BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Standar kompetensi: 2. Memecahkan masalah yang pertidaksamaan kuadrat

berkaitan

dengan

fungsi,

persamaan

dan

Kompetensi Dasar: 2.1 Memahami konsep fungsi 2.2 Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat 2.3 Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat 2.4 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat 2.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat

2.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya 3.1 Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar 3.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel 3.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.

Jembatan: Verrazano-Narrowsbridge Sumber: http://selebsexy.com/10-jembatan-tertinggi-di-dunia/ Bentuk parabola merupakan salah satu bentuk kurva yang sering Anda jumpai dalam kehidupan. Salah satunya tampak pada tali menggantung menghubungkan tiang jembatan pada gambar di atas. Kurva parabola dapat diwakili oleh suatu fungsi yang disebut fungsi kuadrat. Pada bab ini Anda akan mempelajari pengertian fungsi dan cara menggambar grafiknya, termasuk grafik fungsi kuadrat.

Amarhadi

A. Fungsi Kuadrat 1. Relasi dan Fungsi

B

C

p

1

a

q

2

b

2

r

3

c

3

A f

s

4 (i)

D

f

1

d (ii)

Fungsi merupakan relasi khusus. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi jika setiap unsur (anggota) himpunan A dipasangkan tepat satu dengan unsur himpunan B gambar (i). Sedangkan gambar (ii) yang menunjukan relasi dari C ke D bukan fungsi karena ada anggota himpunan A (yaitu b) tidak memiliki pasangan dengan satu unsur himpunan B. Jika fungsi itu diberi nama f maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan lambang: f: A  B dibaca f memetakan A ke B atau B adalah peta dari A. Peta dari x sering ditulis f(x) dan bentuk f(x) disebut rumus untuk f. Contoh: 1) f : x  x – 5, rumusnya ditulis f(x) = x - 5 2) f : x  x2 – 2x + 3, rumusnya ditulis f(x) = x2 – 2x + 3 2. Domain, Kodomain dan Range Misalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota A ke B (f : A  B) maka:  Himpunan A disebut domain  Hinpunan B disebut kodomain  Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunan A atau semua anggota yang merupakan peta dari himpunan A disebut range Sebagai contoh, perhatikan gambar (i) a. Domainnya ditulis Df = {p, q, r, s} b. Kodomainnya ditulis Kf = {1, 2, 3, 4} c. Rangenya ditulis Rf = {1, 2, 3}

Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 2

Amarhadi

Contoh 1: Diketahui fungsi f : x  2x + 1 dengan daerah asal {x|1 ≤ x ≤ 3, x  R} a. Carilah nilai fungsi f untuk x = 1, x = 2 dan x = 3 b. Gambarlah grafik f pada bidang cartesius c. Tentukan wilayah hasilnya (range). Penyelesaian f : x  2x + 1, rumusnya f(x) = 2x + 1 a.

Nilai fungsi f(x) = 2x + 1 Untuk Untuk Untuk

x=1 x=2 x=3

f(1) = 2(1) + 1 = 3 f(2) = 2(2) + 1 = 5 f(3) = 2(3) + 1 = 7

b. Grafik f(x) = 2x + 1

Y y = f(x) = 2x + 1 7 6 5 4 3 2 1 O c.

1

2 3 domain

X

Berdasrkan gambar di atas, jelas bahwa daerah hasil/wilayah hasil adalah {y|3 ≤ y ≤ 7, y  R}


Page | 3

Amarhadi

Uji Kompetensi 1 Kerjakan soal-soal berikut! 1. Dari relasi-relasi pada gambar berikut ini manakah yang merupakan fungsi

2. Daerah asal fungsi f : x  x – 3 adalah Df = {x|0 ≤ x ≤ 4, x  R} a. Tentukan nilai fungsi f untuk x = 0, x = 1, x = 2, x = 3 dan x = 4 b. Gambarlah grafik fungsi pada bidang cartesius c. Tentukan wilayah hasil fungsi f (Rf) 3. Diketahui fungsi f : x  (ax + b) dengan a, b  B. Jika f(1) = 1 dan f(2) = -1 a. Carilah nilai a dan b b. Hitunglah nilai f(-2), f(-1), f(0), f(3) dan f(4) c. Gambarlah grafik tersebut pada bidang cartesius. 4. Diketahui fungsi f : x  2x + 1 dengan daerah asal Df = {-2, -1, 0, 1, 2}. Tentukan wilayah hasilnya. 3. Beberapa Macam Fungsi Khusus Fungsi yang termasuk fungsi khusus antara lain: fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat dan fungsi modulus. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 4

Amarhadi

1) Fungsi konstan Suatu fungsi y = f(x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dala daerah asalnya. Artinya untuk semua nilai x dalam Df hanya berpasagan dengan sebuah nilai dalam Rf atau dengan kata lain fungsi f memasangkan setiap bilangan real k. Fungsi konstan ditulis sebagai: f : x  k, dengan rumus f(x) = k, dengan k konstanta dan x  R. Contoh 2: Y 3 2

f(x) = 2

1 O

X 1

2

3

1 2 3

f(x) = 3

2) Fungsi Identitas Fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua nilai dalam daerah asalnya. Artinya untuk sebuah nilai x dalam Df berpasangan dengan nilai x itu sendiri dalam Rf. Fungsi identitas ditulis sebagai: I : x  x atau I(x) = x, dengan I menyatakan identitas grafiknya


Page | 5

Amarhadi

3) Fungsi Modulus (Fungsi Nilai Mutlak) Fungsi y = f(x) dengan f(x) = |x| untuk semua nilai x dalam daerah asalnya atau fungsi yang memasangkan bilangan eal dengan nilai mutlaknya. Bentuk |x| dibaca nilai mutlak x didefinisikan: Untuk x  R, maka nilai mutlak x dientukan oleh aturan

 x, jika x  0 | x |  x, jika x  0 Oleh karena nilai mutlak suatu bilangan real x tidak pernah negatif, maka grafik y = f(x) = |x| tidak pernah berada di bawah sumbu x. Contoh 3: f : x  |x| atau f(x) = |x|

4) Fungsi Linear Fungsi y = f)x) dengan f(x) = ax + b, a, b  R dan a ≠ 0 untuk semua x dala daera asalnya Fungsi linear dikenal dengan fungsi polinom (suku banyak) berderajat satu dengan variabel x. Contoh 4: f : x  x + 2 atau f(x) = x + 2


Page | 6

Amarhadi

5) Fungsi Kuadrat Fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax2 + bx + c. a, b dan c  R dan a ≠ 0 untuk semua nilai x dalam daerah aalnya. Fungsi kuadrat dikenal dengan fungsi polinom berderajat dua dengan variabel x. Grafik fungsi kuadrat berbenytuk parabola dan pada kesempatan ini grafik fungsi kuadrat kita akan bahas lebih lanjut. 4. Sifat-sifat Fungsi Telah dikenal beberapa fungsi khusus, fungsi tersebut mempunyai sifatsifat khas sebagi berikut: 1) Fungsi Into Fungsi f : A  B dikatakan fungsi Into jika ada b  B yang bukan peta dari a  A. 1. Range: Rf  B 2. Ada b  B bukan peta dari a  A yaitu b2

Contoh 5: Misalkan A himpunan bilangan bulat dan B himpunan bilanga cacah. f suatu fungsi dri A ke B yang disajikan denga rumus f : x  x2. Apakah f suatu ungsi into? Penyelesaian A = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...} B = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

A

B 0

3

1

2

2

1

3

0

4 5

1

Dari diagram di samping ternyata ada anggota B yang tidak mempunyai prapeta dari anggota A, sehingga f : x  x2 adalah fungsi into.

2 3

9 10


Page | 7

Amarhadi

2) Fungsi Onto/Pada/Surjektif Fungsi f : A  B dikatakan surjektif (onto) jika setiap anggota b  B mempunyai prapeta di A atau Rf = B.

Rf = B

Contoh 6: Misalkan A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2}. f suatu fungsi A ke B yang disajikan dengan aturan

o, jika n ganjil  f ( n)  n  2 , jika n genap Apakah fungsi f surjektif/onto? Penyelesaian

1. 2.

Terlihat setiap anggota B memunyai prapeta di A Rf = B Sehingga f : A  B adalah fungsi surjektif

3) Fungsi Satu-satu/Injektif/one to one Fungsi f : A  B dikatakan fungsi satu-satu jika setiap anggota A yang berbeda mempunya peta berbeda di B.

A a1 a2 a3 a4

f

B b1 b2 b3 b4


Page | 8

Amarhadi

Contoh 7: Misalkan A himpunan bilangan cacah, B himpunan bilangan bulat, f suatu fungsi yang disajikan dengan rumus f : x  x + 1. Apakah f suatu fungsi injektif. Penyelesaian A = {0, 1, 2, 3, ...} B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

...

...

Pada diagram di samping terlihat setiap anggota A yang berbeda mempunyai peta di B yang berbeda juga. Sehingga f : A  B adalah fungsi injektif

...

4) Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Fungsi f : A  B disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut injektif sekaligus surjektif (satu-satu dan pada).

Contoh 8: Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5, ...} dan B = {2, 4, 6, 8, 10, ...}. suatu fungsi disajikan f : x  2x. Apakah fungsi f suatu fungsi bijektif? Penyelesaian

f A

B

...

...

1. Terlihat Rf = B berarti f fungsi pada 2 2. Setiap anggota A yang berbeda 1 mempunyai peta yang berbeda 4 2 dengan anggota B, berarti f 6 3 fungsi satu-satu. 8 Jadi, karena f pada dan satu-satu 4 10 maka f merupakan fungsi bijektif. 5 di samping terlihat setiap anggota A yang berbeda mempunyai peta di B yang berbeda juga. Sehingga f : A  B adalah fungsi injektif Page | 9 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Amarhadi

 Note : 

Fungsi kepada B disebut pula fungsi surjektif (onto)



Fungsi kedalam B disebut pula fungsi into

Uji Kompetensi 2 Kerjakan soal-soal berikut! 1. Diantara fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi into, fungsi pada, fungsi satu-satu dan fungsi yang merupakn korespondensi satusatu!

2. Manakah yang merupakan fungsi into, fungsi pada, fungsi satu-satu dan fungsi bijektif dari fungsi dengan D = {1, 2, 3, 4} yang didefinisikan sebagai berikut: a. R = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}; jika K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} b. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1)}; jika K = {1, 2, 3} c. R = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}; jika K = {1, 2, 3, 4} 3. Misalkan A = [-1, 1] = {x|-1 ≤ x ≤ 1, x  R}. Apakah fungsi-fungsi berikut surjektif untuk a. f : A  A didefinisikan f(x) = x b. f : A  A didefinisikan f(x) = 2x - 1 c. f : A  A didefinisikan f(x) = x2 d. f : A  A didefinisikan f(x) = x3


Page | 10

Amarhadi

5. Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi dimana pangkat tertinggi dari varaibel x pada tiap fungsi sama dengan dua. Bentuk baku: f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 dengan a, b, c  R a = koefisien x2 b = koefisien x c = konstanta Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. a.

Menggambar grafik fungsi kuadrat yang sederhana Sebelum kita membahas cara-cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat, marilah kita ingat at kembali mengenai bentuk umum fungsi kuadrat yaitu: f(x) = ax2 + bx + c (a 0), a, b, c R. Fungsi kuadrat tersebut merupakan fungsi kuadrat dalam peubah x. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = f(x) = ax2 + bx + c, dan grafik fungsi kuadrat disebut parabola. Langkah-langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana: Langkah 1: Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yang terletak pada grafik fungsi f. Titik-titik ini dapat kita tentukan dengan memilih beberapa nilai x bilangan bulat yang terletak dalam daerah asalnya kemudian kita hitung nilai fungsi f. Titik-titik pada fungsi f itu biasanya akan lebih mudah jika kita sajikan dengan menggunakan tabel atau daftar. Langkah 2: Gambarkan koordinat titik-titik yang telah kita peroleh pada Langkah 1 pada sebuah bidang Cartecius. Langkah 3: Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidang Cartecius pada Langkah 2 dengan menggunakan kurva mulus. Agar Anda lebih memahami dan terampil menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana dengan menggunakan langkahlangkah di atas, perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini. Contoh 9: 1. Gambarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan persamaan f(x) = x2 + 2x, jika daerah asalnya adalah D = {x | -4 x 2, x R} Penyelesaian: Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + 2x adalah sebuah parabola dengan persamaan: y = x2 + 2x.


Page | 11

Amarhadi

Langkah 1: Kita buat tabel atau daftar untuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi f.

-4 x 2 y = x + 2x 8

-3 3

-2 0

-1 -1

0 0

1 3

2 8

Langkah 2: Gambarkan titik-titik (-4,8), (-3,3), (-2,0), (-1,-1), (0,0), (1,3), dan (2,8) pada bidang Cartecius seperti Gambar 3-4. Langkah 3: Hubungkan titik-titik pada Langkah 2 tersebut dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + 2x. seperti ditunjukkan pada Gambar di bawah ini. Grafik fungsi kuadrat ini berbentuk parabola.

Dari grafik fungsi, dapat kita ketahui beberapa istilah sebagai berikut: 1) Daerah Asal Daerah asal fungsi f adalah {x | -4 x

2, x R}

2) Daerah Hasil Daerah hasil fungsi f adalah {y | -1 y 8. y R} 3)

Pembuat Nol Untuk nilai x = 0 diperoleh f(0) = 0 dan x = -2 diperoleh f(-2) = 0. Dalam hal ini x = 0 dan x = -2 disebut pembuat nol fungsi f, dan pembuat nol itu merupakan akar-akar persamaan f(x) = 0. Perhatikan bahwa grafik fungsi f memotong sumbu x di (-2,0) dan (0,0) sehingga pembuat nol sebuah fungsi dapat ditafsirkan sebagai absis titik potong grafik fungsi f dengan sumbu x.


Page | 12

Amarhadi

4) Persamaan Sumbu Simetri Parabola dengan persamaan y = x2 + 2x mempunyai sumbu simetri yang persamaannya adalah x = -1. 5) Koordinat Titik Balik atau Titik Puncak Dari Gambar 3-4b, koordinat titik balik atau titik pusat parabola adalah P(-1, -1). Pada titik P(-1, -1), nilai ordinat y = -1 merupakan nilai terkecil (minimum) dari fungsi f, maka titik P (-1, -1) disebut titik balik minimum. 6) Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi Untuk x = -1 diperoleh f(-1) = -1. Nilai f(-1) = -1 ini disebut nilai minimum fungsi karena nilai itu adalah nilai yang terkecil dari fungsi f. 2. Gambarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan persamaan f(x) = -x2 + 4x + 5, jika aderah asalnya adalah D = {x | -2 x 6, x R} Penyelesaian Grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 4x + 5 adalah sebuah parabola dengan persamaan: y = -x2 + 4x + 5. Langkah 1: Kita buat tabel atau daftar untuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi f.

x y = -x + 4x + 5 2

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

Langkah 2: Gambarkan titik-titik (..., ...), (..., ...), (..., ...), (..., ...), (..., ...), (..., ...), (..., ...), (..., ...), dan (..., ...). Langkah 3: Hubungkan titik-titik pada langkah 2 tersebut dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 4x + 5


Page | 13

Amarhadi

Dari grafik fungsi pada Gambar 3-5, dapat kita tentukan hal-hal sebagai berikut: 1)

Daerah asal fungsi f adalah {x | -2

x

2)

Daerah hasil fungsi f adalah {y | -7

3)

Pembuat nol fungsi f adalah x = -1 dan x = 5, karena f(-1) = 0 dan f(5) = 0 Persamaan sumbu simetri adalah garis x = 2. Koordinat titik-titik maksimum adalah (2, 9)

4)

Nilai maksimum fungsi f adalah 9, karena nilai itu adalah nilai yang terbesar dari fungsi f.

y

6, x R} 9. y R}

b. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Umum Pada bagian a, Anda telah mempelajari cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana. Kali ini Anda akan mempelajari materi tentang menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum. Untuk lebih jelasnya, marilah kita perhatikan penjelasan berikut. Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan persamaan f(x)= ax + bx + c (a ≠ 0), a, b, c,  R. Grafik fungsi kuadrat itu adalah sebuah parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c. Untuk menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum, dapat Anda gunakan langkah-langkah sebagai berikut: i. titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y. ii. titik balik atau titik puncak parabola. iii. Persamaan sumbu simetri.


Page | 14

Amarhadi

Untuk lebih jelasnya, marilah kita pelajari materi di bawah ini. 1. Titik Potong Grafik dengan Sumbu X dan Sumbu Y a. Titik Potong Grafik dengan Sumbu X Titik potong grafik dengan sumbu X diperoleh jika y = 0, sehingga ax2 + bx + c = 0 merupakan kuadrat dalam x. Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu x. Nilai diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, yaitu D = b2 - 4ac menentukan banyak titik potong grafik dengan sumbu x. 1. Jika D > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan. 2. Jika D = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berimpit. Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu x. 3. Jika D < 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. b. Titik Potong Grafik dengan Sumbu Y Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x = 0, sehingga y = a(0)2 + b(0) + c = c. Jadi, titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0,c) 2. Titik Balik atau Titik Puncak dan Persamaan Sumbu Simetri Titik balik atau titik puncak suatu parabola dapat ditentukan dengan mengubah bentuk kuadrat pada ruas kanan persamaan parabola menjadi bentuk kuadrat sempurna. Dari bentuk kuadrat itu selanjutnya dapat pula ditentukan sumbu simetrinya. Sebagai contoh, perhatikan kembali parabola-parabola pada contoh 9. Untuk parabola pada contoh 9 nomor 1 y = x2 + 2x y = x2 + 2x + 1 - 1 y = (x + 1)2 - 1 Oleh karena itu bentuk (x+1)2 selalu bernilai positif atau sama dengan nol untuk x R, maka nilai terkecil (minimum) dari (x+1) adalah 0. Dengan demikian, y = (x+1)2 - 1 mempunyai nilai minimum -1, dan nilai itu dicapai jika (x+1) = 0 atau x = -1. Jadi, titik balik atau titik puncak minimum parabola y = (x+1) 2 - 1 adalah (-1,-1) dan persamaan sumbu simetrinya adalah x = -1. Untuk parabola pada contoh 9 nomor 2 : y = -x2 + 4x + 5 y = -(x2 - 4x) + 5 y = -(x2 - 4x + 4) + 4 + 5 y = -(x - 2) 2 + 9 Oleh karena itu bentuk -(x-2)2 selalu bernilai negatif atau sama dengan nol untuk x  R, maka nilai terbesar (maksimum) dari -(x-1)2 adalah 0. Dengan demikian, y = -(x-2)2 + 9 mempunyai nilai maksimum 9, dan nilai itu dicapai jika -(x-2) = 0 atau x = 2. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 15

Amarhadi

Jadi, titik balik atau titik puncak maksimum parabola y = -(x-2) 2 + 9 adalah (2, 9) dan persamaan sumbu simetrinya adalah x = 2. Selanjutnya, marilah kita tinjau persamaan parabola dalam bentuk umum: y = ax2 + bx +c sebagai berikut: y = ax2 + bx +c y = a(x2 +

b x) + c a

y = a(x2 +

b2 b2 b x+ 2)+c 4a a 4a

y = a(x +

b 2 b 2 4ac ) + 4a 2a 4a

y = a(x +

b 2 b 2  4ac ) 4a 2a

Untuk a > 0:

b 2 ) selalu bernilai positif atau sama dengan nol untuk 2a b 2 semua x  R, sehingga nilai terkecil (minimum) dari a(x + ) adalah 0. 2a b 2  4ac b 2 Dengan demikian, y = a(x + ) mempunyai nilai minimum 4a 2a b 2  4ac b 2 b , dan nilai itu dicapai jika a(x + ) = 0 atau x + = 0 atau 4a 2a 2a b x=. 2a b 2  4ac b 2 Jadi titik balik minimum parabola y = a(x+ ) adalah 4a 2a b 2  4ac b (,). 4a 2a Maka bentuk a(x +

Untuk a < 0:

b 2 ) selalu bernilai negatif atau sama dengan nol untuk 2a b 2 semua x R, sehingga nilai terbesar (maksimum) dari a(x + ) adalah 0. 2a b 2  4ac b 2 Dengan demikian, y = a(x+ ) mempunyai nilai maksimum 4a 2a b 2  4ac b 2 b , dan nilai itu dicapai jika a(x + ) = 0 atau x + = 0 atau 4a 2a 2a b x=. 2a Maka bentuk a(x +


Page | 16

Amarhadi

Jadi titik balik maksimum parabola y = a(x+ (-

b 2 )2a

b 2  4ac 4a

adalah

b b 2  4ac ,). 4a 2a

Dari penjelasan di atas, maka dapat kita ambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Parabola y = ax2 + bx +c (a ≠ 0), a, b, c,  R mempunyai titik balik (-

b 2  4ac b ,) 4a 2a

(i).

Jika a > 0, maka titik baliknya adalah titik balik minimum atau parabola terbuka ke atas. (ii). Jika a < 0, maka titik baliknya adalah titik balik maksimum atau parabola terbuka ke bawah. 2. Persamaan sumbu simetri parabola y = ax2 + bx + c adalah garis x = -

b 2a

Selanjutnya, berdasarkan penjelasan di atas ada beberapa kemungkinan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c jika ditinjau dari nilai a dan nilai diskriminan D = b2 - 4ac yaitu:  jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas atau mempunyai titik balik minimum  jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah atau mempunyai titik balik maksimum  jika D > 0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berlainan  jika D = 0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berimpit atau parabola menyinggung sumbu x  jika D < 0 maka parabola tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x Secara geometris seperti diperlihatkan pada gambar bawah ini.

Untuk lebih memahami dan terampil menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum, marilah kita simak beberapa contoh di bawah ini.


Page | 17

Amarhadi

Contoh 10: 1. Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 - 4x - 5. Penyelesaian: Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 - 4x - 5 adalah sebuah parabola dengan persamaan y = x2 - 4x - 5, berarti a = 1, b = -4, dan c = -5. (i) Titik potong grafik dengan sumbu x, dan sumbu y. a). Titik potong grafik dengan sumbu x, diperoleh jika y = 0. Ini berarti: x2 - 4x - 5 = 0 (x + 1)(x - 5) = 0 x + 1 = 0 atau x - 5 = 0 x = 0 - 1 atau x = 0 + 5 x = -1 atau x = 5 Jadi, titik potongnya dengan sumbu x adalah (-1,0) dan (5,0). b). Titik potong grafik dengan sumbu y, diperoleh jika x = 0. Ini berarti: y = (0) 2 – 4(0) - 5 y = 0-0-5 y = -5 Jadi, titik potongnya dengan sumbu y adalah (0,-5) (ii) Koordinat titik balik

b 2  4ac b p(,) 4a 2a p(  p(

(4) 2  4(1)(5) (4) ,) 4(1) 2(1)

16  20 4 ,) 2 4

p(2,-9) Oleh karena a = 1 > 0, maka p merupakan titik balik minimum sehingga parabolanya terbuka ke atas (iii) Persamaan sumbu simetri adalah x = -

x=-  x=

b 2a

(4) 2(1)

4 2

x=2 (iv) Dari uraian di atas, maka sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 - 4x - 5 seperti Gambar di bawah ini.


Page | 18

Amarhadi

Setelah mempelajari contoh 1 di atas, apakah Anda sudah paham? Baiklah, agar Anda lebih paham simaklah contoh 2 di bawah ini. 2. Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 2x – 1 Penyelesaian: Grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 2x - 1 adalah sebuah parabola dengan persamaan y = -x2 + 2x - 1, berarti a = -1, b = 2, dan c = -1. (i) Titik potong grafik dengan sumbu x, dan sumbu y. a). Titik potong grafik dengan sumbu x, diperoleh jika y = 0. Ini berarti: -x2 + 2x - 1 = 0 (kedua ruas dikalikan -1) x2 - 2x + 1 = 0 (x - ....)(x - ....) = 0 x - .... = 0 atau x - .... = 0 x = 0 + .... atau x = 0 + .... x = .... atau x = .... Jadi, titik potongnya dengan sumbu x adalah (...., ....) atau grafik menyinggung sumbu x di titik (...., ....). b). Titik potong grafik dengan sumbu y, diperoleh jika x = 0. Ini berarti: y = -(....)2 + 2(....) - 1 y = .... + .... - 1 y = .... Jadi, titik potongnya dengan sumbu y adalah (...., ....) (ii) Koordinat titik balik p(-

b 2  4ac b ,) 4a 2a

p(-

....2  4(....)(....) .... ,) 4(....) 2(....)


Page | 19

Amarhadi

p(-

.... ....  .... ,) 2 4

p(...., ....) Oleh karena a = -1 < 0, maka p merupakan titik balik .................... sehingga parabolanya terbuka ke ...............

b 2a .... x=2(....)

(iii) Persamaan sumbu simetri adalah x = -

x=-

.... 2

x = .... (iv) Dari uraian di atas, maka sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 2x - 1 seperti Gambar di bawah ini.


Page | 20

Amarhadi

Diskusi dengan teman sebangku! Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut! a. f(x) = x2 – x – 2 b. f(x) = 2x – x2 c. apakah syarat parabola terbuka ke atas dan parabola terbuka ke bawah? 3. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Dengan Translasi Selain dengan cara di atas untuk menggambar grafik fungsi kuadrat dapat pula memanfaatkan sifat pergeseran (translasi). Fungsi f(x) = ax2 + bx + c dapat dibentuk f(x) = a(x – p)2 + q, dengan p = -

b 2  4ac b , dan q = . 4a 2a

Peranan p dan q pada fungsi f(x) = a(x – p)2 + q:  p adalah arah pergeseran horizontal, untuk p < 0 parabola geser kekanan sumbu x sejauh p satuan dan p > 0 parabola geser kekiri sumbu x sejauh p satuan.  q adalah arah pergeseran vertikal, untuk q > 0 parabola geser ke atas sumbu y sejauh q satuandan q < 0 parabola geser ke bawah sumbu y sejauh q satuan. Agar lebih jelas, lakukan kegiatan berikut! Kegiatan 1 1. Berapakah nilai q untuk x2 2. Isilah tabel berikut untuk nilai x yang diberikan. x y = x2 – 2 y = x2 y = x2 + 2

3.

-3

. . .

. . .

. . .

-2

. . .

. . .

. . .

-1

. . .

. . .

. . .

0

. . .

. . .

. . .

1

. . .

. . .

. . .

2

. . .

. . .

. . .

3

. . .

. . .

. . .

Gunakan data pada tabel di atas untuk melukis y = x2 – 2, y = x2 dan y = x2 + 2


Page | 21

Amarhadi

4.

5.

Amati ke-3 grafik tersebut dan bandingkan setiap grafik dengan grafik y = x2. Dapatkah Anda menemukan bagaimana cara memperoleh grafik y = x2 -2 dan y = x2 +2 Jelaskan hal-hal apa saja yang tidak berubah dan yang berubah jika kita mengubah nilai q pada grafik y = y = x2 + q Kesimpulan!

Kegiatan 2 1. Isilah tabel berikut untuk nilai yang diberikan x y = (x – 1)2 y = x2 y = (x + 2)2 -3

. . .

. . .

. . .

-2

. . .

. . .

. . .

-1

. . .

. . .

. . .

0

. . .

. . .

. . .

1

. . .

. . .

. . .

2

. . .

. . .

. . .

3

. . .

. . .

. . .


Page | 22

Amarhadi

2.

Gunakan data pada tabel di atas untuk melukis y = (x – 1)2, y = x2 dan y = (x + 2)2

3.

Amati ketiga gambar denganm saksama. Dapatkah anda menemukan cara memperoleh grafik y = (x – 1)2, y = x2 dan y = (x + 2)2 ? Kesimpulan!

Kegiatan 3 “Menggambar grafik y = a(x – p)2 + q” Gambarlah grafik y = -2(x + 4)2 – 2, kemudian tentukan daerah asal dan daerah hasilnya! Penyelesaian 1. Isilah tabel di bawah ini x y = -2x2 x y = -2(x + 4)2 - 2 . . . . . . -2 -6 . . . . . . -1 -5 . . . . . . 0 -4 . . . . . . 1 -3 . . . 2 -2 . . . Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 23

Amarhadi

2.

Gunakan data di atas untuk melukis grafik y = -2x2 dan y = -2(x + 4)2 – 2

3.

Amati kedua grfik di atas, dapatkahAnda menenmukan cara memperoleh grafik y = -2(x + 4)2 – 2 dan grafik y = -2x2 dengan translasi? Kesimpulan:

6. Syarat Fungsi Kuadrat Definit Positif dan definit Negatif Untuk memahami definit positif dan definit negatif suatu fungsi kuadrat. Lakukan kegiatan berikut! 1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut: a.

f(x) = x2 – 8x + 12

c. h(x) = x2 – 8x + 20

b. g(x) = x2 – 8x + 16 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 24

Amarhadi

2. Tentukan nilai diskriminan yaitu D = b2 – 4ac dari masing-masing fungsi kuadrat pada nomor 1. 3. Lakukan lagi kegiatan seperti nomor 1 dan 2 untuk fungsi kuadrat berikut! a.

p(x) = -x2 + 6x – 5

c. r(x) = -x2 + 6x - 13

b. q(x) = -x2 + 6x – 9


Page | 25

Amarhadi

4. Amatilah hubungan antara nilai diskriminan (D) dan perpotongan grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x. Kesimpulan apa yang Anda peroleh? Grafik memotong sumbu x di dua titik berbeda bila .... Grafik memotong (menyinggung) sumbu x di satu titik bila ... Grafik tidak memotong/menyinggung sumbu x bila .... Dari hasil kesimpulan di atas. Isilah tabel dibawah ini! Tanda a dan D

D>0

a>0

Titik potong dengan sumbu x

Bentuk grafik

Jenis titik balik

x

D=0

x

D<0

x

D>0

x

x a<0

D=0

x D<0

Perhatikan tabel di atas, tampak bahwa untuk x bilangan real maka.  Khusus D < 0, grafik seluruhnya berada di atas sumbu x (terbuka ke atas) atau grafik seluruhnya di bawah sumbu x (terbka ke bawah).  a > 0 dan D < 0, fungsi kuadrat selalu bernilai positif disebut definit positif (seluruh grafiknya berada di atas sumbu x).  a < 0 dan D < 0, fungsi kuadrat selalu bernilai negatif disebut definit negatif (seluruh grafiknya berada di bawah sumbu x)


Page | 26

Amarhadi

Contoh 27: 1. Tentukan apakah fungsi kuadrat berikut ini definit positif, definit negatif atau tidak keduanya! a. f(x) = x2 – 4x + 5 b. f(x) = -x2 + 10x – 30 c. f(x) = x2 – 4x – 5 Penyelesaian a.

f(x)

= x2 – 4x + 5 a =1 > 0; b = -4 dan c = 5

D

= b2 – 4ac = (-4)2 – 4(1)(5) = 16 – 20

D

=-4<0

Karena a > 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 5 definit positif Untuk b dan c silakan dicoba sebagai latihan! 2. Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = px2 + 4x + 1 definit positif: Penyelesaian f(x)

= px2 + 4x + 1 a = p; b = 4 dan c = 1

Syarat definit positif: (i) a>0 p>0

(ii)

D<0 b2 – 4ac < 0 42 – 4(p)(1) < 0 16 – 4p < 0 4p > 16 P>4


Page | 27

Amarhadi

Batas nilai p adalah irisan dari kedua garis bilangan (i)

(ii)

Jadi agar f(x) = px2 + 4x + 1 definit positif maka batas nilai p adalah p>4 3. Tentukan batas nilai k, agar fungsi f(x) = (k-1)x2 - 2kx + (k-2) definit negatif! Penyelesaian: Fungsi kuadrat f(x) = (k-1)x2 - 2kx + (k-2), berarti a = (k-1), b= -2k, dan c = (k-2). Syarat agar fungsi kuadrat f definit negatif adalah a < 0 dan D < 0. (i)

(ii)

a < 0, maka (k-1) < k-1 < k< k<

0 0 0+1 1

D < 0, maka: b - 4ac < (-2k) - 4(k-1)(k-2) < 4k - 4(k -2k-k+2) < 4k - 4(k - 3k + 2) < 4k - 4k + 12k - 8 < 12k – 8 < 12k < 12k <

0 0 0 0 0 0 0+8 8

8 12 2 k< 3 k<


Page | 28

Amarhadi

Dengan menyatukan syarat (i) dan (ii) atau mencari irisannya, maka batas nilai k seperti diperlihatkan pada di bawah ini.

(i) 1 (ii) 2 3

hasilnya 2 3 Berdasarkan Gambar di atas batas nilai k yang memenuhi adalah

2 . Jadi, agar fungsi kuadrat f(x) = (k-1)x2 - 2kx + (k-2) definit 3 2 negatif adalah k < . 3 k <

Diskusikan! 1. Selidiki masing-masing fungsi kuadrat di bawah ini, apakah definit positif, definit negatif atau tidak kedua-duanya. a). f(x) = 2x2 + 3x + 4. b). f(x) = -x2 + 2x – 5. c). f(x) = x2 - x – 2. 2. Tentukan batas-batas nilai m, agar fungsi kuadrat f(x) = -x2 - 8x + m definit negatif! 3. Tentukan batas-batas nilai k, agar fungsi kuadrat: f(x) = (k + 1)x2 + (2k+1)x + (k+2) definit positif. 7. Pengaruh Koefisien-koefisien a, b dan c pada Grafik Fungsi Kuadrat Pada pembahasan sebelumnya telah kita bahas pengaruh koefisien a terhadap bentuk grafik fungsi kuadrat, yaitu. a. a > 0 maka grafik terbuka ke atas b. a < 0 maka grafik terbuka ke bawah sekarang bagaimana pengaruh b dan c? Untuk lebih jelasnya lakukan kegiatan berikut! 1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x, y = x2 + 4x, y = -x2 + 8x dan y = -x2 - 8x pada satu bidang koordinat.


Page | 29

Amarhadi

2. Dengan memperhatikan grafik di atas isilah tabel berikut!  Note! 

Parabola disebut berat kekiri jika titik puncaknya berada disebelah kiri sumbu y



Parabola disebut berat kekanan jika titik puncaknya berada disebelah kanan sumbu y

Koefisien No

Fungsi Kuadrat a

b

Tanda axb

Parabola berat kekiri/kekanan

3. Amati dengan seksama nilai a x b berat kekiri atau kekanan.


Page | 30

Amarhadi

4. Simpulkan pengaruh koefisien a x b pada grafik fungsi kuadrat 



Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x = 0 sehingga y = a(0)2 + b(0) + c y=c titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0, c) sedang untuk letak titik (0, c) tergantung nilaic . pengaruh nilai c terhadap grafik fungsi kuadrat sebagai berikut:

Pengaruh koefisien-koefisien a, b dan pada grsgik y = ax2 + bx + c 1. 2.

3.

 Tanda a > 0 menyatakan parabola terbuka ke atas  Tanda a < 0 menyatakan parabola terbuka ke bawah  Tanda a x b > 0 menyatakan parabola berat kekiri (puncak berada di sebelah kiri sumbu y)  Tanda a x b < 0 menyatakan parabola berat kekanan (puncak berada di sebelah kanan sumbu y)  Tanda c > 0 menyatakan parabola memotong sumbu y di atas titik (0, 0)  Tanda c = 0 menyatakan parabola melalui titik (0, 0)  Tanda c < 0 menyatakan parabola memotong sumbu y di bawah titik (0, 0)


Page | 31

Amarhadi

4.

 Tanda D > 0 menyatakan parabola memotong sumbu x di dua titik  Tanda D = 0 menyatakan parabola memotong sumbu x di satu titik (menyinggung sumbu x)  Tanda D < 0 menyatakan parabola tidak memotong sumbu x

Contoh 12: 1. Jika parabola y = ax2 + bx + c, grafiknya seperti pada gambar berikut ini maka (i) a < 0 (ii) b > 0 (iii) D > 0 (iv) c > 0

Penyelesaian  Parabola terbuka ke bawah berarti a < 0  Parabola memotong sumbu x di dua titik berarti D > 0  Parabola berat kekanan berarti a x b < 0, karena sudah diketahui a < 0, maka b > 0  Parabola memotong sumbu y di atas titik O(0, 0) berarti c > 0 Jadi semua Penyelesaianan benar 2. Perhatikan gambar berikut!

grrafik dari y = 4 + 3x – x2 ditunjukan oleh gambar! Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 32

Amarhadi

Penyelesaian y = 4 + 3x – x2 a = -1; b = 3 dan c = 4 a = -1 < 0 berarti parabola terbuka kebawah a x b = -3 < 0 parabola berat kekanan jadi yang tepat gambar b.

Uji Kompetensi 3 Kerjakan soal-soal berikut. 1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut! a. f(x) = x2 – 2x – 8 dengan Df = {x|-2 ≤ x ≤ 4} b. f(x) = x2 + 4 – 9 dengan Df = {x|-1 ≤ x ≤ 5} 2. dengan menentukan titik potong denga sumbu koordinat, titik puncak dan titik bantu lainnya, gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut! a. f(x) = x2 – x – 2 c. f(x) = -x2 + 3 2 b. f(x) = x – 6x – 9 d. f(x) = -2x2 + 4x - 5 3. dengan memAnfaatkan translasi gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut! a. y = (x + 4)2 c. y = (x – 1)2 + 2 2 b. y = x – 3 d. y = -2(x – 3)2 + 7 4. Grafik fungsi kuadrat f(x) = (a + 3)x2 + (a + 1)x + a melalui titik (1, -2) a. Carilah nilai a b. Gambarlah grafik fungsi kuadrat c. Gambar grafik fungsi kuadrat tersebut dalam daerah asala (Df) {x|-3 ≤ x ≤ 3}, x  R} 5. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + 5. Nilai maksimum fungsi f dicapai untuk x = 4 a. Tentukan nilai a dan b b. Gambarlah sketsa frafik fungsi kuadrat tersebut. 6. Fungsi kuadrat f(x) = (p + 3)x2 – 2(p – 1)x + (p – 5). Absis titik balik grafik adalah p a. Tentukan niLai p dan koordinat titik balik fungsi kuadrat tersebut. b. Gambarlah sketas grafik fungsi kuadrat tersebut. 7. Tentukan apakah bentuk berikut ini definit positif, definit negatif atau tidak keduanya. a. f(x) = x2 + 6x + 12 d. f(x) = -3x2 + x - 4 2 b. f(x) = 3x + 5 e. f(x) = -2x2 - 2x + 1 2 c. f(x) = 2(x – 3) -4 f. f(x) = -3(x + 1)2 8. Tentukan nilai m agar grafik f(x) = -2x2 + 4x + m definit negatif 9. Tentukan nilai k agar f(x) = x2 + 6x + k definit positif 10. Tentukan nilai p agar grafik f(x) = (p - 1)x2 + 2px + (p – 3) seluruhnya berada di bawah sumbu x 11. Tentukan nilai q yang manakah parabola y = (q – 2)x2 – 2qx + q + 6 seluruhnya berada di atas sumbu x.


Page | 33

Amarhadi

8. Menyusun Fungsi Kuadrat Telah Anda pelajari cara-cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat atau parabola apabila persamaan atau rumus fungsi kuadrat tersebut diketahui. Kali ini Anda akan mempelajari cara menentukan persamaan fungsi kuadrat apabila sketsa grafik fungsi kuadrat tersebut diketahui atau apabila fungsi kuadrat tersebut melalui tiga titik yang tidak segaris. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah materi berikut. a. Grafik Fungsi Kuadrat Memotong Sumbu X di A (x1,0) dan B (x2,0), serta Melalui Sebuah Titik Tertentu. Persamaan fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai: y = f(x) = a( x – x1 ) ( x – x2 ) dengan nilai a ditentukan kemudian. Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di bawah ini. Contoh 13: 1. Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(1, 0) dan B(5, 0). Jika fungsi kuadrat itu melalui titik (0, 10), tentukanlah persamaan fungsi kuadrat tersebut! Penyelesaian: Gunakan rumus y = f (x) = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) , sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai: y = a ( x – 1 ) ( x – 5 ) ............................……….(1) karena fungsi kuadrat melalui titik ( 0,10 ) berarti jika x = 0 , maka diperoleh y = 10. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut: 10 = a ( 0 – 1 ) ( 0 – 5 )  10 = a (-1) (-5)  10 = 5a  10 a=

5

 a=2 Subsitusikan a = 2 ke persamaan (1), diperoleh: y = f (x) = 2 ( x – 1 ) ( x – 5 )  y = f (x) = 2 ( x2 – 5x – x + 5 )  y = f (x) = 2 ( x2 – 6x + 5 )  y = f (x) = 2x2– 12x + 10 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = 2x2– 12x + 10 2. Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x di A (-1,0 ) dan B (3,0). Jika fungsi kuadrat itu melalui titik (4,-5), tentukanlah persamaan fungsi kuadrat itu! Penyelesaian: Anda gunakan rumus y = f (x) = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai: y = a ( x – (-1) ) ( x – 3 )  y = a ( x + 1 ) ( x – 3 ) …….................…..........………(1) Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 34

Amarhadi

karena fungsi kuadrat melalui titik ( 4,-5 ) berarti jika x = 4 , maka diperoleh y = -5. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut:  -5 = a ( 4 + 1 ) ( 4 – 3 )  -5 = a (5) (1)  -5 = 5a  5 a=

5

 a = -1 Subsitusikan a = -1 ke persamaan (1), diperoleh: y = (-1) ( x + 1 ) ( x – 3 )  y = -( x2– 3x + x – 3 )  y = -( x2– 2x – 3 )  y = -x2 + 2x + 3 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = -x2 + 2x + 3 b. Grafik Fungsi Kuadrat Menyinggung Sumbu X di A(x1, 0) dan Melalui Sebuah Titik Tertentu. Persamaan fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: y = f (x) = a (x – x1) 2 dengan nilai a ditentukan kemudian. Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di bawah ini. Contoh 14: 1. Perhatikan gambar di bawah, diperlihatkan sketsa grafik dari suatu fungsi kuadrat. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut!

Penyelesaian: Berdasarkan grafik fungsi dapat ditentukan bahwa fungsi kuadrat itu menyinggung sumbu x di titik (2,0) dan melalui titik (0,3). Gunakan rumus y = f (x) = a ( x – x1 )2 , sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai: y = a (x – 2) 2......................................……………….(1) karena fungsi kuadrat melalui titik (0, 3) berarti nilai x = 0 , sehingga diperoleh y = 3. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut:


Page | 35

Amarhadi

  

3 = a ( 0 – 2 )2 3 = a (-2) 2 3 = 4a a=

3 4

Subsitusikan a =

3 4

ke persamaan (1), diperoleh:

y=

3 (x – 2) 2 4



y=

3 2 (x – 4x + 4) 4



y=

3 2 x – 3x + 3 4

Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) =

3 2 x – 3x + 3 4

2. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu x di titik (1,0) dan melalui titik (-1, -4) Penyelesaian: Gunakan rumus y = f (x) = a (x – x1)2 , sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai: y = a (x – 1)2 ...................................……………….(1) Karena fungsi kuadrat melalui titik ( -1,-4 ) berarti jika x = -1 , maka diperoleh y = -4. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut: -4 = a (-1 – 1) 2  -4 = a (-2) 2  -4 = 4a 

a=

4 4

 a = -1 Subsitusikan a = -1 ke persamaan (1), diperoleh: y = (-1) ( x – 1 ) 2  y = (-1)( x2– 2x + 1 )  y = -x2 + 2x – 1 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = -x2 + 2x – 1


Page | 36

Amarhadi

c. Grafik Fungsi Kuadrat Melalui Titik Puncak atau Titik Balik P(xp, yp), dan Melalui Sebuah Titik Tertentu. Persamaan fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai: y = f(x) = a(x – xp)2 + yp dengan nilai a ditentukan kemudian. Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di bawah ini. Contoh 15: Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak atau titik balik di P (3, -1) dan melalui titik (0, 8) ! Penyelesaian: Gunakan rumus y = f (x) = a ( x – xp ) 2 + yp, sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai: y = a (x – 3) 2+ (-1)  y = a (x – 3) 2- 1 .................................……….(1) Karena fungsi kuadrat melalui titik ( 0,8 ) berarti jika x = 0 , maka diperoleh y = 8. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut: 8 = a ( 0 – 3 ) 2– 1  8 = a (-3) 2– 1  8 = 9a – 1  8 + 1 = 9a 

9 = 9a



a=

9 9

 a=1 Subsitusikan a = 1 ke persamaan (1), diperoleh: y = 1 . (x – 3) 2– 1  y = 1 .(x2– 6x + 9) – 1  y = x2– 6x + 9 – 1  y = x2– 6x + 8 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f(x) = x2– 6x + 8

Contoh 16: Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak atau titik balik di P (-1, -2) dan melalui titik (-2, -4)! Penyelesaian: Gunakan rumus y = f (x) = a ( x – xp )2 + yp, sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai: y = a(x – (-1)) 2+ (-2)  y = a(x + 1)2 - 2 ............................……….(1) Karena fungsi kuadrat melalui titik (-2,-4) berarti jika x = -2, maka diperoleh y = -4. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut:


Page | 37

Amarhadi

 

-4 = a(-2 + 1) 2 – 2 -4 = a(-1) 2 – 2 -4 = a – 2

 -4 + 2 = A  -2=A  a = -2 Subsitusikan a = -2 ke persamaan (I), diperoleh: y = -2 ( x + 1 ) 2– 2  y = -2 ( x2 + 2x + 1 ) – 2  y = -2x2– 4x – 2 – 2  y = -2x2– 4x – 4 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = -2x2– 4x -4

d. Grafik Fungsi Kuadrat Melalui Titik-titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3,y3) Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai: y = f(x) = ax2 + bx + c dengan nilai a, b, dan c ditentukan kemudian. Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di bawah ini. Contoh 17: Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik A(0, -10), B(1, -6), dan C(3, 8)! Penyelesaian: Misalkan persamaan fungsi kuadrat itu adalah : y = f (x) = ax2 + bx + c Melalui titik A ( 0,-10 ) , berarti: -10 = a(0) 2 + b (0) + c  -10 = 0 + 0 + c  -10 = c  c = -10 Melalui titik B ( 1,-6 ) , berarti: -6 = a (1) + b (1) + c  -6 = a + b + c karena c = -10, maka:  -6 = a + b + (-10)  -6 = a + b – 10  -6 +10 = a + b  4=a+b  a + b = 4 .......................................………………(1) Melalui titik C (3, 8) , berarti: 8 = a (3) + b (3) + c Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 38

Amarhadi

 8 = 9a + 3b + c karena c = -10, maka:  8 = 9a + 3b + (-10)  8 = 9a + 3b – 10  8 + 10 = 9a + 3b  18 = 9a + 3b  9a + 3b = 18 (kedua ruas dibagi 3)  3a + b =6 .....................................………………(2) Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2) , berarti: a+b=4 3a + b = 6 ––––––––– – -2a = -2 a=

2 2

a=1 Subsitusikan a = 1 ke persamaan (1) atau (2) (pilih salah satu) Misalkan kita pilih ke persamaan (1), maka: a+b=4 a+b=4 b=4–1 b=3 Subsitusikan a = 1, b = 3, dan c = -10 ke persamaan y = f (x) = ax2 + bx + c , diperoleh: y = f(x) = (1) x2 + (3) x + (-10) y = f(x) = x2 + 3x – 10 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah: y = f (x) = x2 + 3x – 10

Uji Kompetensi 4 Kerjakan soal-soal berikut. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan singkat, jelas, dan benar! 1. Susunlah sebuah fungsi kuadrat yang grafiknya: a. Melalui titik (0, 3), (2, -5), dan (-4, 13) b. Melalui titik (-3, 0), (1, 0), dan (-2, 6) c. Menyinggung sumbu x di (-2, 0) dan titik (2, -8) d. Menyinggung sumbu x di (1, 0) dan titik (0, 3) e. Melalui titik (-2, 0), (4, 0), dan (0, -16) f. Memiliki titik puncak (-1, 1) dan melalui (-2, 4) Memiliki nilai minimum 2 untuk x = 1 dan melalui titik g. (2, 3) Memiliki nilai maksimum -3 untuk x = 2 dan nilai f(-2) h. = -11


Page | 39

Amarhadi

2. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunytai grafik seperti gambar di bawah ini!

9. Penerapan Fungsi Kuadrat pada Masalah maksimum dan Minimum Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c berbentuk parabola dengan

D  b ,   . Puncak parabola merupakan  2a 4a 

koordinat titik puncak (x, y) =  

titik terendah (minimum) atau titik tertinggi (maksimum).  Untuk a < 0: D Terdapat nilai maksimum  yang dicapai untuk

4a

b x=  2a 

Untuk a > 0:

Terdapat nilai minimum  x= 

D yang dicapai untuk 4a

b 2a

Dalam kehidupan sehari-hari tentunya Anda sering menjumpai suatu permasalahan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Oleh karena itu nilai ekstrim (maksimum atau minimum) berperan penting dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Nilai maksimum atau minimum diungkapkan dengan menggunakan kata-kata yang berbeda, misalnya: a) terbesar, terjauh, tertinggi, terpanjang, terluas, atau yang sama artinya dengan kata-kata itu, dapat dikaitkan dengan konsep nilai maksimum fungsi kuadrat. b) terkecil, terdekat, terendah, terpendek, tersempit, atau yang sama artinya dengan kata-kata itu, dapat dikaitkan dengan konsep nilai minimum fungsi kuadrat. Apabila dalam suatu masalah terdapat kata-kata seperti di atas, maka hal ini merupakan petunjuk bahwa masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan model matematika yang berbentuk fungsi kuadrat. Setelah diketahui bahwa karakteristik masalahnya berkaitan dengan model matematika yang berbentuk fungsi kuadrat, langkah-langkah pemecahan masalahnya selanjutnya adalah sebagai berikut:


Page | 40

Amarhadi

1) Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) untuk mendapatkan hubungan atau ekspresi matematikanya. 2) Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah. 3) Tentukan penyelesaian dari model matematika fungsi kuadrat yang diperoleh pada langkah 2. 4) Tafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3 terhadap masalah semula. Contoh 18: 1. Ekonomi.

Biaya

untuk

membuat

x

satuan

barang

adalah

1 2 x  35 x  25 (dalam jutaan rupiah). Sedangkan harga jual untuk x 4 1 satuan barang (50 – x)x (dalam jutaan rupiah). Berapa banyak 2 satuan barang yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum? Berapakah keuntungan maksimum tersebut? Penyelesaian: Biaya total =

1 2 x  35 x  25 (dalam jutaan rupiah) 4

Harga jual = (50 – = 50x -

1 x)x (dalam jutaan rupiah) 2

1 2 x 2

Keuntungan diperoleh dari selisih harga jual dan biaya total untuk x satuan barang, sehingga Keuntungan (K(x))

= harga jual – biaya total = (50x -

1 2 1 x ) – ( x 2  35 x  25 ) 2 4

= 

1 2 1 2 x  x  50 x  35 x  25 2 4

= 

1 2 1 2 x  x  50 x  35 x  25 2 4

= 

3 2 x  15 x  25 4

a= 

3 < 0  nilai maksimum 4

b = 15 c = -25


Page | 41

Amarhadi

x =

b 15 15   10 2a  3  3 2   2  4

Jadi keuntungan masimum (K) = 

b 2  4ac D  4a 4a

152  4  3 (25)

 4  3 4    4 225  75 150 =   3 3 = 50 = 

atau Subtitusi x = 10 pada

3 2 x  15 x  25 4 3 =  (10) 2  15(10)  25 4 =  75  150  25 = 50

K= 

Jadi, agar diperoleh keuntungan maksimum harus diproduksi 10 satuan barang dan keuntungan maksimumnya adalah Rp 50.000.000,00 2. Geometri.Kawat ram yang panjangnya 100 m akan digunakan untuk memagari kandang ayam seperti gambar di bawah ini.

Kandang ayam tersebut berbentuk persegi panjang yang salah satu sisinya adalah tembok. Tentukan ukuran kandang tersebut agar luas kandang maksimum dan berikan penjelasan tafsiran dari solusi masalahnya! Penyelesaian: •) Anda buat sketsa kandang ayam seperti gambar berikut:

Misalkan x = panjang dan y = lebar •) Berdasarkan gambar di atas, keliling pagar ayam = panjang kawat ram  y + x + y = 100  x + 2y = 100 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 42

Amarhadi

1

2y = 100 – x  y = 50 - 2 x



•) Luas kandang ayam = panjang x lebar  L=x.y 

L = x . (50 -



L = 50x –

1 x) 2

1 2 x 2

•) L merupakan fungsi kuadrat dalam x yaitu: L(x) = 50x – berarti a = -

Agar L maksimum maka

1 2 x 2

1 , b = 50, dan c = 0. 2

x =

b 2a

 x =

50 1 2  2

 x =50

Untuk x = 50 maka:

 y = 50 –

1 50 2

 y = 50 – 25  y = 25 •) Penafsiran solusi masalahnya: Agar diperoleh luas kandang maksimum maka kawat ram tersebut harus digunakan untuk memagari kandang ayam yang berbentuk persegi panjang dengan salah satu sisinya tembok dengan ukuran panjang = 50 meter dan lebar = 25 meter.

Uji Kompetensi 5 Kerjakan soal-soal berikut. 1. Jumlah dua buah bilangan adalah 30. Jika hasil kali kedua bilangan itu maksimum maka tentukan bilanganbilangan tersebut dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya! 2.

Selisih dua buah bilangan adalah 10 Tentukan hasil kali minimum kedua bilangan itu dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya!


Page | 43

Amarhadi

3.

Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Tinggi peluru h (dalam meter) sebagai fungsi waktu t (dalam detik) Dirumuskan dengan h (t) = 100t – 5t2. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang diperlukan serta jelaskan penafsiran solusi masalahnya!

4.

Perhatikan gambar di samping. Persegi ABCD memiliki panjang sisi 8 cm, sedangkan AK = x cm, dan DL = 2x cm. Jika L menyatakan luas CKL, tunjukkan bahwa : L (x) = x – 8x + 32, kemudian tentukan luas minimum segitiga CKL dan jelaskan penafsiran masalahnya !

5.

Pada gambar berikut merupakan persegi panjang yang panjangnya 8 cm dan lebarnya 4 cm. Titik-titik E, F, G dan H terletak pada AB, BC, CD dan AD sehingga BE = CF = DG = AH = x cm a. Jika L (cm2) menyatakan luas daerah segi empat EFGH. Nyatakan L dalam x b. Tentukan luas minimum segi empat EFGH itu

G

D

C

x

x

4 cm

F H x x A

E

B

8 cm

B. Persamaan Kuadrat 1. Pengertian Persamaan Kuadrat Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk ax 2  bx  c  0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 , a adalah koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x dan c adalah suku tetapan. Contoh: 1. x2 – 4, nilai a = 1, b= 0, c = -4 2. x2 + 2x = 0 nilai a = 1, b =2, c = 0 3. x2 – 5x + 2 = 0 nilai a = 2, b = -5, c = 2 4. x2 + x – 2 = 0 nilai a = 1, b =2, c = -2 Berkaitan dengan nilai-nilai a, b, dan c, dikenal beberapa persamaan kuadrat, diantaranya adalah: (i) Jika a = 1, maka persamaan menjadi x + bx + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa. (ii) Jika b = 0, maka persaman menjadi x + c = 0 dan persaman seperti ini disebut persamaan kuadrat sempurna. (iii) Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax + bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut peramaan kuadrat tak lengkap. Jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional maka ax + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat rasional. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 44

Amarhadi

seringkali persamaan kuadrat tidak langsung berupa bentuk umum tetapi dengan operasi aljabar kita dapat mengubahnya kebentuk umum. Contoh 19: Tuliskan persamaan kuadrat berikut ke dalam bentuk umum dan tentukan nilai a, b dan c? 1. 3x2 + x = 3x – 5 2. 2(x2 – x) = 5x(x – 2) 3. (2x + 5) (4x – 1) = 4 4.

4 3   2 dengan x ≠ 0 dan x ≠ 2 x x2

Penyelesaian 1. 3x2 + x = 3x – 5  3x2 + x - 3x + 5 = 0  3x2 -2x + 5 = 0 a = 3; b = -2 dan c = 5 2. 2(x2 – x) = 5x(x – 2)  2x2 - .... = 5x2 - ....

3. (2x + 5) (4x – 1) = 4  2x(4x – 1) + 5(4x – 1) = 4  .... - 2x + 20x - ..... – 4 = 0  .... + 18x - .... = 0 a = ....; b = 18; c = .... 4.

 2x2 - .... - 5x2 + .... = 0 a = .....; b = .... dan c = ....

4 3   2 ; x ≠ 0 dan x ≠ 2 x x2 4(x -2) + 3x = 2x(x – 2) 4x – 8 + 3x = 2x2 - 4  7x .... – 8 .... – 2x2 + .... = 0  -2x2 + ..... - ..... = 0  a = ....; b = ....; c = ....

2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Setelah Anda memahami beberapa bentuk persamaan kuadrat, selanjutnya marilah kita pelajari cara-cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Kita masih ingat bahwa untuk menetukan akarakar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu: a. Memfaktorkan (pemfaktoran) b. Menggunakan rumus kuadrat. c. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna. Kali ini, kita akan mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan dan menggunakan rumus kuadrat. Untuk itu, Anda pelajari baik-baik materi berikut ini. a. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan Jika suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat difaktorkan menjadi berbentuk P x Q = 0, maka akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan cara memfaktorkan (pemfaktoran). Contoh persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan antara lain:

x2 + 3x + 2 = 0 (x+2) (x+1) = 0 P

Q

2x2 - x - 1 = 0 (2x+1) (x-1) = 0 P

Q


Page | 45

Amarhadi

Lalu bagaimana menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran? Baiklah, untuk lebih jelasnya Anda pelajari beberapa contoh soal di bawah ini. Untuk lebih mudah dalam melakukan faktorisasi kita bagi persamaan ax2 + bx + c = 0 menjadi dua kasus  Kasus a = 1 x2 + bx + c = 0 dapat difaktokan menjadi (x + m)(x + n) = 0 dengan m + n = b dan m . n = c lebih mudah jika Anda menggunakan bagan seperti pada gambar di samping!

m x c n

_

b Contoh 20: 1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 dengan cara pemfaktoran! Penyelesaian: x2 + 5x + 6 = 0 3 x 6 2

+

5

(cari pasangan bilangan hasil kalinya 6 dan berjumlah 4) Sehingga x2 + 5x + 6 = 0 (x + 3)(x + 2) = 0 x + 3 = 0 atau x + 2 = 0 x = - 3 atau x = -2 Jadi, akar-akar x2 + 5x + 6 = 0 adalah 2 atau 3  Hp = {2, 3}

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x2 – x – 12 = 0 dengan cara pemfaktoran! Penyelesaian: x2 – x – 12 = 0 ..... x -12 3 -1

+

(cari pasangan bilangan hasil kalinya -12 dan berjumlah -1) Sehingga x2 - x - 12 = 0 (x - .....)(x + 3) = 0 x - ..... = 0 atau x + 3 = 0 x = ..... atau x = ..... Jadi, akar-akar x2 - x - 12 = 0 adalah ... atau ...  Hp = {....., .....}


Page | 46

Amarhadi

3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x2 – 4 = 0 dengan cara pemfaktoran! Penyelesaian: x2 – 4 = 0

(cari pasangan bilangan hasil kalinya -4 dan berjumlah 0) Sehingga x2 – 4 = 0 (x + .....)(x - .....) = 0 x + ..... = 0 atau x - ..... = 0 x = ..... atau x = ..... Jadi, akar-akar x2 - 4 = 0 adalah ..... atau .....  Hp = {....., .....}

..... x -4 .....

+

0  Kasus a ≠ 1 ax2 + bx + c = =

1 2 ax  bx  c a





1 ax  m ax  n  a

ax2 + bx + c = 0 dapat difaktorkan menjadi

1 (ax + m)(ax + n) = 0 a

dengan m + n = b dan m . n = ac

m

lebih mudah jika Anda menggunakan bagan seperti pada gambar di samping!

x ac n

_

b

Contoh 21:

1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: 2x2 + 3x + 1 = 0 dengan cara pemfaktoran! Penyelesaian: 2x2 + 3x + 1 = 0 2 x 1 3

+

2

(cari pasangan bilangan hasil kalinya 2 dan berjumlah 3) Sehingga 2x2 + 3x + 1 = 0

1 (2x + 2)(2x + 1) = 0 2 1 . 2(x + 1)(2x + 1) = 0 2 (x + 1)(2x + 1) = 0 x + 1 = 0 atau 2x + 1 = 0 x = -1 atau x = -

1 2

Jadi, akar-akar x2 - x - 12 = 0 adalah -1 atau - 1 2

1  Hp = {-1, - } 2


Page | 47

Amarhadi

atau 2x2 + 3x + 1 = + 2x + x + 1 = 2x(x+1) + x + 1 = 2x(x+1) + 1(x + 1) = (x + 1) (2x + 1) = x+1=0 atau 2x+1=0 x = 0–1 atau 2x = 0-1 x = -1 atau 2x = -1 2x2

x=-

1 2

0 0 0 0 0

Penjelasan: disini 3x kita ubah menjadi 2x + x karena: 2x . x = 2x2 . 1 2x2 = 2x2 secara skema dapat dijelaskan sbb:

2x2 + 2x difaktorkan menjadi 2x(x+1) x + 1 difaktorkan menjadi 1(x+1)

Jadi akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 1 = 0 adalah x1 = -1 atau x2 = -

1 . 2

1  Hp = {-1, - }. 2 2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: 7 + 19x – 6x2 = 0 dengan cara pemfaktoran! Penyelesaian: 7 + 19x – 6x2 = 0 -6x2 + 19x + 7 = 0 6x2 - 19x - 7 = 0 ..... x ..... ..... -19

+

x (-1) Sehingga 6x2 - 19x - 7 = 0

1 (6x .......)(6x .......) = 0 ..... 1 . 3(2x .......)2(3x .......) = 0 ..... (2x .......)(3x .......) 2x ....... = 0 atau 3x ........ = 0 x = ....... atau x = ....... Jadi, akar-akar 6x2 - 19x - 7 = 0 adalah ...... atau ......  Hp = {......, .......}

b. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna Cobalah Anda ingat kembali beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna, antara lain: 4 = 22, 9 = 32, 4x2 = (2x) 2, x2 + 2x + 1 = (x + 1)2, x2 – 4x + 4 = (x–2)2, dan sebagainya. Pada prinsipnya, tiap bentuk kuadrat dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Untuk lebih jelasnya marilah kita perhatikan beberapa contoh pengubahan bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna di bawah ini.


Page | 48

Amarhadi

a. Bentuk x2 + 2x + 5 dapat dimanipulasi secara aljabar sebagai berikut : x2 + 2x + 5  (x2 + 2x + 4) + (-4) + 5   (x + 2)2 + 1 Bentuk ini memuat bentuk kuadrat sempurna, yaitu : (x + 2)2 b. Bentuk -x2 - 6x + 10 dapat dimanipulasi secara aljabar sebagai berikut : -x2 - 6x + 10  -(x2 + 6x + 9) + (9) + 10   - (x + 3)2 + 19 Bentuk ini memuat bentuk kuadrat sempurna, yaitu : -(x + 3)2 c. Bentuk x2 - 8x - 1 dapat dimanipulasi secara aljabar sebagai berikut : x2 - 8x - 1  (x2 - 8x + 16) + (-16) – 1   (x - 4)2 + (-17) 

(x - 4)2

-

17

Bentuk ini memuat bentuk kuadrat sempurna, yaitu : (x - 4) 2 Dari ketiga contoh tersebut di atas, proses pengubahan bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna semacam itu disebut melengkapkan kuadrat sempurna. Selanjutnya, kita akan menggunakan proses melengkapkan bentuk kuadrat untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan, maka dengan mudah kita dapat menentukan akar-akarnya dengan pemfaktoran. Tetapi apabila suatu persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan, maka salah satu cara untuk menentukan akar-akarnya adalah dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Contoh 22: 1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x - 1 = 0 Penyelesaian: x2 + 4x - 1 = 0  x2 + 4x - 1 + 1 = 0 + 1 kedua ruas ditambah 1) 2  x + 4x = 1  x2 + 4x + (( 1 .4)2) = 1+(( 1 .4)2) Kedua ruas ditambah 4 yang 2 2 merupakan kuadrat dari 1 kali 2

koefisien x, yaitu (( 1 .4 ) 2 ) 2


Page | 49

Amarhadi



= 1+4



= 1+4

 (x + 2)2 = 5  x+2 = ±√5  x = - 2 ± √5 x = -2 + √5 atau x = -2 - √5 Jadi akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x - 1 = 0 adalah x1 = -2 + √5 atau x2 = -2 - √5  Hp = {-2 +√5 , -2 - √5} 2. Tentukan akar-akar Penyelesaian: x2 - 6x + 4  x2 - 6x + 4 + (-4)  x2 - 6x  x2 - 6x + ( 1 (.....))2

persamaan kuadrat x2 - 6x + 4 = 0 = = = =

0 0 + ..... .... ..... + ( 1 (......))2

2

2

(kedua ruas ditambah -4) (Kedua ruas ditambah ..... yang merupakan kuadrat dari setengah kali koefisien x, yaitu ( 1 (......))2 2

   

x2 - 6x + 32 = ......+ ........... 2 (x-3) = ......+ ...... x-3 = ± ...... x = ...... ± ...... x = ...... - ....... Atau x = ...... + ...... Jadi akar-akar persamaan kuadrat x2 - 6x + 4 = 0 adalah x1 = ...... - ....... Atau x2 = ...... + ......  Hp = ...... - ......., ...... + .......}

3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 4x + 1 = 0 Penyelesaian : 2x2 - 4x + 1 = 0  x2 - 2x + 1 = 0 (kedua ruas dibagi 2) 2

 x2 - 2x + 1 + (.....) 2

=

 x2 - 2x

0 + (.....)

(kedua ruas ditambah (.....))

1  2

=

2  x2 - 2x +  1   .......

=  1 +  1 .......

 x2 - 2x + (.....)2

=

2



2

 (x - .....)2

=  1 + .....

 (x - .....)2

= ......

 x - .....

= ± ......

2



1 2

2



(Kedua ruas ditambah ...... yang merupakan kuadrat dari setengah kali koefisien x, yaitu

+ (.....)2

2

......

 x

=

..... ±

...... ...... ..... ......


Page | 50

Amarhadi

 x = ...... - ...... .....

atau

......

x = ..... + ...... ..... ......

Jadi akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 4x + 1= 0 adalah atau x1 = ...... - ...... ..... x2 = ...... + ...... ..... ......

 Hp = ...... -

......

...... ..... , ......

...... - ...... ..... } ......

c. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat Selain menggunakan cara pemfaktoran, untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. Rumus kuadrat dapat diturunkan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut:

ax 2  bx  c  0 b    a x 2  x   c  0 a  

 2 b b2   a x  x  2 a 4a 

2

b  b 2  4ac   x   2a  4a 2 

  b2      c  0   4a 

2

b  b2   a x  c 0   2a  4a 

2

b  1   x  b 2  4ac   2a  2a  b 1 x  b 2  4ac 2a 2a

2

b  b2   a x   c  2a  4a 

x

 b  b 2  4ac 2a

Jadi, rumus akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, adalah

x1, 2 

 b  b 2  4ac 2a

Contoh 23: 1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 3x + 2 = 0 dengan menggunaka rumus kuadrat Penyelesaian: a = 1, b = 3, c = 2

kuadrat

 3  32  4.1.2 2.1 3 1  x12  2  3 1  2  3 1  4  x1     1 atau x2    2 2 2 2 2 x12 

Jadi akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x + 2 = 0 adalah -2 atau -1  Hp = {-2, -1}


Page | 51

Amarhadi

2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 3x2 - 6x + 2 = 0 dengan menggunaka rumus kuadrat Penyelesaian: a = 3, b = -6, c =2

 x12 

kuadrat

 (6)  (......)....  4(......)(......) 2(......)

......  ......  ...... ......  ...... ......  ...... ......   ...... ...... ...... ......  ...... ...... 1 x1   ......  ...... atau ...... ...... ......  ...... ...... 1 x2   ......  ...... ...... ......

 x12 

Jadi akara-akar persamaan kuadrat 3x2 - 6x + 2 = 0 adalah

......  ...... ...... 1 ......  ...... ...... 1  ......  ...... atau  ......  ...... ...... ...... ...... ...... ......  ...... ...... 1 ......  ...... ...... 1  ......  ...... ,  ......  ...... }  Hp = { ...... ...... ...... ......

Uji Kompetensi 6 Kerjakan soal-soal berikut. 1. Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di bawah ini dengan cara pemfaktoran. a. x2 + 8x + 12 = 0 d. -4x2 + 5x = 0 b. -x2 - x + 20 = 0 e. x2– 16 = 0 c. 2x2 + 7x + 3 = 0 f. x2– 8 = 0 2. Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di bawah ini dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. a. x2 - 2x – 1 = 0 d. 3x2 - 4x + 1 = 0 f. -x2 + 3x – 1 = 0 2 2 b. x + 3x – 1 = 0 e. -x + 6x – 6 = 0 c. 2x2 + 4x + 1 = 0 f. x2 - 2x + 8 = 0 3. Dengan mengunakan rumus kuadrat carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut: a. x2 – 4x + 2 = 0 d. x2 + 5√2x + 10 = 0 f. x2 – 2x + m = 0; m ≤ 1 2 2 b. 8 – 3x - 2x = 0 e. x – 4x + 2 = 0 c. 2x2 + 7x + 2 = 0 f. x2 + 6x + 9 = 0 4. a. Salah satu akar persamaan kuadrat x2 + 5x + k - 2 = 0 adalah 2. Tentukan nilai k b. Persamaan kuadrat x2 + (m + 1)x + 3m + 2 = 0 salah satu akarnya adalah 5 tentuka nilai m dan akar yang lainya. c. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 2x – 1 = 0 adalah α dan β (α > β). Hitunglah : (i) α + β (ii) α.β (iii) α – β 5. Suatu kebun berbentuk persegi panjang dikelilingi pagar sepanjang 60 cm. Bila luas kebun itu 200 m2, tentukan panjang dan lebarnya. m 6. Peluru ditembakkan verrikal ke atas dengan kecepatan 50 det . Tinggi peluru setelah t detik ditentukan dengan rumus h(t) = 50 – 5t2. Kapan peluru itu mencapai 45 m? Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 52

Amarhadi

3. Jenis-jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat Anda telah mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) dengan menggunakan rumus kuadrat , yaitu:

x1, 2 

 b  b 2  4ac 2a

Dari rumus itu tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai b2 – 4ac. Bentuk b2–4ac disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 dan dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = b2 – 4ac. Pemberian nama/istilah diskriminan D = b2 – 4ac , dikarenakan nilai D = b2 - 4ac ini yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar-akar persamaan kuadrat. Jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat. Untuk lebih jelasnya, lakukan kegiatan berikut! 1. Tentukan akar dari persamaan kuadrat a. x2 + 5x + 6 = 0 b. x2 - 4x + 4 = 0 c. x2 + x + 1 = 0 2. Dari ketiga persamaan kuadrat di atas a) Adakah yang mempunyai dua akar yang berbeda, dua akar yang sama atau tidak memiliki akar? b) Tentukan nilai b2 – 4ac, apakah nilai b2 – 4ac ada hubungannya dengan banyak akar dari persamaan kuadrat? 3. Perhatikan tanda dari b2 – 4ac dai tiga persamaan kuadrat. Apakah positif, negatif atau nol. Isi tabel di bawah ini. Persamaan kuadrat Tanda dari b2 – 4ac Banyak akar real 2 a. x + 5x + 6 = 0 b. x2 - 4x + 4 = 0 c. x2 + x + 1 = 0 4. Amati tabel di atas! Apakah tanda dari b2 – 4ac berhubungan dengan banyaknya akar dari suatu persamaan kuadrat? Hasil dari di atas menunjukan bahwa tanda dari “b2 – 4ac” yang membedakan banyaknya penyelesaian atau jenis akar suatu persamaan kuadrat. Oleh karena itu b2 – 4ac disebut diskriminan diberi lambang D Jadi nilai diskriminan D= b – 4ac sangat menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, yaitu: 1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional. 2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (kembar), real dan rasional. 3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner)


Page | 53

Amarhadi

Contoh 24: 1. Tanpa harus menyelesaikan persamaan terlebih dulu, tentukan jenis akarakar tiap persamaan kuadrat berikut! a. x2 – 10x + 16 = 0 b. 3x2 – 36 = 0 c. x2 + 6x + 9 = 0 d. -2x2 + 3x – 6 = 0 Penyelesaian: a. x2 – 10x + 16 = 0, berarti a = 1, b = -10, dan c = 16. Nilai diskriminannya adalah: D = b2 – 4ac = (-10) 2 – 4 . 1 .16 = 100 – 64 = 36 Karena D = 36>0 dan D = 36 = 62 berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat x2 – 10x +16 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional. b 3x2 – 36 = 0, berarti a = ....., b = ....., dan c = ...... . Nilai diskriminannya adalah: D = b2 – 4ac = (......)2 – 4 (.....)(.....) = ..... + ..... = ...... Karena D = .........0 dan D = ....... tidak berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 3x2 – 36 = 0 mempunyai dua akar yang berlainan dan irasional. c. x2 + 6x = 9 = 0, berarti a = ....., b = ....., dan c = ...... Nilai diskriminanya adalah: D = b2 – 4ac = (......)2 – 4 (......) (......) = (......) – (......) = ...... Karena D ...... 0, maka persamaan kuadrat x2 + 6x + 9 = 0 mempunyai ............................................................................................................... . d -2x2 + 3x – 6 = 0, berarti a = ....., b = ....., dan c = ...... . Nilai diskriminannya adalah: D = b2 – 4ac = (......)2 – 4 (......) (......) = (......) – (......) = (......) Karena D ........... maka persamaan kuadrat –2x2 + 3x – 6 = 0 ...................... ....................................................................................................................... ..

2. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar)! Penyelesaian: 2x2 – 4x + p = 0, berarti a = 2, b = -4, dan c = p. Nilai diskriminannya: D = b2 – 4ac = (-4) 2– 4. 2.p = 16 – 8p Agar persamaan kuadrat 2x2 – 4c + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar), maka: Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 54

Amarhadi

D=0 16 – 8p = 0 16 = 0 + 8p 16 = 8p p = 16/8 p=2 Jadi persamaan kuadrat 2x2 – 4x + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar) jika nilai p = 2.

3. Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat x2 + (m+2)x + m = 0, dengan m  R selalu mempunyai dua akar real yang berlainan! Penyelesaian: x2 + (m+2) x + m = 0, berarti a = 1, b = (m + 2), dan c = m. Nilai diskriminannya adalah: D = b2 – 4ac = (m+2) 2 – 4.1.m = m2 + 4m + 4 – 4m = m2 + 4 Untuk setiap m  R maka m2 selalu positif atau m2 > 0, sehingga nilai D = m2+4 juga selalu positif atau D = m2 + 4 > 0. oleh karena D > 0 untuk setiap m  R maka persamaan kuadrat x2 + (m + 2)x + m = 0 selalu mempunyai dua akar real yang berlainan.

Uji Kompetensi 7 Kerjakan soal-soal berikut. 1.

Hitunglah diskriminan persamaan kuadrat berikut, kemudian tentukan jenisjenis akarnya a. x2 + 2x – 3 = 0 e. 9t2 + 6t + 1 = 0 b. 5x2 - x = 5 f. 16y2 – 8y + 1 = 0 2 c. 3x + 7x + 3 = 0 g. 3t2 + 7 = 2t d. h. 4n2 – 3n + 4 = 0 y y= +5

2.

a. Persamaan kuadrat 2x2 + mx + 2 = 0 mempunyai akar kembar, tentukan nilai m dan akar persamaan kuadrat tersebut. b. Jika a2x2 – (2a – 3)x + 1 = 0 mempunyai akar real yang berlainan maka tentukan nilai a c. Tentukan nilai k agar persamaan kuadrat x2 – 5x + 2k = 0 mempunyai akar rasional Buktikan! a. Persamaan kuadrat x2 – (2k + 3)x + 3k = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan untuk sembarang nilai k  R b. Persamaan kuadrat x2 + (2a – 1)x + 2a2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar-akar nyata untuk setiap nilai a

2

3.

4. Jumlah dan Hasil Akar-Akar Persamaan Kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dimana a, b, c  R dan a ≠ 0 dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat sebagai berikut:

x1 

b D b D atau x 2  2a 2a


Page | 55

Amarhadi

dengan D = b2 – 4ac Lakukan kegiatan berikut untuk mendapatkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat  Jumlah akar-akar persamaan kuadrat

 b  D .......  .....  2a ........ ......  ......  ......  ......  2a ......  2a .....  .....

x1  x2 

 Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

  b  D  ......  .....    x1  x2     2 a ......    (b  D ) (......  ....... 4a 2 .....  ..... ....  ..... ....  ......  4a 2 .....  (......  4ac) ......  ......  4ac   4a 2 4a 2 ...... ......  2  4a ...... 

 Selisih akar-akar persamaan kuadrat

  b  D   .......  .....    x1  x2     ........  2 a     ......  .......  .......  ....... 2a ....... ........   2a ........



Kesimpulan: Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx+ c = 0 (a ≠ 0), maka: 1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah x1  x2  

..... .....

2. Hasil kali akar-akar persamaan kudrat adalah x1 . x2 

..... .....

3. Selisih akar-akar persamaan kuadrat adalah x1  x2 

..... .....


Page | 56

Amarhadi

Contoh 25: 1. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x + 2 = 0, maka tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dulu, hitunglah: a. x1 + x2 c. x1 - x2 e. x12 + x22 b. x1 . x2

d.

1 1  x1 x2

Penyelesaian:

x2 – 3x +2 = 0, berarti a = 1, b = -3, dan c = 2. b (3) a. x1  x2     3 a 1 c 2 b. x1 . x2    2 a 1 c. x1  x2 

b 2  4ac D  a 1

(3) 2  4(1)(2)  9  8  1 1 1 2 2 2 d. x1  x2   x1  x2   2 x1 x2 

2

 b c      2   a a 2  3  22   9  4  6 e.

1 1 x2  x1 x1  x2    x1 x2 x1 x2 x1 x2 b  3  a c 2 a

2. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 +5x – 6 = 0 adalah p dan q. Tanpa harus menyelesaikan persamaanya terlebih dulu, hitunglah nilai: a. p + q

d. p2 + q2

b. p . q

e.

1 1  p q

g.

1 1  2 2 p q

h. p3 + q3

c. p - q f. (p – q)2 i. p2q + pq2 Penyelesaian: 2x2 +5x – 6 = 0, berarti a = 2, b = 5, dan c = -6 a. p  q  

b .....  a .....

c .....   a ..... .....  4(....)(.....) ...... ...... D c. p  q     a ..... ...... ...... b. p . q 


Page | 57

Amarhadi

2

d. p 2  q 2   p  q   2 pq = .............................. = .............................. = .............................. e.

1 1 pq   p q pq = .............................. = ..............................

f. (p – q)2 = .............................. = .............................. = .............................. g.

1 1 p2  q2   p2 q2 p 2q 2 = .............................. = ..............................

h. p3 + q3 = (p + q)3 – 3pq(p + q) = .............................. = .............................. i. p2q + pq2 = pq(p + q) = .............................. = ........... Terdapat hubungan persamaan kuadrat.

antara

nilai

diskriminan

(D)

dan

akar-akar

Diskusi! Lengkapilah tabel berikut untuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akar x1 dan x2. No. 1.

Akar-akar Syarat Kedua akarnya real (nyata) positif: x1 D .... 0 positif dan x2 positif x1 + x2 .... 0 x1 . x2 ..... 0


Page | 58

Amarhadi

2.

3.

4.

5.

Kedua akarnya real (nyata) berlawanan tanda: x1 positif dan x2 negatif atau x1 negatif dan x2 positif Kedua akarnya real (nyata) negatif x1 negatif dan x2 negatif

D .... 0 x1 . x2 ..... 0

D .... 0 x1 + x2 .... 0 x1 . x2 ..... 0 Kedua akarnya real (nyata) saling D .... 0 berlawanan: x1 = -x2 x1 = -x2 x1 + x2 = ....  b = .... Kedua akarnya saling berkebalikan: D .... 0

x1 

1 x2

x1 

1 x2

 x1 x2  ....  6.

7.

c  ....

Kedua akarnya real sama (kembar) x1 = x2

D .... 0 x1 = x2  x1 - x2 = ...  D = .... Kedua akarnya real (nyata), salah satu D .... 0 akarnya nol  c = .... dan x1 = 0 dan x2 ≠ 0 atau .....  x2 =  x1 ≠ 0 dan x2 = 0 .....

Contoh 26: 1. Tentukan nilai m. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x2 – 12x m = 0, adalah tiga kali akar yang lain. Penyelesaian Misalkan akar-akar persamaa kuadrat x2 – 12x - m = 0 adalah α dan β Diketahui salah satu akarnya 3 kali akar yang lain α = 3β ................. (1) x2 – 12x - m = 0 a = 1; b = -12 dan c = -m α + β = 12 ................. (2) α . β = -m ................. (3) Subtitusi (1) pada (2): α + β = 12  3β + β = 12  4β = 12  β=3 Subtitusi β = 3 pada (1): α = 3β α = 3(3) = 9 Subtitusi α = 3 dan β = 3 pada (3): -m = α . β  m = -αβ  m = -(9)(3) = -27 Jadi nilai m adalah -27


Page | 59

Amarhadi

2. Selisih kuadrat akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 6x + (2k + 1) = 0 adalah 6. Tentukan nilai k. Penyelesaian Misalkan akar-akar 2x2 – 6x + (2k + 1) = 0 adalah x1 dan x2 dengan a = 2; b -6; dan c = 2k + 1

(6) 3 2 (2k  1) x1 . x2 = 2 D x1 - x2 = 2a x1 + x2 = 

.....................(1) .....................(2)

 D2 2    x1  x2     2 a   D 2   x1  x2   2 a (6) 2  4(2)(2k  1)   22 36 16k  8   4 28 16k    7  4k 4 2

  x1  x2   7  4k

......................(3)

Selisih kuadrat akar-akar persamaan kuadrat adalah 6  x12 - x22 = 6  (x1 + x2)(x1 - x2) = 6  3(x1 - x2) = 6  (x1 - x2) = 2 Kedua ruas dikuadratkan  (x1 - x2)2 = 22  (x1 - x2)2 = 4 Subtitusi ke persamaan (3)  7 – 4k = 4  4k = 3  3 k= 

4

3. Tentukan nilai p agar akar persamaan kuadrat (m – 1)x2 + (2m + 6)x + 36 = 0 memiliki dua akar yang saling berlawanan. Tentukan pula kedua akar tersebut! Penyelesaian Misalkan akar-akarnya adalah α dan β (m – 1)x2 + (2m + 6)x + 36 = 0 kedua akarnya berlawanan: α = -β    0  2m + 6 = 0  2m = -6 b   0  m = -3 a b0


Page | 60

Amarhadi

Subtitusi m = -3 pada (m – 1)x2 + (2m + 6)x + 36 = 0 diperoleh: (-3 – 1)x2 + (2(-3) + 6)x + 36 = 0 -4x2 + 36 = 0 x2 - 9 = 0 atau x2 - 9 = 0 x2 = 9 (x – 3)(x + 3) = 0 x2 = ±√9 x – 3 = 0 atau x + 3 = 0 x = ±3 x = 3 atau x = -3 Jadi, nilai m = - 3 dan akar-akarnya adalah -3 dan 3.

Uji Kompetensi 8 Kerjakan soal-soal berikut. 1. Tanpa menyelesaikan persamaan, hitunglah jumlah, hasil kali dan selisih akarakar persamaan kuadrat berikut a. 3x2 - x – 6 = 0 d. 3 3  2x x  , x 0 x x b. x2 + 1 = 4x e. mnx2 + (m2 + n2)x + mn = 0 c. x 2  3

x

1, x  0

2. Perkalian akar-akar persamaan kuadrat (p + 2) x2 + 5x + 2p = 0 adalah 2 . 3

Tentukan nilai p. 3. Agar akar-akar x1 dan x2 dari persamaan kuadrat 2x2 – 5x + m = 0

memenuhi 4x1 + 2x2 = 2. Tentukan nilai m 4. Salah satu akar persamaan kuadrat mx2 – 3x + 1 = 0 adalah dua kali akar 2

yang lain, maka tentukan nilai m. 5. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – x + 4 = 0.

Tentuka pernyataan-pernyataan berikut tanpa menyelesaikan persaman: a. 2α + 2β e. α3 + β3 b.

3 3   

c. (α + 2)(β +2)

f.

1 2

g.



1 2

2 2   

d. α 2β + αβ2 6. Jika p dan q akar dari persamaan kuadrat x2 + kx + k = 0 dan p2 + q2 = 15. Tentukan: a. Nilai k b. Kuadrat jumlah akar-akarnya c. Selisih kuadrat akar-akarnya 7. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat (3p – 1)x2 – 34x + 5 + p = 0 memiliki dua akar berkebalikan dan tentukan pula akar yang berkebalikan tersebut! 8. Akar-akar x2 – 5x – m = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai m jika x1 : x2 = 2 : 3.


Page | 61

Amarhadi

5. Menyusun Persamaan Kuadrat yan Akar-akarnya Memenuhi Kondisi Tertentu. Di depan telah dibahas cara menyelesaikan akar-kar persamaan kuadrat, sekarang proses kita balik, jika diketahui akar-akar maka kita susun persamaannya.

a. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui 1) Menggunakan perkalian faktor Jika akar-akar perssamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2, maka: (x – x1)(x – x2) = 0 Contoh 27: Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya: a. 3 dan 4 c. 1 - √5 dan 1 + √5 b. -√3 dan √3 Penyelesaian a. 2 dan 3 Misal: x1 = 3 dan x2 = 4 Persamaan kuadrat (x – x1)(x – x2) = 0  (x – 3)(x – 4) = 0  x2 – 7x + 12 = 0 Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4 adalah x2 – 7x + 12 = 0 b. -√3 dan √3 Misal: x1 = -√3 dan x2 = √3 Persamaan kuadrat (x – x1)(x – x2) = 0  (x – (-√3))(x – √3) = 0  (x + √3)(x – .....) = 0  x2 - .... = 0 Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya -√3 dan √3 adalah x2 - .... = 0 c. 1 - √5 dan 1 + √5 Misal: x1 = 1 - √5 dan x2 = 1 + √5 Persamaan kuadrat (x – x1)(x – x2) = 0  (x – (1 - √5))(x – (1 + √5)) = 0  x2 – (1 - √5)x – (1 + √5)x + (1 - √5)( 1 + √5)  x2 – x + √5x - x - √5x + 1 – 5  x2 – 2x - 4 = 0 Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 - √5 dan 1 + √5 adalah x2 – 2x - 4 = 0


Page | 62

Amarhadi

2) Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka persamaan kuadrat dapat dinyatakan dengan (x – x1)(x – x2) = 0  x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 Contoh 28: Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya: a. 3 dan 4 c. 1 - √5 dan 1 + √5 b. -√3 dan √3 Penyelesaian: a. 3 dan 4 Misal: x1 = 3 dan x2 = 4 3 x x1x2 =12

 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0  x2 – 7x + 12

4 + x1 + x2 = 7 b. -√3 dan √3 Misal: x1 = -√3 dan x2 = √3 -√3 x x1x2 = .... √3

 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0  x2 – ....x + (....) = 0  x2 – .... = 0

+

x1 + x2 = ... c. 1 - √5 dan 1 + √5 Misal: x1 = 1 - √5 dan x2 = 1 + √5

........ x x1x2 = ........

........

 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0  x2 –(........)x + (........) = 0  x2 – .....x - ..... = 0

+

x1 + x2 = ........

b. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Berhubungan dengan Akar-akar Persamaan Kuadrat Lain. Untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan persamaan kuadrat lain digunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Contoh 29: 1. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – 2x –4 = 0. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya a. x1 + 2 dan x1 + 2 b. 1  1 dan x12  x 2 2 x1

x2


Page | 63

Amarhadi

Penyelesaian: x2 – 2x – 4 = 0 akar-akar x1 dan x2  x1 + x2 =  b   (2)  2 , dan a

1

c 4  x1 . x2 =   4 a a. Misalkan α = x1 + 2, dan β = x2 + 2 α + β = x1 + 2 + x2 + 2 = x1 + x2 + 4 = 2+4=6 α . β = (x1 + 2)(x2 + 2) = x1x2 + 2x1 + 2x2 + 4 = x1x2 + 2(x1 + x2) + 4 = -4 + 2(2) + 4 = 4 Persamaan kuadrat yang diminta adalah

x2 – (α + β)x + αβ = 0  x2 – 6x – 4 = 0

Strategi penghapusan indeks (cara subtitusi): Karena akar persamaan kuadrat baru (x1 + 2) dan (x2 + 2) bentuk tersebut simetris karena, jika indeks dihapus maka akar-akar tersebut identik

Misalkan x + 2 = a x = a – 2 ......*) untuk mendapatkan persamaan kuadrat baru subtitusi *) pada x2 – 2x – 4 = 0 x2 – 2x – 4 = 0 2  (a – 2) – 2(a – 2) – 4 = 0  a2 – 4a + 4 – 2a + 4 – 4 = 0  a2 – 6a + 4 = 0 Jadi persamaan kuadrat baru yang diminta adalah x2 – 6x + 4 = 0 1 1 dan   x 2  x 2  1 2 x1 x 2 1 1 x1  x 2 2 1      x1 x 2 x1 x 2 4 2

b. Misalkan



  x 12  x 2 2  x 1  x 2 2  2x 1 x 2  (2)2  2(4) 12   

 1        (12)   6  2

1 23  12  2 2

Persamaan adalah

kuadrat

yang

diminta x2 – (α + β)x + αβ = 0  x2 –  23  x + (-6) = 0 

x2

 2 - 23 x - 6 = 0 2

 2x2 - 23x - 12 = 0 Jadi persamaan kuadrat baru yang diminta adalah 2x2 – 23x - 12 = 0


Page | 64

Amarhadi

2. Diketahui persamaan kuadrat 2x2 – 4x – 1 = 0. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: a. Satu kurangnya dari akar persamaan kuadrat di atas b. Tiga kali dari akar persamaan kuadrat di atas c. Berlawanan dengan akar persamaan kuadrat di atas d. Berkebalikan dengan akar persamaan kuiadrat di atas Penyelesaian: Misal akar 2x2 – 4x – 1 = 0 adalah α dan β (4) 2 2 1 1     2 2   

a. Akar persamaan kuadrat baru 1 kurangnya dari persamaan kudrat lama, sehingga (α – 1) dan (β – 1) Misalkan: x1 = α – 1 dan x2 = β – 1 x1 + x2 = (α – 1) + (β – 1)  x1 + x2 = (α + β) - 2  x1 + x2 = 2 – 2 = 0 x1 . x2  x1 . x2  x1 . x2  x1 . x2

akar

= (α – 1)(β – 1) = αβ – (α + β) + 1 = 1 - 2 + 1 2 = 3 2

Jadi persamaan kuadrat baru yang diminta adalah x2 – (x1 + x2 )x + x1x2 = 0  x2 – 0x +   3  = 0  2 3  x2 - = 0 2

 2x2 – 3 = 0 b. Akar-akar persamaan kuadrat 3 kali dengan persamaan kudrat lama, sehingga α dan 3β Misalkan: x1 = -α dan x2 = -β x1 + x2 = 3α + 3β  x1 + x2 = (α + β)  x1 + x2 = 3(-2) = -6  

akar-akar

x1 . x2 = (3α)(3β) x1 . x2 = 9(αβ) 9 x1 . x2 =  1  9      2

2

Jadi persamaan kuadrat baru yang diminta adalah x2 – (x1 + x2 )x + x1x2 = 0  x2 – (-6)x +   9  = 0  2

 x2 + 6x - 1 = 0 2

 2x2 + 12x - 9 = 0


Page | 65

Amarhadi

c. Akar-akar persamaan kuadrat berlawanan dengan akar-akar persamaan kuadrat lama, sehingga -α dan -β Misalkan: x1 = -α dan x2 = -β x1 + x2 = -α + (-β)  x1 + x2 = -(α + β)  x1 + x2 = -2  

x1 . x2 = (-α)(-β) x1 . x2 = αβ x1 . x2 =  1 2

Jadi persamaan kuadrat baru yang diminta adalah x2 – (x1 + x2 )x + x1x2 = 0  x2 – (-2)x +   1  = 0  2 1  x2 + 2x - = 0 2

 2x2 – 4x - 1 = 0 d. Akar-akar persamaan kuadrat berkebalikan dengan akar-akar persamaan kuadrat lama, sehingga 1 dan 1 



Misalkan: x1 = 1 dan x2 = 1   x1 + x2 = 1 + 1    x1 + x2 =    =  2  1  2 

x1 + x2 = 4 x1 . x2 =  1  1         



x1 . x2 = 1 = 1 



1 2

 x1 . x2 = -2 Jadi persamaan kuadrat baru yang diminta adalah x2 – (x1 + x2 )x + x1x2 = 0  x2 – 4x + (-2) = 0  x2 - 4x - 2= 0 Sekarang, apakah contoh 2, di atas dapat diselesaikan dengan cara penghapusan indeks?jika ya, coba Anda kerjakan!


Page | 66

Amarhadi

Uji Kompetensi 9 Kerjakan soal-soal berikut. 1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui sebagai berikut: a. 6 dan 9 g. 2 + √3 dan 2 - √3 b. - 3 dan 4 h. dan 1 1 2

c. 2 dan

 23

d. -3 dan -8 e. 1 dan 2 3 3

2

2

i.

-3p dan 3p

j.

-3a dan – 7a

2

f. 2√2 dan -2√2 Dengan cara (i) Faktor (ii) Rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya 2. Persamaan kuadrat 2x2 - 3x - 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Susunlah persamaan kuadrat yang akarnya a. 2x1 + 3 dan 2x2 + 3 b. 3(x1 + 1) dan 3(x2 + 1) 1 1 x  2 x 1 c. dan 2  2 d.

3

1 dan 1 3 x1 x2

3. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat 3x2 – 2x + 1 = 0.

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akar sebagai berikut. a. α2 dan β2 b. 1 dan 1 c.

2 2 1 dan 1 2 2

d. (α2 + β2) dan α + β 4. a. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya tiga lebihnya dari akarakar persamaan kuadrat 2x2 + x – 2 = 0 b. Persamaan kuadrat x2 -3px + q = 0 akarnya tiga lebihnya dari persamaan kuadrat x2 – px – 1 = 0. Tentukan nilai p + q!

C. Pertidaksamaan Kuadrat 1. Pertidaksamaan Sebelum kita membahas pertdaksamaan, berikut akan dijelaskan mengenai kalimat terbuka dan kalimat tertutup. Kalimat terbuka adalah kalimat yang nilai kebenarannya belum bisa ditentukan kebenarannya karena masih mengandung variabel, seperti 3x = 9, n > 6, tentukan nilai n?. Sedangkan kalimat tertutup adalah kalimat yang nilai kebenarannya dapat dipastikan secara langsung (benar atau salah), seperti Dompu terletak di Pulau Sumbawa, 7 + 2 = 11 dan sebagainya. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan, sedangkan ketidaksamaan adalah kalimat tertutup yang mengunakan tanda ketidaksamaan. Kalimat terbuka dan kalimat tertutup akan dibahas lebih lanjut pada semeter 2 tentang logika matematika.


Page | 67

Amarhadi

Tanda ketidaksamaan yang digunakan terdiri atas “<” di baca : kurang dari “≤”di baca : kurang dari atau sama dengan : paling banyak : maksimum : tidak lebih dari “>”di baca : lebih dari “≥”di baca : lebih dari atau sama dengan : paling sedikit/sedikitnya : minimum : tidak kurang dari Perhatikan kalimat-kalimat berikut ini! 1. 2x – 7 ≥ -11 merupakan pertidaksamaan linear 2. x2 + 6x – 4 < merupakan pertidaksamaan kuadrat 3. 3x  7  0 merupakan pertidaksamaan pecahan (rasional) x6

4. x  5  3 merupakan pertidaksamaan bentuk akar 5. 5 x  2  4 merupakan pertidaksamaan nilai mutlak 6. 7 > 5 merupakan ketidaksamaan 7. 2 – 4 ≥ 6 + 90 merupakan ketidaksamaan

2. Interval (Selang) Bilangan Penyelesaian atau solusi dari pertidaksamaan sering dikaitkan dengan interval bilangan. Interval dapat dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan. Tanda “<” dan “>” menyatakan interval tertutup dan pada garis bilangan ditandai dengan noktah kosong . Sedangnkan tanda “≤” dan “≥” menyatakan interval tertutup dan pada garis bilangan ditandai dengan noktah berisi . Berikut bentuk interval yang dinyatakan dalam garis bilangan dan hinpunan. Jenis Notasi Notasi himpunan Garis bilangan interval interval {x|a ≤ x ≤ b, x  R} [a, b] Interval tertutup

{x| a ≤ x, x  R}

[a, ∞)

{ x|x ≤ b, x  R}

(-∞, b]

{x|a < x < b, x  R}

(a, b)

{x|a < x, x  R}

(a, ∞)

{ x|x < b, x  R}

(-∞, b)

Interval setengah terbuka

{x|a < x ≤ b, x  R}

(a, b]

{x|a ≤ x < b, x  R}

[a, b)

Garis lurus

{x|x  R}

(-∞,∞)

Interval terbuka


Page | 68

Amarhadi

Uji Kompetensi 10 Kerjakan soal-soal berikut. 1. Lukislah pertidaksamaan di bawah ini pada garis bilangan! a. x ≤ 2 f. -3 ≤ x < ∞ b. x < 2 g. -2 < x < 4 c. x ≥ -1,5 h. 0 < x ≤ 6 d. x > 5,5 i. -2 < x < ∞ e. 0 < x < 4 j. -∞ < x < 8 2. Lukislah pertidaksamaan dibawah ini pada garis bilangan! a. x ≤ -2 atau x ≥ 5 d. -∞ < x ≤ 2 atau 3 ≤ x < ∞ b. x ≤ 2 atau x > 4 e. 1 ≤ x < 2 atau 4 ≤ x x < ∞ c. 0 < x ≤ 7 atau x ≥ 11 f. -2 ≤ x ≤ 0 atau 1 < x ≤ 4 3. Lukislah interval bilangan di bawah ini pada garis bilangan! a. (2, 6) d. (2, 6) atau (7, 9) b. (2, 8] e. [2, 5) atau [6, 10) c. [3, 5) f. (-∞, 5) atau (6, ∞) 4. Nyatakan daerah yang diarsir dibawah ini dalam bentuk himpunan

a.

d. 6

b. 3

11

4

e.

3

5

f.

2

6

11 c.

1

3. Sifat-sifat Dasar Pertidaksamaan a. Jika pertidaksamaan ditambah atau dikurang bilangan negatif dengan sembarang bilangan real maka tandanya tidak berubah. a > b dan c  R maka a + c > b + c dan a – c > b - c a c c b a a b dan c  R maka a . c > b . c dan

c. Jika pertidaksamaan dikali atau dibagoi dengan bilangan real negatif maka tanda harus dibalik

a b < c c b a a b . c dan > c c a > b dan c  R serta c < 0 maka a . c b > 0 maka a2 > b2 > 0 e. Jika ruas kiri dan ruas kanan negatif maka suatu pertidaksamaan dapat dikuadratkan asalkan tandanya harus dibalik Jika a b2 > 0 f. Jika 0 < a b > 0 dan c > d > 0 maka a. c > b . d > 0 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Page | 69

Amarhadi

4. Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear dalam variabel x adalah pertidaksamaan yang salah satu ruas atau kedua ruasnya mengandung bentuk linear dalam variabel x. Bentuk baku dari pertidaksamaan linear dalam variabel ada 4 macam, yaitu: a. ax + b < 0 b. ax + b ≤ 0 c. ax + b > 0 d. ax + b ≥ 0 dengang a ≠ 0 Cara menyelesaikan pertidaksamaan linear: Pisahkan variabel x di ruas tersendiri dan konstanta di ruas tersendiri pula dengan menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan. Contoh 30: 1. Tentukan hp pertidaksamaan berikut untuk x  R dan nyatakan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan. a. 2x + 3 > 7 c. 3x + 5 ≤ -x + 13 b. 3 – 2x ≤ - 5 d. 2x – 5 ≥ 6x + 3 Penyelesaian a. 2x + 3 > 7 2x + 3 - 3 > 7 - 3 tambahkan -3 pada kedua ruas 2x > 4

2x 2

4 2

>

kalikan kedua ruas dengan

1 2

x > 2

 Hp = {x|x > 2, x  R}

b.

3 – 2x ≤ - 5 -3 + 3 – 2x ≤ -3 + (-5) -2x ≤ -8

 2x 2

≥

8 2

tambahkan -3 pada kedua ruas kalikan kedua ruas dengan -

1 2

x ≥ 4  Hp = {x|x ≥ 4, x  R}

c.

3x + 5 3x + 5 + x 4x + 5 4x + 5 - 5 4x

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

-x + 13 -x + 13 + x 13 13 - 5 8

4x 4

≥

4 4

x

≥

1

tambahkan x pada kedua ruas tambahkan -5 pada kedua ruas kalikan kedua ruas dengan

1 4

 Hp = {x|x ≥ 1, x  R}


Page | 70

Amarhadi

d.

2x – 5 ≥ 2x – 5 + 5 ≥ 2x ≥ 2x – 6x ≥ -4x ≥

 4x 4 x

6x 6x 6x 6x 8

+ + + +

≤

8 4

≤

-2

3 3+5 8 8 – 6x

tambahkan 5 pada kedua ruas tambahkan -6x pada kedua ruas kalikan kedua ruas dengan -

1 4

2. Selesaikan pertidaksamaan berikut! a. -3 ≤ 6x - 1 < 3 b. x + 2 ≤ 2x + 1 ≤ 3x + 7 Penyelesaian Untuk menPenyelesaian soal ini, kita harus melakukan irisan dari 2 kondisi a. -3 ≤ 6x - 1 ≤ 3 Kondisi (1) Kondisi (2)   -3 ≤ 6x - 1 6x - 1 < 3   6x - 1 ≥ -3 6x < 3 + 1   6x ≥ -3 + 1 6x < 4  6x ≥ -2 4  x <  

x

≥ x 

≥

2 6 1  3



x

6 2 3

<

2 3

1 3

Hp diperoleh dari irisan dari kedua penyelesaian Irisannya adalah



1 3 2 3

  Hp = {x| 

1 3

2 3

1 2 ≤ x ≤ , x  R} 3 3


Page | 71

Amarhadi

b. x + 2 < 2x + 1 < 3x + 7 Kondisi (1) 

x+2

  

x – 2x +2 -x + 2 -x

 

-x x

Kondisi (2)

< 2x + 1



< 1 < 1 < 1–2

 2x – 3x  -x  x

2x + 1

Kondisi (3)

< 3x + 7



x+2

< 7- 1 6 > -6

 

x – 3x -2x



x

< 3x + 7 < 7–2 < 5 >

 52

< -1 > 1

Hasil irisan dari ketiga kondisi pertidaksamaan di atas, yaitu (x > 1) ∩ (x > -6) ∩ (x >  52 ), dalam garis bilangan:

6  52

1 1

Hasil irisan

 Hp = {x|x > 1, x  R} a. 2x + 3 > 7 2x + 3 – 3 > 7 - 3

Uji Kompetensi 11 Kerjakan soal-soal berikut. 1. Tentukan penyelesaian untuk setiap pertidaksamaan berikut. Kemudian tuliskan huruf-huruftersebut bada kotak penyelesaian yang sesuai. Jika Penyelesaianan benar, huruf tersebut membentuk nama salah satu provinsi di Indonesia. A : 8x ≤ 104 L : -2x < 80 + 14x B : 121 x ≥ 13 N : 13x - 3 ≥ -24 – 8x E G

: 243 > x – 64 : 3 – 6x > -69

I

: 11 ≤ 13 x – 56 : 9 > 23 + 0,7x

: 10 – 11x ≤ 49 + 2x : 85 x – 5 > 15 x + 12

55 14

K

T U


Page | 72

Amarhadi

2. Carilah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini. a. 10 ≥ 5x + 4 > 8 b. 2 > -3 – 3x ≥ -7 c. 3 ≤ 2x + 3 < 7 d. -7 < 3x -1 ≤ 5 e. 2x – 3 ≤ 4x + 5 < x + 47 f. x -3 ≤ -x – 1 < 1 – 2x 5. Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu: a. ax 2  bx  c  0 b. ax 2  bx  c  0 c. ax 2  bx  c  0 d. ax 2  bx  c  0 dengan a, b, c bilangan real dan a  0. Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat (i) Jadikan ruas kanan = 0 (pembuat nol) (ii) Jadikan kofisien variabel berpangkat dua bernilai positif. (iii) Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linear (iv) Tetapkan nilai-nilai nolnya (misal x1 = nilai nol terkecil dan x2 = nilai nol terbesar, yaitu x1 < x2) (v) Lihat tanda ketidaksamaannya Jika ax 2  bx  c  0  Hp = {x|x ≤ x1 atau x ≥ x2} Jika ax 2  bx  c  0  Hp = {x|x1 < x < x2}. Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan: a) Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus f ( x)  x 2  3 x  4 grafiknya berbentuk parabbola dengan persamaan y  x 2  3 x  4 . Sketsa grafik parabola y  x 2  3 x  4 diperlihatkan pada gambar berikut:


Page | 73

Amarhadi

1) Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4. Jadi x 2  3 x  4  0 dalam selang x < -1 atau x > 4. 2) Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4. Jadi x 2  3 x  4  0 untuk nilai x = -1 atau x = 4. 3) Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4. Jadi x 2  3 x  4  0 dalam selang – 1 < x < 4. Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x)  x 2  3 x  4 atau parabola y  x 2  3 x  4 dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut. a. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3 x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya adalah: HP  {x | 1  x  4, x  R}

b. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3 x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya adalah: HP  {x | 1  x  4, x  R}

c. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3 x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya adalah: HP  {x | x  1 atau x  4, x  R}

d. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3 x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya adalah: HP  {x | x  1 atau x  4, x  R}

Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat f ( x)  ax 2  bx  c  0 dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0 Contoh 31: Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x)  x 2  2 x  1, carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut. a. x 2  2 x  1  0 b. x 2  2 x  1  0 c. x 2  2 x  1  0 d. x 2  2 x  1  0


Page | 74

Amarhadi

Penyelesaian: Sketsa grafik

fungsi

kuadrat

f ( x)  x 2  2 x  1,

atau

parabola

2

y  x  2 x  1, diperlihatkan pada gambar berikut:

a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0 adalah Himpunan kosong ditulis  2 b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x  2 x  1  0

adalah HP  {x | x  1} c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0 adalah HP  {x | x  R dan x  1} d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0 adalah HP  {x | x  1 atau x  1, x  R } dapat juga ditulis

HP  {x | x  R} b) Dengan garis bilangan Sebagai contoh kita

akan

menyelesaikan

pertidaksamaan

2

x 3 x  4  0 Langkah 1 Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan

x 2 3 x  4  0  ( x  1)( x  4)  0  x  1 atau x  4 Langkah 2 Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan Langkah 3 Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.

Misalnya:  x  2 maka nilai dari x 2 3 x  4  (2) 2  3(2)  4  6 sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0  x  0 maka nilai dari x 2 3 x  4  (0) 2  3(0)  4  4 sehingga tanda dalam interval -1 < x < 4 (-) atau < 0  x  5 maka nilai dari x 2 3 x  4  (5) 2  3(5)  4  6 sehingga tanda dalam interval x > 4 (+) atau > 0


Page | 75

Amarhadi

atau Nilai x x < -1 -1 < x < 4 x>4

( x  1)

( x  4)

( x  1)( x  4)

+ +

+

+ +

Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan

x 2 3x  4  0 adalah x < -1 atau x > 4. Jadi himpunan penyelesainnya adalah

HP  {x | x  1 atau x > 4}

Uji Kompetensi 12 Kerjakan soal-soal berikut. 1. Dengan menggunakan sketsa grafik. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat berikut ini. a. 36x2 ≤ 25 f. 4x2 – 12x ≥ 0 b. x2 > 4 g. 2x2 > 12 – 2x 2 c. 16x > 9 h. x2 + 2x ≤ 35 2 d. 49x ≥ 81 i. (2x + 1)(x – 5) ≥ 5 e. (x – 3)(x + 5) > 0 j. 2x2 + 2x > -7 2. Dengan menggunakan metode garis bilangan. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut. a. x2 – x – 60 ≤ 0 f. 12x2 + 28x ≥ 5 k. 3x2 + 2x + 2 < 2x2 + x + 4 2 2 b. x + 4x – 12 > 0 g. 3x + 28 ≥ x l. (x + 1)2 – 5(x + 1) + 6 ≤ 0 2 2 2 c. x + 7x – 18 > 0 h. 7x – 10 ≤ x  y 1  y 1 m.    8   15  0

 2 

 2 

d. 3x2 + 4x + 4 ≥ 0 i. 2x2 < 5x – 3 2 e. x + 4x + 4 < 0 j. 1 – x ≥ 2x2 3. Tinggi h meter suatu benda setelah bergerak t detik ditentukan oleh persamaan h = 30t – 5t2. Tentukan interval t agar diperoleh h ≥ 20 6. Pertidaksamaan Rasional Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.

1 0 x 1 x 1 ii. 0 x2 2x  3 iii. 0 x 1 x2  4 iv. 2 0 x x2 i.

Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional. Pertidaksamaan dalam variabel x adalah pertidaksamaan dalam bentuk pecahan yang penyebutnya mengandung variabel x.


Page | 76

Amarhadi

Kita akan membahas dua macam pertidaksmaan rasional, yaitu pertidaksamaan rasional bentuk linear dan pertidaksamaan rasional bentuk kuadrat. Bentuk umum pertidaksamaan rasional a. Bentuk linear

ax  b ax  b ax  b ax  b  0, 0,  0 dan  0 dengan a, b, c dan d cx  d cx  d cx  d cx  d R b. Bentuk kuadrat

ax 2  bx  c ax 2  bx  c ax 2  bx  c ax 2  bx  c , , dan  0  0  0 0 px 2  qx  r px 2  qx  r px 2  qx  r px 2  qx  r dengan a, b, c, p, dan q  R Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional. (i) Pindahkan semua bilangan ke ruas kiri, jadikan ruas kanan = 0 (ii) Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan (iii) Tetapkan nilai nol untuk pembilang dan penyebut. (iv) Harus diingat bahwa penyebut pecahan tidak boleh nol (v) Perhatikan tanda koefisien pangkat tertinggi pembilang dan penyebut harus sama. Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional. Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian pertidaksamaan rasional Contoh 32: 1. Selesaikan pertidaksamaan

x 1 0 x3

Penyelesaian Langkah 1 Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0 x = -1. Nilai nol pada bagian penyebut: x – 3 = 0  x = 3. Langkah 2 Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan.

Langkah 3 Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3. Misal

x = -2 maka nilai dari

x 1 1 1 sehingga tanda dalam   x3 4 4

interval x < -1 (+) atau > 0.


Page | 77

Amarhadi

x = 0, maka nilai dari

x 1 1 1    sehingga tanda dalam interval x3 3 3

1<x<3 (-) atau < 0. x = 4, maka nilai

dari

x 1 1 4 1    5 sehingga tanda dalam x3 3 43

interval –x > 3 (+) atau > 0. atau Nilai x x < -1 -1 < x < 3 x>3

( x  1)

( x  3)

x 1 x3

+ +

+

+ +

Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan gambar sbb.

x 1  0 adalah -1 < x < 3 dan x3 himpunan penyelesaiannya adalah HP  {x | 1  x  3} Maka penyelesaian dari pertidaksamaan

Contoh 33: 2. Tentukan penyelesaian dari

x2  x 0 ! x2

Penyelesaian : Harga nol pembilang

Harga nol penyebut

2

x x0 x( x  1)  0 x1  0  x2  1

x20 x  2 Jadi penyelesaiannya adalah -

2<x<0 atau x > 1

Contoh 34: 3. Tentukan penyelesaian dari

x 2  4x  3 0 x2  x  6

Penyelesaian: Harga nol pada pembilang 2

x  4x  3  0  ( x  3)( x  1)  0  x  3 atau x  1

Harga nol pada penyebut

x2  x  6  0  ( x  3)( x  2)  0  x  3 atau x =2


Page | 78

Amarhadi

x 2  4x  3 Jadi himpunan penyelesaian dari 2  0 adalah x  x6 HP  {x | x  3 atau 1  x  2 atau x >3}

Uji Kompetensi 13 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut. a. b. c. d. e.

3 1 x 2 3 x3 3x  2 1 x x 5 0 x2 3x  2 x x

f. g. h. i. j.

x 3 2 x4 2x  5 1 x 3 4x  3 x  3 x  x x x 8 x 1 x x 1 x  3  x2 x4

2. Tentukan himpunanpenyelesaian pertidaksamaan berikut. a.

( x  2) ( x  3) 0 ( x  4) ( x  5)

f.

4  x2 0 x2  9

b.

x2 0 9  x2

g.

x 2  5x  6 0 x 2  3x  5

c.

x2  3 6 x 1

h.

x2  2x  3 0  3  4 x  5x 2

d.

x2  2x  8 0 x 3

i.

2 x 2  5x  3 0 4x2  2x  6

e.

x 2  3x  28 0 x5

j.

x 2  5x  6  x2 x 1

7. Pertidaksamaan Bentuk Akar Pertidaksamaan bentuk akar atau pertidaksamaan irrasional adalah pertidaksamaan yang bentuk aljabarnya ada didalam tanda akar. Bentuk umum: 1. ax  b  cx  d 

 ax  b  cx  d  a, b, c, d  R dan ax  b  0, cx  d  0 ax  b  cx  d   ax  b  cx  d 


Page | 79

Amarhadi

2.

ax 2  bx  c  px 2  qx  r   ax 2  bx  c  px 2  qx  r  2 2 a, b, c, p, q, r  R dan ax  bx  c  0, px  qx  r  0 2 2 ax  bx  c  px  qx  r   ax 2  bx  c  px 2  qx  r 

Cara menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar Dalam menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar harus diperhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaannya. (i) Bentuk: f ( x)  a dengan a > 0 dipenuhi untuk : (a) f(x) ≥ 0 (b) f(x) < a2 Penyelesaian: irisan antara (a) dan (b) f ( x)  g ( x) (ii) Bentuk: dipenuhi untuk : (a) f(x) ≥ 0 (b) g(x) ≥ 0 (c) f(x) < g(x) Penyelesaian: irisan antara (a), (b) dan (c) (iii) Bentuk: f ( x)  g ( x) dipenuhi untuk : (a) f(x) ≥ 0 (b) g(x) > 0 (c) f(x) < g2(x) Penyelesaian: irisan antara (a), (b) dan (c) Contoh 35: 1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional berikut ini. a.

x  3 1

b.

1 2 x  4

x4  2

c.

Penyelesaian a.

x  3 1 memenuhi bentuk

f ( x)  a

(i) x – 3 ≥ 0  x ≥ 3 (ii) x – 3 ≤ 12  x – 3 ≤ 1

(i) 3

x≤4 Penyelesaian: 3 ≤ x ≤ 4 Hp = {x|3 ≤ x ≤ 4}.

(ii)

4

3


4

Hasil irisan

Page | 80

Amarhadi

b.

1  2 x  4 memenuhi bentuk

f ( x)  a

(i) 1 - 2x ≥ 0  2x ≤ 1 x≤

1 2

(i)

1 2

(ii) 1 – 2x > 42  1 - 2x > 16

(ii)

2x < 15

712

15 x< 2

Penyelesaian: x ≤ Hp = {x|x ≤ c.

Hasil irisan

1 2

1 x< 7 2 1 2

1 }. 2

x4  2 x–4≥0x≥4 Karena

x  4  0  2 untuk setiap x ≥ 4, maka dapat disimpulkan

Hp = {x|x ≥ 4} 2. Selesaikan pertidaksamaan berikut. a.

2 x 1  x  3

b.

8  x2  x2 Penyelesaian

a.

2 x 1  x  3 , memenuhi bentuk

f ( x)  g ( x)

(i) 2x – 1 ≥ 0  2x ≥ 1 x≥

1 2

(i) 1 2

(ii) x + 3 ≥ 0  x ≥ -3 (iii)

2x – 1 ≤ x + 3  2x - x ≤ 3 + 1  x≤4

(iii) 4

Penyelesaian: Hp = {x|

3

1 ≤x≤4 2

1 2

4

Hasil irisan

1 ≤ x ≤ 4} 2


Page | 81

Amarhadi

8  x 2  x 2 , memenuhi bentuk

b.

f ( x)  g ( x)

(i) 8 – x2 ≥ 0  x2 – 8 ≤ 0  (x + 2√2)(x - 2√2) ≤ 0  -2√2 ≤ x ≤ 2√2 (ii) x2 ≥ 0  x ≤ 0 atau x ≥ 0 (iii) 8 – x2 > x2  2x2 – 8 < 0  x2 – 4 < 0  (x – 2)(x + 2) < 0  -2 < x < 2

Penyelesasian: -2 < x < 2 Hp = {x|-2 < x < 2} 3. Selesaikan pertidaksamaan berikut. a.

3x  1  x  3

b.

4  x2  x  2

Penyelesaian a.

3 x  1  x  3 , memenuhi bentuk (i)

f ( x)  g ( x)

3x + 1 ≥ 0  3x ≥ -1 x ≥  13

(ii) 3x + 1 ≥ (x – 3)2  3x + 1 ≥ x2 – 6x + 9  X2 – 9x + 8 ≤ 0  (x – 8)(x – 1) ≤ 0  1≤x≤8


Page | 82

Amarhadi

 13

 13 *) Periksa Penyelesaianan Untuk x =  13 maka

1  1 3    1    3 3  3  11   3

1 3

0 ≥ 3

1 3

(benar)

Penyelesaian:  13 < x <8

Hp = {x|  13 < x <8} 4  x 2  x  2 , memenuhi bentuk

b. (i)

f ( x)  g ( x)

4 – x2 ≥ 0  x2 – 4 ≤ 0

(i)

 (x -2)(x + 2) ≤ 0  -2 ≤ x ≤ 2 (ii) x + 2 > 0  x > -2

(ii) (iii)

(iii) 4 – x2 < (x + 2)2 4 –

x2<x2

2 2 2

0 0

2

Hasil irisan

+ 4x + 4

 2x2 + 4x > 0  x(x + 2) > 0  x < -2 atau x > 0

Penyelesasian: 0< x ≤ 2 Hp = {x|0< x ≤ 2}

Uji Kompetensi 14 1. Tentukan himpunan berikut ini.

penyelesaian

a.

x 1  2

d.

x4 2

b.

4x  3  3

e.

x  3 1

c.

2x  6  2

f.

3x  6  3


masing-masing

pertidaksamaan

Page | 83

Amarhadi

2. Selesaikan setiap pertidaksamaan berikut! a.

2x  4  6  2x

d.

6  2 x  3x  3

b.

x 1  2 x

e.

2 x  3  x 1

c.

2 x 1  x  3

f.

2x 1  4x  8

3. Tentukan himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan beriky ini. a.

2  x  x2

d.

10  x 2  x  2

b.

x2  4x  4  3

e.

x2  2x  3  4 2

c.

x 2 16  3

f.

x 2  3x  2  2 3

4. Selesaikan setiap pertidaksamaan berikut ini. a.

2x  2 2 x 3

c.

x3 2 2x 1

b.

x 1 1 x 1

d.

2 x 1 2 x3

hidupku berlanjut tanpa buku harian karena tidak banyak orang yang bisa kupercaya.... itulah aku!!!!


Page | 84

BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Recommend Documents