, >, ≥, dan ≤ . Contohnya bentuk pertidaksamaan : y + 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4 Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah suatu kalimat terbuka yang hanya memuat satu variable dengan derajad satu, yang dihubungkan oleh lambang <, >, ≥, dan ≤. Variabelnya hanya satu yaitu y dan berderajad satu. Pertidaksamaan yang demikian disebut pertidaksamaan linier dengan satu variable (peubah). Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu variable Sifat- sifat pertidaksamaan adalah : 1.
Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula
2.
Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif , maka akan
diperoleh
pertidaksamaan
baru
yang
ekuivalen
dengan
pertidaksamaan semula 3.
Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif , maka akan
diperoleh
pertidaksamaan
baru
yang
ekuivalen
dengan
pertidaksamaan semula bila arah dari tanda ketidaksamaan dibalik
7
4.
Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya adalah mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya hilang .
Contoh: 1. Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,… ,15} Jawab : 3x – 7 > 2x + 2; x є {1, 2, 3, 4… 15} ↔ 3x –2x – 7 > 2x - 2x + 2
( kedua ruas dikurangi 2x)
↔ x – 7 > 2 ↔ x – 7 + 7 > 2 + 7
( kedua ruas dikurangi7
) ↔ x > 9 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 9 ; x bilangan asli ≤ 15} HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15} 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3 dengan x variable pada himpunan bilangan cacah. Jawab : 3x – 1 < x + 3 ↔ 3x – 1+ 1 < x + 3 + 1
(kedua ruas ditambah 1 )
↔ 3x < x + 4 ↔ 3x + (-x) < x + (-x) +4
(kedua ruas ditambah – x)
↔ 2x < 4 ↔ x < 2 Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi x < 2 adalah x = 0 atau x = 1 Jadi himpunan pnyelesaiannya adalah { 0,1 } . Menyelesaikan pertidaksamaan bentuk pecahan Untuk menyelesaikan pertidaksamaan dalam bentuk pecahan terlebih dahulu ubahlah bentuknya sehingga tidak lagi memuat bentuk pecahan. Hal ini dapat
8
dilakukan dengan mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan KPK dari penyebut-penyebutnya. Selain itu penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat juga ditentukan dengan tidak mengubah bentuk pertidaksamaan semula. Contoh : Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan
2
2
Jawab : 2
2
⟺6
( kedua ruas dikalikan 6 yaitu KPK dari 2 dan 3) 2
⟺2
6
2
12
⟺2
4
12
⟺2
4
4
⟺2
8
9
⟺2
9
⟺
7
9 9
12 8
2
9
4
9 9
8
⟺
7
8 (kedua ruas dikalikan
, maka tanda
ketidaksamaan diubah yaitu > menjadi <) ⟺ ⟺
1
Grafik Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu variabel Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat ditunjukkan pada garis bilangan yang disebut grafik penyelesaian. Pada garis bilangan, grafik penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dinyataan dengan noktah. Perhatikan contoh-contoh penyelesaian persamaan beserta grafiknya berikut ini : 1.
Tentukan grafik penyelesaian dari 3x – 2 < x + 8, untuk x variabel pada bilangan bulat positif! Jawab :
9
3x – 2 < x + 8 ⇔ 3x – 2 + 2 < x + 8 + 2 ⇔ 3x < x + 10 ⇔ 3x – x < x – x + 10 ⇔ 2x < 10 ⇔ ⇔x<5 Pengganti dari x yang benar adalah 1, 2, 3, dan 4. Grafik penyelesaiannya adalah :
Contoh Soal Persamaan: 1.
Tentukan selesaian dari persamaan: 1/4(n + 8) – 2 = 1/2(n – 6). Penyelesaian:
Dengan menguji persamaan asli dengan x = 12, kita mendapatkan 3 = 3
10
2.
Sebuah toko kelontong menjual dua jenis beras sebanyak 50 kg. Harga 1 kg beras jenis I adalah Rp 6.000,00 dan jenis II adalah Rp 6.200,00/kg. Jika harga beras seluruhnya Rp 306.000,00 maka tentukan jumlah beras jenis I dan beras jenis II yang dijual. Penyelesaian: Kita misalkan jumlah beras jenis I = x dan jumlah beras jenis I = y, maka: x + y = 50 6000x + 6200y = 306000 Selanjutnya,
selesaikan
dengan
menggunakan
salah
satu
metode
penyelesaian, misalnya dengan metode cepat, maka: => y = (1 . 306000 – 50 . 6000)/(1 . 6200 – 1 . 6000) => y = (306000 – 300000)/(6200 – 6000) => y = 6000/200 => y = 30 Substitusi nilai y = 30 ke persamaan x + y = 50, maka: => x + y = 50 => x + 30 = 50 => x = 50 – 30 => x = 20 Dengan demikian, jumlah beras jenis I dan beras jenis II yang dijual adalah 20 kg dan 30 kg 3.
Sebuah perahu angkut dapat menampung dengan berat tidak lebih dari 1,5 ton. jika sebuah kotak beratnya 15 kg, maka berapa paling banyak kotak yang dapat diangkut oleh perahu ? Jawab : Kalimat matematika : 15 kg x ≤ 1,5 ton Penyelesaian : 15 kg x ≤ 1 .500 kg x ≤ 1 .500 kg/15 x ≤ 100 jadi perahu paling banyak mengangkut 100 kotak
11
