1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:

Hand out_X_Persamaan kuadrat

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:

ax 2  bx  c  0 dengan a, b, c bilangan riil dan a  0 Dimana, a disebut sebagai koefisien dari x 2

b disebut sebagai koefisien dari x c disebut sebagai konstanta

Hand out_X_Persamaan kuadrat Contoh soal:

1. Dari bentuk persamaan kuadrat 2 x 2  3x  5  0 , tentukan nilai a , b dan c.

Jawab:

a  2 , b  3 dan c  5 2. Dari bentuk persamaan kuadrat x 2  9 x  0 , tentukan nilai a , b dan c . Jawab:

a  1 , b  9 dan c  0 3. Dari bentuk 3x 2  x  3x  5 , tentukan nilai a , b dan c . Jawab: Bentuk 3x 2  x  3x  5 harus diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat terlebih dahulu.

3x 2  x  3x  5

3x 2  x  3x  5  0

3x 2  2 x  5  0 Sehingga didapatkan a  3 , b  2 dan c  5

Hand out_X_Persamaan kuadrat 2) MENYELESAIKAN PERSAMAAN

KUADRAT/

MENENTUKAN

AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Menyelesaikan atau menentukan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu: 1) Pemfaktoran Bentuk ax 2  bx  c dapat difaktorkan menjadi

1 ax  max  n  dengan a

syarat m  n  b dan m  n  a  c Sehingga dengan cara pemfaktoran akan didapatkan bentuk sebagai berikut:

ax 2  bx  c  0 1 ax  m ax  n   0 a ax  m  0 atau ax  n  0 m n x atau x   a a Sehingga penyelesaian dari persamaan kuadrat atau akar-akar dari persamaan kuadrat diatas adalah x1  

m n atau x 2   a a

Cara pemfaktoran diatas dapat dinyatakan ke dalam bentuk skema sederhana seperti dibawah ini:

ax 2  bx  c ac m a

n a

dengan m  n  b dan m  n  a  c

Hand out_X_Persamaan kuadrat Sehingga penyelesaian dari persamaan kuadrat atau akar-akar dari

persamaan kuadrat diatas adalah x1  

m n atau x 2   a a

Contoh soal: a. Dengan cara pemfaktoran, tentukan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2  3x  5  0 . Jawab: Dengan cara mencoba, kita harus menenukan nilai m dan n yang memenuhi syarat m  n  3 dan m  n  10 . Nilai m dan n yang memenuhi kedua syarat tersebut adalah m  2 dan

n  5 . Sehingga persamaan kuadrat dapat kita ubah menjadi

1 2 x  22 x  5  0 2 2 x  2  0 atau 2 x  5  0 5 x  1 atau x  2 Jadi penyelesaian dari persamaan kuadrat atau akar-akar dari persamaan kuadrat x1  1 atau x 2 

5 2

b. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat menggunakan skema. Jawab:

x 2  7 x  12  0 dengan

Hand out_X_Persamaan kuadrat

x 2  7 x  12  0 12

3 4 1 1 Jadi penyelesaian akar-akar dari persamaan kuadrat x1  3 atau x2  4

2) Melengkapkan kuadrat sempurna Tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran sehingga berikut disajikan cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yaitu dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Untuk dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara ini, kita harus mengubah bentuk persamaan kuadrat semula menjadi bentuk kuadrat sempurna dengan melakukan manipulasi aljabar. Adapun kuadrat sempurna yang dimaksud disini adalah bentuk x  a 

2

atau x  a  . 2

Contoh soal: a. Carilah penyelesaian persamaan kuadrat 2 x 2  4 x  8  0 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Jawab: Untuk dapat menyelesaikan suatu persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, syarat utama yang harus dipenuhi adalah koefisien x 2 harus sama dengan 1.

Hand out_X_Persamaan kuadrat

2x 2  4x  8  0 Kedua ruas harus dibagi dengan 2 supaya koefisien x 2 sama dengan 1

x 2  2x  4  0 Langkah selanjutnya, kita pindahkan konstanta ke ruas kanan

x 2  2x  4 2

1  Kedua ruas kita tambahkan dengan  b  , dari 2  2 bentuk x  2 x  4  0 , didapat nilai b  2 , 2

1  2 maka  b    1  12 2  x 2  2 x  12  4  12 Langkah selanjutnya, kita ubah ruas kiri ke dalam bentuk kuadrat sempurna, ingat: 2

1  1   x  bx   b    x  b  2  2  

2

2

x  12  5

Untuk menghilangkan kuadrat, maka kedua ruas harus kita akar kuadratkan x 1   5 x  1 5 Jadi didapatkan hasil penyelesaian x1  1  5 atau x2  1  5

3) Rumus abc Penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 dengan

a, b, c bilangan riil dan a  0 adalah

Hand out_X_Persamaan kuadrat

x1, 2

 b  b 2  4ac  2a

Contoh: a. Carilah akar dari x 2  4 x  2  0 dengan menggunakan rumus abc. Jawab: Dari persamaan diperoleh a  1 , b  4 dan c  2 , sehingga

x1, 2 

  4 

 42  4 1  2 2 1



4 8 42 2   2 2 2 2

Sehingga akar-akar dari persamaan kuadrat

x1  2  2

atau

x2  2  2

3) MENENTUKAN JENIS PERSAMAAN KUADRAT 1. Bilangan imajiner Bilangan imajiner atau disebut juga bilangan khayal adalah merupakan akar kuadrat dari bilangan negatif, misalnya Bilangan imajiner satuan yaitu

3.

 1 dilambangkan dengan i .

Setiap bilangan imajiner dapat dituliskan secara sederhana menggunakan bilangan imajiner satuan. Contoh:  5   1 5   1  5  i 5 a.  9   1  9   1  9  i  3  3i b.

Hand out_X_Persamaan kuadrat 2. Menentukan jenis persamaan kuadrat dengan menggunakan nilai

diskriminan Diskriminan berfungsi untuk menentukan jenis suatu persamaan kuadrat. Diskriminan dilambangkan dengan D , dimana D  b 2  4ac . Adapun jenis akar-akar persamaan kuarat dilihat dari nilai diskriminannya adalah sebagai berikut: a. Jika D  0 , maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar riil yang berlainan b. Jika D  0 , maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar riil kembar c. Jika D  0 , maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil atau kedua akarnya tidak riil/khayal. Contoh: a. Tanpa menyelesaikan terlebih dahulu, tentukan jenis persamaan kuadrat x 2  4 x  8  0 Jawab: D  4 2  4  1   8  16  32  48 D  48 maka D  0 Jadi, persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar riil yang berlainan b. Tanpa menyelesaikan terlebih dahulu, tentukan jenis persamaan kuadrat 4 x 2  12 x  9  0 Jawab: 2 D   12  4  4  9  144  144  0 D0 Jadi, persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar riil kembar c. Tentukan nilai m agar persamaan x 2  4 x  2  m  0 mempunyai dua akar riil berlainan. Jawab: Karena persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil berlainan D0

Hand out_X_Persamaan kuadrat a  1 , b  4 dan c  2  m  42  4 1 2  m  0

16  8  4m  0 8  4m  0 4m  8 m  2 Jadi nilai m yang memenuhi adalah m  2 4) RUMUS JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Dari hasil akar persamaan kuadrat yang diperoleh dengan menggunakan rumus abc, di dapatkan persamaan sebagai berikut: 1) Rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat x1  x 2 

b a

2) Rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat x1  x 2 

c a

Contoh: 1. Tanpa menyelesaikan terlebih dahulu, hitunglah jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan x 2  3x  15  0 Jawab: a  1 , b  3 dan c  15   3 3  Jumlah akar-akar persamaan kuadrat: x1  x 2  1

Hand out_X_Persamaan kuadrat



Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: x1  x 2 

 15  15

1 2. Misalkan x1 dan x 2 adalah akar-akar dari x  2 x  1  0 , tanpa menyelesaikan terlebih dahulu hitunglah: 1 1 a.  . x1 x 2 2

b. x1  x2 2

2

c. x1  x2 Jawab: a  1 , b  2 dan c  1 x  x1  2 1  2 1 1   2    2 a. x1 x 2 x1  x 2 11 1 3

3

b. x1  x2  x1  x2   2 x1 x2   2  21  2 2

c.

2

2

2

x1  x2  x1  x2   3x1 x2 x1  x2    2  31 2  2 3

3

3

3

3. Salah satu akar persamaan kuadrat 3x 2  ( p  2) x  12  0 merupakan lawan dari akar yang lain (akar-akarnya berlawanan). Hitunglah nilai p dan akar-akar tersebut! Jawab: Karena akar-akarnya berlawanan, maka x1   x 2    p  2 3 p2  x2  x2  3 p2 0 3 0 p2

Dengan rumus jumlah akar diperoleh, x1  x 2 

p2

Hand out_X_Persamaan kuadrat

Karena p  2 , maka 3x 2  12  0 3 x 2  12 x2  4 x  2

Jadi nilai p  2 dan akar-akarnya adalah x1  2 atau x 2  2

5. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT 1) Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui Misal x1 dan x 2 adalah akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan cara: x 2  x1  x2 x  x1  x2  0 Contoh: a. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1 dan 5 menggunakan cara perkalian faktor dan rumus jumlah serta hasil kali akar-akar. Jawab: x1  x 2  1  5  4 x1  x 2  1  5  5

Sehingga, x 2  4 x   5  0 x 2  4x  5  0 Jadi, persamaan kuadratnya adalah x 2  4 x  5  0

Hand out_X_Persamaan kuadrat b. Diketahui x1 dan x 2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat

x 2  3x  4  0 . Susunlah persamaan kuadrat baru dengan akar-akar x1  2 dan x 2  2 . Jawab: x1  x 2  3 x1  x 2  4 x1  x1  2 x2  x2  2 x 2   x1  x 2 x  x1  x 2  0

x 2   x1  2  x 2  2 x   x1  2  x 2  2   0

x 2   x1  x 2  4 x   x1 x 2  2 x1  2 x 2  4   0 x 2   3  4 x   4  2 x1  x 2   4   0 x 2  7 x  2 4   0 x2  7x  8  0