PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN IRMA ISLAMIYAH 1105 100 056
FISIKA FMIPA INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2010
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG • Kondisi dari geometri sistem dapat digambarkan dengan 3 sistem koordinat. • Kadang kala dijumpai problem Geometri yang tidak murni tunggal (campuran) sehingga menyulitkan dalam analisanya. • Untuk kasus seperti ini kita pilih salah satu sistem koordinat yang digunakan untuk analisa. • Dalam tugas akhir ini, sistem koordinat kartesian diselesaikan dengan menggunakan pendekatan polar.
PERUMUSAN MASALAH • Dalam tugas akhir ini, sistem koordinat kartesian diselesaikan dengan menggunakan pendekatan polar. • Prinsip dasarnya adalah melakukan transformasi syarat batas kartesian ke syarat batas polar.
BATASAN MASALAH • Sistem yang dipelajari dua dimensi (2D) dalam koordinat kartesian. • Hanya diambil data potensial pada 360 titik. • Pengaruh jumlah suku pada deret Fourier terhadap pendekatan koordinat polar
TUJUAN • Untuk menguji apakah transformasi syarat batas dari kartesian ke polar untuk sistem dengan geometri kartesian akan menghasilkan solusi dalam koordinat polar yang sama dengan solusinya dalam koordinat kartesian. • Dan untuk menentukan jumlah suku Fourier yang tepat agar metode analisa polar sesuai dengan koordinat kartesian.
MANFAAT • Diharapkan dapat diketahui seberapa baik analisa menggunakan sistem koordinat lain memberikan hasil yang sama dengan koordinat yang seharusnya. Dalam TA ini, suatu sistem dalam geometri kartesian akan diteliti dengan menggunakan sistem koordinat polar.
DASAR TEORI
SEPARASI VARIABEL KOORDINAT KARTESIAN
• Penyelesaian analitisnya: X(x) = Cs sin (kx) + Cc cos (kx) Y(y) = C’s sinh (ky) + C’c cosh (ky) • Syarat batas : V(x,y=0) = V(x=0,y) = V(x=Lx,y) = 0 V(x,y=Ly) = Vo
(4)
• Sehingga penyelesaian akhirnya adalah: 4 ~ V(x,y) = Vo ∑ =1,3,5,…
nπx sin Lx
nπy sinh (nπy/Lx) / sinh Lx
(5)
SEPARASI VARIABEL KOORDINAT SILINDER 1
+
1 2
2
2
=0
Φ ( ,) =
0
+
0’
ln
+ ∑~=1[
( (
=
0
+
0’
ln
+ ∑~=1[ ∑~=1[
−
+ +
−
+
) sin ]
cos + ′ cos +
) cos
sin ] ′ sin ]
+ −
DERET FOURIER
( )
=
0
+ 1 cos x + + b1 sin x +
cos 2x + 3 cos 3x + ⋯ 2 sin 2x + 3 sin 3x + ⋯
+
cos
∞
=
0
=1
2
+
sin
KAIDAH TRAPESIUM • Sebuah pias berbentuk trapesium dipandang dari x = x0 sampai x = x1.
• Luas satu trapesium adalah
(14)
METODOLOGI PENELITIAN
ANALISA DATA DAN PEMBAHASAN
Perhitungan Analitik Potensial Listrik dalam Koordinat Kartesian • Potensial listrik dalam koordinat kartesian mempunyai panjang x = a dan y = a. Sedangkan V (potensial) dalam setiap sisinya adalah sisi atas = V1, sisi samping kanan = V2, sisi bawah = V3, dan sisi samping kiri = V4.
• Untuk mendapatkan persamaan potensial listrik V1, V2, V3, dan V4. Dicari satu persatu dari setiap sisinya. • Ditinjau dari sisi atas (V1), maka sisi lainnya, V=0.
Pada sisi atas, y=a. Maka;
Φ1 (x,y) =
∑~=1
4 sinh
1
ℎ
(15)
•
Ditinjau pada sisi samping kanan (V2)
Pada sisi samping kanan, x=a. Maka:
Φ2 (x,y) =
∑~=1
4 sinh
2
ℎ
(16)
• Ditinjau pada sisi bawah (V3)
Pada sisi bawah, y=0. Maka;
Φ3 (x,y) =
~ ∑ =1
4 sinh
3
ℎ ( − )
(17)
• Ditinjau pada sisi samping kiri (V4) :
Pada sisi samping kiri, x=0. Maka;
Φ4 (x,y) =
∑~=1
4 sinh
4
ℎ ( − )
(18)
Perumusan Umum Potensial Listrik Berdasarkan Syarat Batas Pendekatan Polar • Yang pertama-tama dilakukan adalah mentranslansi kotak potensial ke tengah-tengah sumbu koordinat x dan y. Sehingga menjadi:
Nilai koefisien An dan Bn untuk 360 titik data sbb:
Pendekatan 1 Suku Fourier
• Sehingga didapatkan selisih antara perhitungan koordinat kartesian dan pendekatan polar adalah sebagai berikut: • Untuk Pendekatan 1 Suku Fourier Diperoleh nilai V rata-rata pendekatan polar mendekati nilai V rata-rata koordinat kartesian dengan selisih -0.00272. •
Untuk Pendekatan 2 Suku Fourier Diperoleh nilai V pendekatan polar mendekati nilai V koordinat kartesian dengan selisih 0.00179. Dan antara data selisih nilai V untuk pendekatan 1 suku Fourier dengan 2 suku Fourier, nilai V serta selisih yang didapatkan memiliki perbedaan yang sangat kecil. Pada pendekatan 2 suku Fourier, selisih dari V pendekatan polar semakin mendekati V koordinat kartesian.
Untuk Pendekatan 3 suku Diperoleh nilai selisih V rata-rata : -0.00416. antara pendekatan 2 suku Fourier dan 3 suku Fourier, nilai V rata-rata serta selisih rata-rata yang didapatkan memiliki perbedaan yang sangat kecil. Walaupun pada pendekatan 3 suku, selisih dari V pendekatan polar semakin menjauhi V koordinat kartesian.
Untuk Pendekatan 4 suku Diperoleh nilai selisih V rata-rata : -0.00416. nilai pendekatan suku ke tiga sama dengan pendekatan suku ke empat.
Untuk pendekatan 5 suku Diperoleh nilai V pendekatan polar mendekati nilai V koordinat kartesian dengan selisih 0.00419 . antara pendekatan 4 suku Fourier dan 5 suku Fourier nilai V serta selisih yang didapatkan memiliki perbedaan yang sangat kecil. Walaupun pada pendekatan 5 suku Fourier , selisih dari V pendekatan polar semakin menjauhi V koordinat kartesian.
Untuk Pendekatan 6 Suku Diperoleh nilai V pendekatan polar mendekati nilai V koordinat kartesian dengan selisih -0.00418. antara pendekatan 5 suku fourier dan 6 suku fourier, nilai V serta selisih yang didapatkan memiliki perbedaan yang sangat kecil. Tetapi selisih pada pendekatan 6 suku Fourier nilai V pada pendekatan koordinat polarnya sudah semakin mendekati nilai V pada pendekatan kartesian.
PEMBAHASAN
Dari grafik dapat dilihat bahwa untuk suku pertama, selisih potensial antara pendekatan polar dan pendekatan kartesian sudah mendekati nol yaitu -0.1006, akan tetapi pada suku kedua, nilai selisihnya semakin menjauhi nol yaitu -0.1689. Baru pada suku ketiga dan seterusnya nilai selisih V sudah mulai mendekati satu nilai tertentu (konvergen) yaitu -0.1545.
Dari grafik dapat dilihat bahwa nilai selisih potensial V antara pendekatan polar dengan pendekatan kartesian untuk 1 suku hingga 6 suku, semakin banyak suku Fourier maka nilai selisihnya semakin mendekati nilai tertentu yaitu -0.2905.
Dari grafik dapat dilihat bahwa nilai selisih potensial V antara pendekatan polar dengan pendekatan kartesian untuk 1 suku hingga 6 suku, semakin banyak suku Fourier yang digunakan maka nilai selisihnya semakin mendekati nilai tertentu yaitu 0.2891.
Dari grafik dapat dilihat bahwa nilai selisih potensial V antara pendekatan polar dengan pendekatan kartesian untuk 1 suku hingga 6 suku, semakin banyak suku Fourier yang digunakan maka nilai selisihnya semakin mendekati nilai tertentu (konvergen) yaitu 0.5669.
KESIMPULAN • Digunakan 6 macam jumlah suku Fourier yaitu 1 suku, 2 suku, 3 suku, 4 suku, 5 suku, dan 6 suku Fourier. Terlihat bahwa nilai potensial V untuk suku ke 3 hingga suku ke 6 sudah menuju ke satu titik tertentu (konvergen) mulai dari suku ketiga dan seterusnya. • Semakin banyak jumlah suku Fourier yang digunakan dalam pendekatan polar pada Transformasi syarat batas dari kartesian ke polar untuk sistem dengan geometri kartesian akan menghasilkan solusi dalam koordinat polar yang nilainya semakin mendekati dengan solusinya dalam koordinat kartesian.
SARAN • Perlu diteliti tingkat keakuratan untuk jumlah titik data yang lebih banyak. • Perlu diteliti juga untuk sistem koordinat yang lain. • Perlu diteliti pengaruh jumlah titik data dan jumlah suku fouriernya secara simultan.
