MAKALAH GEOMETRI TRANSFORMASI
MATERI
SETENGAH PUTARAN DISUSUN OLEH : Nama
: Listiana Saputri Rini Puji Astuti Ridu Novriansyah Dewi Susiana Suprayitno Arsih
Program Studi
: Pend. Matematika
Dosen Pengampu : Fadli, S.Si,M.Pd.
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
(STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU TAHUN AJARAN 2009/2010
1
SETENGAH PUTARAN
S A (g )
P
S A (P )
A
g Gambar 1
Definisi : Sebuah setengah putaran pada sruatu titik A adalah suatu padanan S A yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut : 1. Apabila P ≠ A maka S A (P ) = P ' , sehingga A titik tengah ruas garis PP ' . 2. S A ( A) = A .
Teorema 7.1 : Andaikan A sebuah titik g dan h dua garis tegak lurus yang berpotongan di A . Maka S A = M g M h . Bukti : Oleh karena g ⊥ h , maka kita dapat membuat sebuah system sumbu orthogonal dengan g sebagai sumbu X dan h sebagai sumbu Y . A dipakai sebagai titik asal ( gambar 2) Y
P '(− x , y ) g g
P ( x, y )
X
A
h 2
Harus dibuktikan bahwa setiap P berlaku S A ( P) = M g M h ( P ) . Andaikan P ( x, y ) ≠ A dan andaikan pula bahwa S A ( P ) = P " ( x, y ) . Oleh karena A titik tengah PP " maka
( y1 + y = 0) atau
x + x y1 + y (0,0) = 1 , , sehingga ( x1 + x = 0 ) dan 2 2
x1 = − x dan y1 = − y . Jadi S A ( P) = P(− x, y ) .
Perhatikan sekarang komposisi pencerminan ( M g M h )( P ) = M g [M h ( P)] = M g [(− x, y )] = (− x,− y ) Jadi kalau P ≠ A maka S A ( P) = M g M h ( P ) Jika P = A maka M g M h ( P ) = S g ( A) = A
Sedangkan S A ( A) = A jadi juga
M g M h ( A) = S A ( A) sehingga untuk setiap P pada bidang
berlaku : M g M h ( A) = S A ( P ) Ini berarti : M g M h = S A . Teorema 7.2 : Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka M g M h = M h M g
Bukti : kalau P = A ( lihat gambar 2 ) maka M g M h ( A) = M g ( A) = A Juga M h M g ( A) = M h ( A) = A , sehingga M g M h ( A) = M h M g ( A) Untuk P ≠ A , maka M g M h = S A . Selanjutnya M h M g ( P) = M h (( x,− y )) = (− x,− y ) = S A ( P) . Jadi M h M g = S A , Sehingga diperoleh M g M h = M h M g Catatan : ini berarti bahwa komposisi pencerminan terhadap dua garis yang tegak lurus adalah
komutatif .
Teorema 7.3 : Jika S A setengah putaran, maka S A
−1
= SA
Bukti : Andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus maka M g M h = S A dengan A titik potong antara g dan h . Jadi
(M
Mh) = Mh Mg −1
g
−1
−1
= SA
3
−1
.
Oleh karena M h
−1
= M h dan
Mg
−1
= M g maka
M g M h = M h M g , oleh karena g ⊥ h . Jadi S A
−1
−1
M h M g = S A . Menurut teorema 7.2
= M gMh = SA
Teorema 7.4 : Jika A = (a, b) dan P = ( x, y ) maka S A ( P ) = (2a − x,2b − y )
LANJUTAN SETENGAH PUTARAN
Dalam Bab III telah kita bicarakan transformasi yang kita sebut refleksi pada sebuah garis g kalau refleksi ini kita namakan M g . Maka seperti anda ingat . definisinya adalah : 1. M g ( A) = A , A ∈ P 2. M g ( P) = P ' , yang bersifat bahwa g adalah sumbu ruas garis PP '
Kalau kita lihat untuk semua titik A ∈ g . A berimpit dengan petanya. Titik demikian dinamakan titik tetap ( invarian ) refleksi pada umumnya . Definisi : A dinamakan titik tetap (invarian) transformasi T. apabila berlaku T ( A) = A .
Jadi sebuah refleksi pada garis g memiliki tak hingga banyaknya titik-titik tetap, yaitu semua titik pada sumbu refleksi g . Pada sebuah setengah putaran di P. S P , maka satu-satunya titik invarian adalah P. sebab S P ( P ) = P dan S x ( X ) = X ' dengan X ∈ P dan P titik tengah ruas garis XX ' .
Telah kita ketahui bahwa apabila adalah setengah putaran dengan A sebagai pusat. Maka S A dapat disajikan sebagai hasil kali dua refleksi. Pada g dan h dengan titk potong A dan g ⊥ h , jadi S A = M g M h .
Oleh karena setiap refleksi suatu isometri, maka S A juga suatu isometri. Anda juga masih ingat bahwa oleh suatu isometri. Setiap garis dipetakan menjadi suatu garis pula
Definisi : Sebuah trasformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakan
kolineasi. Oleh karena refleksi adalah kolineasi maka setengah putaran juga suatu kolineasi. Ini tidak sebab setiap isometri adalah kolineasi. Definisi : Suatu kolineasi ∆ dinamakan suatu dilatasi apabila untuk setiap garis g berlaku sifat
∆(g ) // g .Salah satu contoh adalah setengah putaran. 4
Teorema 7.5 : Andaikan S A suatu setengah putaran dan g sebuah garis. Apabila A ∈ g , maka
S (g ) // g ' . Bukti :
P
Q
g
A g ' = S A (g)
S A ( P) = P '
S A (Q) = Q '
• Andaikan P ∈ g maka A titik tengah ruas PP ' dengan P ' = S A ( P)
• Andaikan Q ∈ g maka A titik tengah ruas QQ ' dengan Q ' = S A (Q) . Maka ∆APQ ≅ AP ' Q ' , sehingga PQP ' Q ' sebuah jajaran genjang ini berarti PQ // P ' Q ' jadi g ' // S A = (g)
Teorema 7.6 : Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat-pusat yang berbeda tidak memiliki
titik tetap. Bukti : Andaikan A dan B pusat-pusat setengah putaran tersebut. Andaikan g = AB dan andaikan h dan k garis-garis tegak lurus pada AB di A dan B. Maka berturut-turut kita peroleh : S A S B = ( M h M g )( M g M k )
[ = [M
] )]M
= (M h M g ) M g M k h
(M g M g
= M h IM k
k
g
A
B
= ( M h I )M k = MhMk
h
k Gambar
5
Andaikan X titik invarian S A S B jadi S A S B ( X ) = X . sehingga ( M h M k )( X ) = X . Jadi pula M h (( M h M k ) X ) = M h ( X ) , atau [( M h M h ) M k ( X )] = M h ( X ) ΙM k ( X ) = M h ( X ) sehingga M k ( X ) = M h ( X )
Andaikan M k ( X ) = X 1 Andaikan X ≠ X 1 . Dalam hal ini h dan k adalah sumbu dari ruas garis . oleh karena ruas garis memiliki hanya satu sumbu maka h = k , Andaikan X = X 1 maka M k ( X ) = X dan M h ( X ) = X . Jadi X ∈ k dan X ∈ h yang berarti bahwa h dan k berpotongan di X ini tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga M k ( X ) = M h ( X ) atau S A S B ( X ) = X . Jadi hasil kali S A S B tidak memiliki titik tetap. Teorema 7.7 : Jika A ≠ B adalah dua titik makan hanya ada satu setengah putaran yang
memetakan A pada B . Bukti : Andaikan ada 2 setengah putaran S D dan S E sehingga S E ( B) = A dan S E ( B) = A . Jadi S D ( A) = S E ( A) maka S D
−1
[S D ( A)] = S D −1 [S E ( A)] karena
SD
−1
= S D , maka A = S D [S E ( A)] .
Jadi apabila D dan E berbeda, maka ini berarti bahwa A adalah titik tetap dari hasil kali S D S E . Ini tak mungkin. Jadi tak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST ( A) = B dengan T titik tengah ruas garis AB .
Teorema 7.8 : Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik.
Bukti : Andaikan P pusat setengah putaran S P . Harus dibuktikan 2 hal : 1. Kalau g sebuah garis, maka S P (g ) // g . 2. S P .S P = Ι , dengan I transformasi identitas .
B'
A'
P
A
B
S P (g) = g 6
1).Jelas bahwa S P ( g ) = g ' suatu garis. Andaikan A ' ∈ g ' , B ' ∈ g ' dan PA = PA ' , PB = PB ' . Sedangkan (∠APB ) = (∠A ' PB ' ) . Sehingga ∆PAB = ∆PA ' B ' . jadi (∠B ' A ' P) ini berarti g //
S P (g ) , jadi S P sebuah dilatasi. 2).Oleh karena S P S P ( A) = S P ( A) = A , ∀ titik A ∈ g maka S P S P ( g ) = I ( g ) Jadi S P S P = I . ⇒ ini berarti S P bersifat involutorik.
Teorema 7.9 : Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik . Maka
A ∈ T ( H ) ⇔ T −1 ( A) ∈ H . Bukti : 1. Andaikan
A ∈ T (H ) .
ada X ∈ H
jadi
sehingga
A = T (X )
maka
T −1 ( A) = T −1 (T ( X )) = (T −1T )( X ) = I ( X ) = X , jadi T −1 ( A) ∈ H 2. Andaikan T −1 ( A) ∈ H . Ini berarti bahwa T (T −1 ( A)) ∈ T ( H ) atau A ∈ T ( H )
Contoh : Dibawah ini dikemukakan sebuah contoh
[
bagaimana kita dapat menggunakan
]
transformasi balikan . Diketahui himpunan E = ( x, y ) x 2 + 4 y 2 = 15 .Andaikan A=(4,-3) dan C(3,1) . jika g adalah sumbu y .selidiki apakah A ∈ M g S C (E ) ?
Penyelesaian : −1
Kita ketahui bahwa ( M g S C ) −1 = S C M g
−1
= S C M g Apabila P =(x,y) maka M g ( P ) = ( x,− y )
sedangkan S C ( P) = (2 x3 − x.2 x1 − y ) = ( E − x.2 − y ) jadi ( M g S C ) −1 ( A) = (2,−1)
Oleh karena titik B = (2,−1) < E maka ( M g S C ) −1 ( A) < E . Ini berarti bahwa A < ( M g S C )( E ) . Dengan cara yang serupa. Kita dapat menentukan persamaan peta suatu himpunan itu, telah diketahui dalam contoh diatas kita tahu Teorema 7.9 bahwa P < ( M g S C )( E ) jika dan hanya jika ( M g S C y −1 ( P) < E kalau P = ( x, y )
Soal Latihan 1.Apabila A = (2,3) , tentukanlah : −1
a. S A (C ). Apabila C = (2,3)
c. S A ( E ). Apabila E = (4,−1)
b. S A ( D). Apabila D = (−2,7)
d. S A ( P). Apabila P = ( x, y ) 7
Penyelesaian : a. A = (2,3) dan C = (2,3)
c. A = (2,3) dan E = (4,−1)
∴ S A (C ) = (2a − x,2b − y )
∴ S A ( E ) = S A (E )
−1
= (2a − x,2b − y ) = [(2.2) − 4, (2.3) − (−1)] = (4 − 4,6 + 1)
= [(2.2) − 2, (2.3) − 3] = (4 − 2,6 − 3)
−1
S A (C ) = (2,3)
S A ( E ) = (0,7)
b. A = (2,3) dan D = (−2,7)
d. A = (2,3) dan P = ( x, y )
∴ S A ( D) = (2a − x,2b − y )
∴ S A ( P ) = (2a − x,2b − y )
= [(2.2) − x, (2.3) − y ] = (4 − x,6 − y ) = ( x = −4, y = −6)
= [(2.2) − (−2), (2.3) − 7] = (4 + 2,6 − 7)
S A ( D) = (6,−1)
S A ( P ) = (−4,−6)
8
