TUGAS MATA KULIAH GEOMETRI TRANSFORMASI
Dosen Pengampu HERDIAN, S.Pd., M.Pd.
Disusun Oleh : Kelompok 3 Nama :
NPM :
1. Ahmad Muslim
08030007
2. Ivo ayu Septiana
08030159
3. Elsa Fitriana
08030200
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) MUHAMMADIYAH PRINGSEWU LAMPUNG 2010
ISOMETRI Definisi : Isometri adalah suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan), Translasi (pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis) Suatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut : a. Memetakan garis menjadi garis b. Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis c. Mempertahankan kesejajaran dua garis Bukti : a. Memetakan garis menjadi garis Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa T(g)=h adalah suatu garis juga.
B
B’
A A’ g
Ambil A Misalnya h’
h
g dan B
g. maka A’=T(A)
h, B’=T(B)
h melalui A’ dan B’ ada satu garis.
Untuk ini akan dibuktikan h’
Bukti h’
h dan h
h’
h
Ambil X’
h’. oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides, maka kita andaikan (A’ X’ B’),
artinya A’ X’ + X’ B’= A’ B’. oleh karena T suatu isometric. Jadi suatu transformasi maka ada X sehingga T (X) = X’ dan oleh karena T suatu isometric maka AX=A’X’ ; begitu pula XB=X’B’. jadi pula AX+BX=AB
Ini berarti bahwa A, X, B segaris pada g Ini berarti lagi bahwa X’=T(X) Sehingga h’
Bukti h
h.
h sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X’ dengan (X’ A’ B’) atau (A’ B’ X’)
h’
Ada lagi Y’
h
Maka ada Y
g sehingga T(Y)=Y’ dengan Y misalnya (A Y B), artinya Y
g dan AY+YB =
AB. Oleh karena T sebuah isometric maka A’Y’= AY, Y’B’= AB. Sehingga A’Y’+Y’B’ = A’B’. Ini berarti bahwa A’, Y’, B’ segaris, yaitu garis yang melalui A’ dan B’. Oleh karena h’ satu-satunya garis yang melalui A’ dan B’ maka Y’ Jadi haruslah Bukti h
h’.
h’
Bukti serupa berlaku untuk keadan (Y A B) atau (A B Y) sehingga h= h’. jadi kalau g sebuah garis maka h = T(g) adalah sebuah garis.
b. Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis Ambil sebuah
ABC
A
A’
B
B’ C
C’
Andaikan A’= T(A), B’=T(B), C’=T(C) Menurut (a), maka A’B’ dan B’C’ adalah garis lurus Oleh karena
ABC = BA
BC maka
A’B’C’ = B’A’
B’C’ sedangkan A’B’ = AB, B’C’
= BC, C’A’ = AC Sehingga
A’B’C’. jadi
ABC =
A’B’C’ =
ABC
Sehingga suatu isometri mempertahankan besarnya sebuah sudut.
c. Mempertahankan Kesejajaran
a
b
a’
b’
Kita harus memperlihatkan bahwa a’ ⁄⁄ b’ Andaikan a’ memotong b’ disebuah titik P’ jadi P’
a’ dan P’
transformasi maka ada P sehingga T(P) = P’ dengan P
a dan P
b’. oleh karena T sebuah b.
Ini berarti bahwa a memotong b di P ; jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a ⁄⁄ b Maka Pengandaian bahwa a’ memotong b’ SALAH Jadi haruslah a’ ⁄⁄ b’
Gambar 1 A1 C1
B1 C
B
Gambar 2
A
B2 B
C
C2
A2 A
O
Isometri Langsung dan Isometri Lawan Definisi : Misalkan ( P, Q, R ) adalah ganda tiga titik yang koliniear (tidak segaris). Apabila urutan perputaran P, Q, R sesuai dengan perputaran jarum jam maka P, Q R di sebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila urutan perputaran P, Q, R berlawanan dengan arah perputaran jarum jam maka P, Q, R memilki orientasi positif
Definisi : Suatu Transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi itu mempertahankan orientasi. Sedangakan Transformasi T disebut transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu mengubah arah orientasi
Definisi : Misalkan T suatu transformasi. T disebut mempertahankan orientasi apabila untuk setiap ganda tiga titik A, B, C yang kolinear orientasinya sama dengan orientasi dari petanya. Sedangkan lainnya disebut mengubah orientasi
Sifat yang penting dalam geometri transformasi ialah : Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometri lawan Akan tetapi tidak setiap isometri adalah isometri lawan, ini dapat dilihat pada gambar di atas yaitu rotasi (perputaran) adalah isometri langsung Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sedbuah isometri lawan.
Contoh Soal : 1. Diketahui garis g = {(x, y)}| y = -x}dan garis h = {(x, y)| y = 2x – 3}. Apabila Mg adalah refleksi pada garis g. Tentukanlah persamaan garis h’ = Mg(h) Penyelesaian: Oleh karena Mg sebuah refleksi pada g jadi suatu isometric, maka menurut sifat isometric h’ adalah sebuah garis. Garis h’ akan melalui titik potong antara h dan g. Persamaan y = 2x – 3 Misalkan, y = 0
x=0
y = 2x -3
y = 2x – 3
0 = 2x – 3
y = 2(0) – 3
-2x = -3
y = -3(0, -3)
Kemudian direfleksikan menjadi (0,
Rumus persamaan garis:
) dan (3, 0)
maka ruas di kali 2
Dengan demikian persamaan h’ adalah : h’={(x,y)|x-2y-3 = 0}. 2. Q”
Q’
Q
R” P’
P
P”
R
R’
Pada gambar di atas ada tiga titik yang tak segaris, yaitu P, Q, R memiliki urutan keliling P→Q→R. T dan S adalah isometri-isometri dengan P’ = T(P), Q’ = T(Q), R’ = T(R), sedangkan P” = S(P), Q” = S(Q), R” = S(R). Termasuk golongan manakah T dan S itu ?
Penyelesaian : (T)
P
Q
Q’
P’
(S) Q”
Q
R” P P” R
O
Jadi : Untuk T merupakan isometri lawan dan S merupakan isometri langsung
DAFTAR PUSTAKA
Rawuh, 1993. Geometri Transformasi. Bandung : Perpustakaan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.
