PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Oleh Shahibul Ahyan A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Definisi : Misalkan a, b, c R dan a 0 , maka persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Berkaitan dengan nilai-nilai dari a, b, c dikenal beberapa persamaan kaudrat diantaranya adalah : 1. Jika a = 1, maka persamaan menjadi x2 + bx + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Biasa. 2.
Jika b = 0, maka persamaan menjadi x2 + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Sempurna.
3. Jika c = 0, maka persamaan menjadi x2 + bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap. 4. Jika a, b, c bilangan-bilangan real, maka ax2 + bx + c = 0 disebut Persamaan Kuadrat Real. 5. Jika a, b, c bilangan-bilangan rasional, maka ax2 + bx + c = 0 disebut Persamaan Kuadrat Rasional. B. Akar – Akar Persamaan Kuadrat Ada beberapa cara untuk menentukan akar persamaan kuadrat, diantaranya : 1. Dengan Pemfaktoran Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran menggunakan sebuah sifat yang berlaku pada sistem bilangan real. Sifat itu dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika a, b R dan berlaku a – b = 0, maka a = 0 atau b = 0. Catatan : Pengertian a = 0 atau b = 0 dapat ditafsirkan sebagai berikut : a). a = 0 dan b 0
b). a 0 dan b = 0
c). a = 0 dan b = 0
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat daengan pemfaktoran artinya meyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubahnya menjadi bentuk perkalian. a. Untuk a = 1 x2 + bx + c = 0 (x + x1) (x + x2) = 0 dengan x1 + x2 = b dan x1 . x2 = c x + x1 = 0 atau x + x2 = 0 atau x = -x2
x = -x1
Jadi, akar-akar dari x2 + bx + c = 0 adalah -x1
dan -x2
Contoh : x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4) (x + 2) = 0 x = 4 atau x = -2 Jadi, akar-akar dari x2 – 2x – 8 = 0 adalah -2 dan 4. b. Untuk a 1 ax2 + bx + c = 0
ax x1 ax x2 0, dengan x x 1
a
2
b dan x1. x2 ac
ax + x1 = 0 atau ax + x2 = 0 x
x1 x2 atau x a a
Jadi, akar-akar dari ax2 + bx + c = 0 adalah
x1 x2 atau . a a
Contoh : 3x2 -2x -5 = 0
3x 31 3x 5 0 3
3 x 11 3x 5 0 3 (x + 1) (3x – 5) = 0 x = -1 atau x =
5 3
Jadi, akar-akar dari 3x2 -2x -5 = 0 adalah -1 dan 2. Dengan Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
5 . 3
Untuk Menyelesaikan ax2 + bx + c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna, maka : ax2 + bx + c = 0 b c x 0 a a b c x2 x a a
x2
2
x2
b c b b x a a 2a 2a
2
2
b c b2 x 2 a 4a 2a 2
b b 2 4ac x 2a 4a 2
Contoh : 2x2 +2x – 3 = 0
x2 x
3 0 2 2
3 1 1 x x 2 2 2
2
2
2
1 3 1 x 2 2 4 2
1 7 x 2 4 1 7 2 4 1 1 7 x12 2 2 1 1 1 1 x1 7 7 atau x2 2 2 2 2 x
3. Dengan Rumus Misalkan a, b, c R dan a 0 , maka akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ditentukan oleh : x1
b b 2 4ac b b 2 4ac atau x 2 2a 2a
Bukti :
a. ax2 + bx + c = 0, a 0 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 4a2x2 + 4abx + b2 -b2 + 4ac = 0 (2ax + b)2 – (b2 - 4ac) = 0 (2ax + b)2 = b2 - 4ac 2ax + b = b2 - 4ac 2ax = -b b2 - 4ac - b b 2 4ac 2a
x12 =
b. ax2 + bx + c = 0, a 0 b c x2 x 0 a a b c x2 x a a 2
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
b c b2 x a 4a 2 2a 2
b b 2 4ac x 4a 2 2a b b 2 4ac 2a 4a 2 b 1 x12 b 2 4ac 2a 2 a x
x12
b b 2 4ac 2a
c. ax2 + bx + c = 0, a 0, misal b = b1 + b2, b1 0 dan b2 0 ax2 + b1x + b2x + c = 0, misal b1x = u + v x
uv , maka : b1
2
u v u v u v b2 c 0 b1 a b1 b1 b1 u 2 2uv v 2 b u b2 v uv 2 a c0 2 b1 b1 au 2 2auv av 2 b12 u b12 v b1b2 u b1b2 v b12 c 0
au 2 2av b12 b1b2 u av 2 b12 b1b2 v v 0 Misal : 2av b12 b1b2 0 b12 b1b2 2av
b1 b1 b2 2av
b1b 2av v
b1b 2a
au 2 0.u av 2 2av.v b12 c 0 au 2 av 2 2av 2 b12 c 0 au 2 av 2 b12 c 0
au 2 av 2 b12c 2
bb au 2 a 1 b12c 2a b 2b 2 au 2 1 b12c 4a b 2b 2 4ab12c au 2 1 4a 2 2 b b 4ac au 2 1 4a 2 2 b b 4ac u2 1 4a 2
b1 b 2 4ac 2a u v vu dim ana x , maka : b1 b
u
b1b b1 b 2 4ac a 2 2a x b1 b b 2 4ac b1 2 a x b1 x12
b b 2 4ac 2a
Contoh : Tentukan HP dari y2 + 7y -30 = 0 Jawab : y2 + 7y -30 = 0, a = 1, b = 7 dan c = -30 y12
b b 2 4ac 7 7 2 4.1.(30) 2a 2.1
7 49 120 7 169 7 13 2 2 2 y1 3 atau y2 10 y12
C. Diskriminan Persamaan Kuadrat Dari rumus tampak bahwa penyelesaian atau akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai-nilai b2 - 4ac. Bentuk b2 - 4ac disebut diskriminan dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = D dan dikembangkan
dengan huruf D, sehingga D = b2 - 4ac. Pemberian nama diskriminan D = b2 4ac masuk akal, sebab nilai D = b2 - 4ac inilah yang membedakan (mendiskriminasikan) jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat. Dengan melihat nilai D, akr-akar suatu persamaan kuadrat dapat dibedakan menjadi 3 jenis yakni sbb: a. Bila D > 0, maka ada dan bernilai positif. Akar-kar persamaan itu x1
b D b D dan x 2 terlihat bahwa 2a 2a
x1` x 2
Jadi, persamaan itu mempunyai dua akar nyata yang berlainan. b. Bila D = 0, maka
D =0
Akar-akar persamaan itu x1 x1 x2
b0 b0 dan x 2 terlihat bahwa 2a 2a
b . 2a
Jadi persamaan itu mempunyai dua akar nyata yang sama. c. Bila D < 0 maka
D bukan merupakan bilangan nyata, melainkan
bilangan khayal. Jadi, persamaan itu tidak mempunyai akar nyata. D. Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrta ax2+bx+c = 0, dengan a 0 , jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukan
dengan rumus : x1 x2 Dimana x1 x2 x1 x2
x1. x2
b c dan x1 . x2 a a
b c dan x1 . x2 diperoleh dari a a
b D b D 2a 2a 2a b 2a a
b D b D 2a 2a
b2 D 4a 2 b 2 b 2 4ac 4a 2 4ac 2 4a c a
Sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 1. Akar-akarnya berlawanan (x1 = x2) b = D
1 2. Akar-akarnya berkebalikan x1 a c x2 3. Sebuah akarnya sama dengan nol (x1 = 0) c = 0 dan x2 = 4. Kedua akarnya bertanda sama 5. Kedua akarnya berlainan tanda
b a
c <0 a c >0 a
E. Menyusun Persamaan Kuadrat 1. Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya a. Dengan perkalian faktor Jika akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
c b x 0 ax + bx + c = 0 a a x x1 x x2 0 x2
2
dengan x1 x 2
b c dan x1 x 2 a a
b. Dengan rumus jumlah dan hasil kali Persamaan
kuadrat
x x1 x x2 0 x 2
yang
akar-akarnya
x1
dan
x2
adalah
x 2 x x1 x x1 x 2 0
x 2 x1 x 2 x x1 x 2 0
2.
Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya.
Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat mampunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya, maka persamaan kuadrat itu ditentukan dengan 2 cara, yaitu : a. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar b. Penghapusan indeks, jika akar-akarnya simetri Contoh : Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 6x – 8 = 0 adalah dan . Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya
1 1 dan
Jawab a. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar 3x2 + 6x – 8 = 0 ; 2 ;
8 3
Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 dan x2 , maka : 1 1 dan x2 1 1 2 3 x1 x2 8 3 4
x1
x1 x2
1 1 1 1 3 8 3 8
Subtitusikan (x1 + x2) =
3 dan x1 x 2 3 8 ke persamaan 4
x 2 x1 x2 x x1 x2 0 diperoleh : 3 3 x2 x 0 4 8 8x2 6x 3 0 Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x2 – 6x – 3 = 0 b. Dengan penghapusan indeks Akar-akar x1
1 1 dikataklan simetri, sebab jika indeks dan x2
1 dan 2 dihapuskan akan memberikan bentuk yang sama. x1
1 ,
jika indeks dihapus didapat x dihapus didapat x
1 1 1 atau x2 , jika indeks x
1 1 1 atau dengan demekian . x x
Oleh karena merupakan akar dari persamaan kuadrat 3x2 + 6x – 8 = 0, maka berlaku 3 2 6 x 8 0 2
1 1 3 6 8 0 x x 3 6 8 0 x2 x 3 6 x 8x 2 0 8x 2 6x 3 0
Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x2 – 6x – 3 = 0 F. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Definisi : misalkan a,b, dan c bilangan real dan a 0, maka fungsi yang dirumuskan oleh f (x) = ax2 + bx + c dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = f (x) = ax2 + bx + c dan grafik kuadrat disebut sebagai parabola. Untuk melukis grafik fungsi y = ax2 + bx + c diperlukan hal-hal berikut : 1. Titik potong dengan sumbu x Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0 Jika akar-akarnya x1 dan x2, maka titik potong dengan sumbu x adalah (x1,0) dan (x2, 0) Ada atau tidaknya akar-akar tergantung dari diskriminan persamaan itu a. Kalau D>0, grafik memotong sumbu x, didua buah titik (x1,0) dan (x2,0). b. Kalau D=0, grafik menyinggung disebuah titik pada sumbu x di (x1,0) b atau ,0 . 2a
c. Kalau D < 0, grafik tidak memotong sumbu x
2. Titik potong dengan sumbu y Hal ini didapat apabila x = 0, jadi y = c, maka titik potong dengan sumbu y adalah (0,c) a. Jika c > 0, maka grafik memotong sumbu y di atas titik asal. b. Jika c = 0, maka grafik memotong sumbu y tepat di titik asal. c. Jika < 0, maka grafik memotong sumbu y di bawah titik asal. 3. Titik Puncak atau Titik Balik Fungsi y = ax2 + bx + c, dengan a, b, c R dan a 0 , mempunyai titik
b b 2 4ac . , puncak atau titik balik 4a 2a Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan jika a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum. 4. Sumbu simetri Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat y = ax2 + bx +c adalah x 5. Menggambar grafik Contoh : Gambarlah grafik fungsi kuadrat dari y = x2 – 4x +4 Jawab : a = 1, b = -4, c = 4 a. Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0 x2 – 4x +4 = 0 (x – 2) (x – 2) = 0 x1 = x2 = 2 Jadi, titik potongnya dengan sumbu x adalah (2, 0) b. Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0 y = 02 – 4.0 + 4 = 4 Jadi, titik potongnya dengan sumbu y adalah (0, 4). c. Koordinat titik puncak atau titik balik
b b 2 4ac = , P = 4a 2a
(4) (4)2 4.1.4 = (2, 0) , 4.1 2.1
Oleh karena a = 1, maka P merupakan titik ballik minimum d. Persamaan Sumbu simetri x
b ( 4 ) 2 2a 2 .1
e. Menggambar grafik
b 2a
y f(x) = x2 – 4x + 4 sumbu simetri x = 2
4 (0, 4)
0
2
(2,0)
x
G. Membentuk Fungsi Kuadrat Jika sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui, maka kita dapat menentukan rumus fungsi kuadratnya. Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat seringkali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciricirinya adalah : 1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(x1, 0) dan B(x2, 0, serta melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :
y f ( x) a x x1 x x2 Dengan nilai a ditentukan kemudian 2. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di A(x1, 0) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai : y f ( x) a x x1
2
Dengan nilai a ditentukan kemudian 3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik P (xp, yp) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai : y f ( x ) a x x p y p 2
Dengan nilai a ditentukan kemudian 4. Grafik fungsi kuadrat melalui titik – titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan (x3, y3). Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :
y f ( x) ax2 bx c Dengan nilai a, b, dan c ditentukan kemudian
Referensi: Aldres, C.J. 1987. Aljabar Untuk SMTA Dan Yang Setingkat Jilid 2. Jakarta : Pradnya Paramita. Joko S., Tri. 1997. Aljabar. Pancor : STKIP Hamzanwadi Selong. Kartini, dkk.. 2004. Matematika Untuk Kelas X. Klaten : Intan Pariwara. Kurnianingsih Sri, dkk..1996. Matematika SMU. Jakarta : Yudhistira. Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika SMA. Jakarta : Erlangga.
