Kompetensi Dasar: 1.3 Memahami relasi dan fungsi
o o o o
A. PENGERTIAN RELASI o o o o o o o o o o! o
SELERA MAKAN. Dalam sebuah keluarga,
setiap anggota keluarga tersebut mempunyai selera makan yang berbeda-beda. Maka terjadilah hubungan antara masingmasing anggota keluarga tersebut dengan jenis makanan yang disukainya.
KEGEMARAN OLAHRAGA. Amati teman-teman sekelas
Anda,
apakah
semua
teman
Anda
mempunyai
kegemaran olahraga yang sama? Sudah pasti tidak. Ada yang suka sepak bola, ada yang suka basket, ada yang suka memancing dan sebagainya. Maka terjadilah hubungan antara teman-teman Anda dengan jenis olahraga yang disukainya.
Dua contoh di atas, yaitu tentang selera makan dan kegemaran olahraga, yang menunjukkan adanya hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Dalam matematika, konsep hubungan tersebut dinamakan relasi.
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
27
CARA MENYATAKAN SUATU RELASI Perhatikan contoh peristiwa berikut:
Cecep sedang berulang tahun yang ke-15. Ia mengajak teman-temannya: Aris, Bari, Fira dan Darla pergi ke rumah makan “Mathein”. Perhatikan menu yang disediakan, yaitu: soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate dan sop. Dari menu tersebut ternyata
masing-masing
anak
tidak
sama
menu
favoritnya. Aris suka “rawon dan sop”, tetapi kali ini ia memesan rawon Bari memesan gulai, walaupun sebenarnya ia suka “soto, rawon dan gulai” Cecep suka “ sate dan nasi goreng” namun makanan yang dipesannya adalah sate. Fira memesan sate, karena ia memang hanya suka “sate” tersebut. Darla anak baru jadi belum ada yang disukai, tetapi ia pesan nasi goreng.
Dari peristiwa di atas Anda dapat membuat relasi antara dua himpunan, yaitu: •
Himpunan anak yang beranggotakan: Aris, Bari, Cecep, Darla dan Fira.
•
Himpunan makanan yang beranggotakan: soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate dan sop yang disediakan oleh rumah makan “Mathein” tersebut.
Dalam hal ini kita dapat membuat dua macam relasi dengan aturan yang berbeda, yaitu: makanan kesukaannya dan makanan pesanannya Relasi dengan aturan “makanan kesukaannya” sebagai berikut: Aris
rawon ; Aris
Cecep
sop ; Bari
nasi goreng ; Fira
soto ; Bari
rawon ; Bari
gulai ; Cecep
sate ;
sate.
Relasi dengan aturan “ makanan pesanannya” sebagai berikut: Aris
rawon ; Bari
Catatan: tanda “
gulai ; Cecep
sate ; Darla
nasi goreng
; Fira
” digunakan untuk mewakili aturan relasinya, misal Aris
sate
sop berarti Aris
makanan kesukaannya sop.
Pada bab ini, diperkenalkan tiga cara menyatakan relasi, yaitu: 1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan 2. Dengan Diagram Panah 3. Dengan Diagram Cartesius 28
Menyatakan relasi dengan himpunan pasangan berurutan dapat dilakukan dengan langkahlangkah sebagai berikut: Langkah 1 Himpunan anak kita nyatakan sebagai himpunan A dan himpunan makanan yang disediakan oleh rumah makan “Mathein” kita nyatakan sebagai himpunan B. Kita daftarkan masing-masing anggota himpunan A dan anggota himpunan B, yaitu: A = {Aris , Bari , Cecep , Darla , Fira} B = { soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate, sop } Langkah 2 Kita pasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan relasi: ”makanan kesukaannya” dalam bentuk (x , y) dengan x ∈ A dan y ∈ B Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x , y) dinamakan himpunan pasangan berurutan. Relasi dari himpunan A ke himpunan B kita nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut: ARB
= {(Aris , rawon) , (Aris , sop) , (Bari , soto) , (Bari , rawon) , (Bari , gulai) , (Cecep , sate) , (Cecep , nasi goreng) , (Fira , sate)}
Giliran Anda Untuk menguji pemahaman Anda tentang cara menyatakan relasi dengan himpunan pasangan berurutan, silakan Anda menyatakan relasi dari himpunan A ke himpunan B tersebut untuk aturan yang kedua, yaitu: ”makanan pesanannya” pada kotak berikut ini:
29
A
B
x •
Gambar di samping menunjukkan bentuk cara menyatakan relasi dengan diagram panah
• y
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah: o Membuat dua lingkaran atau ellips (bisa juga bangun lainnya, misalnya: persegipanjang) untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B o x ∈ A diletakkan pada lingkaran A dan y ∈ B diletakkan pada lingkaran B o x dan y dihubungkan dengan anak panah o Arah anak panah menunjukkan arah relasi o Anak panah tersebut mewakili aturan relasi
Dengan demikian langkah membuat diagram panah relasi makanan kesukaannya dari himpunan A ke himpunan B atau ditulis R : A → B adalah: A
B
A
B
A
B
Aris
Soto
Aris
Soto
Bari
Rawon
Bari
Rawon
Cecep
Gulai
Cecep
Gulai
Darla
Sate
Darla
Sate
Fira
Sop
Fira
Sop
Nasi Goreng
(i)
(ii)
Nasi Goreng
(iii)
Untuk diagram panah relasi R : A → B dengan aturan makanan pesanannya, silakan Anda memasangkan anak panahnya, pada diagram berikut ini: A
B
Aris
Soto
Bari
Rawon
Cecep
Gulai
Darla
Sate
Fira
Sop Nasi Goreng
30
sumbu tegak
o Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak
(x,y)
y
sumbu mendatar
lurus. o x ∈ A diletakkan pada sumbu mendatar x o y ∈ B diletakkan pada sumbu tegak o Pemasangan x
y ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan
berurutan (x , y)
Sebagai contoh, pada diagram panah berikut ini, maka diagram cartesiusnya dapat di lihat di samping kanannya. A
B
baja raksa oli nikel
cair padat gas cair
gas padat
oksigen
baja
Diagram panah
raksa
oli
nikel oksigen
Diagram Cartesius
Gambarlah diagram Carteius dari diagram panah berikut ini: A
B
Aris
Soto
Bari
Rawon
Soto Rawon Digram Cartesiusnya
Gulai
Cecep
Gulai
Darla
Sate
Sate
Fira
Sop
Sop Nasgor
Nasgor
Aris Bari Cecep Darla Fira
A
B
Aris
Soto
Bari
Rawo n Gulai
Cecep Darla
Sate
Fira
Sop
Soto Rawon Digram Cartesiusnya
Gulai Sate Sop Nasgor
Nasgor
Aris Bari Cecep Darla Fira
31
LATIHAN 1.3.A 1. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan himpunan pasangan berurutan: a. A = { becak , mobil , kapal , pesawat terbang , kereta api , perahu } B = { darat , laut , udara } Aturan relasi: alat transportasi b. C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } D = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 } Aturan relasi: faktor prima dari
2. Himpunan pasangan berurutan berikut merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Daftarkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B serta tulis aturan relasi yang mungkin. a.
ARB
= { (kertas , padat) , (bensin , cair) , (oli , cair) , (oksigen , gas) , (batu , padat) }
b.
ARB
= { (7 , 3) , (6 , 2) , (5 , 1) , (4 , 0) , (3 , –1) , (2 , –2) , (1 , –3) }
3. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan diagram panah: a. M = { Liputan 6 , Seputar Indonesia , Lintas 5 , Good News , Editorial Malam , Fokus , Reportase Sore , Redaksi Sore , Topik Petang , Berita Nasional , Sorot , Brutal } P = { RCTI , TPI , GlobalTV , SCTV , Indosiar , Lativi , METRO TV , TRANS , TRANS 7 , antv , TVRI } Aturan relasi : program berita dari b. E = { x | –2 F={y|0
x < 5 , x ∈ bilangan bulat } y
10 , y ∈ bilangan cacah }
Aturan relasi : tiga kurangnya dari
4. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan diagram Cartesius: a. G = { nama-nama bulan dalam setahun pada tahun ini } H = { 28 , 29 , 30 , 31 } Aturan relasi: jumlah harinya b. I = { bilangan asli kurang dari 10 } J = { bilangan prima kurang dari 12 } Aturan relasi: lebih dari 5. Diketahui himpunan T = { 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 } Relasi R dari himpunan T ke himpunan T dengan aturan “ kelipatan dari ” a. Nyatakan relasi R tersebut dengan himpunan pasangan berurutan b. Nyatakan relasi R tersebut dengan diagram panah c. Nyatakan relasi R tersebut dengan diagram cartesius
32
B. PENGERTIAN FUNGSI Perhatikan relasi yang dinyatakan dengan diagram panah di bawah ini: A
B
Aris
Soto
Bari
Rawon
Cecep
Gulai
Darla
Sate
Fira
Sop Nasi Goreng
Pada relasi di samping mempunyai ciri: o Anggota himpunan A, yaitu: Aris, Bari, Cecep, Darla dan Fira, semuanya memesan dan masing-masing hanya memesan satu jenis makanan. Dengan kata lain semua anggota A memesan makanan dan tidak ada yang memesan lebih dari satu. o Secara matematika dikatakan bahwa: setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan anggota himpunan B dan pemasangannya adalah tepat satu. o Relasi yang seperti ini disebut fungsi atau pemetaan
Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B
Untuk lebih memahami tentang fungsi, perhatikan relasi berikut ini: P a b c
P
Q 1 2 3
Q
a b c
1 2 3
P
Q
a b c
1 2 3
Relasi ini tidak bisa disebut fungsi, sebab ada anggota himpunan P yaitu b yang dipasangkan lebih dari satu dengan 1 dan b 2 anggota himpunan Q , yaitu b
Relasi ini juga tidak bisa disebut fungsi, sebab ada anggota himpunan P yaitu c yang tidak mempunyai pasangan dengan anggota himpunan Q
Ralasi ini disebut fungsi. Mengapa? (Suatu relasi disebut fungsi dapat dilihat dari syarat yang harus dipenuhi anggota himpunan P bukan anggota himpunan Q)
DOMAIN, KODOMAIN DAN RANGE FUNGSI .
Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f : A → B Himpunan A disebut Daerah asal atau Domain Himpunan B disebut Daerah kawan/lawan atau Kodomain Himpunan bagian dari himpunan B yang anggotanya dipasangkan dengan anggota himpunan A disebut Daerah hasil atau Range
33
Suatu fungsi f : A → B dinyatakan dengan diagram panah sebagai berikut: A
B
a b c d e
w
Domain fungsi f adalah Df = {a , b , c , d , e}
x
Kodomain fungsi f adalah Kf = {w , x , y , z}
y z
Range fungsi f adalah Rf = {w , x , z}
GILIRAN ANDA 1. Tentukan domain, kodomain dan range dari diagram panah berikut ini: A
B
Aris
Soto
Bari
Rawo n Gulai
Cecep Darla
Sate
Fira
Sop Nasgor
Domain = {…
Kodomain = {…
Range = {…
2. Empat siswa yang bernama Sirwanto, Cahyo, Soni dan Agung sedang membaca buku di perpustakaan yang menyediakan jenis buku: ilmiah, fiksi, non fiksi, ensiklopedia dan komik. Sirwanto dan Soni membaca buku non fiksi, Cahyo asyik membaca komik dan Agung lagi serius membaca buku ilmiah. a. Jika A adalah himpunan siswa dan B adalah himpunan jenis buku, tulis himpunan A dan himpunan B dengan cara mendaftar anggotanya. b. Buat diagram panah relasi dari himpunan A ke himpunan B dan tulis aturan relasinya. c. Relasi tersebut apakah fungsi? d. Tulis Domain, Kodomain dan Rangenya
34
LATIHAN 1.3.B Petunjuk: Pilih satu dari 4 option jawaban yang disediakan! 1. Relasi mempunyai pengertian … a. pemasangan dua himpunan dengan aturannya b. pemasangan anggota himpunan satu dengan anggota himpunan lain dengan aturan tertentu c. aturan yang memasangkan anggota himpunan satu dengan anggota himpunan lain d. hubungan beberapa himpunan
6. Perhatikan diagram panah di bawah ini
2. Domain dari relasi yang dinotasikan dengan R : A → B adalah himpunan … a. A c. A dan B b. B d. bagian dari B
7. Diketahui: A = {(1,1),(2,3),(3,5),(3,7)} B = {(2,1),(3,3),(3,5),(5,5)} C = {(1,2),(2,3),(4,6),(6,8)} D = {(1,1),(3,1),(5,3),(7,3)} Dari himpunan pasangan berurutan di atas yang merupakan fungsi adalah … a. A dan B c. B dan C b. A dan C d. C dan D
3. Kodomain dari relasi R : P → Q adalah … a. P c. P dan Q b. Q d. kosong 4. Aturan relasi yang ditunjukkan oleh diagram panah di samping adalah … a. lebih dari 1 2 b. satu lebihnya dari 2 3 3 5 c. kurang dari 4 7 d. satu kurangnya dari 5. Diketahui P = {2,3,4,5} dan Q = {4,6,8,10} Relasi “faktor dari” dari P ke Q ditunjukkan oleh diagram panah … a. . c. 2 3 4 5
4 6 8 10
b. . 2 3 4 5
2 3 4 5
4 6 8 10
2 3 4 5
4 6 8 10
d. 4 6 8 10
I
II
III
IV
Yang merupakan fungsi adalah … a. I c. III b. II d. IV
8. A = {2,3,4,5} dan B = {5,7,8,9}. Relasi dari A ke B merupakan fungsi jika aturan relasinya adalah … a. faktor dari c. kelipatan dari b. kurang dari d. tiga kurangnya dari 9. Range dari fungsi pada diagram panah di samping adalah … a. {a,b,c,d} a w b. {x,y} b x c y c. {w,x,y,z} d z d. {a,b,c,d,x,y} 10. Domain dari himpunan pasangan berurutan {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} adalah… a. {1,2,3,4} c. {2,3,4} b. {2,3,4,5} d. {1,2,3,4,5}
Petunjuk: Jawab dengan singkat, jelas dan sesuai perintah! 11. Diketahui P = {Malang , Surabaya , Semarang , Bandung , Jakarta , Denpasar , Sumenep} dan Q = {Jatim , Jateng , Jabar , Bali. } Nyatakan relasi R : P→ Q dalam himpunan pasangan berurutan dengan aturan: a. Ibu kota propinsi b. Kota di propinsi
35
12. Diketahui A = {1 , 3 , 5 , 7 , 9} dan B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} Buat masing-masing diagram panah relasi R : A → B dengan aturan: a. dua kurangnya dari
d. kelipatan dari
b. lebih dari
e. setengah dari
c. faktor dari 13. Diketahui A = {a , b , c , d , e} dan B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} Relasi dari A ke B yang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan berikut ini fungsi atau bukan? Berikan alasan! a. {(a,2) , (b,1) , (c,5) , (e,4)} b. {(a,3) , (b,4) , (c,5) , (d,5) , (e,4) , (f,3)} c. {(a,1) , (a,2) , (a,3) , (a,4) , (a,5) , (a,6)} d. {(a,3) , (b,6) , (b,4) , (c,2) , (d,1) , (e,2) , (a,6)} e. {(a,1) , (b,3) , (d,5) , (e,4)} 14. Diketahui K = {3 , 4 , 5 , 6} dan L = {4 , 5 , 6 , 7} Jika g adalah fungsi dari himpunan K ke himpunan L, tentukan dua aturan yang mungkin untuk fungsi g kemudian gambar diagram panahnya.
15. Diketahui himpunan P = {2 , 3 , 5 , 7} dan himpunan Q = {1 , 5 , 9 , 14 , 19} Fungsi g dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan { (2,14) , (3,9) , (5,5) , (7,14) } a. Tentukan aturan fungsi g dan nyatakan dengan diagram panah b. Tulis Domain, Kodomain dan Range fungsi g.
PIKIRKAN. Mengapa orang ini menelepon? Mencari relasi bukan?
36
C. KAITAN FUNGSI DENGAN MASALAH SEHARI-HARI A
BAHAN DAPUR. Gula, garam, merica, cabe dan
B
gula garam merica cabe cuka
cuka merupakan bahan-bahan dapur yang sudah Anda ketahui. Bagaimana rasanya? Periksa diagram panah di samping! Apakah
asin pahit manis pedas asam
relasi tersebut merupakan fungsi?
Fungsi ternyata mempunyai kaitan dengan masalah sehari-hari. Salah satunya seperti dicontohkan di atas. Dapatkah Anda memberikan contoh lainnya? Perhatikan pasangan himpunan berikut ini: 1. {anggota keluarga Anda} dan {acara-acara di TV} 2. {benda-benda abiotik} dan {padat , cair , gas} 3. {alat-alat transportasi} dan {darat , udara, air} 4. {mata pelajaran di kelas 8} dan {guru-guru di sekolah Anda} 5. {pemain sepak bola dalam satu tim} dan {seratus bilangan asli yang pertama} Selidiki dengan membuat diagram panahnya, pasangan himpunan mana yang relasinya merupakan fungsi? Mengapa demikian?
Dalam matematika, juga ada bermacam-macam fungsi, antara lain: fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dan fungsi eksponen.
BANYAK FUNGSI YANG MUNGKIN ANTARA DUA HIMPUNAN Jika kita mempunyai himpunan A = { a , b } dan himpunan B = { 1 , 2 }, dimana n(A) = 2 dan n(B) = 2. Berapa banyakkah fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita buat diagram panah untuk semua fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B sebagai berikut: A
B
A
B
A
B
A
B
a
1
a
1
a
1
a
1
b
2
b
2
b
2
b
2
i
ii
iii
iv
Ternyata jika n(A) = 2 dan n(B) = 2, maka ada 4 fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B. 37
Bagaimana jika n(A) = 3 dan n(B) = 2, ada berapa banyak fungsi yang mungkin dari A ke B? Untuk menjawab pertanyaan itu, perhatikan kejadian dalam kehidupan sehari-hari berikut ini:
BAJU DAN T-SHIRT. Pak Abdi mempunyai tiga orang anak, yaitu: Rama, Nano dan Lia. Pada hari minggu depan pak Abdi ingin mengajak ketiga anaknya mengunjungi neneknya di Malang. Dapatkah Anda menduga kira-kira pakaian apa yang akan dikenakan ketiga anak pak Abdi? Baju atau T-shrit? Dugaan pertama Rama, Nano dan Lia sama-sama memakai baju atau sama-sama memakai T-shirt Dugaan kedua Dua anak pak Abdi memakai baju dan lainnya T-shirt atau sebaliknya yang dua anak memakai T-shirt dan yang satu memakai baju
Banyak cara yang mungkin mereka mengenakan pakaian dapat digambarkan dengan diagram panah sebagai berikut: Dugaan I (Coba Anda lengkapi dengan membubuhkan anak panah pada kemungkinan ini) Anak
Pakaian
Rama Nano Lia
Baju T-shirt
Anak
Pakaian
Rama Nano Lia
Baju T-shirt
Dugaan II (Coba Anda lengkapi dengan membubuhkan anak panah pada kemungkinan ini)
38
Anak
Pakaian
Anak
Pakaian
Anak
Pakaian
Rama Nano Lia
Baju
Rama Nano Lia
Baju
Rama Nano Lia
Baju
T-shirt
T-shirt
T-shirt
Anak
Pakaian
Anak
Pakaian
Anak
Pakaian
Rama Nano Lia
Baju
Rama Nano Lia
Baju
Rama Nano Lia
Baju
T-shirt
T-shirt
T-shirt
Ternyata jika n(A) = 3 dan n(B) = 2, maka ada 8 fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B. Menentukan banyak fungsi yang mungkin LAB MINI Kerjakan berkelompok dan diskusikan! Diberikan: A = {a , b} ; B = {x , y , z} dan C = {1} Buat semua diagram panah yang mungkin untuk fungsi berikut: 1. Fungsi f : A → B 2. Fungsi g : A → C 3. Fungsi h : B → C 4. Fungsi k : C → A 5. Fungsi t : C → B. Lengkapi tabel berikut berdasarkan hasil kerja Kalian!
2
3
2
1
3
1
1
2
1
3
Apa kesimpulan Anda dari hasil isian tabel kolom tiga? Jika n(A) = m dan n(B) = n, maka banyaknya fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah nm Contoh: Diketahui himpunan A dan himpunan B dengan n(A) = 4 dan n(B) = 5. Banyak semua fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B adalah 54 = 625 macam fungsi LATIHAN 1.3.C 1. Diketahui V = { a , i , u , e , o } dan K = { x , y , z }. Tentukan banyak semua fungsi yang mungkin dari:
2.
a. himpunan V ke himpunan K
c. himpunan V ke himpunan V
b. himpunan K ke himpunan V
d. himpunan K ke himpunan K
Banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan P ke himpunan Q adalah 64 buah. a. Berapa banyak anggota himpunan P jika n(Q) = 8 b. Berapa banyak anggota himpunan Q jika n(P) = 6
3. Tentukan banyaknya fungsi yang mungkin terjadi dari himpunan A ke himpunan B, jika diketahui:
a. A = {x | x ≤ 6, x∈Bilangan Asli} dan B = {-3 < x ≤ 5, x∈Bilangan Bulat} b. A = {warna traffic light} dan B = {warna pelangi} c. A = { huruf pembentuk kata “INDONESIA”} dan B = {huruf vokal} 39
KORESPONDENSI SATU-SATU Diagram panah berikut memperlihatkan terjadinya fungsi dua arah, yaitu f : A → B dan f : B → A. A
f
a b c
B
B
1 2 3
1 2 3
f
A
Fungsi f yang demikian disebut fungsi satu-satu atau korespondensi satu-satu
a b c
f:A→B
f:B→A
Dua hal penting mengenai korespondensi satu-satu adalah: 1. Banyak anggota dua himpunan yang berkorespondensi satu-satu adalah sama 2. Merupakan fungsi dua arah
NEGARA DAN IBUKOTANYA. Setiap Negara hanya mempunyai satu ibukota, begitu juga jika suatu kota disebut sebagai ibukota maka kota tersebut hanya menjadi ibukota satu negara. Jadi terdapat korespondensi satu-satu antara negara dengan ibukotanya. ALAT INDERA. Kita mempunyai lima alat indera yang disebut panca indera. Apa sajakah lima indera yang kita miliki? Bagaimana tugasnya masing-masing? Antara alat indera dengan tugasnya terdapat korespondensi satu-satu. GILIRAN ANDA. Carilah contoh lain korespondensi satu-satu disekitar Anda.
MENENTUKAN BANYAK KORESPONDENSI SATU-SATU DUA HIMPUNAN Bagaimana merumuskan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari dua himpunan? Pada diagram panah berikut, lengkapi dengan membubuhkan anak panah sehingga terdapat korespondensi satu-satu antara domain (himpunan A) dan kodomain (himpunan B).
A
A
B
a
1
B
A
B
a
1
a
1
b
2
b
2
Jika banyak anggota A = banyak anggota B = 3, ada berapa banyak korespondensi satu-satu yang terjadi? Gambarkan diagram panahnya di bawah ini:
40
Kesimpulan: Jika n(A) = n(B) = 1, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 1 Jika n(A) = n(B) = 2, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 2 = 2 X 1 Jika n(A) = n(B) = 3, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 6 = 3 X 2 X 1 Jika n(A) = n(B) = 4, berapa banyak korespondensi satu-satu dari A ke B? Apakah sama dengan 4 X 3 X 2 X 1 = 24? (Pastikan jawaban Anda dengan membuat diagram panahnya) Banyak korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi dari himpunan A ke himpunan B dengan n(A) = n(B) = n adalah n X (n - 1) X (n - 2) X … X 3 X 2 X 1 = n! (dibaca n faktorial)
LATIHAN 1.3.D 1. Manakah diantara himpunan pasangan berurutan berikut ini merupakan korespondensi satusatu? a. {(a , x) , (b , z) , (a , y)}
d. {(1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3)}
b. {(1 , p) , (2 , q) , (3 , p)}
e. {(2 , 2) , (2 , 4) , (2 , 6)}
c. {(5 , 6) , (6 , 7) , (7 , 5)}
f. {(a , 2) , (2 , b) , (b , a)}
2. Tentukan sebuah himpunan yang mungkin dapat berkorespondensi satu-satu dengan himpunan: a. {bilangan prima kurang dari 11}
e. {mata pelajaran Ujian Nasional}
b. {jari tangan manusia}
f. { faktor dari 12 }
c. {huruf vokal}
g. {bulan yang lamanya 31 hari}
d. {lagu kebangsaan}
h. {bilangan asli}
3. Diketahui M = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} dan N = {a , b , c , d , e }. a. Berapakah banyak semua korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi dari M ke N? b. Gambarlah tiga saja himpunan pasangan berurutan yang merupakan korespondensi satusatu dari M ke N 4. Berapakah banyak korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi antara himpunan P dan himpunan Q, jika: a. n(P) = n(Q) = 8
b. n(P) = n(Q) = 10
5. Suatu tulisan sandi “WELAWELOVE EQETEY BELISHE OTWI RASBALEYIES” mempunyai arti “MATEMATIKA ADALAH RATUNYA ILMU PENGETAHUAN”. Tulislah arti dari sandi berikut: a. YASLOVES ESEV OLI b. WELEYEBO LEV RABSEY REQEW Tulis sandi dari kalimat berikut: c. KU TAHU YANG KU MAU d. GERAKAN ANTI MIRAS
41
Kompetensi Dasar: 1.4 Menentukan nilai fungsi A. MENENTUKAN NILAI FUNGSI
PERLU DIPAHAMI
Untuk melambangkan fungsi kita gunakan huruf kecil, seperti: f, g, h. Sehingga kita sebut fungsi f, fungsi g, dan fungsi h. Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B kita notasikan dengan f : A → B atau f : x → y dengan x ∈ A dan y ∈ B (f : x → y dibaca ”fungsi f memetakan x ke y”) Penulisan lain dari notasi f : x → y yaitu f(x) = y yang disebut sebagai rumus fungsi f Menentukan nilai fungsi yang dinotasikan dengan f : x → y atau dirumuskan dengan f (x) = y adalah menentukan nilai y atau f (x) jika nilai x diberikan.
CONTOH Suatu fungsi f dinotasikan dengan f : x → 3x + 6 a. Tulis rumus fungsi f b. Tentukan nilai dari: f (–2), f (0), f (a – 2) dan f (2/3) Penyelesaian: a. Notasi fungsi f adalah f : x → 3x + 6 Rumus fungsi f adalah f(x) = 3x + 6 b. f (–2) = 3 (–2) + 6 = –6 + 6 = 0 f (0) = 3 (0) + 6 = 0 + 6 = 6 f (a – 2) = 3 (a – 2) + 6 = 3a – 6 + 6 = 3a f (2/3) = 3 (2/3) + 6 = 2 + 6 = 8
LATIHAN 1.4.A 1. Fungsi f dinotasikan dengan f : x → 1 – x2 a. Tulis rumus fungsi f
g(x) = (x – 2)2
b. Tentukan nilai dari:
a. Tentukan nilai a jika g(a) = 16
(i) f (4)
42
2. Fungsi g dirumuskan dengan
(iii) f (1/2)
(v) f (x + h)
b. Jika g(-2) = 3b + 1, tentukan nilai b
(ii) f (-4)
(iv) f (2x)
(vi)
f (a) x −1
3. Tentukan nilai dari f (– 5) untuk
5. Diberikan
setiap fungsi f berikut: a. f (x) = 5x – 2
c. f (x) = 2 x
b. f (x) = x2 + 2x + 3
d. f (x) =
x x −1
2x2
h(x) =
; jika x < 0
3x + 1 ; jika x ≥ 0
Tentukan nilai: h(-2), h(-1), h(0), h(1) dan h(2)
4. Fungsi g dirumuskan dengan
g(x) =
x2 – 2x
; jika x > 2
4x
; jika x ≤ 2
Tentukan nilai dari: g(-3), g(3) dan g(2)
B. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI JIKA NILAI DAN DATA FUNGSI DIKETAHUI
CONTOH 1
CONTOH 2
Fungsi f dirumuskan dengan f (x) =
3x + 2 2
Fungsi f dirumuskan dengan f (x) = 3 – px
Jika f (a) = –5 , berapakah nilai a?
Jika f(4) = 11, tentukan p dan rumus fungsi f
Penyelesaian:
Penyelesaian:
f (x) =
3x + 2 2
f (x) = 3 – px
f (a) =
3a + 2 = –5 2
f (4) = 3 – 4p = 11
3a + 2 = –10 3a = –10 – 2 a =
− 12 = −4 3
– 4p = 11 – 3 p =
8 = −2 −4
Rumus fungsi f adalah f(x) = 3 – (–2)x
Jadi nilai a adalah –4
f(x) = 3 + 2x
CONTOH 3 Fungsi f dirumuskan dengan f (x) = px + q dengan p dan q bilangan Real. Jika diketahui f (2) = 7 dan f (–1) = 1, tentukan nilai p dan q serta tulis rumus fungsi f tersebut.
43
Penyelesaian: f(x) = px + q
Substitusi p = 2 pada persamaan 2p + q = 7
f(2) = 2p + q = 7
diperoleh 2(2) + q = 7
f(–1) = –1p + q = 1
4+q=7 (–)
q=7–4=3
3p + 0 = 6 p=
Jadi nilai p = 2 dan q = 3
6 =2 3
Rumus fungsi f adalah f (x) = 2x + 3
LATIHAN 1.4.B 1. Diketahui rumus fungsi g adalah g(x) = 3x + a. Jika nilai g(–1) = 7, tentukan: a. Nilai a
b. Rumus fungsi g
c. Nilai dari g(5) – g(12)
2. fungsi f dirumuskan dengan f (x) = x2 – 1. jika peta/bayangan dari x adalah 24, berapakah x? 3. Diberikan fungsi f : x
ax + b dengan a dan b bilangan real
a. Tulis rumus fungsi f b. Tentukan nilai a dan b jika f (–3) = –5 dan f (4) = 9 c. Tulis rumus fungsi f dan tentukan nilai f (–25) dan f (9) 4. Ditentukan bahwa f (x) = f (–1) = –1 dan f
1 dengan m, n ∈ bilangan Real. Berapakah nilai m dan n, jika mx + n
( 23 ) = − 16 ?
C. NILAI PERUBAHAN FUNGSI JIKA VARIABEL BERUBAH Perhatikan tabel fungsi f (x) = x2 – x berikut: x1
x2
x3
x4
x5
0,5
0,7
0,8
1,2
1,5
0,25
0,49
0,64
1,44
2,25
–x
– 0,5
– 0,7
– 0,8
– 1,2
– 1,5
f(x)
– 0,25
– 0,21
– 0,16
0,24
0,75
x x
2
Tabel di samping ini menunjukkan perubahan nilai x dan nilai f(x). Dari perubahan tersebut dapat ditentukan besar perubahan rata-rata fungsi f
Dari tabel tersebut didapat: Besar perubahan nilai x dari x1 = 0,5 ke x2 = 0,7 adalah ∆x = x1 – x2 = 0,7 – 0,5 = 0,2 Besar perubahan nilai f(x) dari f(x1) ke f(x2) adalah ∆f(x) = f(x2) – f(x1) = (–0,21) – (–0,25) = 0,04.
44
Besar perubahan rata-rata fungsi f adalah y = f ( x) =
f ( x 2 ) − f ( x1 ) 0,04 = = 0,2 x 2 − x1 0,2
GILIRAN ANDA Tentukan perubahan rara-rata fungsi f (x) = x2 – x di atas: a. dari x3 = 0,8 ke x4 = 1,2 b. dari x3 = 0,8 ke x5 = 1,5
LATIHAN 1.4.C 1. Diketahui f(x) = –5x + 8 dan nilai x berubah dari x1 = 0,8 ke x2 = 1,2. Tentukan: a. besar perubahan nilai x atau ∆x b. besar perubahan nilai f(x) atau ∆f(x) c. besar perubahan rata-rata fungsi f 2. Diketahui f(x) = x2 + 8x – 10 dan nilai x berubah dari x1 = 0,3 ke x2 = 0,6. Tentukan: d. besar perubahan nilai x atau ∆x e. besar perubahan nilai f(x) atau ∆f(x) f.
besar perubahan rata-rata fungsi f
3. Pada fungsi f(x) = 6 – 2x , nilai x berubah dari x1 = 1,0 menjadi x2 = a Tentukan nilai a, jika besar perubahan rata-rata fungsi f sama dengan –1,6 4. Pada fungsi g(x) = 4x + 2x2 , nilai x berubah dari x1 = p menjadi x2 = 0,4 Tentukan nilai a, jika besar perubahan rata-rata fungsi f sama dengan –6
Kompetensi Dasar: 1.5 Membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat Cartesius A. MENYUSUN TABEL FUNGSI ALJABAR SEDERHANA
Suatu fungsi f : R → R yang dirumuskan dengan: 1. f(x) = 2x + 6
→ Berbentuk apakah grafik fungsi di samping ini?
2. f(x) = x2 + 5x + 4
→ Berbentuk apakah grafik fungsi di samping ini?
(Catatan: fungsi f : R → R adalah fungsi pada bilangan Real) Fungsi f(x) = 2x + 6 dan f(x) = x2 + 5x + 4 merupakan contoh fungsi aljabar sederhana
45
Salah satu cara sebelum menggambar grafik suatu fungsi, terlebih dahulu kita tentukan koordinat beberapa titik yang dilalui grafik dalam bentuk (x , f(x)). Dengan tabel, pekerjaan menentukan koordinat titik akan lebih mudah kita sajikan.
CONTOH 1 Buat tabel fungsi f(x) = 2x + 6 dengan mengambil domain {-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4}. Kemudian tulis himpunan pasangan berurutan fungsi f
Penyelesaian x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2x
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
6
6
6
6
6
6
6
6
6
f(x)
0
2
4
6
8
10
12
14
anggota domain fungsi f
nilai fungsi f atau range fungsi f
Himpunan pasangan berurutannya = {(-3,0),(-2,2),(-1,4),(0,6),(1,8),(2,10),(3,12),(4,14)}
CONTOH 2 Lengkapi tabel fungsi f(x) = x2 + 5x + 4 dengan daerah asal {x | -7 ≤ x ≤ 2 , x ∈ B} Kemudian tulis himpunan pasangan berurutannya. x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Himpunan pasangan berurutan nya
x2
adalah :
5x
{(-7 , …) , (-6 , …) , (-5 , …) , (-4 , …)
4
, (-3 , …) , (-2 , …) , (-1 , …) , (0 , …) , (1 , …) , (2 , …)}
f(x)
LATIHAN 1.4.D 1. Salin dan lengkapi tabel fungsi f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 6 x
–2
–1
0
X3 – 2x2
1
2
4
8 –2
–8
3x
6
–6
–6
f(x)
3
–12
38
a. Tulis himpunan pasangan berurutan fungsi f. b. Tulis daerah hasil fungsi f. 2. Buat tabel masing-masing fungsi berikut pada domain yang diberikan disebelahnya! Kemudian tulis himpunan pasangan berurutan dan daerah hasilnya.
46
a. f(x) = x +
1 x
b. g(x) = x2 +
pada D = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}
x pada D = {0 , 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36}
c. h(x) = x2 – 8x – 9 pada D = {x | –2 ≤ x ≤ 10, x ∈ Bilangan Bulat}
x+2 pada D = {–2 , –1 , – ½ , 0 , 2 , 2½ , 3} x −1
d. f : x
B. MEMBUAT SKETSA GRAFIK FUNGSI ALJABAR SEDERHANA
Bagaimanakah bentuk grafik fungsi f : R→R yang dirumuskan dengan f(x) = 2x + 6 pada daerah asal = { x | -3
x
4 , x ∈ R }?
Dari tabel pada soal 1 diatas, kita dapat membuat sketsa grafiknya pada sistem koordinat Cartesius sebagai berikut: Koordinant titik yang dilalui grafik fungsi 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3
-2
-1 0
f(x) = 2x + 6 merupakan pasangan berurutan (x , f (x)), yaitu : (-3,0) , (-2,2) , (-1,4) , (0,6) , (1,8) , (2,10) , (3,12) , (4,14)
Grafik fungsi f(x) = 2x + 6 berbentuk ruas garis karena domain fungsi f tersebut adalah 1
2
3
4
bilangan real.
Bagaimanakah bentuk grafik fungsi yang domainnya bukan bilangan real? Fungsi f dinotasikan dengan f : x → x2
Grafiknya
Dengan domain = {x | - 3 ≤ x < 3 , x ∈ B} 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
f : x → x2 -3 → (-3)2 = 9
→ (-3 , 9)
-2 → (-2)2 = 4
→ (-2 , 4)
-1 → (-1)2 = 1
→ (-1 , 1)
0 → (0)2 = 0
→ (0 , 0)
1 → (1)2 = 1
→ (1 , 1)
2 → (2)2 = 4
→ (2 , 4)
Himpunan pasangan berurutan fungsi f adalah
-3
-2
-1 0
1
2
3
Grafiknya berbentuk noktah-noktah yang tidak dihubungkan dengan kurva mulus.
{(-3 , 9) , (-2 , 4) , (-1 , 1) , (0 , 0) , (1 , 1) , (2 , 4)} 47
LATIHAN 1.4.E 1. Gambar grafik f(x) = x2 + 5x + 4 dengan daerah asal {x | -7 ≤ x ≤ 2 , x ∈ B} Hubungkan noktah-noktah tersebut dengan kurva mulus, berbentuk apakah grafiknya? 2. Domain fungsi f adalah {-2 , -1 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4}. Gambar grafik setiap fungsi f berikut dengan terlebih dahulu membuat tabelnya! a. f : x → x + 3
b. f : x → 2(3 – x)
3. Gambar grafik fungsi g : x → 4(x – 3) dengan: a. Domain = { x | –1 ≤ x ≤ 5 , x ∈ Bilangan Bulat } b. Domain = { x | –1 ≤ x ≤ 5 , x ∈ Bilangan Real } Samakah grafik a dan grafik b? Apa kesimpulan Anda tentang grafik dengan domain pada himpunan bilangan real dengan domain pada himpunan bilangan bulat? 4. Suatu fungsi didefinisikan dengan f(x) = 2x + 1 pada domain ={x | –4 ≤ x ≤ 4 , x ∈ Bil. Bulat} dan kodomain fungsi f adalah bilangan bulat. a. Tentukan daerah hasil (range) fungsi f b. Nyatakan fungsi f dalam himpunan pasangan berurutan c. Gambar grafik fungsi f 5. Diketahui fungsi f didefinisikan dengan f(x) = 2x – 3 pada domain = {x | –2 ≤ x ≤ 4 , x ∈ B} dan fungsi g didefinisikan dengan g(x) = –3x + 4 pada domain = {x | –1 ≤ x ≤ 5 , x ∈ B}. a. Tentukan range fungsi f dan fungsi g b. Tulis himpunan pasangan berurutan fungsi f dan fungsi g c. Pada satu diagram Cartesius gambar fungsi f dan fungsi g. d. Hubungkan titik-titik pada grafik fungsi f dan grafik fungsi g sehingga membentuk dua garis yang berpotongan. Tentukan koordinat titik potongnya
COMPETENTION TEST A. Multiple Choice 1. The arrow diagram that represents the relation “one less from” from A = {2 , 3 , 4} to B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} is … a.
b. 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4
c. 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4
d. 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4
2. 1
a
1
a
1
a
1
a
2
b
2
b
2
b
2
b
3
c
3
c
3
c
3
c
i
48
ii
iii
iv
Among the arrow diagrams above that represent a function are ... a. i and ii
b. ii and iii
c. i and iii
d. ii and iv
3. Given that A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} and B = {2 , 4 , 6}. The following ordered pair set that is the relation ”factor of” the set A to the set B is ... a. {(2,2) , (2,4) , (2,6) , (3,6) , (4,6)} b. {(1,2) , (1,4) , (1,6) , (2,2) , (2,4) , (2,6) , (3,6) , (4,6)} c. {(1,2) , (2,6) , (4,4) , (3,6)} d. {(2,2) , (4,2) , (4,4)} 4. Given that set A = {a , b , c} and set B = {w , x , y , z}. The number of possible function from the set A to set B is ... a. 81
b. 64
c. 24
d. 6
5. Among the following ordered pair set that represents one-to-one correspondence is ... a. {(a,1) , (b,1) , (c,1) , (d,1)}
c. {(a,1) , (b,2) , (a,3) , (b,4)}
b. {(1,a) , (1,b) , (1,c) , (1,d)}
d. {(1,a) , (2,b) , (3,c) , (4,d)}
6. The number of one-to-one correspondencies from the set M = {l , a , m , p , u} to set N = {c , o , r , e , t} is ... a. 6
b. 24
c. 120
d. 3125
7. A function is defined as f : x → 5x–2. Domain = {x | 0 < x < 4, x ∈ Integer}, than the range is ... a. {–2,3,8,13,18}
b. {3,8,13}
c. {–2,3,8,13}
d. {3,8,13,18}
8. The domain of the arrow diagram beside is ... a. {3,4,5,6,7}
c. {2,3}
b. {1,2,3,4}
d. {1,2,3,4,5,6,7}
3 4 5 6 7
1 2 3 4
9. A function g is defined as g(x) = 2x + 7. If g(a) = 79, than value of a is equal to ... a. 34
b. 35
c. 36
d. 37
10. If h(2x) = 3 – x than determine h(x) = ... a. 3 – 2x
b. 3 – ½ x
c. 2(3 – x)
d. ½(3 – x)
B. Essay 1. In each ordered pair set, determine one possible relation and represent by arrow diagram. a. {(3,5) , (4,6) , (5,7) , (6,8) , (7,9)} b. {(-2,-1) , (-1, 1) , (0,3) , (1,5) , (2,7)}
49
c. {(5,5) , (6,2) , (6,3) , (8,2) , (9,3)} 2. The function f given by the formula f(x) = 5 – 2x with the domain = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} and the codomain = {y | - 7 < y < 6 , y ∈ Integer}. Represent function f on a Cartesian diagram. 3. The function f is given by the formula f(x) =
x 2 −1 . x2 + 2x +1
a. Find f(3) and f( 13 ). b. Proof that f(x) + f( 1x ) = 0
4. Given that h(x) = px + q with p,q ∈ Real number. Find the value of p and q, if h(5) = –19 and h(–2) = Arrow diagram Cartesian diagram Codomain Domain Formula Function Integer One-to-one correspondence Ordered pair set Range Relation
50
: diagram panah : diagram Cartesius : daerah lawan : daerah asal : rumus : fungsi/pemetaan : bilangan bulat : korespondensi satu-satu : himpunan pasangan berurutan : daerah hasil : relasi
