MAKALAH GEOMETRI TRANSFORMASI “TRANSFORMASI” DOSEN PENGAMPU MATA KULIAH HERDIAN, S.Pd., M.Pd.
DISUSUN OLEH :
1. 2. 3. 4. 5.
NAMA UMI SULISTIYOWATI NURSITI LAILA RATNA LISTIAWATI SRI HENING HAPSARI AHMAD ARWANI
NPM 08 030 089 08 030 092 08 030 099 08 030 100 08 030 259
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) MUHAMMADIYAH PRINGSEWU 2010 1
KATA PENGANTAR Dengan mengucap puji syukur kehadirat Allah SWT,yang telah memberikan berkah dan karunianya,sehingga kami dapat kenyelesaikan makalah ini dengan baik. Makalah ini berisi mengenai transformasi dan jenis-jenis transformasi, perpindahan suatu
titik
pada
bidang
dimensi
dua
atau
datar.transformasi
meliputi
refleksi,rotasi.dilatasi,translasi.pada makalah ini dikhususkan membahas mengenai geometri transformasi pada bidang euclides.
Akhirnya kami menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna,oleh karena itu dengan segala kerendahan hati,kami mohon perkenan para pembaca dan rekan guru untuk memberikan saran atau kritik membangun demi perbaikan makalah ini.untuk itu kami mengucapkan terimakasih.
Pringsewu, September 2010
Kelompok VIII
2
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI
BAB I PENDAHULUAN A. Latar belakang masalah………………………………………………........ 1 B. Tujuan dan pembahasan…………………………………………………... 1
BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Transformasi…………………………………………………. 2 B. Jenis-jenis transformasi………………………………………………….. 3
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan…………………………………………………… 7 DAFTAR PUSTAKA
3
BAB I
A. LATAR BELAKANG
Geometri transformasi merupakan suatu bab yang membahas mengenai perpindahan suatu titik pada bidang dimensi dua atau datar.transformasi meliputi refleksi,rotasi.dilatasi,translasi.pada
makalah
ini
dikhususkan
membahas
mengenai geometri transformasi pada bidang euclides. Oleh karena itu akan mengakibatkan aksioma khususnya axioma euclides. Semoga makalah ini dapat membantu da memperjelas lebih jauh hal-halyang berkaitan sengan geometri transformasi khususnya pada bidang dimensi dua.
B. Tujuan penulisan Makalah ini ditulis untuk : 1. Menyelesaikan tugas mata kuliah geometri transformasi 2. Melatih kerjasama dalam kelompok 3. Mengetahui lebih jelas mengenai jenis transformasi
4
BAB II A. Pengertian Transformasi Transformasi pada bidang V adalah fungsi bijektif (satu-satu dan pada) dari V ke V. Fungsi yang bijektif adalah fungsi yang bersifat : 1. Surjektif ( kodomain harus punya pasangan di domain /kepada) Artinya bahwa pada tiap titik B
V ada prapeta.jadi jika T suatu
transformasi maka ada A V sehingga B=T(A). sedemikian sehingga T (A) =B 2. Injektif ( korespondensi satu-satu ) Artinya jika A1 ≠A2 dan T (A1) =B1 ,T(A2) =B2 maka B1≠B2. Jika A1 A2,T(A1) = B1, T(A2)=B2 maka B1
B2
1. Axioma euclidies Sebuah bidang V kita anggap sebagai bidang euclides,artinya himpunan titik-titik V diberlakukan sistem aksioma euclides.( Axioma euclides yaitu : apabila ada dua garis a dan b dipotong garis ketiga c di titik A a dan titik B
b sehingga jumlah besarnya dua sudut dalam sepihak di A dan di B
kurang dari 180° maka a dan b akan berpotongan pada bidang yang terbagi oleh garis c yang memuat kedua sudut dalam sepihak itu. A
B
C
B. Jenis –jenis transformasi
5
Jenis-jenis transformasi yang dapat dilakukan antara lain : a. Translasi (Pergeseran) b. Refleksi (Pencerminan) c. Rotasi (Perputaran) d. Dilatasi (Perkalian)
Contoh soal 1. Misalkan V bidang Euclid dan A sebuah titik tertentu pada V, ditetapkan relasi T sebagai berikut : i) T(A) = A, jika P = A ii) Jika P V P ≠ A, T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas garis AP . Apakah relasi T merupakan suatu transformasi ? Penyelesaian : Yang harus diteliti relasi T sehubungan dengan suatu transformasi, maka diperoleh persyaratan suatu transformasi yaitu : 1. T suatu fungsi dari V ke V 2. T suatu fungsi bijektif. Sedangkan persyaratan bahwa suatu fungsi bijektif adalah : a. Fungsi tersebut adalah fungsi kepada b. Fungsi tersebut adalah fungsi satu – satu
Jadi, dari uraian tersebut dapat diambil ketentuan bahwa, yang harus dilakukan adalah apakah relasi T yang memenuhi : 1. T fungsi dari V ke V 2. T fungsi bijektif, yakni a. T fungsi kepada b. T fungsi satu – satu jawab 1. T fungsi V ke V Titik P
V, titik A
V ada dua kemungkinan : 1. P = A
6
2. P
A
Untuk P = A T(P) = A atau A = T(P) Untuk P
A
1. AP
V
2. Q titik tengah AP atau AQ = PQ 3. Q
AP dan AP
V maka Q
V
2. T fungsi Bijektif a. T fungsi surjektif (kepada) Misal R
V dan A
V ada dua kemungkinan, yaitu :
I. R = A R = A T (R) = A atau T (A) = R R A II. R R
A A ada M titik tengah AR , maka T(M) = R T(M) = A M
A
R
b. Ambil dua titik sembarang misalnya P dan Q ≠ V sehingga T (P) = T (Q). Dari keadaan ini, maka terdapat kasus yaitu : P = A, Q = A, P ≠ A dan Q≠ A.
Untuk P = A, T(P) = P = A, sedangkan T (P) = T (Q) = A. Jadi Q = A dan P=Q. Untuk Q = A, T(Q) = Q = A . telah diketahui bahwa T(P) = T(Q), maka T (P)= A. Jadi P = A dan P = Q. P=A
Q=A T(P)=T(Q) 7
Untuk P ≠ A, dan Q ≠ A. misalkan T (P) = P’ dan T(Q) = Q’ maka P’ PA dan Q’ = Q karena P’
PA maka PA = AP ’ dan karena Q’
Q maka Q
= AQ ’. Karena T (P) = T(Q) berarti P’ = Q’ dan AP ’ = AQ ’ dengan demikian PA = QA jadi A,P dan Q kolinear. Karena A, P dan Q kolinier dan P’ = Q’ dengan P’ titik tengah AP dan titik tengah AQ maka P = Q. P
Q
P’ =T(P)
Q’ =T(Q) A
Jadi untuk setiap P,Q V, T (P) = T (Q) mendapatkan P = Q maka T dikatakan sebagai fungsi satu – satu, karena T fungsi kepada (surjektif) dan fungsi satu – satu (injektif), maka T merupakan fungsi bijektif dengan demikian dapatlah kita katakanan bahwa T merupakan suatu transformasi.
BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Dari pembahasan pada bab ini dapat diambil kesimpulan bahwa : 1. Suatu fungsi dikatakan
transformasi apabila memenuhi syarat yaitu harus
bersifat bijektif yaitu serjektif dan injektif.
8
2. Untuk menyelesaikan soal sehingga kita bisa tahu bahwa soal tersebut suatu transformasi maka kita harus membuktikan bahwasannya soal tersebut sudah memnuhi syarat yaitu ia harus bijektif. 3. Axioma euclides yaitu : apabila ada dua garis a dan b dipotong garis ketiga c di titik A a dan titik B
b sehingga jumlah besarnya dua sudut dalam sepihak di
A dan di B kurang dari 180° maka a dan b akan berpotongan pada bidang yang terbagi oleh garis c yang memuat kedua sudut dalam sepihak itu.
9
DAFTAR PUSTAKA
1. Rawuh,geometri tarnsformasi 2. http://3.bp.blokspot.com 3. Kodir abdul M.,Drs,M.Sc.MATEMATIKA 9 UNTUK SMA.PT INTERMASAJAKARTA.
10
