PErSamaan GarIS luruS Untuk SMP Kelas VIII
Peta Konsep
Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus
Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus
Persamaan Garis Lurus
A. PERSAMAAN GARIS I 1. Menggambar garis dengan persamaan y=mx dan y= mx+c dengan menggunakan tabel Pada bahasan tempat kedudukan telah diterangkan bahwa grafik himpunan semua titik yang memenuhi y=mx, berupa garis lurus. Oleh karena itu, bentuk y=mx disebut persamaan garis lurus yang selanjutnya disebut persamaan garis. Bentuk persamaan garis yang lain adalah y=mx+c. Untuk menggambar garis dengan persamaan y=mx maupun y=mx+c, terlebih dahulu tentukanlah paling sedikit dua titik yang dilalui garis itu dengan membuat tabel hubungan nilai x dan nilai y.
2. Menyatakan Persamaan Garis Suatu garis pada bidang Cartesius dapat ditentukan persamaan garisnya dengan cara memilih beberapa titik yang terletak pada garis itu, kemudian ditentukan hubungan antara ordinat (koordinat y) dengan absisnya (koordinat x) dari masingmasing titik tersebut.
B. GRADIEN 1. Pengertian Gradien
Gambar ini menunjukkan suatu bagan ruas jalan A sampai D dengan posisi kemiringan yang berbeda dari A ke B, B ke C, dan C ke D. Ukuran kemiringan/kecondongan jalan dapat ditentukan dengan membandingkan jarak tegak terhadap jarak mendatar untuk masing-masing ruas jalan yang selanjutnya disebut gradien. Dengan cara itu, maka gradien ruas jalan pada gambar tersebut dapat ditentukan.
Gradien/kemiringan garis AB =
=
Gradien/kemiringan garis BC =
=
Gradien/kemiringan garis AB =
=
Gradien/kemiringan garis AB = Selanjutnya akan dibahas mengenai gradien garis yang terletak pada bidang koordinat.
Gambar (i)
Gambar (ii)
Perhatikan Gambar (i) Garis k Ruas garis
AO 1 Gradien 2 Perhatikan Gambar (ii)
Garis l OB 2 1 = 4 2
OP
OQ 6 =3 2
3 =3 1
Garis k
Garis l
Ruas garis
OL
OK
OT
OS
Gradien
2 = −2 −1
4 = −2 −2
2 2 =− −3 3
4 2 =− −6 3
Dari kedua tabel di atas dapat ditarik kesimpulan berikut ini. 1) Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan memilih sebagian ruas garis yang terletak pada garis itu, karena gradien garis tidak tergantung pada panjang atau pendeknya garis. 2) Gradien garis OA =
3) Komponen x bernilai positif jika menuju ke kanan, dan bernilai negatif jika menuju ke kiri. Komponen y bernilai positif jika menuju ke atas, dan bernilai negatif jika menuju ke bawah. 4) Arah garis yang gradiennya positif (lihat garis k dan l) naik jika diikuti dari kiri ke kanan. Arah garis yang gradiennya negatif (lihat garis p dan q) turun jika diikuti dari kiri ke kanan
2. Gradien Garis yang Melalui Dua Titik
Gambar (i)
Gambar (ii)
Perhatikan koordinat A(x , y ) dan B(x , y ) pada gambar di atas. Untuk menentukan gradien garis AB (Gambar (i)), terlebih dahulu tentukanlah komponen x dan komponen y dari garis AB. Komponen x garis AB
= AM
(dimulai dari titik A)
=x −x Komponen y garis AB
= MB =y −y
Gradien garis AB = = Untuk selanjutnya gradien garis AB dapat ditulis
.
Untuk menentukan gradien garis BA (Gambar (ii)), terlebih dahulu tentukanlah komponen x dan komponen y dari garis BA. Komponen x garis BA
= BN
(dimulai dari titik B)
= −(x − x ) (ingat arahnya ke kiri) = −x + x =x −x Komponen y garis BA
= NA = −(y − y ) (ingat arahnya ke bawah) = −y + y =y −y
Gradien garis BA = = Untuk selanjutnya gradien garis BA dapat ditulis
.
Oleh karena kemiringan AB sama dengan kemiringan AB (posisi AB dan BA sama), maka gradien AB dan gradien BA sama atau = . Dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan berikut. Untuk sembarang titik =
=
(
,
atau
) dan ( =
,
), maka : =
3. Mengenal Gradien Garis Tertentu a. Garis yang Sejajar dengan Sumbu X Setiap garis yang sejajar dengan sumbu X memiliki gradien nol.
(mendatar atau horizontal)
b. Garis yang Sejajar dengan Sumbu Y Setiap garis yang sejajar dengan sumbu Y (tegak atau vertikal) tidak mempunyai gradien.
c. Garis-Garis Garis yang Saling Sejajar Garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama atau Jika garis garis-garis memiliki gradien yang sama, sama maka pastilah garis-garis tersebut saling sejajar sejajar. atau =
d. Garis-Garis Garis yang Saling Tegak Lurus Hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1. atau .
=-1
Catatan : Untuk garis tegak dan garis mendatar,, walaupun kedua garis itu saling tegak lurus, tetapi kesimpulan di atas tidak berlaku, karena garis tegak (vertikal) tidak mempunyai gradien
C. PERSAMAAN GARIS II 1. Persamaan Garis dalam Bentuk y=mx
Garis-garis garis pada gambar di atas melalui titik pangkal koordinat koordinat. Hubungan antara persamaan garis dengan gradiennya ditunjukan pada tabel berikut.
Dari tabel tersebut terlihat bahwa koefisien x dari suatu persamaan garis ternyata merupakan gradien garis itu. Persamaan garis y = 2x mempunyai gradien 2 Persamaan garis y = -2x mempunyai gradien -2 Dengan demikian dapat diambil kesimpulan berikut.
Persamaan garis y = mx bergradien m dan melalui titik O(0,0).
2. Persamaan Garis dalam Bentuk y=mx+c
Garis-garis pada gambar di atas sejajar dengan garis yang persamaannya y=
x. Hal ini berarti garis-garis itu memiliki gradien yang sama, yaitu . Hubungan
antara persamaan garis dengan gradien dan titik yang dilalui pada sumbu Y ditunjukan pada tabel berikut.
Dari tabel tersebut diperoleh hubungan berikut. Persamaan garis y =
x + 3 bergradien
dan melalui (0,3)
Persamaan garis y =
x + 6 bergradien
dan melalui (0,6)
Persamaan garis y =
x – 4 bergradien
dan melalui (0,-4)
Dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut. Persamaan garis y = mx +c bergradien m dan melalui (0,c). Titik (0,c) adalah titik potong garis y = mx+c dengan sumbu Y.
Jika persamaan garisnya tidak berbentuk y=mx+c, misalnya ax+by+c=0, maka gradien garis dapat ditentukan dengan mengubah bentuk ax+by+c=0 menjadi bentuk y=mx+c
3. Menentukan Persamaan Garis a. Persamaan Garis dengan Gradien m dan Melalui Titik (
,
)
Pada gambar di atas, A adalah titik dengan koordinat (x , y ) sedangkan P adalah titik dengan koordinat sembarang, yaitu (x,y). Jika gradien garis yang melalui A(x , y ) dinyatakan dengan m, maka AP terdiri atas semua titik (x,y) dengan hubungan berikut ini. =m y − y = m(x − x ) Dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut. Persamaan garis yang melalui titik (
,
) dan bergradien m adalah −
=
( −
)
b. Persamaan Garis yang Melalui Titik (
,
) dan (
,
)
Pada bahasan mengenai gradien telah diperoleh rumus untuk menentukan gradien garis yang melalui titik (x , y ) dan (x , y ), yaitu atau . selanjutnya dengan menggunakan rumus persamaan garis y − y = m(x − x ) dapat diperoleh rumus berikut. y − y = m(x − x ) y− y =
(x − x ) ...... m diganti dengan (
y−y =
)(
(
)(
=(
(
=(
)(
)
) )
........ kedua ruas dibagi dengan ( y − y )
) )
Dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut. Persamaan garis yang melaui sembarang titik (
,
) dan (
,
) adalah
Daftar Pustaka : M.Cholik Adinawan, Sugijono. "MATEMATIKA Untuk SLTP Kelas 2". Erlangga Jakarta. Jakarta. 2003
(
=(
) )
