tu?%ma
Tim Penulis I A. Saepul Hamdani - IAIN Sunan Ampel Kusaeri - IAIN Sunan AmDel Surabava IJzani - IAIN l4ataram Mulin Nu'man - UNISIVIA Malang
Surabaya
Persamaan Kwadrat
e"& /.7
KERJA INDIVIDUAL: PERSAMAAN KUADRAT Petunjuk
1.
Lembar kerja ini terdiri atas dua bagian. Soal nomor 1 merupakan LK terbimbing dan akan membimbing Anda dalam memahami prinsip penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara faktorisasi. 2. Soal nomor 2 untuk melatih keterampilan Anda dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat dan menggunakan rumus. 3. lkuti langkah-langkah yang sudah ada, dan isilah titik-titik yang masih kosong. Kerjakan secara individual, bila belum jelas tanyakan kepada dosen.
Pertonyoon '1
.
Tentukanlah penyelesaian setiap persamaan kuadrat di bawah ini dengan memfaktorkan.
a. f-4=o Jawao.
a.x'-4=O
b.*-x=20
c.2t'-5x-3=o
e(x+....X...+2)=0
e X + ..... :0 atau . . +2=0 ex = ..... atau.... = -2
Jadi penyelesaian dari persamaanx2-4= 0 adalah x=..... atau x=....... b.
y! -x=
2O
€ e
x2-x-20=0 (x ... ....Xx .. . . .) = 0 eX=....atauX=......
Jadi penyelesaian dari persamaan x2-x=20adalah
c.2x2-5x-3=0 e(2x....
1Xx....3)
x=..... atau x=.......
=0 (tanda....isi dengan tanda
Jadi penyelesaian dari persamaan 2x'-5x -3 = oadalah x = ..... atau x
'L
=
+ atau -)
.
Gunakan cara melengkapkan kuadrat dan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat berikut.
a.x'-8x+16=0
h.4x'z+25=20x
Jawao. a. Dengan melengkapkan kuadrat
t'-8x+16=0
c.4(x-5)=5(x-4) Dengan rumus
t'-8x+ 16=0
Jadi penyelesaian dari persamaan b. Dengan melengkapkan kuadrat
4x'z+25=2Ox
t'
- 8x
+ l 6 = 0 adalah x = ..... atau x =....... Dengan rumus
4f+25=20x
Jadi penyelesaian dari persamaan 4)C + 25 = 20x adalah x = ..... atau x =.......
Mal€$atika
w Lembor Keqiqtqn l?.L.B KERJA INDIVIDUAL: PERSAMAAN KUADRAT DAN
DISKRIMINAN Petunjuk 'I
.
2.
Kerjakan soal-soal berikul secara individual selama 20 menit. Tanyakan kepada dosen bila menjumpai kesulitan.
Pertonyoon jenis penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah ini. c.2x-1=3x' a.x'+5x-3=0 b. 9x'- 6x = -1
1. Tentukan
JawaD_
o. Persamaanx'+5x-3=0
mempunyai a
=... b=....c=
Dengan demikian persamaan kuodrqi x'+ 5x - 3 = 0 mempunyai ....... penyelesaran Persamaan 9x' 6x=-1 mempunyai a=....b= . c=
Dengan demikian persamaan kuodroi 9x'- 6x = -1 mempunyai ....... penyelesaran.
c. Persamaanc.2x-1,3x mempunyaia=....b=....c=
Dengan demikian persamaan kuodrqt c. 2x - 1 = 3x'mempunyai ....... penyelesaian
2.
Carilah nilai k pada persamaan kuadratdi bawah ini agar: (i) mempunyaidua penyelesaian real berbeda, (ii) satu penyelesaian bilangan real, dan (iii)dua penyelesaian imajiner. c.3x'+4X=k-5 b. Dengan demikian persamaan kuodrot 9x -6x=-l mempunyai ....... penyelesalan.
a.x'z+3x+k=0
lca+1=4x
1
Lembor Uroion Msteri
t2.2
PERSAMAAN KUADRAT Pada handout iniakan dibahas mengenai: Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara (1) Memfaktorkan, (2) lvlelengkapkan kuadrat. dan (3) l\renggunakan rumus. Jenis penyelesaian persamaan kuadrat.
' .
A. Menyelesoikon
Persomoon Kuadrat
Persamaan dalam bentuk ax'z + bx + c: 0 dengan a, b, dan c konstan dan a + 0 merupakan bentuk baku daripersamaan kuadrat. Contoh-contoh persamaan kuadrat di antaranya 2x2 + 3x = O, x2 - 4 = O, 3x2 + 2x + 5 = O. Bentuk dua persamaan pertama merupakan bentuk persamaan tidak lengkap, sedangkan bentuk ketiga merupakan bentuk persamaan kuadrat tidak lengkap. Terdapat berbagaicara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, namun pada handout ini hanya akan dibahas cara faktorisasi, melengkapkan kuadrat dan rumus. Selanjutnya berikut ini akan diuraikan satu persatu ketiga cara tersebut.
Menyelesoikon Persomoon Kuodrat dengon Faktorisosi Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, perlu diingat kembali prinsip perkalian 0 yakni a x b = 0. Bentuk perkalian a x b = 0 akan memiliki penyelesaian a = 0 atau b = 0. Sebagai contoh, bila diberikan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, setelah difaktorkan diperoleh a(x-x1)(x-xr) = 0. Dengan demikian, diperoleh x-xr = 0 atau x-x2 = 0. Akibatnya, X = Xi atau x = x2.
Contoh 12.1 : Selesaikanlah Jawab.
3x2 + 5x = 0.
Bentuk ini merupakan bentuk persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan c = 0. Persamaan kuadrat dalam bentuk baku dengan c = 0 dengan mudah diselesaikan dengan memfaktorkan. (faktorkan) 3x2+ 5x=0 x(3x+5) =O (gunakan prinsip perkalian dengan 0) x=0atau3x+5=0
= =
+
x=oatau x=
5 3
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan diatas adalah 0 dan
-l
Contoh 12,2 : Selesaikanlah (x-1)(x+1) = 5(x-1). Jawab. (x-1xx+1) = 5(x-1) > x'?-1=5x-5 (kalikan)
= (x-4)(x- 1) = 0 > x=4ataux= 1
(faktorkan) (gunakan prinsip perkalian dengan 0)
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan di aias adalah 4 dan 1.
Menyelesoikon Personoan Kuodrof dehgon /t^€lengkdpkdlr Kuodrot Trinomial x2 +1Ox + 25 merupakan kuadrat dari sebuah binomial, karena
x'z
+
1Ox +
25 = (x + 5)'z. Bila diberikan dua suku pertama darisuatu trinomial, kita dapat mencari suku ketiga sedemikian hingga membuat bentuk ini menjadi bentuk kuadrat. Proses yang demikian disebut melengkapkan kuadrat.
contoh 12.3 : Lengkapkan kuadrat untuk x'z+
12x.
Jawab. Berapakah bilangan yang harus kita tambahkan pada x2 + 12x untuk membuat
bentuk ini menjadisuatu trinomial kuadrat. Kila ambilsetengah dari koefisien x dan kita kuadratkan.
x' + 12x J = 36. Kita tambah 36. x'z+ 12x + 36 merupakan trinomial kuadrat dan dapat ditulis menjadi (x + setengah dari 12 adalah 6 dan
6'?
6)'?.
Diagram berikut kiranya dapat berguna untuk mengilustrasikan bagaimana melengkapkan kuadrat. Pada diagram ini bagaimana kita akan melengkapkan kuadrat pada x'z+ 12x. 6x 6x
Contoh 12.4 : Selesaikanlah
x2 - 2x - 5 = O dengan melengkapkan kuadrat.
Jawab. (tambahkan 5 pada kedua ruas)
=x2-2x+1 =S+1
{tambahkan
= x-1= '6 ataux-1=-J6
(l)'zuntuk
melenotapkan kuadrat (x-1)2 = 6)
Jadi penyelesaiannya adalah x =
disingkatmenjadix = 1
1*
G
dun ,, = 1 - \,6 . Penyelesaian ini dapat
t G.
Menyelesoikon Persqtnqon Kucdrol dengon Rumus Beberapa persamaan kuadrat kadang-kadang tidak dapat diselesaikan dengan
faktorisasi. Oleh karena itu, berikut ini diberikan sebuah rumus untuk mencari penyelesaian sebarang persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. yakni
2a Berikut disajikan bukti dari rumus di atas. lvlisalkan sebarang persamaan kuadrat dalam bentuk ax2 + bx + c = 0 (a>0). Misalkan kita akan selesaikan dengan melengkapkan kuadrat.
12+
h. i 414
g
=
(kalikan dengan
,bc
(tamban
Setengah dari
kuadrat,x2+
b
adalah
A
bo
l)1 a
-9 i
dan kuadratnya adalah
Al
-t
:lx + ! ^ =-l- a L a 4a' a 1a' L2
(x+ b,+acD- +
2a 4a' -4a' -r=-
. \x+
O..
f=
O -4aC
4i
bt
4ac
4i
2d
_atau
b 2a
2a
+
_Jb'4* 2a
atau
x+
x+
]1 2a
b' -4ac
=-
2a b ataux= 2a
4i
Gr* 2d ,l
b' -4ac 2a
Dengan demikian dapat ditulis secara ringkas menjadi x =
. Kita melengkapkan
Contoh 12.5: Selesaikanlah
3f
+
5x
= -1.
Jawab Pertama kita ubah dalam bentuk baku dan tentukan a, b, dan c, yakni: 3x2 + 5x + 1 = 0
dan kita dapatkan nilai a = 3, b = 5, dan c =
1.
Selanjutnya gunakan rumus kuadrat;
2.3
-sr.Ds-D -5r.fiJ 66
Jadi penyelesaiannya adalah
Contoh 12.6 : Selesaikanlahx'? + x+
s+\,4i 66
5-./lr
1 = 0.
Jawab Dari persamaan kuadrat di atas, diperoleh nilai a
-
1, b
= 1, dan c = 1. Dengan
demikian:
l'1
4.1.1
2.1
11.v/1- 4 2
2
lLi15 2
Jadi penyelesaian persamaan kuadrat
x2 + x
+
1
l+r.r5Oan -I
= U aOalan
rv6
22
B. Jenis Penyelesoian poda Persomoon Kuadrot
-
Pernyataan b2 - 4ac pada rumus kuadrat disebut sebagai diskriminan. Dari bilangan ini, kita dapat menentukan jenis penyelesaian suatu persamaan kuadrat.
-10
Persamaan kuadrat ax2 +
bx+s= 66sngsna +0dan
semua koefisiennya bilangan
realakan mempunyai:
a. b. c.
penyelesaian bilangan real yang tunggal jika
4ac = 0 dua penyelesaian bilangan real be.beda jika b'z - 4ac > 0 b2 -
dua penyelesaian bukan bilangan real jika b2 - 4ac <
O
Contoh 12.7 : Tentukan jenis penyelesaian dari persamaan kuadrat
gx'z-'12x + 4 0. =
Jawab Dari persamaan kuadrat
gx'z -1
2x + 4 = 0 didapat nilai a = 9, b = -12, dan c = 4.
Dengan demikian, bila kita hitung diskriminannya, b,
_
4ac= \-12)
2 _
4.9.4
= 144 -144
Karena
b2
- 4ac = 0, maka persamaan kuadrat
9x2
-l2x + 4 = 0 hanya mempunyai
penyelesaian bilangan real tunggal.
Contoh 12.8
:
Tentukan jenis penyelesaian dari persamaan kuadrat x2 + 5x + 8 = 0.
Jawab Dari persamaankuadratx2
+5x+ 8=0didapatnilaia=
1,
b=5, danc=8.
Dengan demilian. bila kita hitung diskriminannya,
b2_4ac=(s)2_4.1.8
Karena b2- 4ac = -7, maka persamaan kuadrat x2+ 5x + 8 = 0 mempunyai dua penyelesaian bilangan yang tidak real.
g
Lembor Peniloian 12.4
A. Peniloian Proses Penilaian ini digunakan melihat aktivitas mahasiswa dan mahasiswi selama proses pembelajaran, baik pada saat kerja individual, kerja berpasangan maupun kerja kelompok. Aspek yang termasuk komponen penilaian disajikan sebagaimana tabel berikut.
B. Peniloion Hasil Belajor 1.
Carilah penyelesaian persamaan kuadrat r2
+n
6=0 dengan cara
mernfaktorkan.
2.
Carilah penyelesaian persamaan kuadrat ;ru +5n-14=0 dengan cara melengkapkan kuadrat
3. 4.
Carilah selesaian persamaan kuadrat ,r'?+3r+2=0 dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat Tentukan jenis penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah (apakah mempunyaidua penyelesaian, satu penyelesaian, atau tidak mempunyai npenyelesaian), jika dilihat dari diskriminannya
a. x' +'7 x+10=O tt. x2 - 4r'+4=0
5.
Carilah penyelesaian darisetiap persamaan dibawah ini. 3. x (x- 1) = Y
4. x(x-1)=x(x+1) 5. x.x=x 6.
Gunakan metode faktorisasi, melengkapkan kuadrat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat di bawah ini. c. x2 + 9 = 6x x2 -7x=
-12 3. 4. x(x+9x) +18=0 7. Pasangan suami islri, kuadrat 8.
usia suam; adalah 25 tahun dari pada 24 kali usia istri. Bila usia suamisama dengan usia istri, berapakah usia pasangan suami isteritersebut? Tunjukkan secara geometris cara melengkapkan kuadrat x'z+ ax dengan mengisi bagian tabelyang masih dibei tanda "?"
12- L4
x
9.
a. b.
c. 10.
x
2
x2
?
2
2
Buatlah persamaan kuadrat yang memiliki penyelesaian tidak real. Untuk nilai c berapakah persamaan kuadrat 1 + c = 0 mempunyai penyelesaian tidak real? Untuk nilai c berapakah persamaan kuadrat t' + 2x + c = 0 mempunyai penyelesaian tidak real? Salah satu penyelesaian dari kx + 3x - k = 0 adalah 2. Carilah penyelesaian yang lain dari persamaan tersebut.
ffi Adjie , Nahrowidan Rostika, Deti,2006. Korsep Dasar Matematika. Bandung: FIP lJniversitas Pendidikan lndonesia. Bellman, Allan dkk, 1998. Algebra. New Jersey USA: Prentice Hall. Djumanta, Wahyudin, 1999. Matematika untuk SLTP Kelas lll. Bandung: Multi Trust. Haese, Robert & Sandra, and Kappelle, Detk, 2005. Core Ski s Mathematcs South Australia: Raksar Nominees, Pty Ltd.
L Adelaide
Hudyo, Herman dan Sutawidjaya, Akbar, 1996. Matematika. Jakarta: Depanemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Bagian Proyek Pengembangan Pendidikan Guru Sekolah Dasar. Smith, Stanley A., 2001. Algebra 2 with Trigonometri. New Jersey USA: Prentice Hall.
