PENGARUH JARI-JARI LINGKARAN SYARAT BATAS PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM POTENSIAL LISTRIK GEOMETRI KARTESIAN Aji Wira Tama, M. Arief Bustomi, M.Si. Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya Email:
[email protected];
[email protected]
Abstrak Sistem potensial listrik dalam koordinat kartesian dapat dianalisa dengan menggunakan pendekatan polar. Dalam penelitian ini hanya dibatasi pada pengaruh jari-jari lingkaran syarat batas pada pendekatan polar. Ada beberapa tahap yang harus dilakukan, yaitu: melakukan perhitungan analitik dalam koordinat kartesian, menentukan syarat batas untuk pendekatan polar, menghitung potensial listrik dengan pendekatan polar pada masing-masing jari-jari lingkaran syarat batas dan membandingkannya dengan hasil perhitungan koordinat kartesian. Dalam penelitian ini jari-jari lingkaran syarat batas yang digunakan adalah 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 dan 0,5 m. Hasil yang didapat yaitu perhitungan potensial listrik dengan pendekatan koordinat polar sangat baik digunakan untuk perhitungan potensial listrik sistem geometri kartesian. Hasil penelitian menunjukkan bahwa besar jari-jari lingkaran syarat batas dimana titik tinjauan berada di dalamnya tidak berpengaruh pada analisa perhitungan potensial listrik sistem geometri kartesian dengan pendekatan polar. Sedangkan besar jari-jari lingkaran syarat batas dimana titik tinjauan berada di luarnya berpengaruh pada analisa perhitungan potensial listrik sistem geometri kartesian dengan pendekatan polar. Kata kunci : selisih potensial listrik, pendekatan polar, jari-jari lingkaran syarat batas, sistem geometri kartesian
I. Pendahuluan Sebagian besar persoalan fisika berkaitan dengan suatu persamaan differensial yang merupakan suatu representasi matematis dari hukum fisika untuk suatu persoalan fisika tersebut. Salah satu metode pada penyelesaian persamaan differensial untuk sistem fisis yang memperhatikan kondisi syarat batas dari bagian-bagian batas (ujung) dari sistem adalah dengan menggunakan transformasi persamaan laplace. Untuk menggambarkan kondisi dari sistem geometri biasanya digunakan suatu sistem koordinat, sebagai contoh yaitu; sistem koordinat kartesian dan sistem koordinat polar. Dan penggunaan dari masing-masing sistem koordinat disesuaikan dengan bentuk geometri sistemnya. Permasalahan sistem dengan bentuk geometri campuran merupakan topik yang menarik untuk diteliti. Sebagai langkah awal pengembangan metode analisa untuk sistem dengan bentuk geometri campuran adalah
mencoba mengembangkan suatu metode analisa untuk suatu sistem dengan bentuk geometri tertentu menggunakan sistem koordinat yang tidak sesuai dengan bentuk geometrinya tersebut. Dalam penelitian ini, akan diteliti pengaruh jari-jari lingkaran syarat batas dengan pendekatan analisa sistem koordinat polar untuk penyelesaian sistem geometri kartesian . II. Dasar Teori 2.1 Metode Separasi Variabel Koordinat Kartesian Metode Pemisahan Variabel dimulai dengan memperkenalkan Variabel V (x,y) = X(x).Y(y). Dan variabel ini disubstitusi ke persamaan Laplace ( ∇ 2 ϕ = 0 ) kemudian dibagi dengan V (x,y) sehingga menghasilkan:
1 d2X 1 d 2Y + =0 X ( x) dx 2 Y ( y ) dy 2
(2.1)
Karena persamaan ini harus sama dengan nol untuk semua nilai x dan y maka kedua sukunya bisa disamakan dengan konstanta, misalnya: 2
1 d X = −k 2 2 X ( x) dx 1 d 2Y = k2 2 Y ( y ) dy
(2.2)
Dimana k adalah konstanta separasi variabel. Akibatnya, persamaan di atas hanya suatu persamaan differensial biasa yang memiliki penyelesaian analitis: X(x)=Cssin (kx) + Cccos (kx) Y(y)=C’ssinh(ky)+C’ccosh(ky) (2.3) Sedangkan C adalah konstanta yang bisa dicari apabila syarat batas diberikan. Misalkan syarat batas adalah y
x
Gambar 2.1. Syarat batas koordinat kartesian V(x,y=0) = V(x=0,y) = V(x=Lx,y) = 0 V(x,y=Ly)=Vo (2.4) Maka syarat ini hanya dipenuhi apabila Cc = 0 dan C’c = 0. Kemudian pada x = Lx akan terpenuhi apabila k = n.π / Lx. Oleh sebab itu, penyelesaian persamaan Laplace adalah gelombang superposisi: ∞
V ( x, y ) = ∑ C n sin n =i
nπx nπx sinh Lx Lx
∞
∑C
n =1, 3, 5,...
n
(2.7) Metode separasi variabel digunakan di atas untuk menyelesaikan potensial dalam koordinat silinder. Φ merupakan hasil dari 2 fungsi, Φ = R ( ρ )Y (φ ) , dan jika disubstitusi ke persamaan (2.7) menjadi:
d 2Y + K 2Y = 0 2 dφ
(2.9)
Mempunyai solusi cos (K φ ) dan sin (K φ ). Besaran dari K harus dibatasi dalam orde tertentu untuk membuat solusi ini mempunyai nilai fungsi tunggal dari φ . Atau dalam kata lain, solusi untuk membuat pengertian fisikanya seharusnya sama setelah diputar 2 π , atau cos K ( φ + 2 π ) = cos (K φ ) sinK( φ +2 π )=sin(K φ )
(2.5)
Koefisien Cn dapat diperoleh dengan memasukkan nilai syarat batas pada y = Ly, yaitu Vo sehingga penyelesaian akhirnya adalah: V ( x, y ) =
Vo
1 ∂ ∂Φ 1 ∂ 2 Φ + =0 ρ ∂ρ ∂ρ ρ 2 ∂φ 2
(2.8) Kedua sisi dari persaman (2.8) akan disamakan ke K2, yang mana K merupakan konstanta separasi variabel.
V(Lx,y)=0
V(x,0)=0
Selanjutnya, untuk masalah nilai batas di dalam sifat dasar bentuk geometri silinder, dimana potensial adalah suatu fungsi lebih dari satu koordinat. Dianggap potensial-potensial itu adalah suatu fungsi dari ρ dan φ saja. Seperti timbul potensial-potensial di dalam keadaan dimana ada suatu simetri sepanjang sumbu-z. Dalam daerah meniadakan batas beban, potensial memenuhi persamaan
1 d 2Y R d dR ρ =− ρ dρ dρ Y dφ 2
V(x,Ly)=Vo V(0,y)=0
2.2 Metode Separasi Variabel Koordinat Silinder
h nπx nπy sin sinh (nπy / Lx ) / sinh nπ Lx Lx (2.6) [2,5,8]
(2.10) dimana menghendaki bahwa K = n, dan n adalah nol atau suatu bilangan positif. Memasukan bilangan negatif tidak akan menghasilkan dalam mengabaikan beberapa solusi yang mungkin, sebab cos (-n φ ) = cos (n φ ) dan sin (-n φ ) = -sin (n φ ). Suatu sifat penting dari solusi ini adalah kenyataan bahwa sin dan cos orthogonal:
2π
f ( x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2 x + a3 cos 3 x + ...
2π
∫ cos(mφ ) cos(nφ )dφ = ∫ sin(mφ )sin(nφ )dφ = πδ 0
mn
+ b1 sin x + b2 sin 2 x + b3 sin 3 x + ...
0
2π
∞
= a0 + ∑ (an cos nx + bn sin nx )
∫ cos(mφ )cos(nφ )dφ =0
n =1
0
(2.11) delta kronecker. dimana δ mn adalah Ketergantungan radial dari potensial selanjutnya dapat diperoleh. Pengaturan sisi sebelah kiri persamaan (2.8) menyamakan K2= n2, didapatkan:
d dR n 2 R ρ − =0 dρ dρ ρ
d dR ρ =0 dρ dρ
Φ (ρ , θ ) =
)
(
)
A0 ln ∑ An ρ n + ρ − n cos nθ + Bn ρ n + ρ − n sin nθ
]
n =1
π
bn =
1
π
−π
π
∫ f ( x) sin(nx)dx
(2.15)
−π
Deret persamaan (2.15) dikenal sebagai deret fourier dan koefisien an, bn disebut koefisien fourier. [4]
Integrasi numerik dapat diturunkan dengan metode pias. Daerah integrasi dibagi atas sejumlah pias yang berbentuk segiempat. Luas daerah integrasi dihampiri dengan luas seluruh pias. Salah satu kaidah integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan metode pias adalah Kaidah Trapesium.
x1
h ∫ f (x )dx = 2 [ f (x ) + f (x )] 0
∞
+ ∑ [An cos nθ + B n sin nθ ]ρ
2.4 Integrasi Numerik
Luas satu trapesium adalah :
Φ (ρ , θ ) = A0 + A0 ' ln p
+ ∑ [An ' cos nθ + B n ' sin nθ ]ρ
(2.16)
1
x0
n
n =1 ∞
π
1 f ( x)dx 2π −∫π π 1 an = ∫ f ( x) cos(nx)dx
a0 =
(2.13)
dimana memiliki solusi R(ρ) = konstan dan R(ρ) = ln ρ. Untuk n ≠ 0 persamaan memiliki dua solusi ρ n dan ρ − n . Oleh karena itu, solusi yang paling umum adalah
[ (
Dengan koefisien:
(2.12)
Untuk n = 0, potensial memenuhi persamaan yang sama ditemukan dalam kasus dimana potensial tidak mempunyai ketergantungan anguler, yaitu:
∞
(2.15)
−n
n =1
(2.14) dimana An , An ' , Bn , Bn ' untuk n ≥ 0, adalah konstanta untuk nilai dari syarat batas. [2,3]
Luas suatu trapesium gabungan bila selang [a, b] dibagi atas n buah pias trapesium adalah: b
∫ a
f ( x )dx =
n −1 h f 0 + 2∑ f1 + f n 2 i =1
(2.17)[6] III. Metodologi 2.3 Deret Fourier Teorema fourier menyatakan bahwa fungsi bernilai tunggal f(x) pada selang [-π,π] dapat diungkapkan sebagai kombinasi linier dari fungsi sinus dan cosinus.
Langkah-langkah yang ditempuh dalam melakukan penelitian ini digambarkan sebagai diagram alir sebagai berikut:
Perhitungan analitik menggunakan koordinat kartesian
Mencari syarat batas untuk koordinat polar
Perhitungan potensial listrik berdasarkan pendekatan polar dengan variasi jari-jari lingkaran syarat batas
Membuat perbandingan perhitungan koordinat kartesian dan pendekatan polar dengan variasi jari-jari lingkaran syarat batas
Membuat analisa seberapa baik pendekatan polar terhadap koordinat kartesian
Kesimpulan Gambar 3.1 Diagram alir penelitian IV. Analisa dan Pembahasan Perhitungan fungsi potensial syarat batas V (r,θ) pada 5 varian jari-jari syarat batas yang berbeda yaitu pada r = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 dan 0,5 m untuk mendapatkan nilai konstanta A0, A1, A2, A3, B1, B2 dan B3 dengan menggunakan integrasi numerik metode trapesoida ternyata memberikan hasil nilai konstanta yang berbeda untuk pehitungan r tinjauan dalam dan r tinjauan luar. Pada r = 0,1 m yang merupakan r tinjauan luar didapatkan nilai koefisiennya yaitu: A0 = 2,5; A1 = -0,0167; A2 = 2,1884x104 ; A3 = 0; B1 = -0,0167; B2 = 0 dan B3 = 0. Pada r = 0,2 m yang merupakan r tinjauan luar didapatkan nilai koefisiennya yaitu: A0 = 2,5; A1 = -0,0668; A2 = 0,0035; A3 = -1,2242x10-4; B1 = -0,0668; B2 = 0 dan B3 =1,2242x10-4. Nilai konstanta pada pendekatan polar menggunakan jari-jari lingkaran syarat batas dimana titik tinjauan berada di luarnya dihasilkan konstanta yang berbeda, sehingga hasil perhitungan fungsi potensial listriknya
akan berbeda juga. Hal ini menunjukkan bahwa besar jari-jari lingkaran syarat batas berpengaruh pada analisa perhitungan potensial listrik sistem geometri kartesian dengan pendekatan polar. Pada r = 0,3; 0,4 dan 0,5 m yang merupakan jari-jari lingkaran syarat batas dimana titik tinjauan berada di dalamnya dihasilkan konstanta yang sama yaitu: A0 = 2,5; A1 = -1,6693; A2 = 2,1884; A3 = -1,9127; B1 = -1,6693; B2 = 0 dan B3 = 1,9127. Karena hasil perhitungan nilai konstanta A0, A1, A2, A3, B1, B2 dan B3 yang sama pada jari-jari lingkaran syarat batas r = 0,3; 0,4 dan 0,5 m maka nilai fungsi potensial listriknya akan sama juga. Hal ini menunjukkan bahwa besar jari-jari lingkaran syarat batas pada interval 0,3 m s.d. 0,5 m tidak berpengaruh pada analisa perhitungan potensial listrik sistem geometri kartesian dengan pendekatan polar. Untuk perhitungan potensial listrik dengan pendekatan polar yaitu Ve3, Ve4 dan Ve5 memberikan nilai yang sama pada semua sudut 0° s.d. 360°. Dapat dilihat pula berdasarkan tabel tersebut rata-rata selisih nilai potensial listrik Vcir dengan Ve pada jari-jari lingkaran syarat batas r = 0,3; 0,4 dan 0,5 m bernilai sangat kecil yaitu 1,23358x10-17 Volt. Untuk selisih nilai potensial listrik Vcir dengan Ve pada r = 0,1 m yaitu -2,4671x10-17 Volt. Bahkan pada r = 0.2 m besarnya adalah 0 Volt atau dengan kata lain nilai potensial listrik Vcir adalah sama dengan Ve. Kecilnya nilai rata-rata selisih (mendekati 0) menunjukkan bahwa memang pada kasus ini nilai V pendekatan polar mendekati nilai V koordinat kartesian. Hal ini menunjukkan bahwa perhitungan potensial listrik dengan pendekatan koordinat polar sangat baik digunakan untuk perhitungan potensial listrik sistem geometri kartesian. Setelah dilakukan analisa perbandingan hasil perhitungan nilai potensial koordinat kartesian dengan pendekatan polar dan diperoleh data selisih nilai potensial listrik untuk masing-masing jari-jari lingkaran syarat batas yang digunakan, maka dibuat grafik yang berfungsi mengetahui hubungan variasi jari-jari lingkaran syarat batas terhadap konvergenitas nilai potensial V. Grafik yang dibuat hanya untuk beberapa sudut saja yaitu pada sudut 0°, 90°, 180° dan 270°.
Tabel 4.1 Nilai selisih Vcir-Ve pada berbagai nilai R Selisih pada ∠ 0°
Selisih pada ∠ 90°
Selisih pada ∠ 180 °
R=0,1
-0,2459
-0,5108
0,5108
0,2459
R=0,2
-0,0902
-0,2501
0,2501
0,0902
0,0029
0,0029
0,0012
0,0029
0,0029
0,0012
0,0029
0,0029
0,0012
R=0,3 R=0,4 R=0,5
0,0012 0,0012 0,0012
Selisih pada ∠ 270 °
Gambar 4.3 Hubungan R pada nilai selisih Vcir-Ve sudut 180°
Gambar 4.4 Hubungan R pada nilai selisih Vcir-Ve sudut 270°
Gambar 4.1 Hubungan R pada nilai selisih Vcir-Ve sudut 0°
Gambar 4.2 Hubungan R pada nilai selisih Vcir-Ve sudut 90°
V. Kesimpulan Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, maka dapat disimpulkan bahwa: 1. Perhitungan potensial listrik dengan pendekatan koordinat polar sangat baik digunakan untuk perhitungan potensial listrik sistem geometri kartesian. 2. Nilai konstanta pada pendekatan polar menggunakan jari-jari lingkaran syarat batas dimana titik tinjauan berada di dalamnya dihasilkan konstanta yang sama, sehingga hasil perhitungan fungsi potensial listriknya akan sama juga. Hal ini menunjukkan bahwa besar jari-jari lingkaran syarat batas tidak berpengaruh pada analisa perhitungan potensial listrik sistem geometri kartesian dengan pendekatan polar. 3. Nilai konstanta pada pendekatan polar menggunakan jari-jari lingkaran syarat batas dimana titik tinjauan berada di
luarnya dihasilkan konstanta yang berbeda, sehingga hasil perhitungan fungsi potensial listriknya akan berbeda juga. Hal ini menunjukkan bahwa besar jari-jari lingkaran syarat batas berpengaruh pada analisa perhitungan potensial listrik sistem geometri kartesian dengan pendekatan polar.
Daftar Pustaka [1] Al-Khaled, Kamel, 2005, “Numerical Solutions of The Laplace’s Equation”, Applied Mathematics and Computation 170: 1271-1283. [2] Amalia, Iffah, 2009, ”Analisa Potensial Listrik Menggunakan Koordinat Polar untuk Sistem Geometri”, Skripsi S1 Jur. Fisika FMIPA ITS, Surabaya. [3]
Andrews, Mark, 2006, “Alternative Separation of Laplace’s Equation in Toroidal Coordinates and its Application to Electrostatics ”, Journal of Electrostatics 64: 664-672.
[4] Boas, M.L., 1985, “Mathematical Method in Physical Sciences”, John Willey and Sons Inc, New York. [5] Lavery, John E., 2002, “Shape-Preserving, Multiscale Interpolation by Univariate Curvature-based Cubic L1 Splines in Cartesian and Polar Coordinates”, Computer Aided Geometric Design 19: 257-273. [6]
Mathews J.H., Fink K.D., 1999, “Numerical Method using MATLAB”, Prentice Hall, New York.
[7]
Nayfeh M.H, M.K Brussel, 1985, ”Electricity and Magnetism”, John Willey and Sons Inc, New York.
[8] Reitz, J.R., Milford F.J., dan Christy R.W, 1979, “Foundations of Electromagnetic Theory”, Addison-Wesley, Boston.
