MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG “PERSAMAAN GARIS LURUS“ Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang Dosen Pengampu : NINA AGUSTYANINGRUM, M.Pd
Disusun Oleh Yani Novita Murni
15.05.0.002
Aizyah Alifia Supardi
15.05.0.019
Ani Nofianti
15.05.0.021
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN BATAM 2017
GARIS LURUS 1. Persamaan Garis Lurus Suatu garis lurus dapat kita misal sebagai garis potong pada 2 bidang datar. Garis-garis istimewa yang sudah kita kenal adalah sumbu x , y dan z. Sumbu x adalah garis potong bidang XOY dan XOZ, sehingga persamaan sumbu x ialah y = 0 , z = 0. Dengan pemikiran serupa kita dapat persamaan sumbu y ialah x = 0, z = 0. Dari persamaan sumbu z ialah x = 0, y = 0.
Gambar 1
Suatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan YOZ. Misal kan x = mz + p, y = nz+q atau dapat ditulis :
x = mz + p y = nz + q
Kalau garis nya diberikan sebagai garis potong dua bidang sebarang saja, maka bidangbidang memproyeksikannya dapat mudah dicari. Misalnya garis g persamaannya g:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0
1
Bidang memproyeksikan garis g tersebut pada bidang XOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan x dari kedua persamaan g diatas.
Gambar 2
Jadi jika y kita eliminir, diperoleh : (A1B2 - A2B1)x + (B2 C1- B1C2)z + (B2D1 - B1D2) = 0 Jadi jika x kita eliminir, diperoleh : (A2B1 - A1B2)y + (A2C1 - A1C2)z + (A2D1 - A1D2) = 0 Persamaan garis dapat ditulis sebagai berikut :
x=
B1C2− B2 C1 A1B2 − A2B1
Z+
A2C1 − A1C2
y = A1B2 − A2B1Z +
B1D2− B2D1 A1B2 − A2B1
A2D1 − A1D2 A1B2 − A2B1
Jika disesuaikan dengan x = mz + p dan y = nz + q, maka diperoleh :
m=
n=
|B1 B2 A1 | A2
C1| C2 B1 | B2
|C1 A1| C2 A2 A1 B1 | | A2 B2
p=
|B1 D1| B2 D2 A1 B1 | | A2 B2
q=
|D1 A1| D2 A2 A1 B1 | | A2 B2
2
Contoh soal: Tentukan persamaan dari garis potong bidang-bidang 2x - y - 5z = -14 dan 4x + 5y + 4z = 28 ! Jawab :
x
= =
B1C2− B2 C1
Z+
A1B2 − A2B1 −4+25 10+4 21
= 14 𝑧 +
Z+
B1D2− B2D1 A1B2 − A2B1
28−70 10+4
(−42) 14
3
= 2𝑧 − 3 y
= =
=
A2C1 − A1C2 A1B2 − A2B1 −20−8 10+4 −28 14
Z+
𝑧+
Z+
A2D1 − A1D2 A1B2 − A2B1
56+56 10+4
112 14
= −2𝑧 + 8
2. Persamaan Vektor, Parametrik dan Simetrik Garis Lurus a. Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada satu titik Pada gambar dibawah ini 𝑙 adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan vektor posisi 𝑟𝑜 dan sejajar dengan vektor 𝑣 = a𝑖 + b𝑗 + c𝑘. Untuk menentukan persamaan garis 𝑙, diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis 𝑙, maka ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑜 𝑃 // 𝑣 dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑜 𝑃 = 𝜆𝑣 dengan 𝜆 bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O adalah 𝑟𝑜 = (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜 ) dan 𝑟 = 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 maka 𝑃𝑜 𝑃 = 𝑟 − 𝑟𝑜 dan karena ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑜 𝑃 = 𝜆𝑣 maka : 𝑟 − 𝑟𝑜 = 𝜆𝑣 𝑟 = 𝑟𝑜 + 𝜆𝑣
3
Gambar 3
Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis 𝑙 dan memenuhi persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain, persamaan garis 𝑙 yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar dengan vektor 𝑣 = 〈 𝑎, 𝑏, 𝑐 〉 adalah 𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝝀𝒗. Atau, 𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝝀𝒗
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)
〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜 〉 + 𝜆〈 𝑎, 𝑏, 𝑐 〉 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥𝑜 + 𝜆𝑎 , 𝑦𝑜 +𝜆𝑏 , 𝑧𝑜 + 𝜆𝑐 〉 Maka diperoleh : 𝒙 = 𝒙𝒐 + 𝝀𝒂 (𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)
𝒚 = 𝒚𝒐 + 𝝀𝒃 𝒛 = 𝒛𝒐 + 𝝀𝒄
Jika kita eliminir parameter 𝜆 , yaitu 𝜆 =
𝑥−𝑥𝑜 𝑎
; 𝜆=
𝑦−𝑦𝑜 𝑏
;𝜆 =
𝑧−𝑧𝑜 𝑐
Maka untuk persamaan garis lurus diketahui melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan bilangan vektor arah 𝑣 = 〈 𝑎, 𝑏, 𝑐 〉 adalah : 𝒙−𝒙𝒐 𝒂
=
𝒚−𝒚𝒐 𝒃
=
𝒛−𝒛𝒐 𝒄
dengan syarat a,b,c ≠
0
4
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)
Contoh soal Tentukan persamaan garis yang melalui P(1,2,3) dan sejajar dengan a = (-1,1,4) ! Penyelesaian : t = p + λa Pers. vektor garis g: 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜 〉 + 𝜆〈 𝑎, 𝑏, 𝑐 〉 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈1, 2, 3〉 + 𝜆〈−1, 1, 4〉 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = (1 -𝜆, 2 + 𝜆, 3 + 4𝜆) Persamaan parameter garis g: 𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝜆𝑎 = 1 -𝜆 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝜆𝑏 = 2 + 𝜆 𝑧 = 𝑧𝑜 + 𝜆𝑐
= 3 + 4𝜆
Persamaan simetrik garis g: 𝑥−𝑥𝑜 𝑎
𝑧−𝑧𝑜 𝑜 = 𝑦−𝑦 = 𝑏 𝑐
𝑥−1 −1
= 𝑦 −1 2 = 𝑧 −4 3
b. Persamaan vektor pada dua titik Untuk mencari persamaan vektor dari garis yang melalui 2 titik A(x1, y1, z1) dengan vektor letak 𝑎 dan B(x2, y2, z2) dengan vektor letak 𝑏, kita dapat mengambil sebarang titik R(x, y,z) pada garis tersebut yang vektor posisinya adalah 𝑟 = 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉. Dari kondisi ini dapat ditentuan bentuk persamaan vektor garis AB sebagai berikut : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟 = 𝑎 + 𝜆 𝐴𝐵
dengan λ bilangan real
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)
𝑟 = 𝑎 + 𝜆 (𝑏 − 𝑎) 𝑥1 𝑥2 −𝑥1 𝑥 (𝑦) = (𝑦1 ) + 𝜆 (𝑦2 −𝑦1 ) 𝑧1 𝑧2 − 𝑧1 𝑧 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 〉 + 𝜆〈𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧 − 𝑧1 〉 5
Diperoleh 𝑥 = 𝑥1 + 𝜆(𝑥2 −𝑥1 ) 𝑦 = 𝑦1 + 𝜆(𝑦2 −𝑦1)
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)
.
𝑧 = 𝑧1 + 𝜆(𝑧2 −𝑧1) Dengan mengeliminir λ dari persamaan parametrik diatas, akan diperoleh persamaan simetrik dari garis AB sebagai berikut: 𝑥 −𝑥1 𝑥2 −𝑥1
𝑦 −𝑦1
=𝑦
2 −𝑦1
𝑧−𝑧1
=𝑧
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)
2 −𝑧1
Contoh soal) Tentukan persamaan garis g yg melalui (1,2,3) dan (3,5,4) ! Penyelesaian: ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (3, 5, 4) − (1, 2, 3) 𝐴𝐵 = (2, 3, 1) ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑇 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + 𝜆𝐴𝐵 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 2, 3) + 𝜆(2, 3, 1) Jadi persamaan vektornya adalah (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝜆 + 1; 3𝜆 + 2; 𝜆 + 3) Persamaan parameternya adalah 𝑥 = 2𝜆 + 1; 𝑦 = 3𝜆 + 2; 𝑧 = 𝜆 + 3) Persamaan simetriknya adalah : 𝑥 −1 2
=
𝑦 −2 3
=
𝑧−3 1 6
3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai perpotongan 2 buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu
garis lurus sebagai perpotongan sebarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya,Garis lurus g adalah perpotongan bidang rata V1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan bidang V2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata, kita perhatikan gambar disamping. Maka n1= [A1, B1, C1], n2 = [A2, B2, C2], jelas bahwa n1 x n2 = a, dimana a = [ a, b, c ] merupakan vektor arah dari garis g. Jadi
a = n1 x n2 𝑖 a = |𝐴1 𝐴2 𝐵 a = [| 1 𝐵2
𝑗 𝐵1 𝐵2
𝑘 𝐶1 | 𝐶2
𝐶1 𝐶1 || 𝐶2 𝐶2
𝐴1 𝐴1 || 𝐴2 𝐴2
𝐵1 |] 𝐵2
Untuk mengubah bentuk persamaan V1 = 0 = V2 menjadi bentuk kita harus menentukan pula koordinat (x1, y1, z1). 7
𝑥−𝑥1 𝑎
=
𝑦−𝑦1 𝑏
=
𝑧−𝑧1 𝑐
,
Sebarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil titik potong dengan bidang berkoordinat, misalnya, XOY
z = 0, diperoleh
A1x + B1y + D1 = 0 A2x + B2y + D2 = 0 Yang bila diselesaikan diperoleh: −𝐷1 𝐵1 | −𝐷2 𝐵2 𝑥= 𝑦= 𝐴1 𝐵1 | | 𝐴2 𝐵2 |
𝐴 −𝐷1 | 1 | 𝐴2 −𝐷2 𝐴 𝐵1 | 1 | 𝐴2 𝐵2
Contoh Soal Tentukan vektor arah (a) Garis lurus x - 2y + z = 1 dan 3x - y + 5z = 8 ! Jawab : 𝑖 a = |𝐴1 𝐴2 𝐵 a = [| 1 𝐵2
𝑗 𝐵1 𝐵2
𝑘 𝐶1 | 𝐶2
𝐶1 𝐶1 || 𝐶2 𝐶2
𝐴1 𝐴1 || 𝐴2 𝐴2
𝐵1 |] 𝐵2
−2 1 1 1 1 −2 || || |] a = [| −1 5 5 3 3 −1 −2 1 1 1 1 −2 | = -9 , b = | | = -2 , c = | |=5 Dimana a = | −1 5 5 3 3 −1 atau [a, b, c] = [-9, -2,5] Ambil z = 0
x=
y=
1 | 8 1 | 3
−2 | −1 −2 | −1
1 | 3
1 | 8 5
=
15 5
=3
=1
Titik yang melalui garis lurus yang merupakan perpotongan ke-2 bidang rata V1 dan V2 adalah (3,1,0) pada garis lurus, persamaannya dapat tulis: [ x, y,z ] = [ 3,1,0 ] + λ [ -9. -2, 5 ] 8
4. Kedudukan Dua Garis Lurus Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin dapat sejajar, berimpit, berpotongan, ataupun bersilangan. Diketahui garis lurus: Garis g1 : [x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ [a1, b1,c1] Garis g2 : [x, y, z] = [x2, y2, z2] + λ [a2, b2,c2] Ada beberapa kedudukan garis lurus antara g1 dan g2 : 1. g1 // g2 , jika dan hanya jika [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2] 𝑎1 𝑎2
=
𝑏1 𝑏2
=
; μ bilangan ≠ 0 atau
𝑐1 𝑐2
2. g1 berimpit g2 jika dan hanya jika : a. [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2] b. [ x2-x1, y2-y1, z2-z1] = μ [a2, b2,c2] 3. kalau arah g1 yaitu [a1, b1,c1] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2] tidak berkelipatan, maka g1 dan g2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. maka titik potongnya [x0, y0, z0] berarti ada λ1 sehingga [x0, y0, z0] = [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1] dan ada λ2 sehingga [x0, y0, z0] = [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2]. Berarti [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1]= [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2]. atau a1 λ1 + a2 λ2 = x2 – x1 b1 λ1 + b2 λ2 = y2 – y1 c1 λ1 + c2 λ2 = z2 – z1 berdasarkan teori persamaan linier, nilai λ1 dan λ2 ada determinan : 𝑎1 𝑎2 𝑥2 – 𝑥1 |𝑏1 𝑏2 𝑦2 – 𝑦1 |= 0 𝑐1 𝑐2 𝑧2 – 𝑧1 merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada satu titik. sedangkan persamaan bidang yang memuat kedua garis g1, g2 tersebut : 𝑎1 𝑎2 x – 𝑥1 |𝑏1 𝑏2 𝑦– 𝑦1 |= 0 𝑐1 𝑐2 𝑧 – 𝑧1 Jika nilai determinannya tidak sama dengan 0, maka kedua garis lurus tersebut bersilang.
9
Contoh Soal Tunjukkan bahwa g1 : ( x – 4 ) = 𝑍+10 8
𝑦+3 −4
=
𝑧+1 7
berpotongan dengan g2 :
𝑥−1 2
=
𝑦+1 −3
=
tentukan titik potong serta bidang yang memuat g1 dan g2 tersebut .
Jawab: g1 : [x,y,z] = [ 4, -3, -1 ] + λ [1, -4, 7] g2 : [x,y,z] = [1, -1, -10] + λ [2, -3, 8] 1 2 1−4 1 2 −3 |−4 −3 −1 + 3 | = |−4 −3 2 |= 0 7 8 −10 + 1 7 8 −9 Jadi g1 dan g2 berpotongan. titik potong diperoleh dari persamaan: λ1 + 2 λ2 = -3 -4 λ1 – 3λ2 = 2 7 λ1 + 8 λ2 = -9 cukup diambil dua persamaan saja, diperoleh λ1 = 1, λ2 = -2. titik potong diperoleh dengan memasukkan λ = λ1 ke persamaan diperoleh [x0, y0, z0] = [4, -3, -1] + 1 [1, -4, 7] = [5, -7, 6]; sehingga potong : (5, -7, 6). (boleh juga dengan memasukkan λ = λ2 = 2 persamaan g2). bidang rata yang memuat g1 dan g2 mempunyai vektor arah [1, -4, 7] dan [2, -3, 8] serta melalui titik (4, -3, -1), Jadi persamaan vektorisnya : [x,y,z] =[4, -3,-1] + λ [1, -4, 7] + μ [2, -3, 8] atau bentuk liniernya (sesuai persamaannya (31)) : 1 2 𝑥−4 |−4 −3 𝑦 + 3| = 0 11x - 6y - 5z – 67 = 0 7 8 𝑧+1
10
5. Kedudukan Garis Lurus Dan Bidang Rata Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = [a, b, c] dan bidang rata V dengan vektor normal n = [A, B, C] maka : 1. garis lurus g sejajajr bidang rata V ↔ vektor arah garis tegak lurus normal
bidang atau a.n = 0 atau aA + bB +cC = 0 2. garis lurus g tegak lurus bidang rata V ↔ vektor arah garis lurus = vektor normal 𝑎
bidang rata (atau kelipatannya) atau ↔ 𝐴 =
𝑏
= 𝐵
𝑐 𝐶
3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi a┴n atau a.n = 0 atau aA + bB + cC = 0 dan sebarang titik P pada g harus terletak pula pada bidang V.
11
Latihan : 1.
Tentukan persamaan garis potong bidang-bidang x – y – z = 1 dan 3x – 3y +7z = 9 !
2.
Carilah persamaan parametrik dan simetrik garis lurus yang melalui titik-titik (1, -2, 3) dan (4, 5, 6)!
3.
Tentukanlah persamaan-persamaan vektor, parametrik dan simetrik untuk garis yang melalui titik A(3, -2, 4) dan B(5, 6, -2)!
4.
Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 3, 2) serta tegak lurus bidang-bidang V1 = x +2y = 2z = 5 dan V2 = 3x + 5y + 2z = 8
5.
Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P (1, 0, -1) terletak pada bidang V = x +3y + z = 0 serta juga tegak lurus garis lurus g1 : x + 2y – z = 3, 2y – 3y +5z =1
12
Daftar Pustaka Suryadi H.S, D. 1984. Serial Matematika dan Komputer Aski Teori dan Soal ILMU UKUR ANALITIK RUANG. Jakarta : Ghalia Indonesia. Sukirman. 2009. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Edisi I. Jakarta : Penerbit Universitas Terbuka.
13
