TRANSFORMASI GEOMETRI

TRANSFORMASI GEOMETRI A. TRANSLASI Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

 Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai

  2    2   Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis

  2   1 

sebagai 

 Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. Dengan translasi

  2   , diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik N ’(a 2 

2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut  2   2   

N a, b    N ' a  2, b  2 a

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan T1    maka b diperoleh bayangannya P ' x  a, y  b . Secara matematis, ditulis sebagai berikut. a T1   b

Px, y    P ' x  a, y  b  c

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan T2    d  c T2   d 

P x  a, y  b   P '' x  a  c, y  b  d  Perhatikan bahwa P '' x  a  c, y  b  d   P '' x  a  c , y  b  d  Ini berarti P '' x  a  c, y  b  d  diperoleh dengan mentranslasikan Px, y  dengan a c  Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis T   b  d  sebagai T1  T2 Didapat,

'

a

a c

c

 Oleh karena T1    dan T2    maka T1  T2   b b  d  d  Akibatnya, titik Px, y  ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan bayangan P '' sebagai berikut  a c   T1 T2   bd 

Px, y   P '' x  a  c, y  b  d  Sifat: 

Dua buah translasi berturut-turut

a c   diteruskan dengan   dapat digantikan d  b

a c  b  d 

dengan translasi tunggal  

Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

Contoh:

 p

1. Translasi T1    memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6) q a. Tentukan translasi tersebut ! b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C( 5, 6) oleh translasi tersebut. c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan

  1 T2    Tentukan bayangannya!   1 d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c? Jawaban  p T1   q

a. A1,2  A' 1  p, 2  q   A1 4,6 Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3 2+q = 6 sehingga q = 4

 3

Jadi translasi tersebut adalah T1     4

 3

b. translasi T1    artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4  4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C' dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut  3 T1    4

A1,2  A' 1  3,2  4  A' 4,6  3 T1    4

B3,4  B' 3  3,4  4  B' 6,8  3 T1    4

C  5,6  C '  5  3,6  4  C '  2,10 Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan C'(2,10)  1  T2    1 

c. A' 4,6  A' ' 4   1,6   1  A' ' 3,5  1  T2    1 

A' 6,8  A' ' 6   1,8   1  B' ' 5,7   1  T2    1 

A' 4,6  A' '  2   1,10   1  A' '  3,9 Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5), B''(5,7) dan C''(-3,9)

 3   1 

 2

    d. translasi titik T1  T2    4   1  3   2    3

A1,2  A' 1  2,2  3  A' 3,5  2    3

B3,4  B' 3  2,4  3  B' 5,7   2    3

C  5,6  C '  5  2,6  3  C '  3,9 Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan C'(3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d.

  5

 ! 2. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan T    2  Jawab Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 sehingga diperoleh (a3)2 + (b+1)2 = 4 Translasikan

titik

P

dengan

  5 T     2 

sehingga

diperoleh

 5   2   

Pa, b    P' ' a  5, b  2 Jadi titik P'(a-5, b+2) Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a' 5. b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' - 2. Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan Diperoleh (a' 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4 (a' 2)2 + (b' - 1)2 = 4 Jadi bayangan dari (a' + 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4 jika ditranslasikan

  5

 adalah (a' + 2)2 + (b' - 1)2 = 4 dengan T    2  B. REFLEKSI Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan.

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa: • Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’ • Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B. • Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku. Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi. Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri

Refleksi Rumus Matriks sb . x Refleksi Ax, y   A' x, y   x'   1 0  x        terhadap y '   0  1 y   sumbu-x .y Refleksi Ax, y  sb   A'  x, y   x'    1 0  x        terhadap y '   0 1  y   sumbu-y yx Refleksi Ax, y    A'  y, x   x'   0 1  x        terhadap y '   1 0  y   garis y=x y  x Refleksi Ax, y    A'  y, x   x'   0  1 x        terhadap y '    1 0  y   garis y=-x k Refleksi Ax, y  x  A' 2k  x, y  terhadap garis x=k y k Refleksi Ax, y    A' x,2k  y  terhadap garis y=k p ,q  Refleksi Ax, y    A' x' , y'  x' p   cos 180  sin 180  x  p       terhadap titik Sama dengan rotasi pusat (p,q)  y '  q sin 180  cos 180  y  q      (p,q) sejauh 180˚ 0, 0  Refleksi Ax, y    A'  x, y   x'    1 0  x        terhadap titik y '   0  1 y   pusat (0,0) y  mx Refleksi Ax, y    A' x' , y '  x'   cos 2 sin 2  x      terhadap dengan x'  x cos 2  y sin 2  y '   sin 2  cos 2  y  garis y '  x sin 2  y cos 2 y=mx,m=tan α y xk Refleksi Ax, y    A' x' , y '  x'   0 1  x   0         terhadap y '   1 0  y  k   k  dengan x'  y  k  garis y=x+k

y'  x  k

Refleksi terhadap garis y=-x+k

y  x k Ax, y     A' x' , y '

dengan x'   y  k

 x'   0  1 x   0            y '    1 0  y  k   k 

y'   x  k

SIFAT-SIFAT a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah. b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:  Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.  Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip. c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif. d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:  Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.  Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.  Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

C. ROTASI Rotasi Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α

Rumus

Matriks

Ax, y   A' x' , y ' R 0 , 

 x'   cos       y '   sin 

dengan x'  x cos   y sin 

 sin   x    cos   y 

y '  x sin   y cos 

 P ,  Ax, y  R  A' x' , y '

 x'   cos   sin   x  a   a       dengan x'a  x  a  cos    y  b sin   y'   sin  cos   y  b   b  y 'b  x  a sin    y  b  cos 

Keterangan α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam α - : arah putaran searah putaran jarum jam SIFAT-SIFAT Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan: Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri. D. DILATASI Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k. • Jika k > 1 atau k < -1, maka hasil dilatasinya diperbesar • Jika -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil • Jika k =  1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan Dilatasi Rumus Matriks  0 , k  Dilatasi dengan pusat (0,0) Ax, y    A' kx, ky  x'   k 0  x        dan faktor dilatasi k Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

Ax, y    A' x' , y ' P , k 

dengan x'a  k x  a  y 'b  k  y  b 

 y '   0 k  y   x'   k 0  x  a   a            y '   0 k  y  b   b 

E. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MARIKS Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri Transformasi Rumus Matriks 1 Identitas Ax, y    A' x, y   x'   1 Translasi Refleksi terhadap sumbu-x Refleksi terhadap sumbu-y

 p   q

Ax, y   A' x  p, y  q  .x Ax, y  sb   A' x, y 

.y Ax, y  sb   A'  x, y 

0  x         y '   0 1  y   x'   x   p           y'   y   q   x'   1 0  x         y '   0  1 y   x'    1 0  x         y '   0 1  y 

Refleksi terhadap y=x Refleksi terhadap y=-x Refleksi terhadap x=k Refleksi terhadap y=k Refleksi terhadap (p,q)

garis

garis

garis

garis

Refleksi terhadap y=-x+k

y  x Ax, y    A'  y, x 

garis

 x'   0 1  x         y '   1 0  y   x'   0  1 x         y '    1 0  y 

k Ax, y  x  A' 2k  x, y 

y k Ax, y    A' x,2k  y 

p ,q  Ax, y    A' x' , y'

 x' p   cos 180  sin 180  x  p         y 'q   sin 180 cos 180  y  q 

0, 0  Ax, y    A'  x, y 

 x'    1 0  x         y '   0  1 y 

y  mx Ax, y    A' x' , y '

 x'   cos 2      y '   sin 2

titik Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚

Refleksi terhadap titik pusat (0,0) Refleksi terhadap garis y=mx,m=tan α Refleksi terhadap y=x+k

yx Ax, y    A'  y, x 

dengan x'  x cos 2  y sin 2

sin 2  x     cos 2  y 

y '  x sin 2  y cos 2

y xk Ax, y    A' x' , y '

dengan x'  y  k

 x'   0 1  x   0            y '   1 0  y  k   k 

y'  x  k

garis

Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α

Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

y  x k Ax, y     A' x' , y '

dengan x'   y  k

 x'   0  1 x   0            y '    1 0  y  k   k 

y'   x  k

0,  Ax, y  R  A' x' , y '

dengan x'  x cos   y sin 

 x'   cos       y '   sin 

 sin   x    cos   y 

y '  x sin   y cos 

 P ,  Ax, y  R  A' x' , y '

x'a  x  a  cos    y  b sin 

y 'b  x  a sin    y  b  cos 

0, k  Ax, y    A' kx, ky

P ,k  Ax, y    A' x' , y '

dengan x'a  k x  a  y 'b  k  y  b 

 x'   cos   sin   x  a   a            y'   sin  cos   y  b   b 

 x'   k 0  x         y '   0 k  y   x'   k 0  x  a   a            y '   0 k  y  b   b 

Komposisi transformasi 1. komposisi dua translasi berurutan Diketahui dua translasi

2.

a c T1    dan T2    . Jika translasi T1 dilanjutkan translasi T2 b d 

maka dinotasikan ” T1  T2 ” dan translasi tunggalnya adalah T=T1+T2=T2+T1(sifat komutatif). komposisi dua refleksi berurutan a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b. Maka bayangan akhir A adalah A' x' , y' yaitu: x'=2(b-a)+x

b.

c.

y'=y Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkan terhadap garis y=b. Maka bayangan akhir A adalah A' x' , y' yaitu: x'=x y'=2(b-a)+y refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah A' x' , y' sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut putar 180˚ refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan Jika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah A' x' , y' dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar 2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h.

tan   Catatan

m k  ml 1  m k  ml

ml  gradien garis l mk  gradien garis k

d.

3.

4.

sifat komposisi refleksi Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus). rotasi berurutan yang sepusat a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi R(P(a,b),α+β) b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1 komposisi transformasi Diketahui transformasi

5.

a b   p q  dan T2    maka transformasi tunggal dari T1   c d   r s

transformasi: a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦ T1) adalah T=T2 . T1 b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦ T2) adalah T=T1 . T2 Catatan T1 . T2 = T2 . T1 bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x dilanjutkan translasi

 3   !  2

Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5 P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x) P'(y,x) ditranslasi

 3   . Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')  2

Jadi

x'' = y +3 → y = x''-3 y'' = x +2 → x = y'' -2 persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5 -4y'' + 8 + x'' – 3 = 5 x'' - 4y''= 0 jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0 6.

luas bangun hasil tranformasi Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka: a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan rotasi. b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas bangun mula2 mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun bayangannya adalah L'=k +L

SOAL TRANSFORMASI GEOMETRI (1) Transformasi geometri yang akan kita pelajari ada 4 Yaitu 1. Translasi ( pergeseran ) 2. Dilatasi ( perbesaran ) 3. Refleksi ( pencerminan) 4. Rotasi ( perputaran ) 1. TRANSLASI Notasi : P (x,y )  P ( x,y ) x = x + h y = y + k Bila dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi :

 x1   x  h   1  =   y  y  k     1  x   x  h  1  =      y     y  k   matriks translasi koordinat titik asal koordinat bayangan / peta

3. Diketahui sebuah garis x + 3y = 6 Tentukan bayangannya jika garis itu ditranslasikan oleh T =

 3    4 Jawab :

4. Diket sebuah garis 3x – 2y = 6 Tentukan bayangannya jika garis itu ditranslasikan oleh T =

  2    1  Jawab :

Contoh 1. Sebuah titik A( 3,5 ) ditranslasikan menjadi titik

A dengan translasi T =

 2      3

Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

5.Sebuah lingkaran ( x – 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 9 ditranslasikan oleh T =

2. Sebuah titik A( -3,15 ) ditranslasikan menjadi titik A dengan _aying translasi T =

  2    3 

Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

bayangannya . Jawab :

 3   Tentukan  1

KOMPOSISI 2 TRANSLASI Jika T1 adalah translasi 1 dan T2 adalah translasi 2 Maka jika titik A (x,y) ditranslasikan oleh T1 = oleh T2 =

a   dan dilan jutkan b

c   maka bayangannya adalah d  T2

A (x,y )

 x`   ` y   

=

P (3,- 2)

● T1

A ( x,y )

c a   +   d  b

 x`   ` y   

T2

=

● T1

P ( x,y )

5 3   +    3  1

x` = 5 + 3 = 8 Y‘=3-1=2 P’( 8 , 2 ) Persamaan lingkaran : x 2 + y 2 + 2x - 6y + 4 = 0 Bayangannya : ( x – 8 ) 2 + ( y – 2 ) 2 = 32 x 2 + y 2 – 16x - 4y + 59 = 0 Kerjakan seperti contoh di atas 1.Sebuah lingkaran x 2 + y 2 – 6x + 4y - 3 = 0

x` = a + c Y` = b + d

ditranslasikan oleh T1 =

Contoh Sebuah titik A( -3,15 ) ditranslasikan menjadi titik A dengan translasi T1 =

  2  3   dilanjutkan T2 =    3   1

 2    dilanjutkan T2 =   3

1   2  Tentukan bayangannya .   Jawab :

Tentukan koordinat bayangannya Jawab : T2 ● T1 A (x,y ) A ( x,y )

 x`   ` y   

=

 3   2   +    1  3 

x` = 3 + (-2) = 1 Y ‘ = -1 + 3 = 2 Jadi A’ ( 1,2 )

2. Sebuah lingkaran x 2 + y 2 – 6 + 4y + 4 = 0

3  dilanjutkan ditranslasikan oleh T1 =  1   5   T2 =   3  Tentukan bayangannya .   Jawab : x 2 + y

2

–6

x

+ 4 y + 4=0

: - 2 : -2  Pusat ( 3 ,



Jari –jari r =

-2)



  ; -1

32  (2) 2  4

= 3 Untuk mencari bayangan lingkaran kita translasikan Pusat lingkarannya sbb :

2. Diket sebuah garis 4x –3y = 12 Tentukan bayangannya jika garis itu ditranslasikan oleh T1 =

  2    1 

dilanjutkan T2 = Jawab :

 3      2

Dilatasi Dilatasi dengan pusat O (0,0)

O(0,0),

Dilatasi dengan pusat P (a,b)

P(a, b),

k

P (x,y )

A (x,y ) P ( x,y )

x = k x y = k y k adalah faktor skala O(0,0) adalah pusat dilatasi Contoh : 1. Sebuah titik A( 3,5 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala 7. Tentukan koordinat bayangannya

Jawab :

O(0,0),

7

A (3,5 )

A ( x,y ) x = 7. 3 = 21 y = 7. 5 = 35

jadi A( 21,35) 2. Sebuah titik A( -3,2 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala 2. Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

3. Sebuah titik A( -4,6 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala -2. Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

4. Sebuah titik A( 6,-6 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala bayangannya Jawab :

k

1 . Tentukan koordinat 2

A ( x,y ) x - a = k ( x – a ) y - b = k ( y – b )

5. Sebuah titik A( 1,-3 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi P(2,3) dan faktor skala 4 Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

P(2,3),

4

A (1, -3)

A ( x,y )

x - 2 = 4(1 – 2 ) = -4 + 2 x = -2 y - (-3) = 4 (-3 – 3 ) y= - 24 – 3 = 27 jadi A(- 2,27) 6. Sebuah titik A( 2,-3 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi P(4,-1) dan faktor skala -3 Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

7. Sebuah titik A( 4,-3 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi P(-3,2) dan faktor skala Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

1 2

8. Sebuah titik A( 2,-3 ) dan B( -3.2) didilatasikan menjadi titik Adan B dengan pusat dilatasi P(3,1) dan faktor skala 5 Tentukan panjang hasil transformasi . Jawab :

10. Garis x + 5y – 3 = 0 dirotasikan dengan pusat O bersudut  , dilanjutkan refleksi terhadap sumbu x Tentukan persamaan bayangan garis tersebut Jawab :

9. Diketahui M1 adalah refleksi terhadap garis x = 5, D1 adalah dilatasi dengan pusat P(2,3) dan factor skala 6. Tentukan bayangan titk A( 2,-4) oleh M1 dilanjutkan D1 gambarkan Jawab :

11. Diketahui lingkaran ( x – 1 )2 + ( y + 2 )2 = 4 Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = - x dilanjutkan didilatasikan dgn faktor skala 3 dan dan pudat (2,3 ) gambarkan Jawab :

4 REFLEKSI ( PENCERMINAN ) A. Terhadap garis x = h Notasi M x = h P (x,y )

Mx

= h

B. Terhadap garis y = k Notasi M y = k M P (x,y ) P ( x, y )

x = x + 2( h – x ) = 2h - x y = y 6. Sebuah titik A( 3,8 ) dicerminkan terhadap garis x=5 Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

y = k

x = x y = y + 2( k – y ) = 2k – y

P ( x, y )

9. Sebuah titik A( -2,7 ) dicerminkan terhadap garis y = -5 Tentukan koordinat bayangannya Jawab : 7. Sebuah titik A( 3,- 4 ) dicerminkan terhadap garis x=-5 Tentukan koordinat bayangannya Jawab

10. Sebuah titik A( 3, 4 ) dicerminkan terhadap garis x = - 5 dilanjutkan dicerminkan terhadap grs y = 2 Tentukan koordinat bayangannya Jawab 8. Diket sebuah garis 3x - 2y = 6 Tentukan bayangan nya jika garis itu dicerminkan terhadap garis x = 5 Jawab :

11.Diket sebuah garis -3x + 2y = 6 Tentukan bayangan nya jika garis itu dicerminkan terhadap garis y = 5 Jawab :

Pencerminan terhadap 2 sumbu yang sejajar A. Pencerminan terhadap 2 sumbu yg sejajar dng sb y Mx=k Mx=h P ( x,y ) Mx=k Mx=h P`( x` , y` ) Artinya pencerminan terhadap garis x = h dilanjutkan terhadap garis x = k , yang dikerjakan dulu ditulis dibelakang. Rumus : Mx=k Mx=h P ( x,y ) P`( x` , y` ) X`=x +2(k–h) Y`=y

B. Pencerminan terhadap 2 sumbu yg sejajar dng sb x My=k My=h P ( x,y ) My=k My=h P`( x` , y` ) Artinya pencerminan terhadap garis y = h dilanjutkan terhadap garis y = k , yang dikerjakan dulu ditulis dibelakang. Rumus : My=k My=h P ( x,y ) P`( x` , y` ) x`=x y`=y+2(k–h) 4. Diketahui titik P( 2, - 4 )

1. Diketahui titik P(3,6 ) Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis x = 5 dilanjutkan terhadap garis x = 8 Jawab : Mx=8 Mx=5 P ( 3,6 ) P`( x`, y`) X`=x +2(8–5) = 3 + 2.3 =9 Y`=6 Jadi koordinat P` ( 9,6 )

Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = 2 dilanjutkan terhadap garis y=5 Jawab : My=5 My=2 P ( 2,-4 ) P`( x` , y`) X`=x =2 Y`=y +2(5–2) = - 4 + 2.3 =2 Jadi koordinat P` ( 2,2 )

2. Diketahui titik P(3,- 4 ) Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis x = 2 dilanjutkan terhadap garis x=7 Jawab :

5. Diketahui titik P( -1, 5 ) Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = 3 dilanjutkan terhadap garis y=8 Jawab :

3. Diketahui garis x + y = 3 Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis x = 2 dilanjutkan terhadap garis x = 7 Jawab :

6. Diketahui garis 2 x + y = 6 Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = 1 dilanjutkan terhadap garis y=3 Jawab :

Pencerminan dengan matriks Transformasi Matriks Transformasi Matriks

1 0     0 1  1 0  =   0 1

Mx = My

M x=h =

 2h  x     y 

0 1   1 0  0  1  My= -x =   1 0   x   M y=k =   2k  y  My= x =

9. Diketahui titik P( -3, 5 ) Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan terhadap garis x = 3 dan gambarkan Jawab :

7. Diketahui segitiga ABC dengan A( -4,6 ) B ( -2,-5 ) dan C( 8,5 )dicerminkan terhadap grs y = x Tentukan bayangannya dan gambarkan Jawab :

8. Diketahui titik P( 2, - 5 ) Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = - x dilanjutkan terhadap garis y = 3 dan gambarkan Jawab :

1. ROTASI R ( O,  ) Notasi : P (x,y )

P ( x,y )

10. Diketahui lingkaran ( x – 1 )2 + ( y + 2 )2 = 4 Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = - x dilanjutkan terhadap garis y = 2 dan gambarkan Jawab :

3. Diketahui sebuah garis x + 3y = 6 Tentukan bayangannya jika garis itu dirotasikan dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi 900 Jawab :

Sudut/besar/arah rotasi Rotasi Pusat rotasi

 x 1   cos   1  =  y     sin 

 sin    x    cos    y 

1. Sebuah titik A( 3,5 ) dirotasikan menjadi titik A dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi 300 Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

4. Diketahui sebuah garis x + 4y = 8 Tentukan bayangannya jika garis itu dirotasikan dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi 1800 Jawab :

2. Sebuah segitiga ABC dengan A( 6,0 ) , B(3,4) dan C(2,5) dirotasikan menjadi titik ABC dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi 600 Tentukan koordinat bayangannya dan gambarkan Jawab :

. 8. Diket sebuah garis 3x - 2y = 6 Tentukan bayangannya jika garis itu dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi 900 dilanjutkan dicerminkan terhadap garis y = x dan gambarkan. Jawab :

Rotasi dengan pusat P(a,b) dengan arah  R ( P(a,b),  ) Notasi : P (x,y ) P ( x,y ) Pusat rotasi P(a,b)

 x 1   cos   1  =  y     sin 

 sin    x  a    cos    y  b 

9. Sebuah titik A( 3,5 ) dirotasikan menjadi titik A dengan pusat rotasi P(1,2) dan arah rotasi 450 Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

5. Sebuah lingkaran ( x – 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 9 Tentukan bayangannya jika lingkaran itu dirotasikan dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi 2700 Jawab :

10. Sebuah titik A( -3,5 ) dirotasikan menjadi titik A dengan pusat rotasi P( 2 , 4 ) dan arah rotasi 600 Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

11. Diketahui sebuah garis 3x + y = 6 Tentukan bayang annya jika garis itu dirotasikan dengan pusat rotasi P( 1,-2 ) dan arah rotasi 900 Jawab :