GEOMETRI LINGKARAN YANG MENANTANG Bentuk lingkaran banyak ditemui dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari ban kendaraan, logo, cermin, tatakan gelas, dan masih banyak lagi yang lainnya. Akan menjadi sangat menarik jika kita dapat menghitung unsur-unsur dalam lingkaran tersebut. Modul ini memberikan kumpulan bermacam-macam soal-soal lingkaran yang diambil dari berbagai kompetisi matematika yang diselenggarakan oleh berbagai Negara di dunia. Tujuannya untuk lebih meningkatkan minat siswa dalam matematika melalui pemecahan masalah. Sedangkan tujuan akhirnya adalah lebih kepada kesiapan siswa menghadapi tantangan dalam kompetisi-kompetisi yang akan datang. Pembahasan mencakup tidak hanya pada perhitungan luas dan keliling lingkaran ataupun menghitung sudut-sudut dalam lingkaran, tapi juga dikaitkan dengan bangun datar lain seperti persegi dan segitiga. Berikut ini adalah beberapa tipe soal lingkaran yang sering diberikan dalam kompetisi-kompetisi matematika dan contoh penyelesaiannya. 1.
D
C S●
●R
4 buah lingkaran yang kongruen saling bersinggungan dan menyinggung persegi ABCD seperti tampak pada gambar. Titik pusat keempat lingkaran merupakan titik sudut persegi PQRS. Jika luas persegi PQRS =
P●
4 cm2 , maka tentukan luas persegi ABCD.
●Q
A
B
Penyelesaian: ( Cara I ) D
A
C S●
●R
P●
●Q ( Cara II )
Karena luas PQRS = 4 cm2 , berarti luas tiap persegi kecil = 1 cm2 , maka luas persegi ABCD = 16 cm2 . ( Math Contests, New Jersey 1982 )
B
Karena luas PQRS = 4 cm2 , berarti panjang sisinya 2 cm dan panjang jari-jari lingkaran = 1 cm. Panjang sisi persegi ABCD = 4 x panjang jari-jari lingkaran = 4 cm 1
Jadi luas ABCD = 16 cm2 . 2.
Diketahui CD diameter lingkaran O. DE
A
= 50° dan ∠EAD = 50°. Tentukanlah
E ●
besar ∠DAB. ( Math Contests, New Jersey 1982 ) O ●
D●
C
● F B Penyelesaian: A
BE ⊥ AC dan AF ⊥ BC, berarti AF dan
50° 15° 50°
G●
BF merupakan garis tinggi ∆ABC. BE
E ●
dan AF berpotongan di titik D. Jika CD diperpanjang hingga titik G, maka CG O ●
D●
25°
juga berpotongan dengan BE dan AF di
C
titik D. Berarti CG juga merupakan garis tinggi ∆ABC.
● F
Maka ∠DAB = 15°.
B
3.
Tiap-tiap lingkaran di samping berjari-jari 1cm dan saling bersinggungan luar. Hitung luas daerah yang diarsir! ( Math Contests, New Jersey 1983 )
Penyelesaian: ( Cara I ) Gambar jajar genjang ABCD dan garis tinggi BD. Karena AB = 4 cm dan AD = 2 cm, BD = 2 3 cm.
Luas daerah yang diarsir
= Luas ABCD - 2 x Luas lingkaran
B●
2
●C
= ( 4 3 − 2π ) cm
A●
●D 2
(Cara II ) Pindahkan lingkaran C ke bawah seperti pada gambar. Luas daerah yang diarsir 1 = Luas ∆ - (3xLuas lingkaran + 3xLuas juring 60°) 2
=
4.2 3 1 1 − (3. πr2 + 3. πr2 ) 2 2 6
= ( 4 3 − 2π ) cm2
4.
ACH dan BDG adalah dua buah seperempat lingkaran dengan jari-jari 10 cm. Hitung luas daerah yang diarsir! (KomMat DKI/MGMP tkt Semifinal 2009 )
Penyelesaian:
LI
1 lingkaran = Luas BDEG – Luas L I 4 1 = 100 - π.100 L II 4
= 100 - 25π LII
= Luas
1 lingkaran 4
L yang diarsir = Luas ADEH – (LI+LII) = 150 – 100 = 50 cm2
3
= 25π
5.
AB // CD dan berjarak 8. Tentukan panjang jari-jari lingkaran!
A ●
C ●
18
O
14 ● ●B
● D Penyelesaian:
A ●
C ●
=81+x . . . ( i )
r
=49+(8-x)
7
r
=x-16x+113 . . . ( ii ) Maka:
O 8-x x ● 9
r
r ● D
81+x = x-16x+113 16x ●B
x
= 32 =2
Sehingga: r
=81+x
r
=85
r
= 85
Jakarta, 26 November 2010 Suhartoyo SMAK 4 PENABUR
4
SOAL-SOAL LATIHAN SOAL-SOAL LATIHAN 1. Sebuah lingkaran dalam segitiga samasisi ABC mempunyai jari-jari 6 cm. Tentukan luas segitiga ABC.
Jawab: 108 3
A E ●
r = 6 cm
B
C
2. Lihat gambar di bawah ini!
5
dari daerah lingkaran besar diarsir dan
3
dari daerah 6 5 lingkaran kecil diarsir. Tentukan nilai perbandingan dari daerah lingkaran besar yang diarsir dan daerah lingkaran kecil yang diarsir. Jawab: 10 : 3
3. Perhatikan gambar di bawah ini! O adalah titik pusat persekutuan lingkaran kecil dan lingkaran besar. Jika luas daerah arsiran A adalah 2 kali luas daerah arsiran B, hitunglah: 3 a. Berapa bagiankah luas daerah arsiran dari luas daerah gambar? Jawab: 20 b. Berapakah luas lingkaran besar, jika selisih luas kedua lingkaran itu 112 cm²? 140
5
4. Tali busur AB dan CD saling sejajar dan berjarak 3 cm. Jika AB = 18 cm and CD = 24 cm, tentukanlah panjang jari-jari lingkaran. Jawab: 15 A
B
C
D
5. Pada gambar di bawah, ABE, DCE, BCF dan ADF adalah garis lurus. ∠ E = 40° , ∠ F = 46°. Tentukan besar ∠ A. Jawab; 17 F
D
A
46°
C 40°
E
B
6. Lingkaran singgung luar segitiga ABC menyentuh BC di D. AB = 6 cm, BC = 5 cm dan CA = 4 cm. Panjang DC. E
B D
A
Jawab : 3,5
O ●
C F 7. Kedua lingkaran besar berjari-jari sama yaitu 5 cm. Tentukan panjang jari-jari 5 lingkaran kecil. Jawab : 4
6
8. ABC adalah seperempat lingkaran dengan jari-jari 10 cm. Jika keliling persegi panjang CPQR = 28 cm, tentukan luas daerah yang diarsir. Jawab : 25π − 24 B Q
A
R
C
P
9. MN adalah diameter lingkaran. Jarak MN dan KL = 1 cm. Perbandingan luas persegi ABCD dan luas persegi EFGH = 9 : 4. Hitunglah luas yang diarsir!
1 832 π− 5 25
C
D
N
M K
20
A
E
F
H
G
B
L
10. Di dalam sebuah pipa yang berdiameter 40 cm terdapat air yang lebar permukaannya AB = 32 cm. Hitunglah dalamnya air dalam pipa tersebut!
8
11. Gambar di bawah merupakan dua buah setengah lingkaran. AB garis singgung setengah lingkaran kecil dan // CD. Jika panjang AB = 24 cm, tentukan luas daerah yang diarsir!
72π
7
A
B D
C
12. AB merupakan diameter setengah lingkaran APQB dengan pusat O.∠POQ = 48°. Tentukan besar ∠AXP = … .
66
P Q
X 48° A
B
O
13. Tentukan nilai x+y pada gambar berikut!
205
B
25°
y°
C
A x°
E D 14. Pada gambar di bawah, AOB adalah diameter lingkaran O. Tentukan besar ∠BCD. 140
D E
130
C ● O
A
B
15. Lingkaran O menyinggung sisi terpanjang ∆ siku-siku ABC seperti tampak pada gambar di bawah. Jika AB = 4 cm dan BC = 3 cm, tentukan panjang diameter lingkaran O.
12
O ●
A
B
C
8
16. Pada gambar PQ dan RS adalah tali busur lingkaran dengan pusat O yang berjari-jari 10 cm. PQ dan RS saling berpotongan tegak lurus di titik T. Jika panjang PQ = 14 cm dan RS = 18 cm, tentukanlah panjang OT.
70
R P
Q
T O●
S 17. Lingkaran O merupakan lingkaran luar segitiga PQR. QR diperpanjang hingga T di = 2 QR , tentukan besar ∠RPT. 28 mana ∠PTQ = 68° dan ∠PQT = 36°. Jika PQ P
T
68
36
R
Q
18. Titik-titik A, B, C, D dan E terletak pada lingkaran O. AC dan BE berpotongan di titik K. ∠ACD = 100° dan ∠CDE = 130°. Jika BE // CD, maka tentukanlah besar ∠ACB. A
B K C
E D 19. Dua buah lingkaran yang berjari-jari sama, yaitu 10 cm saling berpotongan dan mempunyai garis singgung persekutuan luar SR. Jika dua daerah diarsir mempunyai luas yang sama, hitunglah luas daerah segiempat PQRS.
157
9
20. Pada gambar berikut, PUQ : PSQ = 1 : 4. r + t = … S
216
r° R
T t°
P
U
Q
21. Kedua tali busur pada gambar di bawah saling berpotongan tegak lurus. Tentukan panjang jari-jari lingkaran!
R =5 2
4 2 6
22. Empat buah lingkaran kongruen saling bersinggungan luar dan masing-masing menyinggung sisi sebuah persegi yang luasnya 144 cm. Jika sebuah lingkaran kecil terletak di tengah dan menyinggung keempat lingkaran tadi, maka hitunglah diameter lingkaran kecil tersebut!
D= 6
(
)
2 −1
23. . Sebuah persegi di atasnya terdapat bangun setengah lingkaran terletak di dalam sebuah segitiga samasisi yang kelilingnya 36 cm. Tentukan panjang jari-jari setengah lingkaran tersebut!
10
24. AB dan CB adalah garis tengah dari 2 buah setengah lingkaran. Garis AD menyinggung setengah lingkaran kecil di titik P dan ∠ABP = 27°. Tentukan besar ∠PAB!
D P
A
27°
C
B
25. Lingkaran O dan P saling berpotongan. Pusat lingkaran O terletak pada keliling lingkaran P dan pusat lingkaran P terletak pada keliling lingkaran O. Titik A dan B merupakan titik potong kedua lingkaran. Jika panjang garis yang menghubungkan O dan P adalah 1 cm dan panjang garis yang menghubungkan A dan B adalah 2 3 cm, maka hitunglah luas daerah yang diarsir!
26. Sebuah persegi panjang keempat titik sudutnya terletak pada keliling sebuah 3 lingkaran. Jika keliling persegi panjang = kali keliling lingkaran. Tentukanlah luas 4 persegi panjang tersebut! 27. Tentukan panjang jari-jari setengah lingkaran pada gambar di bawah!
5
3
4 11
28. Dua buah lingkaran berjari-jari sama terletak di dalam segienam samasisi seperti tampak pada gambar. Jika panjang sisi segienam = 1 cm, dan panjang jari-jari lingkaran dapat dinyatakan dengan a 3 + b dengan a dan b merupakan bilangan bulat, tentukanlah a+b.
●T
29. Di dalam seperempat lingkaran berjari-jari 2 cm dibuat setengah lingkaran berjarijari 1 cm. Kemudian dibuat lagi setengah lingkaran yang lebih kecil seperti pada gambar. Tentukan panjang jari-jari setengah lingkaran yang lebih kecil tersebut!
30. Sebuah lingkaran berjari-jari 2 cm dikelilingi oleh empat lingkaran yang saling bersinggungan seperti pada gambar dengan jari-jari masing-masing 3, r, 3 dan r (searah jarum jam). Tentukan r. 3 r
2
31. Setengah lingkaran dengan jari-jari 11 cm berpusat di A dan sebuah lingkaran berjari-jari 7 cm berpusat di B. BC ⊥ AC. Hitunglah panjang a!
●B 12
● A
C
a cm
32. ABC adalah sebuah segitiga dengan panjang AB = 6. Dibuat sebuah lingkaran dalam yang menyinggung sisi AB di K, AC di L dan BC di M, Jika panjang LC = 5, maka tentukan keliling segitiga ABC!
33. Diketahui sembarang segitiga ABC samakaki dengan AB = AC. Jika R adalah jari-jari lingkaran luarnya dan r adalah jari-jari lingkaran dalamnya, dan d adalah jarak antara kedua titik pusat kedua lingkaran itu, maka tunjukkan = d
R(R − 2r)
34. Lingkaran dalam segitiga ABC dengan jari-jari 21 menyinggung AB di P. Jika AP = 23 dan PB = 27, maka keliling segitiga ABC sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
35. Persegi pada tiga gambar di bawah ini adalah persegi satuan. Sisi-sisi persegi dan
semua lingkaran yanga ada saling bersinggungan. Bagian dalam persegi dan di luar lingkaran diberi warna hitam. Dari ketiga gambar di bawah, bagian yang diberi warna hitam akan memiliki luas terbesar pada ⋅⋅⋅⋅⋅ 13
a. b. c. d. e.
Gambar 1 Gambar 2 Gambar 3 Ada dua yang sama Ketiganya sama
14
