DASAR-DASAR GEOMETRI Suatu Pengantar Mempelajari Sistem-sistem Geometri

DASAR-DASAR GEOMETRI Suatu Pengantar Mempelajari Sistem-sistem Geometri Budiyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo

Abstrak Dengan memandang geometri sebagai sistem deduktif, geometri dapat disebut sebagai suatu sains deduktif. Dengan berawal pada pengertian pangkal, definisi dan postulat-postult itu menentukan macam geometri. Dengan memandang geometri sebagai sistem deduktif yang didasarkan atas himpunan postulat, yang dapat dianggap sebagai aturan permainannya, maka jika postulat itu diganti akan didapat geometri yang lain. Kata Kunci: deduktif, postulat, system geometri Pendahuluan Awal geometri bermula dari za-

atas tanah dari pada ujung kepala orang paling tinggi.

man prasejarah, ketika itu penduduk

Perintis geometri adalah orang

suatu daerah berkembang, tempat

Babilonia purba. Tanah antara su-

tinggal alamiah yang tersedia tidak

ngai Trigis dan Eufrat, tempat ting-

cukup. Orang perlu membangun

gal orang Babilonia, semula berupa

tempat perlindungan yang cukup

rawa. Kanal-kanal dibangun untuk

besar untuk menampung keluarga

mengeringkan rawa itu dan untuk

dan kuat untuk menahan angin,

menampung luapan air sungai. Un-

hujan dan badai. Untuk membuat

tuk maksud pembangunan kanal,

tempat berlindung dengan ukuran

mereka perlu meneliti tanah. Dalam

yang tepat, seseorang harus mem-

melakukan penelitian itu, orang

bandingkan ukuran panjang. Jadi,

Babilonia menciptakan aturan-atur-

atap harus terletak lebih tinggi di

an untuk mencari luas tanah. Aturan-aturan ini tidak terperinci benar,

Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri

1

tetapi pengetahuan yang mereka

garis besar dan sering tidak tepat.

peroleh cukup untuk pembangunan

Seperti yang kita ketahui sekarang,

kanal.

misalnya, bahwa luas setiap segitiga

Di Mesir, orang mempunyai la-

adalah setengah hasil kali alas dan

dang pertanian di sepanjang sungai

tingginya. Orang Mesir secara salah

Nil dikenakan pajak sesuai dengan

memberikan ukuran luas segitiga ini

tanah milik mereka. Dalam musim

sebagai setengah hasil kali alasnya

penghujan, sungai Nil akan meluap

dengan sebuah sisi. Sebagian besar

mengenai tanah itu, dan mengha-

dari segitiga-segitiga yang panjang

nyutkan semua tanda-tanda batas

dan sempit, dan dalam segitiga

pe-milikan tanah. Oleh karena itu,

seperti itu tidak terdapat perbedaan

orang perlu mengukur lagi tanah

antara panjang sisi dan tingginya.

sehingga

pemilik

Oleh karena itu, hasil dari perhi-

akan memperoleh bagian mereka

tungan orang Mesir berguna sekali

yang sah. Setelah banjir surut, orang

sebagai dasar pembagian tanah dan

yang telah dilatih secara khusus

penarikan pajak terhadap pemi-

disebut tukang perentang tali akan

liknya.

masing-masing

menetapkan petunjuk batas baru. Mereka menggunakan simpul-sim-

Geometri Menjadi Sebuah Disi-

pul tali berjarak sama, sehingga

plin Ilmu.

mereka dapat mengukur panjang

Orang

Yunani

menamakan

yang diinginkan dan membagi tanah

pengukur tanah bangsa Mesir zaman

itu ke dalam bentuk-bentuk segitiga,

dahulu para geometer atau pengukur

segiempat, persegi panjang, dan

tanah. Geometri berasal dari bahasa

trapezium.

Yunani ‘ge’ artinya tanah dan

Mereka menciptakan aturan-

‘metria’ artinya ukuran. Pengukur

aturan yang praktis untuk mengukur

tanah menemukan banyak fakta

luas bentuk-bentuk itu. Aturan-atur-

tentang segitiga, bujur-sangkar, em-

an itu beraneka ragam dan bersifat

pat persegi panjang, dan bahkan

2 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri

lingkaran. Fakta ini menjadi ilmu

tanah milik mereka, bukan untuk

yang oleh orang Yunani disebut

penggunaan secara praktis. Orang

‘geometri’

tentang

Yunani mengubah geometri dari

ukuran tanah’. Geometri dewasa ini

pengkajian tentang hubungan antara

lebih luas daripada tahap awalnya,

bagian dari bentuk-bentuk yang ada

tetapi ilmu ini masih menyangkut

dalam ruang. Hal ini yang sekarang

ukuran, bentuk, dan kedudukan

dimaksud dengan geometri.

atau

‘ilmu

Setelah Thales, ahli matematika

benda-benda. Orang Yunani membuat kema-

Yunani yang lain menemukan dan

juan penting dalam bidang geometri.

membuktikan fakta-fakta tentang

Mereka tidak hanya mengoreksi

bentuk-bentuk

aturan-aturan orang Mesir yang sa-

mengemukakan

lah, tetapi juga mempelajari berba-

dalam pernyataan-pernyataan yang

gai bentuk geometri agar dapat

disebut dalil atau teorema. Mereka

menyusun hubungan-hubungannya.

juga menciptakan

Thales, seorang ahli matematika

untuk menggambar bentuk. Biasa-

Yunani yang hidup kira-kira 2500

nya, alat-alat yang diperbolehkan

tahun yang lalu, menemukan bahwa

dalam pengkajian geometri secara

setiap garis tengah ditarik dalam

formal adalah penggaris yang tidak

sebuah lingkaran akan membagi

diberi tanda, untuk menggambar

lingkaran menjadi dua buah sete-

garis lurus, dan jangka untuk meng-

ngah lingkaran. Dia juga mengamati

gambar lingkaran dan memindahkan

bahwa jika 2 garis lurus memotong

ukuran.

satu sama lain, maka sudut yang

geometri.

Mereka

fakta-fakta

itu

berbagai

alat

Orang Yunani mengemukakan

bertolak belakang selalu sama, tidak

berbagai soal konstruksi,

menjadi soal sudut apapun yang

dipecahkan

dibentuk oleh garis itu. Hal ini

penggaris dan jangka.Di antara soal-

merupakan permulaan perhitungan

soal ini adalah sebagai berikut :

angka-angka

untuk

hanya

untuk

menggunakan

menghitung


3

1. Membuat suatu bujur sangkar yang luasnya tepat sama dengan

Geometri Sebagai Suatu Sistem Deduktif

luas sebuah lingkaran yang

Telah disebutkan di atas bahwa

diketahui, biasa disebut mem-

geometri menurut sejarahnya tum-

bujursangkarkan lingkaran.

buh pada zaman sebelum Masehi

2. Membuat sisi sebuah kubus

karena keperluan pengukuran tanah

yang sisinya akan tepat 2 kali

setiap kali sesudah sungai Nil di

lipat isi kubus diketahui, biasa

Mesir banjir. Dalam Bahasa Indo-

disebut menduplikasikan kubus.

nesia Geometri diterjemahkan seba-

3. Membuat sebuah sudut yang

gai ilmu Ukur. Geometri dapat

besarnya sama dengan sepertiga

didefinisikan sebagai cabang Mate-

besar suatu sudut yang diketa-

matika yang mempelajari titik, garis,

hui, biasa disebut membagi tiga

bidang dan benda-benda ruang serta

sudut.

sifat-sifat-nya,

Selama lebih dari 20 abad, ahli

dan hubungannya satu sama lainnya.

matematika berusaha memecahkan

Jadi, Geometri dapat dipandang

soal itu, tanpa berhasil. Akhirnya,

sebagai suatu studi yang mempe-

dalam abad XIX dibuktikan bahwa

lajari tentang ruang phisik.

ukuran-ukurannya

kita tidak mungkin membujur-sang-

Kita telah mengetahui apa yang

karkan lingkaran, menduplikasikan

disebut garis, segitiga, jajaran gen-

kubus, atau membagi tiga sebuah

jang, persegi panjang, bujur sang-

sudut.

kar,

Kita

mungkin

membuat

belah

ketupat,

trapezium,

ketiga kontruksi ini dengan alat

kubus, bola, kerucut, prisma dan

yang

khusus.

sebagainya. Bangun-bangun atau

Kontruksi sedemikian itu termasuk

benda-benda itu perlu didefinisikan

dalam bidang geometri tinggi.

dan untuk mendefinisikan sesuatu

dirancang

secara

diperlukan pengertian-pengertian sebelumnya.

Jadi,

tidak

semuanya

didefinisikan.

mungkin Untuk


menghindari lingkaran dari definisi

pengertian-pengertian pangkal, yaitu

perlu adanya pengertian-pengertian

unsur-unsur dan relasi-relasi yang

pangkal atau unsur-unsur yang tidak

tidak didefinisikan. Masih diperlu-

didefinisikan.

kan pula definisi-definisi dari unsur-

Contoh dari suatu lingkaran definisi:

unsur lain dengan menggunakan

Titik adalah perpotongan dua garis.

pengertian pangkal tersebut.

Garis adalah penghubung dua titik.

Definisi

memungkinkan

kita

dapat

memberi nama pada unsur-unsur se-

dinyatakan dalam bentuk kalimat

hubungan dengan pengertian pang-

yang memuat “bila dan hanya bila”

kal itu. Selain itu harus ada relasi-

atau dapat dibalik misalnya :

relasi atau pernyataan yang dapat

Suatu segitiga sama sisi adalah

diterima tanpa bukti yang dina-

suatu segitiga yang ketiga sisinya

makan sebagai asumsi atau aksioma

sama.

atau postulat. Relasi-relasi lainnya

Ini harus berarti :

yang

Jika suatu segitiga sama sisi, maka

menggunakan definisi atau postulat-

ketiga sisinya sama.

postulat itu dinamakan dalil atau

Jika suatu segitiga sisinya sama,

teorema.

Suatu

definisi

harus

maka segitiga itu sama sisi. Mengingat perlu adanya unsur-

dapat

dibuktikan

dengan

Proses untuk mendapatkan atau menurunkan suatu dalil dari him-

didefinisikan,

punan pengertian pangkal, definisi

maka tidak semua relasi dapat dide-

dan postulat disebut suatu deduksi.

finisikan. Jadi harus ada relasi yang

Jadi, sistem deduktif mempunyai

tidak didefinisikan. Unsur-unsur dan

sejumlah pengertian pangkal, defi-

relasi-relasi yang tidak didefinisikan

nisi, postulat, dan teorema-teorema.

disebut pengertian pangkal.

Gambaran sistem deduktif dapat

unsur

yang

tidak

Geometri dapat dipandang seba-

disajikan sebagai berikut:

gai suatu sistem deduktif. Dalam suatu sistem deduktif harus ada Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri

5

Dalam Geometri harus hanya

Pengertian pangkal

ada satu presentasi yang memenuhi Definisi

Postulat (aksioma)

satu himpunan postulat itu atau jika ada dua, tentu keduanya harus isomorphic. Dikatakan himpunan

Dalil

postulat itu harus “categorical”. Dalam

Geometri

kita

akan

memperhatikan kesimpulan-kesim-

Dalil

pulan dan akibat-akibat dari himDefinisi

Postulat (aksioma)

punan

postulat

itu

dan

tidak

memperhatikan artinya dalam ruang hidup kita.

Dalil

Geometri Euclides Geometri yang pertama-tama dapat

Dan seterusnya

dipandang

sebagai

suatu

sistem deduktif adalah Geometri dan Dalam Geometri sebagai suatu

Euclides. Geometri Euclides ini

sistem deduktif himpunan postulat

bertahan selama hampir 2000 tahun.

itu

dipandang

sebagai

“aturan

Matematikawan yang bernama Euclides ini berasal dari Alek-

permainan”. Himpunan postulat harus kon-

sandria. Euclides hidup kira-kira

sisten, artinya tidak boleh ada 2

300 tahun sebelum Masehi. Dia

pernyataan

bertentangan.

menulis bukunya sebanyak 13 buah

Demikian pula tidak boleh ada 2

dengan mengumpulkan materinya

dalil yang bertentangan. Demikian

dari beberapa sumber dan dari

pula tidak boleh ada 2 dalil yang

tokoh-tokoh sebelumnya. Euclides

bertentangan yang diturunkan dari

adalah penulis dan penyusun buku

himpunan postulat itu.

yang sangat luar biasa, bukunya

yang


atau

udara, bidang dua puluh (tetra-

“Euclid’s Elements” yang dapat

hedron) dan air, dan ada yang

diterjemahkan ke dalam Bahasa

menambahkan bidang dua belas

Indonesia

(dedecahedron) dan ether.

disebut

“The

Elements”

sebagai

“Unsur-unsur

Euclides, dalam bukunya yang

Euclides”. Buku-buku Euclides itu adalah

pertama mulai dengan 23 definisi, 5

sebagai berikut :

postulat, 5 aksioma dan 48 dalil.

Enam buah bukunya yang pertama

Euclides membedakan antara pos-

membicarakan

segitiga,

tulat dan aksioma, postulat berlaku

segiempat, lingkaran, segibanyak,

khusus untuk sains tertentu dan

perbandingan dan kesebangunan.

aksioma berlaku untuk umum.

Empat

buah

tentang

buku

berikutnya

Definisi-definisi sebanyak 23 itu

membicarakan ilmu bilangan satu

dapat disajikan sebagai berikut:

buah buku (yang ke 11) memper-

1. Titik adalah yang tidak mempu-

kenalkan

geometri

ruang

yang

berhubungan dengan buku yang pertama. Buku yang ke 12 adalah sebuah

buku

membahas

limas,

kerucut dan tabung. Satu buah bukunya lagi yaitu yang ke-13 membicarakan

bidang

banyak

beraturan dan memberikan kon-

nyai bagian. 2. Garis adalah panjang tanpa lebar. 3. Ujung-ujung suatu garis adalah titik. 4. Suatu garis lurus adalah suatu garis yang terletak rata dengan titik-titik padanya.

truksi dari benda-benda”platonic”

5. Suatu bidang adalah yang hanya

atau benda-benda ‘cosmic’. Benda-

mempunyai panjang dan lebar.

benda ini disebut benda “cosmic”

6. Ujung-ujung suatu bidang ada-

karena menurut teori Plato ada

lah garis.

hubungan antara kubus dan tanah,

7. Suatu bidang datar adalah suatu

bidang empat (tetrahedron) dan api,

bidang yang terletak rata dengan

bidang delapan (octahedron) dan

garis-garis padanya.


7

8. Suatu sudut datar adalah inklinasi (kemiringan)

sesame-nya

dari

dalam suatu garis sedemikian, hingga semua garis lurus yang

dua garis dalam suatu bidang

melalui

datar yang bertemu dan tidak

hubungan itu dan mengenai

terletak pada suatu garis lurus.

garis tadi sama panjangnya.

9. Dan jika garis-garis yang memuat

16. Dan titik itu disebut titik pusat

sudut itu lurus, maka sudut itu

satu

titik

dalam

lingkaran. 17. Suatu garis tengah dari lingkar-

disebut sudut garis lurus. 10. Jika suatu garis lurus berdiri

an adalah sebarang garis lurus

pada suatu garis lurus dan

melalui titik pusat dan pada

membuat sudut yang bersisian

kedua arahnya berakhir pada

sama, masing-masing sudut ini

keliling lingkaran dan garis

disebut siku-siku dan garis yang

semacam itu

berdiri pada garis lainnya tadi

sama lingkaran itu.

disebut tegak lurus pada garis

membagi

dua

18. Suatu setengah lingkaran adalah bangun yang termuat dalam

yang lain. adalah

suatu garis tengah dan keliling

sudut yang lebih besar dari

lingkaran yang terbagi oleh

sudur siku-siku.

garis tengah itu. Titik pusat

11. Suatu

sudut

tumpul

12. Suatu sudut lancip adalah yang lebih kecil dari suatu sudut

setengah

lingkaran

sama

dengan titik pusat lingkaran. 19. Bangun-bangun garis lurus ada-

siku-siku. 13. Suatu batas adalah ujungnya

lah bangun-bangun yang termuat dalam garis-garis lurus atau

(akhirnya) sesuatu. 14. Suatu bangun adalah sesuatu

dibatasi garis lurus. Bangun-

yang termuat dalam suatu batas

bangun trilateral adalah yang

atau beberapa batas.

dibatasi oleh tiga, quadrilateral

15. Suatu lingkaran adalah suatu bangun datar

yang

termuat

dibatasi oleh empat dan multilateral dibatasi oleh empat dan


multilateral dibatasi oleh lebih

sama, tetapi empat yang lain

dari empat garis.

dari ini semua disebut trape-

20. Dari bangun-bangun trilateral

sium.

(sisi tiga), suatu segitiga sama-

23. Garis-garis lurus sejajar atau

sisi adalah yang mempunyai

parallel adalah garis-garis lurus

tiga sisi sama, suatu segitiga

yang

sama kaki adalah yang hanya

bidang datar dan jika diperpan-

dua sisinya sama dan suatu

jang tak terbatas pada kedua

segitiga miring adalah yang

arahnya tidak akan bertemu

semua sisinya tidak sama.

pada arah yang manapun.

21. Selanjutnya

dari

bangun-

terletak

dalam

Postulat-postulat

suatu

sebanyak

5

bangun segitiga, suatu segitiga

buah dari Euclides itu dapat ditulis

siku-siku adalah yang mempu-

sebagai berikut:

nyai

Postulat 1 : Menarik garis lurus

suatu

sudut

siku-siku,

suatu segitiga tumpul

yang

dari sebarang titik ke sebarang titik

mempunyai suatu sudut tumpul

yang lain.

dan suatu segitiga lancip adalah

Postulat 2 : Memperpanjang suatu

yang ketiga sudutnya lancip.

ruas garis secara kontinu menjadi

22. Dari bangun-bangun segiempat,

garis lurus

suatu bujur sangkar adalah yang

Postulat 3 : Melukis lingkaran de-

sama sisi dan bersudut siku-

ngan

siku,

sebarang jarak.

suatu

empat

persegi

sebarang

titik

pusat

dan

panjang adalah yang bersudut

Postulat 4 : Bahwa semua sudut

siku-siku, tetapi tidak samasisi,

siku-siku adalah semua sama.

suatu belah ketupat adalah yang

Postulat 5 : Bahwa jika suatu garis

sama sisi, tetapi tidak bersudut

lurus memotong dua garis lurus dan

siku-siku, suatu jajarn genjang

membuat sudut-sudut dalam sepi-

adalah sama sisinya dan sudut-

hak kurang dari dua sudut siku-siku,

sudutnya

kedua garis itu jika diperpanjang tak

yang

berhadapan


9

terbatas, akan bertemu di pihak

sesuatu yang sama,

tempat kedua sudut dalam sepihak

jumlahnya sama.

kurang dari dua sudut siku-siku.

Aksioma 3 : Jika sesuatu yang sama

Postulat yang ke 5 ini dapat

dikurangi dengan

diberi keterangan sebagai berikut:

sesuatu yang sama, sisanya sama.

k

g

Aksioma 4 : Benda-benda yang berimpit satu sama lain,

P1

satu sama lain sama. Aksioma 5: Seluruhnya lebih besar

Q2

dari bagiannya. Beberapa Kelemahan Geometri

Garis g memotong garis k dan l.

Euclides

Sudut P1 ditambah sudut Q2 kurang

Geometri Euclides mempu-

dari dua sudut siku-siku. Jika garis k

nyai beberapa kelemahan. Beberapa

dan l diperpanjang akan berpotong-

kelemahan itu adalah:

an di pihak tempat sudut P1 dan

Kelemahan 1 :Euclides

sudut Q2 (dipihak kanan pada

untuk

gambar di atas).

dalam Geometri, sampai titik dan

Selanjutnya 5 buah aksioma dari Euclides dapat disajikan seba-

mendefinisikan

berusaha semuanya

garis. Jika kita memperhatikan defi-

gai berikut:

nisi Euclides yang pertama: “Titik

Aksioma 1 : Benda-benda yang

adalah

yang

tidak

mempunyai

sama dengan suatu

bagian, maka perlu didefinisikan

benda yang sama, satu

apa yang dimaksud dengan bagian.

sama lain juga sama. Aksioma 2 : Jika sesuatu yang sama ditambah dengan

Dalam definisinya yang kedua: Garis adalah panjang tanpa lebar, maka perlu didefinisikan pula apa


yang dimaksud dengan panjang, apa pula yang dimaksud dengan lebar. Demikian juga dalam beberapa definisinya

yang

lain.

Tampak,

Usaha-usaha ini tidak ada yang berhasil dan tampak keunggulan Euclides, tetapi usaha ini mengakibatkan ditemukannya Geometri lain

bahwa memang harus ada penger-

yang

sekarang

disebut

dengan

tian-pengertian pangkal.

geometri Non-Euclides.

Kelemahan 2 : Postulat yang keli-

Kelemahan 3 :

ma dari Euclides yang terkenal

dalilnya

dengan nama postulat Parallel ter-

pertama

lalu panjang, sehingga merisaukan

berikut. Pada suatu ruas garis dapat

para matematikawan.

dilukis sesuatu segitiga sama sisi.

Terdapat

pada

atau

proporsinya

yang

yang

berbunyi

sebagai

Beberapa matematikawan me-

Misalkan AB ruas garis yang

nganggap, bahwa postulat yang

diketahui. Harus dilukis segitiga

kelima itu bukan postulat dan dapat

sama sisi pada garis AB.

dibuktikan dengan keempat postu-

Lukisan : Dengan titik A sebagai

lat yang lain. Usaha untuk mem-

titik pusat dan jarak AB dapat

buktikan postulat kelima ini ber-

dilukis lingkaran BCD (postulat 3).

langsung

masih

Demikian pula dengan titik B

hidup kira-kira sekitar tahun 1820.

sebagai titik pusat dan jarak BA

Tokoh-tokoh yang berusaha untuk

dapat

membuktikan ini antara lain Proclus

(postulat 3), dari titik C, yaitu titik

dari

(410–485),

potong kedua lingkaran itu dapat

Girolamo Saccheri dari Italia (1607–

ditarik garis-garis lurus CA dan CB.

sejak

Euclides

Aleksadria

dilukis

lingkaran

ACCE

1733), Karl Friedrich gauss dari Jerman

(1777–1855),

Wolf-gang

Bolyai

(1802–1860)

dan

Nicolai

Ivanovitch

juga

Lobachevsky

(1793–1856).


11

potong kedua lingkaran ini masih C

D

A

perlu B

E

menggunakan

pertolongan

prinsip kontinuitas. Perkembangan Geometri Materi Geometri Euclides dikumpulkan dari beberapa sumber,

Bukti :

maka dari geometri Euclides ini

Karena titik A adalah titik pusat

dapat diambil intinya yaitu berupa

lingkatan CDB, maka AC sama

dua geometri yang berbeda dalam

dengan AB (definisi 15). Demikian

dasar logikanya, pengertian pangkal

pula, karena titik B titik pusat

dan aksiomanya. Kedua geometri itu

lingkaran ACE maka BC sama

adalah Geometri Affine dan Geo-

dengan BA (definisi 15). Tetapi CA

metri Absolut atau Geometri Netral.

juga terbukti sama dengan AB. Dan

Geometri Affine pertama-tama

benda-benda yang sama dengan

diperkenalkan oleh Leon hard Euler

yang sama, satu sama lain sama

dari Jerman (1707 – 1793). Dalam

(aksioma 1). Jadi juga CA sama

Geometri Affine garis sejajar tung-

dengan CB. Demikian juga ketiga

gal, sesuai dengan postulat Playfair,

garis CA, AB dan BC satu sama lain

memegang peranan yang sangat

sama. Maka segitiga ABC sama sisi

penting. Karena dalam Geometri

dan ini terlukis pada ruas garis AB.

Affine ini lingkaran tidak pernah

Kelemahan dari dalil ini ada-

diukur, maka dapat dikatakan bahwa

lah, bahwa Euclides menganggap

Geometri Affine mempunyai dasar

begitu saja bahwa kedua lingkaran

postulat 1, 2 dan 5 dari postulat

itu berpotongan, tanpa mengguna-

Euclides. Postulat 3 dan 4 tidak

kan atau mendasarkan pada suatu

berarti sama sekali.

postulat. Untuk memperoleh titik

Geometri Absolut pertama kali diperkenalkan oleh Y. Bolyai (1802


– 1860). Geometri Absolut ini

sebagai relasi yang tidak didefini-

didasarkan pada postulat 1, 2, 3, dan

sikan. Pengertian ini dipergunakan

4 dari Euclides dan me-lepaskan

untuk mendefinisikan ruas garis

postulat yang ke 5 dari Euclides.

sebagai himpunan titik-titik antara

Jika Geometri

kita

perhatikan,

Affine

dan

maka

Geometri

dua titik yang diketahui. Kemudian ruas

garis

dapat

diperpanjang

Absolut mempunyai dasar perseku-

menja-di garis tak berhingga. Jika B

tuan dua postulat pertama dari

terle-tak antara A dan C, dapat

Euclides. Ada pula inti dari teore-

dikatakan bahwa A, B dan C

ma-teorema yang berlaku untuk

terletak berurutan pada garis itu.

Geometri

Geometri yang menjadi dasar

Absolut mempunyai dasar perse-

dari Geometri Affine dan Geometri

kutuan dua postulat pertama dari

Absolut

Euclides. Ada pula inti dari teore-

“Ordered”

ma-teorema yang berlaku untuk

karena

Geometri

Geometri

peranan penting. Geometri Terurut

Absolut, yaitu pengertian keantaraan

ini berdasarkan pada dua postulat

(“intermediacy”). Pengertian kean-

yang pertama dari Euclides, tetapi

taraan ini terkandung dalam definisi

penyajiannya lebih teliti.

Geometri

keempat

Affine

Affine

dari

dan

dan

Euclides.

Definsi

ini

disebut

Geometri

(Geometri

Terurut),

urutan-urutan

memegang

Memperhatikan hal-hal di atas,

keempat dari Euclides itu adalah:

maka Geometri Affine dan Geome-

Suatu garis lurus (ruas garis) adalah

tri Absolut termuat dalam Geometri

terletak rata dengan titik-titik pada-

Teurut, sedangkan Geometri Eucli-

nya, atau Suatu garis lurus (ruas

des termuat dalam Geometri Affine

garis) adalah yang terletak rata

dan Geometri Absolut.

antara ujung-ujungnya.

Seperti telah ditulis di depan,

Pengertian ini memberikan kemung-

bahwa Geometri Non – Euclides

kinan untuk memandang keantaraan

timbul karena para matematikawan

sebagai pengertian pangkal yaitu

berusaha untuk membuktikan pos-


13

tulat kelima dari Euclides. Geome-

kan

definisi

Geometri

tri Euclides sebenarnya masih ber-

berikut. Suatu Geometri didefini-

dasarkan empat postulat pertama

sikan oleh suatu group dari trans-

dari Euclides dan hanya berbeda

formasi-transformasi, jika definisi

pada postulat kelimanya. Dengan

dan

demikian Geometri Non – Euclides

untuk sifat-sifat dari bangunan itu

termuat dalam Geometri Absolut.

“invariant” (tidak berubah) oleh

dalil-dalilnya

sebagai

yang berlaku

Geometri Non – Euclides ada 2

transformasi-transformasi dari G,

macam. Yang pertama adalah yang

tetapi tidak “invariant” oleh trans-

ditemukan dalam waktu yang ham-

formasi dari group lain yang mana

pir bersamaan oleh 3 tokoh berlain-

saja yang memuat G.

an dan masing-masing bekerja sen-

Kita telah mengenal berma-

diri. Tokoh-tokoh itu adalah Karl

cam-macam transformasi antara lain

Friedrich Gauss dari Jerman, Yonos

translasi, rotasi, refleksi, refleksi

Bolyai dari Hongaria dan Nicolai

geser, identitas dan dilatasi. Semua

Ivanovitch Lobachevsky dari Rusia.

transformasi itu adalah anggota dari

Geometri ini disebut Geo-metri

group

transformasi-transformasi

hiperbolik atau terkenal juga dengan

lainnya,

misalnya

nama Geometri Loba-chevsky.

affine, transformasi proyektif dan

Geometri Non – Euclides yang

sebagainya, yang bukan anggota

kedua adalah Geometri yang dite-

group

mukan

Euclides.

oleh

G.F.B.

Bernhard

Riemann (1826 – 1866) dari Jer-

transformasi

transformasi

Geometri

Menurut pandangan Felix Klein

man. Geometri yang ditemukan oleh

tentang

Riemann

digambarkan ikhtisar sebagai beri-

ini

disebut

Geometri

Elliptik atau Geometri Riemann. Felix Klien (1849 – 1925) dari

Geometri,

maka

dapat

kut: Transformasi Geometri Euclides

termuat

dalam

Geometri

group

Jerman mempunyai pendapat yang

transformasi

Affine.

lain tentang Geometri. Ia memberi-

Demikian juga group transformasi


Geometri Affine, group transforma-

Penutup

si Geometri Hiperbolik dan group

Geometri dapat dipandang seba-

transformasi Geometri Affine, group

gai suatu sistem deduktif maka geo-

transformasi

Elliptik

metri dapat juga disebut suatu sains

masing-masing adalah suatu sub

deduktif. Dalam geometri yang ber-

group

transformasi

awalkan pada pengertian pangkal,

Geometri Proyektif dan yang tera-

definisi dan postulat-postulat maka

khir ini adalah suatu sub group dari

dapat diturunkan secara logis teore-

group transformasi Topologi.

ma-teorema dan seterusnya. Penger-

dari

Geometri group

Topologi adalah cabang Geome-

tian pangkal, definisi dan postulat-

tri yang paling umum, tetapi yang

postulat itu menentukan macamnya

termuda, yang sekarang masih terus

geometri.

berkembang. Topologi lahir pada

Geometri Euclides mempunyai

tahun 1895, tokoh-tokohnya antara

banyak kelemahan, sehingga seka-

lain Leonhard Euler (1707–1893),

rang Geometri Euclides tidak dipan-

dari Jerman, Henri Poincare (1854–

dang lagi sebagai suatu sistem de-

1912) dari Perancis dan George

duktif yang baik. Walaupun demi-

Cantor (1845 – 1918) dari Jerman.

kian Geometri Euclides tetap meru-

Beberapa orang tokoh dari Geo-

pakan suatu karya besar, dan telah

metri Proyektif antara lain Arthur

bertahan selama 2000 tahun. Tanpa

Cayley (1821–1895) dari Inggris,

adanya Geometri Euclides mungkin

Jean Victor Poncelet (1788–1867)

juga tidak akan timbul geometri-

dari Perancis dan K.G. Christian

geometri yang lain.

Von Christian Staudt (1798–1867)

Geometri adalah suatu ilmu

dari Jerman. Dapat dikatakan bahwa

yang berkembang, jika semula ha-

Geometri Proyektif mulai diakui se-

nya dikenal Geometri Euclides saja,

bagai sistem formal yang berdiri

maka dalam abad 20 ini sudah

pada tahun 1859.

dikenal macam-macam geometri.


15

Daftar Pustaka Coxecter, H.S.M. 1967. Introduction to Geometry. New York: John Wiley and Sons, Inc. Meserve, Bruce E. 1959. Fundamental Concepts of Geometry. Massachusets: AddisonWeley Publishing Company, Inc. Moeharti, Hw. 1986. Sistem-Sistem Geometri. Jakarta: Penerbit Karunika Prenowitz, Walter: Jordan, Meyer. 1965. Basic Concepts of Geometry. London: Blais-dell Publishing Company. Rawuh, 1988. Geometri. Jakarta: Penerbit Karunika


DASAR-DASAR GEOMETRI Suatu Pengantar Mempelajari Sistem-sistem Geometri

Recommend Documents