Geometri Analitik Bidang (Lingkaran)

9

Geometri Analitik Bidang (Lingkaran) Ali Mahmudi (Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY)

KOMPETENSI Kompetensi yang diharapkan dikuasai mahasiswa setelah mempelajari Bab ini adalah sebagai berikut.  Menjelaskan pengertian lingkaran.  Menentukan persamaan umum lingkaran.  Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dengan titik singgung tertentu, dengan gradien tertentu, dan dari suatu titik di luar lingkaran.  Menentukan persamaan garis kutub pada lingkaran.  Menentukan titik kutub jika diketahui suatu garis dan lingkaran.  Menentukan kuasa suatu titik terhadap suatu lingkaran.  Menentukan persamaan garis kuasa dua buah lingkaran.  Menentukan titik kuasa pada lingkaran.  Menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik potong dua buah lingkaran dengan menggunakan konsep berkas lingkaran.  Menentukan syarat analitik dari relasi dua buah lingkaran yang berpotongan (tegak lurus dan membagi dua sama besar).

10

A. Pengertian Lingkaran Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Dapat juga dikatakan, lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran. Berdasarkan definisi itu, dapat ditentukan persamaan lingkaran. Koordinat titik P(x1, y1) yang berjarak r terhadap titik P(a, b) akan memenuhi persamaan berikut ini. ( x1  a ) 2  ( y1  b) 2 = r

atau

x1  a 2   y1  b 2  r 2 Dengan demikian, tempat kedudukan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(a, b) mempunyai persamaan sebagai berikut. L:  x  a 2  y  b 2  r 2 Ini adalah persamaan lingkaran dengan titik pusat P(a, b) dan berjari-jari r. Lingkaran dengan pusat P dan berjari-jari r sering ditulis dengan L(P, r). Dapat mudah dipahami bahwa persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah: L: x2 + y2 = r2 Ini sering disebut persamaan pusat lingkaran.

11

B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Dari

persamaan

lingkaran

dengan

pusat

P(a,b)

dan

berjari-jari

r,

yakni

L:  x  a    y  b   r 2 2

2

diperoleh x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 yang dapat ditulis: L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Ini adalah bentuk umum persamaan lingkaran. Persamaan ini dapat juga ditulis sebagai berikut. 2

2

1   1  1 2 1 2   x  A   y  B   A  B  C . 2   2  4 4 

1   1 Perhatikan bahwa ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat P(   A,  B  dan 2   2

berjari-jari r 

1 2 1 2 A  B C . 4 4

Dengan memperhatikan nilai r ini, maka akan terdapat beberapa kemungkinan jenis lingkaran sebagai berikut. Jika

1 2 1 2 A  B  C  0 , maka lingkarannya nyata 4 4

Jika

1 2 1 2 A  B  C  0 , maka lingkarannya imajiner 4 4

Jika

1 2 1 2 A  B  C  0 , maka lingkarannya adalah lingkaran titik yang berjari-jari nol. 4 4

12

C. Persamaan Parameter Suatu Lingkaran Y T(x,

y)

r 



P(a, b)





O

X

Gambar IV.1

Pada gambar di atas, koordinat titik T(x, y) yang terletak pada lingkaran dengan pusat P(a, b) dan berjari-jari r akan memenuhi persamaan berikut ini. x = a + r cos  y = b + r sin 

Dalam hal ini,  adalah suatu parameter. Dikatakan, persamaan di atas adalah persamaan parameter suatu lingkaran. Secara lebih jelas, dengan mengeliminasi parameter  akan diperoleh persamaan sebagai berikut.

x  a 2  y

 b  r 2 2

13

D. Garis Singgung 1. Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Titik Singgung Tertentu g Y  T(x1,y1) 

O

X

x2  y2  r 2

Gambar IV.2 Misal T ( x1 , y1 ) adalah titik singgung pada lingkaran. Garis singgung g yang melalui

T ( x1 , y1 ) berbentuk y – y1 = m(x – x1). Karena garis singgung ini tegak lurus dengan jarijari OT , maka nilai gradien garis singgung ini adalah m  

x1 . Sehingga persamaan garis y1

singgung yang dimaksud adalah

y  y1  

x1 x  x1  atau xx1  yy1  x1 2  y1 2 ………………….(*) y1

Karena titik T ( x1 , y1 ) terletak pada lingkaran, maka dipenuhi x12  y12  r 2 . Dengan demikian persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  r 2 dengan titik singgung

T ( x1 , y1 ) adalah:

xx 1  yy 1  r 2 Sebagai latihan, dengan cara serupa, tunjukkan bahwa persamaan garis singgung pada lingkaran  x  a 2   y  b 2  r 2 dengan titik singgung T  x1 , y1  adalah:

x  a x 1  a   y  b y 1  b   r 2

14

2. Garis Singgung Pada lingkaran dengan Gradien yang telah ditentukan. Persamaan garis lurus dengan gradien m dinyatakan dengan g: y = mx + n. Jika garis ini dipotongkan dengan lingkaran L: x 2  y 2  r 2 , didapat x2 + (mx + n)2 = r2 atau (m2 + 1)x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0…………….. (*) Ini adalah persamaan kuadrat dalam x. Garis g akan menyinggung lingkaran L: x 2  y 2  r 2 bila diskriminan persamaan (*) adalah nol, yakni D = 4m 2 n 2  4(1  m 2 )(n 2  r 2 ) =  4( n 2  r 2  m 2 r 2 ) = 0 atau n =  r m2  1 atau

r

n 1  m2

Dengan mensubtitusikan nilai r ini ke persamaan garis g, akan diperoleh persamaan garis singgung pada lingkaran L: x 2  y 2  r 2 dengan gradien m, yakni:

y  mx  r

m

2

 1

Sebagai latihan, dengan cara serupa, tunjukkan bahwa persamaan garis singgung pada lingkaran  x  a 2   y  b 2  r 2 dengan gradien m adalah:

y  a  m( x  a )  r m 2  1

15

3. Garis Singgung dari Suatu Titik di luar lingkaran

S (x0 , y0 )

x2  y2  r 2

T(x1, y1)

Gambar IV.3

Misal titik T(x1, y1) adalah titik di luar lingkaran dan S(x0 , y0 ) adalah titik singgung pada lingkaran. Persamaan garis singgung yang elalui S(x0 , y0 ) adalah: xx0  yy 0  r 2 ……………………. (i)

Garis singgung ini melalui T(x1, y1) , sehingga berlaku x1 x0  y1 y 0  r 2 ………………….. (ii)

Karena S(x0 , y0 ) terletak pada lingkaran x 2  y 2  r 2 , maka dipenuhi 2

2

x 0  y 0  r 2 ……………………. (iii) Dengan menyelesaikan persamaan (ii) dan (iii) akan didapat nilai x 0 dan y 0 . Setelah nilai x 0 dan y 0 ini disubtitusikan ke persamaan (i), akan diperoleh persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  r 2 yang melalui titik T(x1, y1) . Ada berapa garis singgung yang diperoleh?

16

E. Garis Kutub g

g1 S1 ( x 0 , y 0 )



O

T(x1, y1)

x2  y2  r 2 S ( x ' , y ' ) 2 0 0

g2

Gambar IV. 4 Dari titik T(x1, y1) dibuat garis-garis singgung pada lingkaran L: x2 + y2 = r2. Misal titik-titik singgung pada lingkaran itu adalah S1(x0, y0) dan S2  xo ' , y 0 ' . Persamaan garis singgung pada lingkaran L dengan titik-titik singgung S1 dan S2 adalah

g 1 : xx0  yy 0  r 2 dan

g 2 : xx0 ' yy 0 '  r 2 Garis-garis singgung g 1 dan g 2 melalui T(x1, y1) , sehingga berlaku persamaan berikut. x1 x0  y1 y 0  r 2 ……………………. (i) x1 x 0 '  y1 y 0 '  r 2 ………………….. (ii)

Pada persamaan (i) dan (ii), tampak bahwa koordinat titik-titik S1 dan S2 memenuhi persamaan berikut. g : x1 x  y1 y  r 2

17

Ini adalah persamaan garis yang melalui titik-titik singgung S1 dan S2 dan disebut tali busur singgung. Perhatikan bahwa persamaan tali busur singgung g bentuknya sama dengan persamaan garis singgung pada lingkaran L dengan titik singgung T. Oleh karena itu, tanpa melihat letak titik T (di dalam, diluar, atau pada lingkaran), maka persamaan persamaan garis kutub titik T(x1, y1) terhadap lingkaran L: x2 + y2 = r2 adalah: g: x1 x  y1 y  r 2 Dari uraian di atas, didapat, jika T(x1, y1) di luar lingkaran, maka garis kutub g merupakan tali busur singgung. Coba selidiki bagaimana kedudukan garis kutub ini jika

T(x1, y1) terletak pada lingkaran atau di dalam lingkaran. Sebagai latihan, dengan cara serupa, coba tunjukkan bahwa persamaan garis kutub P(x1,y1) terhadap lingkaran  x  a 2   y  b 2  r 2 adalah

x  a x 1  a   y  b y1  b   r 2 Tunjukkan juga bahwa persamaan garis kutub dari titik T(x1, y1) terhadap lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah

1 1 xx1  yy1  A(x  x1)  B(y  y1)  C  0 2 2 F. Menentukan Kutub dari Suatu Garis Lurus Misal diketahui sebuah lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dan sebuah garis g: Px + Qy + R = 0. Misal kutub garis g adalah T(x1, y1) , maka persamaan garis kutub

T(x1, y1) terhadap lingkaran L adalah h: xx1  yy1 

1 1 A( x  x1 )  B ( y  y1 )  C  0 2 2

18

Garis h ini berimpit dengan garis g, sehingga haruslah dipenuhi persamaan berikut.

1 1 1 1 A y1  B Ax1  By1  C 2  2  2 2 P Q R

x1 

Dari persamaan ini, nilai x1 dan y1 dapat ditentukan, sehingga kutub dari garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan pula. G. Kuasa Suatu Titik Pada gambar berikut, titik T(x1, y1) terletak di luar lingkaran L.



A1 B2  B3

A2 

P

B4 

 A3

T(x1, y1)

 A4

Gambar IV.5

Melalui T(x1, y1) ditarik garis-garis yang memotong lingkaran. Misal titik-titik potong ini adalah Ai dan Bi. Berdasarkan teorema pada geometri, berlaku 2

TA 1  TA 2 xTB 2  TA 3 xTB 3  TA 4 xTB 4 , dan seterusnya. Perhatikan bahwa TA 3 xTB 3  (TP  r)(TP  r)  TP 2  r 2

Nilai TP 2  r 2 didefinisikan sebagai kuasa titik T(x1, y1) terhadap lingkaran L(P, r).

19

Jika persamaan lingkaran L (P, r) itu adalah

L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0

1  1 1  1 dengan pusat P   A, B  dan kuadrat jari-jari r 2  A 2  B 2  C . Kuasa titik 2  4 4  2

T(x1, y1) terhadap lingkaran L(P, r) adalah 2

2

1   1   TP  r =  x1  A    y1  B   r 2 atau 2   2   2

2

2

.2

x1  y1  Ax1  By1  C Perhatikan bahwa kuasa titik T(x1, y1) terhadap lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dapat diperoleh dengan cara menggantikan x dan y pada persamaan lingkaran itu dengan

x1 dan y1 . Dengan memperhatikan definisinya, coba selidiki bagaimanakah nilai (tanda) kuasa titik T pada lingkaran jika T di luar lingkaran, terletak pada lingkaran, atau di dalam lingkaran. H. Garis Kuasa Misal diketahui dua buah lingkaran. Pikirkan suatu titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua lingkaran tersebut. Himpunan (tempat kedudukan) titik-titik yang demikian, yakni mempunyai kuasa yang sama terhadap dua lingkaran tertentu disebut garis kuasa kedua lingkaran itu. Misal diketahui dua lingkaran sebagai berikut.

L1 : x 2  y 2  A1 x  B1 y  C1  0 dan

L2 : x 2  y 2  A2 x  B2 y  C 2  0

20

Jika titik T(x1, y1) mempunyai kuasa yang sama terhadap lingkaran L1 dan L2 , maka dipenuhi persamaan berikut. 2

2

2

2

x1  y1  A1 x1  B1 y1  C1 = x1  y1  A2 x1  B2 y1  C 2

atau

 A1  A2 x1  B1  B2 y1  C1  C 2  0 Hal ini akan berlaku pada setiap titik yang kuasanya terhadap kedua lingkaran itu sama. Dengan demikian, garis kuasa yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap lingkaran L1 dan L2 adalah sebagai berikut. g:  A1  A2 x  B1  B2  y  C1  C 2  0 Karena secara simbolis lingkaran dapat dinyatakan sebagai L (x, y) = 0 atau L(x, y) = x 2  y 2  A2 x  B2 y  C 2  0 , maka kuasa titik T(x1, y1) terhadap lingkaran L(x, y) dapat ditulis dengan L(x1, y1). Jadi persamaan garis kuasa lingkaran L1(x, y) = 0 dan L2 (x, y) = 0 dapat ditulis sebagai berikut.

L1 (x, y) – L2 (x, y) = 0 atau L1 – L2 = 0

Perhatikan bahwa garis kuasa mempunyai gradien m1 = 

A1  A2 . Titik pusat B1  B2

1  1   1  1 lingkaran L1 dan L2 berturut-turut adalah P1   A1 ,  B1  dan P2   A2 ,  B2  . 2  2   2  2

Gradien garis sentral atau garis penghubung kedua pusat lingkaran ini adalah m2 =

B1  B2 . Karena m1.m2 = -1, maka garis kuasa dua buah lingkaran akan tegak lurus A1  A2

dengan garis sentral (penghubung titik-titik pusat) kedua lingkaran tersebut.

21

g: L1 – L2 = 0

L1 L2

P2

P1

Gambar IV.6 Bagaimana kedudukan garis kuasa dua buah lingkaran jika kedua lingkaran tersebut berpotongan atau bersinggunga? Apakah garis kuasanya memotong kedua lingkaran? I. Titik Kuasa Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap dua lingkaran adalah suatu garis lurus. Jadi kalau ada tiga buah lingkaran, akan terdapat sebuah titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap ketiga lingkaran tersebut. Titik yang demikian disebut titik kuasa. Perhatikan Gambar IV.7 berikut ini. L1 – L2 = 0

 M1

 M2 

K

L1 – L3 = 0  M3

L2 – L3 = 0

Gambar IV.7

22

Titik K adalah suatu titik yang kuasanya terhadap L1 = 0 dan L2 = 0 sama, karena K terletak pada L1 – L2 = 0. K mempunyai kuasa yang sama pula terhadap L2 = 0 dan L3 = 0, karena K terletak pada L2 – L3 = 0. Jadi K mempunyai kuasa yang sama terhadap L1 = 0, L2 = 0, dan

L3 = 0 dan

disebut titik kuasa ketiga lingkaran tersebut. Persamaan titik kuasa dapat ditulis secara simbolis sebagai berikut. L1 = L2 = L3

Contoh Tentukan koordinat-koordinat dari titik kuasa lingkaran-lingkaran berikut ini. L1 = x2 + y2 + x + y – 14 = 0, L2 = x2 + y2 = 13, dan L3 = x2 + y2 + 3x – 2y – 26 = 0. Penyelesaian L1 – L2 = 0, didapat x + y – 1 = 0 L3 – L2 = 0, didapat 3x – 2y – 13 = 0 Dari kedua persamaan itu didapat x = 3 dan y = -2. Sehingga titik kuasa ketiga lingkaran itu adalah K(3, -2). J. Dua Lingkaran yang Berpotongan Sudut antara dua buah lingkaran didefinisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh garis-garis singgung pada kedua lingkaran itu di titik potongnya. Dua lingkaran dikatakan saling memotong tegak lurus jika sudut antara garis-garis singgung di titik potongnya adalah 90. Perhatikan gambar berikut.

23

 P 



M1

M2

Gambar IV.8 Misal diketahui dua lingkaran sebagai berikut ini. L1 : x 2  y 2  A1 x  B1 y  C1  0 L2 : x 2  y 2  A2 x  B2 y C 2 0 Kedua lingkaran itu akan berpotongan tegak lurus apabila garis-garis singgung berimpit dengan jari-jari kedua lingkaran.

P

r1

r2 L2 = 0

M1

M2

L1 = 0

Gambar IV.9

24

Perhatikan bahwa r1 tegak lurus r2, sehingga M1M2P adalah segitiga siku-siku. 1  1   1  1 Diketahui: M 1   A1 ,  B1 , M 2   A2 , B2 , r1  2  2   2  2

r2 

1 2 1 2 A1  B1  C1 dan 4 4

1 2 1 2 A2  B2  C2 4 4

Sehingga berlaku: ( M 1M 2 )2  r12  r22 atau

B2  B1 2   A2  A1 2  A12  B12  C1  A22  B22  C2 atau 2A1 A2 + 2 B1B2 = C1 + C2

Inilah syarat dua lingkaran saling tegak lurus. Sebuah lingkaran dapat juga memotong lingkaran lain sedemikian sehingga membagi dua sama besar lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut.

P r1

L1 = 0

M1

r2 M2

Gambar IV.10

L2 = 0

25

Jika lingkaran L2 membagi dua sama besar lingkaran L1, maka dalam M1PM2 berlaku 2

( M 1 M 2 ) 2  r2  r1

2

Jadi, supaya suatu lingkaran membagi dua sama besar lingkaran lain, haruslah kuadrat jarak titik-titik pusatnya sama dengan selisih kuadrat jari-jarinya. K. Berkas Lingkaran Misal diketahui dua buah lingkaran: L1 : x 2  y 2  A1 x  B1 y  C1  0 L2 : x 2  y 2  A2 x  B2 y C 2 0 Kita dapat membentuk persamaan L1 + L2 = 0 atau (1+)x2 + (1+)y2 + (A1+A2)x + (B1 + B2)y + (C1 + C2) = 0 Nilai  dapat kita beri nilai yang bermacam-macam dan untuk setiap nilai  persamaan di atas menunjukkan persamaan lingkaran. Jika  = 0, maka L1 = 0 dan jika  = , maka L2 = 0. Persamaan L1 + L2 = 0 disebut persamaan berkas lingkaran dengan anggota dasar L1 = 0 dan L2 = 0. Jika  = -1, akan terdapat suatu garis lurus yang dapat dianggap sebagai suatu lingkaran anggota berkas dengan jari-jari tak terhingga. Jika suatu titik terletak pada lingkaran L1 = 0 dan juga pada L2 = 0, maka titik itu tentu juga terletak pada setiap anggota dari berkas itu. Semua anggota berkas lingkaran melalui titik-titik potong (nyata atau imajiner) L1 = 0 dan L2 = 0. Titik-titik ini disebut titik-titik dasar atau titik-titik basis. Jadi setiap lingkaran yang melalui titik-titik potong L1 = 0 dan L2 = 0 persamaanya berbentuk L1 + L2 = 0.

26

L. Soal Latihan 1. Tentukan persamaan lingkaran yang a. berpusat P(4, 3) dan melalui O b. melalui titik-titik A(3, 1) dan B(-1, 3) serta titik pusatnya terletak pada garis g: 3x – y – 2 = 0. 2. Carilah titik pusat dan jari-jari lingkaran-lingkaran dengan persamaan: a. L1: x 2  y 2  5 x  2 y  1  0 b. L2: x 2  y 2  2 x  4 y  14  0 3. Tentukan persamaan lingkaran yang titik pusatnya terletak pada garis 2x – y = 0, melalui titik (2, 2), dan menyinggung sumbu X 4. Tentukan persamaan parameter lingkaran yang berpusat P(-2, 3) dan berjari-jari 5. Tenukan pula persamaannya dalam sistem koordinat Kartesius. 5. Tentukan persamaan lingkaran luar suatu segitiga yang terbentuk oleh garis-garis g: x + 2y – 5 = 0; h: 2x + y – 7 = 0; dan k: x – y + 1 = 0. 6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat C (1, -1) dan menyinggung garis g: 5x–12y + 9 = 0. 7. Diketahui lingkaran L: x 2  y 2  10 x  16  0 . Tentukan harga-harga k sedemikian hingga garis y = kx a. memotong lingkaran b. menyinggung lingkaran itu c. tidak memotong lingkaran itu

27

8. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung dengan gradient -2 pada lingkaran L: x 2  y 2  10 x  6 y  2  0 9. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung dari titik O(0, 0) pada lingkaran L: x 2  y 2  6 x  2 y  8  0 10. Tentukan apakah titik-titik berikut ini terletak di dalam, di luar, atau pada lingkaran L: x 2  y 2  x  3 y  10  0 A(3, 1);

B(-5, 2);

C(3, -4)

D(6, -1)

11. Tentukan persamaan garis kutub dari titik T(-1, 3) terhadap lingkaran L1: x 2  y 2  2 x  6 y  20 . Tentukan pula kutub dari garis g: 3x – 5y – 1 = 0 terhadap lingkaran L2: x 2  y 2  x  y  1  0 12. Tentukan besar sudut antara lingkaran L1: ( x  3) 2  ( y  1) 2  8 dan L2: ( x  2) 2  ( y  2) 2  2 13. Tentukan koordinat titik kuasa lingkaran-lingkaran berikut. L1: x 2  y 2  25 ; L2: x 2  y 2  3 x  2 y  8  0 ; dan L3: x 2  y 2  4 x  5 y  17  0 14. Tentukan persamaan garis kuasa lingkaran-lingkaran berikut. L1: x 2  y 2  3x  2 y  4  0 dan L2: 3 x 2  3 y 2  2 x  y  0 15. Tentukan koordinat suatu titik pada garis g: x – y – 2 = 0 yang mempunyai kuasa yang sama terhadap lingkaran L1: ( x  2) 2  y 2  2 dan L2: x 2  ( y  3) 2  5 16. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui A(1, -1) dan melalui titik-titik potong lingkaran-lingkaran L1: x 2  y 2  2 x  2 y  23  0 dan L2: x 2  y 2  6 x  12 y  35  0

28

17. Tentukan persamaan garis-garis kuasa lingkaran-lingkaran L1: x 2  y 2  x  0 ; L2: x 2  y 2  4 y  7  0 , dan L3: 2 x 2  2 y 2  5 x  3 y  9  0 . Tentukan pula titik kuasanya. 18. Tentukan persamaan lingkaran yang memotong tegak lurus lingkaran L: x 2  y 2  2 x  5 y  5  0 , melalui titik (6, 1), dan pusatnya terletak pada garis g: 9x + 4y = 47. 19. Buktikan bahwa kedua lingkaran L1: x 2  y 2  10 x  2 y  17  0 dan L2: x 2  y 2  8 x  22 y  7  0 saling bersinggungan. Tentukan titik singgungnya.