2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS

Bab II : Fungsi Linear |

13

Dalil : Grafik dari fungsi-fungsi linear (linear artinya pangkat satu atau straight) adalah suatu garis lurus.

2.1. GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (0,0) Tarik Garis dari titik O ke titik P dimana OP terletak

Sb. Y

pada garis g. Titik Q juga terletak pada garis g. g

Buktikan bahwa persamaan garis lurus melalui titik Q(x,y)

O (0,0)  y = mx

y P(a,b)

b

Bukti : Perhatikan segitiga OPP’ dan segitiga OQQ’

Sb. X a

Q’

P’

QQ’ : PP’ = Q’O : P’O

x

y:b=x:a ay = bx y=

b b x ; jika  m a a

y = mx

(terbukti)

2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS Sb. Y

Garis 1 memotong sumbu X di titik A (-a,0) dan titik B(0,b) Titik P terletak pada garis 1, sehingga PP’//BO l

Buktikan bahwa persamaan umum garis lurus adalah P(x,y)

y=

y B(0,b)

b x +b a

Sb. X

A(-a,0) x

Bukti BO : PP’ = AO : AP’ b : y = -a : (-a + x) -ay = b (-a + x) -ay = -ab : bx y= 

b x +b (terbukti) a

atau y = mx + b, persamaan garis lurus yang memotong sumbu y (0,b) By : Turmudi

E-mail : [email protected]

blog: www.toermoedy.wordpress.com

14 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

2.3. SYARAT 3 BUAH TITIK TERLETAK PADA SEBUAH GARIS LURUS Sesuai dengan dalil bahwa grafik dari setiap fungsi linear adalah sebuah garis lurus. Misalkan fungsi linear itu y = ax + b Sb. Y

Titik A, B dan C terletak pada grafik y =ax+b A (x1, y1) terletak pada grafik  y1 = ax1 + b B (x2, y2) terletak pada grafik  y2 = ax2 + b -

B(x2,y2) C(x3,y3) x1

y3



y2

A(x1,y1)



y1 Sb. X

0

y1 - y2 = a(x1 –x2) .... (i)

A (x1, y1) terletak pada grafik  y1 = ax1 + b B (x2, y2) terletak pada grafik  y3 = ax3 + b -

x2 x3

i   ii 

y1  y 2 a   x1  x2   y1  y3 a   x1  x3 

y1 – y3 = a(x1 –x3) ..... (ii)

Syarat Bahwa (x1,y1), (x2,y2) dan (x3,y3) terletak pada sebuah garis lurus

y1  y 2 x1  x 2  y1  y3 x1  x3

BB' CC '  AB' AC ' tg

 = tg   =   titik A, B, C terletak pada satu garis lurus.

Sehingga pengertian dari (2.1.) sampai dengan (2.3.) dapatlah disimpulkan sebagai berikut ; 1.

Persamaan garis lurus melalui pusat y = mx dimana m = tg  dengan m merupakan koefisien arah / gradien / bilangan arah / kemiringan / kecendrungan garis.

2.

Persamaan umum garis dalam bentuk eksplisit y = mx + b dengan m = tg (0,b). tg

3.

 adalah sudut perpotongan garis lurus dengan sumbu X positif.

Persamaan umum garis lurus dapat juga dinyatakan dalam bentuk implisit ax + by + c = 0

y

 ax  c b

a a a y   x  c , Sehingga m =   tg  =  b b b

 dan garis ini melalui titik


15

Persamaan garis lurus dapat juga dinyatakan oleh : Jarak antara titik O dengan salah satu titik pada garis itu dan sudut yang dibentuk oleh jarak itu dengan sumbu X positif Perhatikan segitiga OBP

r b  o sin     sin   90



Sb. Y



r b  cos  sin     P(x,y)

r



(  + 90o)

y

Sb. X

 A Q

0 x

b cos  sin    

B Q

persamaan garis kutub atau persamaan garis polar

2.4. PERSAMAAN GARIS MELAUI TITIK P(x1,y1), DENGAN GRADIEN m Kita sudah tahu bahwa persamaan garis umum y = mx + n Titik P(x1,y1) dilalui oleh garis y = mx + n ........ (i)

 y1 = mx1 + n .......(ii)

y = mx + n y1 = mx1 + n y – y1 = m(x – x1)

Persamaan garis lurus melalui titik P(x1,y1) dengan gradien m

2.5. PERSAMAAN GARIS MELALUI DUA TITIK Persamaan melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) Persamaan garis lurus  y = mx + n Persamaan garis melalui A(x1,y1)  y – y1 = m(x – x1) ...........................(i) Titik B(x2,y2) terletak pada garis y – y1 = m(x – x1)

 y2 – y1 = m(x2 – x1) ...............................(ii) By : Turmudi




y  y1 m x  x1   y 2  y1 m x 2  x1 

i   ii 

y  y1 x  x1  y 2  y1 x 2  x1

persamaan garis melalui dua titik

(y – y1) (x2 – x1) = (y2 – y1) (x – x1)

y  y1 

y 2  y1 x  x1  x 2  x1

y  y1  m x  x1  m

y  y1 x  x1

2.6. PERSAMAAN GARIS MELALUI P(a,0) DAN Q(0,b) Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan Q(0,b) Sb. Y

y  y1 x  x1  y 2  y1 x 2  x1

Q(0,b)

y0 xa  b0 0a y xa  b a P(a,0)

Sb. X

y x   1 b a

0 )

x y  1 a b

bx + ay = ab persamaan garis melalui P(a,0) dan Q(0,b)

2.7. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal) Tarik garis melalui titik O  garis g  OP B(0,b)

Karena OP  g, disebut persamaan garis normal, Kita misalkan n dan sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif

b

P

n



= A(a,0)

0 a



Perhatikan segitiga OPB, siku-siku di P


Maka sin  

n n b ...................................(i) b sin 

Perhatikan OPA, siku-siku di P

cos  

n n a ...........................................(ii) a cos 

Karena garis g memotong ABX di titik A(a,0) dan B(o,b), maka persamaan garis g adalah

x y   1 ...................(iii) a b

(i) dan (ii) substitusikan ke (iii)

x n



cos 

y n

1

sin 

x cos y sin   1 n n x cos x cos

xn

 + y sin  = n (n positif)

 + y sin  - n = 0

Catatan : 1.

Karena n positif (jarak titik O (0,0) ke garis g) maka suku ke-3 selalu negatif

2.

Koefisien x = cos 

cos2  + sin2  = 1

Koefisien y = sin 

 mengingat kedua syarat di atas, maka setiap persamaan Ax + By + C = 0 dapat dirubah ke persamaan normal Hesse

Contoh 5: Rubahlah persamaan -3x – 4y + 10 = 0 ke dalam persamaan normal Hesse Penyelesaian : -3x – 4y + 10 = 0 3x + 4y - 10 = 0

x (-1)

: 32  4 2 = 5

3 4 x y20 5 5

By : Turmudi



17


3 Cos   5

4 5

Sin

 =

Sin

 = 0,8  = Sin 49,4o

Cos

  0,6

Sin

Cos

 = Cos 36,87o

 = 49,4o

 = 36,87o

 x cos 36,87o + y sin 49,4o

2.8. HUBUNGAN ANTAR GARIS (SIKAP 2 GARIS LURUS) 1.

Garis yang Berpotongan Garis l1  a1x + b1y + c1 = 0

( dikalikan dengan b2)

Garis l2  a2x + b2y + c2 = 0

(dikalikan dengan b1)

a1b2x + b1b2y + b2c1 = 0 a2 b1x + b1b2y + b1c2 = 0

-

(a1b2 - a2 b1)x + (b2c1 - b1c2) = 0 x=

b1c2  b2 c1 a1b2  a2 b1

Garis l1  a1x + b1y + c1 = 0

(dikalikan dengan a2)

Garis l2  a2x + b2y + c2 = 0

(dikalikan dengan a1)

a1a2x + a2b1y + a2c1 = 0 a1a2x + a1b2y + a1c2 = 0 (a2b1 - a1b2)y + (a2c1 - a1c2) = 0

y

a2 c1  a1c2 a2b1  a1b2

Kemungkinan-kemungkinan : a.

Jika a1b2 - a2 b1  0, berarti harga x, setiap ada harga x pasti ada harga y. (x,y) disebut titik perpotongan l1 dan l2.

 Syarat : a1b2 - a2 b1  0 a1b2  a2 b1

a1 b1  a 2 b2

Syarat 2 garis bepotongan


b.

Jika a1b2 - a2 b1 = 0, berarti  a1  b1 a 2 b2 Tapi b2c1 - b1c2  0  b1  c1 sehingga a1  b1  c1 b2 c 2 a 2 b2 c 2 Maka 0  x  0 , ini berarti tidak ada harga (x,y) yang memenuhi

2.

Garis yang Sejajar Jika l1 dan l2 tidak berpotongan atau sejajar, berarti tidak ada titik potongnya Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0 b2c1 - b1c2  0

a b c b1 c1  1  1  1  b2 c 2 a 2 b2 c 2 3.

Syarat garis sejajar

Garis Berhimpit Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0

a1 b1  a 2 b2 b2c1 - b1c2 = 0

b1 c1  b2 c 2

 a1  b1  c1 a2

b2

Syarat garis berhimpit

c2

2.9. SUDUT ANTARA DUA GARIS Jika l1

 y = m1x + b1

l2

 y = m2x + b2

Sb. Y y = m2 x + b 2 y = m1 x + b 1

Sudut perpotongan =



tg  1 = m1 tg  2 = m2



1

2 Sb. X

1 =  2 +   = 1   2

By : Turmudi



19


tg

 = tg  1   2 =

tg 1  tg 2 m  m2 atau tg  = 1 1  m1 m2 1  tg1  tg 2

 = arc. tg

m1  m2 1  m1m2

Kemungkinan-kemungkinannya ; a.

Untuk

 = 90o  tg 90o =

1  m1m2 

m1  m2 =  1  m1m2

m1  m2 

1  m1m2 = 0 m1m 2 = -1 b.

Untuk

 = 0o  tg 0o = 0

m1  m2 =0 1  m1 m2

m1  m 2 = 0 m1  m 2

Syarat garis sejajar

2.10. JARAK DARI TITIK O (0,0) KE GARIS Ax + By + C = 0 Diketahui : l

 ax + by + c = 0

Ditanya : Jarak titik O ke garis l

 ax + by + c = 0 Penyelesaian: ax + by + c = 0

Sb. Y

l

: a 2  b2 a b c x y 0 a2  b2 a 2  b2 a 2  b2

 ax + by + c =

d

0

 a Karena   a 2  b 2 Sb. X

2

  b   2   a  b 2

2

  1 


c

Maka d 

a2  b2

d

c

jarak titik ke garis

a 2  b2

2.11. Jarak Antara Dua Garis Sejajar

 a1x + b1y + c1 = 0

Diketahui : l1 Sb. Y

l2

 a2x + b2y + c2 = 0

Ditanya : jarak l1 dan l2 Penyelesaian: d1  d2

d

d1

Sb. X

d2 

c1 2

a  b2 c2 a2  b2

0 l1

d = d2 – d1

l2

d

c 2  c1

Jarak antara dua garis sejajar

a2  b2

2.12. JARAK DARI TITIK P(x1,y1) KE GARIS Ax + By + C = 0 Ambil garis l1

 y = mx + b melalui titik P(x1,y1)

Ditanya : jarak titik P(x1,y1) ke garis

Sb. Y

l2

 ax + by + c = 0

Penyelesaian: l1 d )

Q(x,y)

m l1 = m Koefisien garis l2

P(x1,y1) y1

Sb. X x1 l1

By : Turmudi

 y = mx + b

l2

l2

 ax + by + c = 0

m l2 = 


a b


21


Persamaan garis l1 // l2 dengan koefisien m

 y – y1 = m2 (x – x1) y – y1 = 

a (x – x1) b

b (y – y1) = - a (x – x1) by – by1 = - ax + ax1 ax + by – (ax1– by1) = 0, ini berarti c1 = - (ax1+ by1)

karena l1 // l2  d 

d

c1  c 2 a2  b2 ax1  by1  c 2 a2  b2

Jarak dari titik ke garis

2.13. SYARAT 3 GARIS MELALUI SEBUAH TITIK YANG SAMA l1

 a1x + b1y + c1 = 0

l2

 a2x + b2y + c2 = 0

l3

 a3x + b3y + c3 = 0

Jika l1 memotong l2 di titik P, maka akan diperoleh koordinat titik

 b1c 2  b2 c1 a1c 2  a 2 c1  ,   a1b2  a2 b1 a1b2  a 2 b1 

P

l3 melalui titik P

 a3  b1c 2  b2 c1  + b3  a1c 2  a2 c1  + c3 = 0  a1b2  a 2 b1 

ab a b   1 2 2 1 

x ( a1b2  a2b1 )

a3 b1 c 2  b2 c1  + b3 a1c 2  a 2 c1  + c3 a1b2  a 2 b1  = 0 a3 b1c2 - a3 b2 c1 + a2 b3c1 - a1b3c2 + a1b2 c3 - a2 b1 c3 = 0

a1b2 c3 + a2 b3c1 + a3 b1c2 - a1b3c 2- a2b1 c3 - a3 b2 c1 = 0 Catatan : Untuk mudah diingat

(+)

(-)


23

2.14. BERKAS GARIS Berkas suatu garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan arahnya berlainan. Jika g1 (P) = 0 dan g2 (P) = 0 Maka diperoleh persamaan

1 g1 +  2 g2 = 0 p g1 +

g1

Titik tetap

2 g2 = 0 1

Misalkan

g2

Maka diperoleh : g1 +

 g2 = 0

: 1

2 =  (sebarang konstanta) 1

persamaan berkas garis-garis

Contoh 6: 1.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik asal dan melalui titik potong garis-garis x + y – 4 = 0 dan 2x – 3y + 6 = 0 Penyelesaian: Berkas garis : g1 + (2x – 3y + 6) +

 g2 = 0

 (x + y – 4) = 0 .................(i)

Karena garis yang diminta itu melalui O (0,0) maka ;

2  0  3  0  6  0   0  0  4  0  4  6  1

1 ................(ii) 2

Subs. (ii)  (i)

 Persamaan garis yang dimaksud adalah (2x – 3y + 6) + 1 1 (x + y – 4) = 0 2

1 1 1 3 x  1 y  0 , atau y  2 x 2 2 2

By : Turmudi




2.

Tentukan persamaan garis yaqng melalui titik potong garis-garis 3x – 4y + 5 = 0 dan 5x + y = 7 serta sejajar dengan garis y = x + 5 ! Penyelesaian : g1 +

 g2 = 0  (5x + y – 7) = 0

(3x – 4y + 5) + (3 + 5  )x + (4 -

 )y + (5 - 7  ) = 0 y

m1 =

3  5 5  7 ..........................(i) x 4 4

3  5 4

Gradien graris y = x + 5, yaitu m2 = 1 Syarat dua garis sejajar, m1 = m2

3  5 1 = 1   = ..............................(ii) 4 6 Subs. (ii)  (i)

 persamaan garis yang dimaksud adalah (3x – 4y + 5) + 1 (5x + y – 7) = 0 6

x–y+1=0

3.

Diketahui l1

 x – y + 2 = 0, l2  2x - y – 1 = 0 dan l3  x – 3y + 2 = 0

Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik potong l1 dan l2 serta tegak lurus l3 ! Penyelesaian : l4 (x – y + 2) +

 l1 +  l2 = 0

 (x - y – 1) = 0

(1+2  )x – (1+  )y + (2 -

)=0 y=

ml4 =

1  2 1 , ml3 = 1  3

Syarat : l3  l4  m3  m4 = - 1

1  2 2 x 1  1 

 1  2  1    1  1  3

=



4 5

 Persamaan garis yang dimaksud y = - 3x + 14


25

2.15. LATIHAN II : 1.

2.

Diketahui  ABC dengan A(1,1), B(5,4) dan C(3,6) a.

Hitunglah luas  ABC !

b.

Hitunglah garis-garis tinggi dari titik A, B, dan C !

Tentukan persamaan : a.

Garis melalui titik (-4,0) dan (0,-3) !

b.

Garis yang memotong sumbu x negatif 5 cm (titik A) dan memotong sumbu Y positif di titik B hingga OB = 5 cm!

c. 3.

Garis melalui titik (-4,0) dan memotong sumbu Y positif 5 cm!

Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (3,2), garis tersebut memotong kedua sumbu koordinat sedemikian hingga membentuk sustu segitiga denagn luas 12 satuan luas!

4.

Suatu garis memotong sumbu X dan sumbu Y, titik P(2,3) terletak di tengah dari segmen garis yang menghubungkan kedua titik potong di atas. Tentukanlah persamaan garis lurus tersebut !

5.

6.

7.

Tentukan persamaan garis yang melalui A(1,3) dan a.

Bersudut 135o dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 !

b.

Tegak lurus pada garis 2x + 3y + 1 = 0 !

c.

Sejajar dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 !

Tentukan Jarak ; a.

Titik A(2,1) ke garis 2y = x – 4 !

b.

Titik asal ke garis x + 2y 2 = 5 !

Sebuah garis melalui titik A(4,0) dan memotong sumbu Y positif di titik B, sedemikian hingga AB = 5cm; a.

Tentukanlah persamaan garis itu dengan rumus segmen garis !

b.

Dari persamaan yang didapat itu, tentukanlah persamaan normalnya !

8.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,4) dan titik positif garis-garis y = x dan 3x + 5y = 15 !

9.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis : 2x – 3y + 6 = 0 dan 3x – 2y = 0 serta tegak lurus pada garis 4x – 3y = 12 !

10. Dari segitiga ABC dengan titik sudutnya A(3,0), B(6,2), dan C(2,4). Tentukanlah : a.

Panjang garis-garis tingginya !

b.

Tentukanlah persamaan garis-garis bagi sudut-sudut segitiga itu!

By : Turmudi



2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS

Recommend Documents