GEOMETRI. Transformasi & Analitik Ruang UNIVERSITAS HASANUDDIN. M Saleh AF. Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang LKPP

1

GEOMETRI Transformasi & Analitik Ruang

D

M’

M Refleksi 2011

M Saleh AF

LKPP

UNIVERSITAS HASANUDDIN

Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang

2

BAB II

TRANSFORMASI GEOMETRI DI

A.

Pendahuluan

Salam hangat dan sejahtera bagi para pembelajar Kreatif! Bab ini merupakan bagian pertama bagi anda. Semoga anda terinspirasi dan menyenangi mata kuliah Geometri Transformasi dan Analitik Ruang ini, dan anda dapat memahami konsep-konsep dasar dan muatan dalam bab ini tanpa mengalami kesulitan yang berarti. Konsep geometri

“sama” dan “sebangun” sudah dikenal dibangku

SLTP/SLTA. Hal ini secara tidak langsung telah memperkenalkan transformasi yang menyebabkan objek-objek geometri menjadi sama dan sebangun. Misalnya sebuah segitiga dikatakan sama dan sebangun dengan segitiga lain jika dapat dilakukan penggeseran dan memutar satu segitiga menjadi tepat berimpit dengan segitiga yang lainnya . Jadi secara alamiah muncul pertanyaan tentang sifat-sifat dari transformasi yang didasarkan pada pergeseran dan rotasi. Dalam bab ini anda akan mempelajari konsep tentang Transformasi pada bidang digunakan untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada suatu bidang. Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membahas tentang perubahan (letak bentuk dan penyajian) yang didasarkan pada gambar atau notasi

matriks. Selanjutnya akan

diperkenalkan tentang pencerminan, translasi, rotasi, penskalaan, geseran, dilatasi dan komposisi transformasi. Pada bagian akhir bab ini diberikan soal-soal dan pembahasan masalah disekitar anda.


3

B.

Sasaran Umum

Setelah mempelajari bab ini, para pembelajar kfreatif diharapkan akan dapat memahami pengertian transformasi geometri, pencerminan (refleksi), translasi, rotasi, dan dilatasi terhadap suatu titik atau objek pada bidang rata, serta komposisi transformasi dengan operasi matriks

C.

Sasaran Khusus

Setelah mempelajari bab ini, para pembelajar kreatif diharapkan akan dapat : a.

menentukan bayangan sebuah titik atau objek terhadap suatu cermin garis yang di ketahui

b.

menentukan bayangan suatu objek terhadap sumbu-sumbu koordinat , titik asal atau garis-garis tertentu yang diketahui.

c.

melakukan translasi sumbu koordinat terhadap suatu objek yang diketahui

d.

melakukan suatu rotasi objek terhadap titik asal atau terhadap sembarang titik yang diketahui

e.

menentukan refleksi (pencerminan) , translasi dan rotasi sutu objek dengan menggunakan matriks berukuran 2x2

f.

membuat geseran dan penskalaan serta dilatasi pada suatu objek terhadap sumbu-sumbu koordinat

g.

menentukan komposisi transformasi linier menggunakan matriks

h.

terlatih memecahkan soal-soal transformasi berdasarkan konsep atau dalil-dalil yang baku dan benar.


4

Selamat Datang Pada Trayek Seorang Pemuda Seorang pemuda berangkat dari rumahnya berjalan kaki selama 3 jam untuk tiba di rumah tunangannya. Dirumah tersebut ia beristirahat selama 1 jam, kemudian pemuda tersebut pulang ke rumahnya dengan kendaraan motor tunangannya, Gamabr 2.0. Dapatkah anda membantu menemukan trayek perjalanan si Pemuda tersebut diantara gambar berikut yang menunjukkan perjalanan si pemuda sejak meninggalkan rumah hingga kembali kerumahnya. [deuxieme] km

km

2

1

0

1 2 3 4 5

km

0

1 2 3 4 5

km

1 2 3 4 5

3

0

0

1 2 3 4 5

km

5

4

0

km

1 2 3 4 5

6

0

1 2 3 4 5

Gambar 2.0 Sumbu X : waktu dalam jam (t) ; Sumbu Y : Jarak dalam km.


5

Kegiatan Belajar 1

2.1.

TRANSFORMASI GEOMETRI

2.1.1 Refleksi (Pencerminan) Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan menggunakan sifat suatu cermin datar. Gambar 2.2a memperlihatkan bahwa titik dari titik

′ adalah bayangan

akibat refleksi terhadap sumbu D, dinotasikan =

( ).

D

M’

M

Gambar 2.2a : refleksi



=



′ , jika

∈

D adalah mediatris (garis tengah) segmen [MM’] jika ∉



Jika



Sebuah titik M adalah invariant akibat

=

( ), maka

=

(

)

jika dan

hanya jika M sebuah titik pada D


6

Refleksi dalam bentuk matriks di :

Misalkan datar.

→

adalah transformasi linier pada bidang

Suatu titik atau bangun dapat di refleksikan dengan

delapan cara sebagai berikut

(a)

Refleksi terhadap sumbu x Perhatikan bahwa koordinat titik ( , )

akan mempunyai

bayangan ( , − ) bila dicerminkan terhadap sumbu x, Gambar 2.2b.

adalah sebuah operator yang mencerminkan titik ( , )

Jika

terhadap sumbu x, maka

adalah transformasi linier, sehingga

dapat di lambangkan oleh matriks

Dalam hal ini

=

1 0 0 −1

(2.1)

disebut matrik stnadar untuk T.

Hal ini diperoleh dari dan dimana

berukuran 2 × 2, yaitu :

(e ) =

(e ) =

1 0 0 1

1 0 0 = −1 =

(e ) merupakan kolom pertama matrik A, dan =

merupakan kolom kedua dari matriks A, dimana =

0 adalah basis standar untuk 1 y

( , )

x

0 ( ,− )

.

(e )

0 dan 1

y F

x

F′

Gambar 2.2b : Refleksi terhadap sumbu x


7

Dengan demikian bayangan dari titik ( , ) akibat refleksi terhadap sumbu x, diperoleh dari rumus

atau disingkat

′ 1 = ′ 0

0 −1

(2.2a)

= (b)

(2.2b)

Refleksi terhadap sumbu y Dengan cara serupa, koordinat titik ( , )

akan mempunyai

bayangan (− , ) bila dicerminkan terhadap sumbu y, Gambar 2.3.

Jika

adalah sebuah operator yang mencerminkan vector titik

( , ) terhadap sumbu y, maka matriks standar untuk

Karena

(e ) =

=

1 0

−1 0 0 1 =

−1 dan 0

(e ) =

y (− , )

adalah (2.3) 0 1

=

0 1

y ( , )

x

F

F′

x

Gambar 2.3 Refleksi terhadap sumbu y


8

Jadi bayangan dari titik ( , ) akibat pencerminan terhadap sumbu y, dinyatakan dengan rumus ′ −1 0 = ′ 0 1

(2.4a)

atau disingkat = (c)

(2.4b)

Refleksi terhadap titik asal Jika sebuah titik ( , ) di refleksikan terhadap Gambar (2.4) maka matriks standar untuk =

Sehingga

titik asal O,

diberikan oleh

−1 0 0 −1

(2.5a)

′ −1 0 = ′ 0 −1

(− , − )

(d)

O

(2.5b)

( , )

Gambar 2.4 Refleksi terhadap titik asal

O

=

Refleksi terhadap garis

Koordinat titik ( , ) akan mempunyai bayangan ( , ) bila dicerminkan terhadap garis Karena

(e ) =

1 0

=

= , Gambar 2.4.

0 dan 1

(e ) =

0 1

=

1 0


9

maka matriks stnadar untuk

Sehingga

=

0 1 1 0

(2.6a)

′ 0 = ′ 1 y

1 0

=

( , )

adalah :

(2.6b) y F′

( , ) x

Gambar 2.4 Refleksi terhadap garis y=x

(e)

Refleksi terhadap garis adalah

Sehingga

(f)

=

(2.7b)

= ℎ (garis yang sejajar sumbu y)

Pencerminan titik ( , ) terhadap garis 2.5

x

(2.7a)

′ 0 −1 = ′ −1 0

bayangan ( , ′), dimana

F

= − , maka matriks standar untuk

0 −1 −1 0


=

= 2ℎ −

= ℎ menghasilkan

dan

= , Gambar


10

Jika di notasikan dalam matriks transformasi, rumusnya adalah ′ −1 0 = ′ 0 1 (g)


2ℎ 0

+ =

(2.8)

(sejajar sumbu x)

Pencerminan titik ( , ) terhadap garis bayangan ( , ′), dimana

=

2.6

dan

=

menghasilkan

= 2 − , Gambar

Jika di notasikan dalam matriks transformasi, rumusnya adalah ′ 1 = ′ 0 y ( , )

x=h

0 −1

( ′, ′) (2ℎ − , ) 2ℎ −

+

2 −

y

(2.9)

( ′, ′)

( ,2 − ) ( , )

x

Gambar 2.5 : Refleksi terhadap garis = ℎ

(h)

0 2

y=k

Gambar 2.6 : Refleksi terhadap garis =

x

Refleksi terhadap titik ( , )

Bayangan dari titik ( , ) bila direfleksikan terhadap titik ( , ) adalah ( , ′) dengan Gambar 2.7, sehingga

=2 −

dan

=2 − ,


11

′ −1 0 = ′ 0 −1 y

+ ( , )

2 2

(2.10)

( , )

( ′, ′) = (2 − , 2 − )

2 −

x

2a − x

Gambar 2.7 : Refleksi terhadapa titik ( , )

2.1.2 Translasi di

Translasi adalah perpindahan titik-titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu yang diwakili oleh ruas garis berarah (vector) atau dengan suatu pasangan bilangan(ℎ, ), Gambar 2.5.

M

Trnaslasi dimana

=

= ℎ

ℎ

=

⃗ Gambar 2.8

M′

memetakan titik M(x, y) ke titik M′( , ′),

+ ℎ dan

=

+ , dinotasikan sebagai

: M(x, y) → M′(x + h, y + k)

(2.11a)


12

Dalam bntuk matriks, bayangan diperoleh dengan rumus ′ = ′

+

ℎ

(2.11b)

disingkat =

+

(2.11c)

Langkah-langkah translasi  Letakkan suatu titik atau bangun F pada suatu bidang (2D)  Translasikan objek F dengan menambahkan jarak horisontal = ℎ dan jarak pertikal

sehingga

=

dari posisi semula,

titik atau bangun F bergeser tanpa mengalami

perubahan dimensi,Gambar 2.9.

y

0

y′

y

F

x

Gambar 2.9a : sebelum translasi

O′

F′

x O Gambar 2.9b : setelah translasi

x′

2.1.3 Perputaran (rotasi)

Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan memutar titik-titik tersebut sebesar sudut rotasi I, disebut rotasi. Sebuah titik titik

terhadap suatu titik pusat mempunyai bayangan di

′ melalui rotasi pada pusat I dengan sudut

sebagai

=

( , )(

) , disingkat

di notasikan

= ( ), Gambar 2.10


13

dengan sifat bahwa  

M = M’ jika M = I IM = IM’ dan sudut

⃗;

′ =

, jika M ≠ M’

M I Gambar 2.10 : Rotasi

(a). Rotasi terhadap titik pusat (0,0) Misalkan dalam

adalah transformasi linier yang memetakan

yang merotasi

setiap vector

sebesar sudut

berlawanan arah jarum jam, terhadap titik asal Gambar 2.11, tampak bahwa adalah

−sin cos

dipetakan ke

adalah

−sin cos =

Secara geometrik ,jika untuk memutar

cos sin

yang

(0,0).

Pada

dan peta dari

. Matriks A yang melambangkan transformasi

ini akan memiliki entri-entri kolom pertama keduanya adalah

ke

cos sin

=

cos sin

dan kolom

, sehingga matrik transformasinya

− sin cos

sembarang vector di

(2.12)

, maka

berlawanan arah jarum jam sebesar sudut

maka tinggal mengalikan matriks

,

dengan vector , Gambar 2.12.


14

(− sin , cos )

(0,1)

(cos , sin ) (1,0)

Gambar 2.11

Gambar 2.12

Penurunan rumus (2.12) diperoleh sebagai berikut ,Pada koordinat polar , titik ( , ) dinyatakan sebagai = cos ∅ dan = sin ∅, dan bayangannya, dinyatakan sebagai ( , ′) , Gambar 2.11, dimana

= cos(∅ + ) = ( cos ∅ )cos − ( sin ∅) sin = sin(∅ + ) = ( cos ∅) sin + ( sin ∅ )cos Setelah cos ∅ dan sin ∅, disubtitusi diperoleh ′=

cos − sin

dan

′=

,

sin + cos

atau dalam bentuk matriks di tuliskan : ′ cos = ′ sin y

r ∅

− sin cos

disingkat

y

( , ′) r

Gambar 2.11

( , ) x

O

( , )

=A

(2.13)

( , ′)

r ∅

r

( , )

Gambar 2.12

x


15

(b).

Rotasi terhadap titik ( , )

Jika suatu titik ( , ) di putar sebesar sudut

yang berlawanan

arah jarum jam dengan pusat titik ( , ), dan bayangannya adalah ( , ′), Gambar 2.12, dengan −

−

= ( − ) cos − ( − ) sin

= ( − ) sin + ( − ) cos

atau dalam bentuk matriks, di tuliskan sebagai ′ cos = ′ sin

− −

− sin cos

+

(2.14)

2.1.4 Perkalian atau Dilatasi (Dilatation) Suatu transformasi yang berbentuk ( )=

(2.15)

disebut dilatasi (perkalian) dengan faktor bilangan positif pusat dilatasi di O(0,0). Jika

dengan

> 1 menghasilkan gambar yang

diperbesar (ekspansi), Gambar 2.13.a dan

jika 0 <

< 1,

menghasilkan gambar yang diperkecil (reduksi), Gambar 2.13b. Transformasi

dilambangkan oleh matriks

matriks identitas berukuran 2 × 2.

Gambar semula

=

dengan

′

O ′ Gambar 2.13a : ekspansi, k=1.5


16

Gambar 2.13a adalah sebuah ekspansi yang memperbesar = 1.5, yang berarti

gambar dengan faktor sebesar 1.5

= 1.5

dan

=

. Sedangkan Gambar 2.13b adalah

suatu reduksi yang memperkecil gambar dengan faktor sebesar "

= , yang berarti

=

dan

"

=

" "

.

O

Gambar 2.13b : reduksi, k=2/3

Karena transformasi

dilambangkan oleh matriks

matriks identitas berukuran 2 × 2, maka rumus

dengan

dengan pusat (0,0) dapat dinyatakan

trnasformasi (2.15) dalam bentuk :

disingkat ′=

′ = ′ 0

0

(2.16)

( )=

atau =

dengan

0

0

Dilatasi dengan pusat ( , ) dinyatakan dengan rumus ′ = ′ 0

=

0

− −

+

(2.17)

(2.18)

Penskalaan dan Geseran (Scaling and Shear)

Jika koordinat x dari setiap titik pada bidang dikalikan dengan sebuah konstanta positif

, maka efeknya adalah memperbesar


17

atau memperkecil gambar bidang datar dalam arah x. 0<

Jika

< 1 , maka hasilnya adalah sebuah penskalaan yang

> 1,

memperkecil (reduksi) gambar dalam arah x, dan jika

maka hasilnya akan memperbesar (ekspansi) gambar dalam arah x, dengan matriks standar

0

0 . 1

(2.19a)

Dengan cara serupa matriks standar untuk penskalaan ke arah y adalah 1 0

Geseran

0

(2.19b)

Jika sebuah transformasi menggerakkan setiap titik ( , ) sejajar ke posisi yang baru ( ,

sumbu x sebesar .

) = ( + . , ),

transformasi seperti ini disebut geseran (shear) ke arah x, dengan matriks standar =

1 0

1

∈

,

(2.20a)

Demikian juga bila setiap titik ( , ) sejajar sumbu y sebesar posisi yang baru ( ,

ke

) = ( , + . ), transformasi seperti ini

disebut geseran ke arah y dengan matriks standar =

1

0 1 ,

∈

(2.20b)


18

Tabel 2.1: Tabel Pemetaan dan Matriks Transformasi No 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

11

12 13

14

15 16 17

Jenis Transformasi Refleksi terhadap sumbu x Refleksi terhadap sumbu y Refleksi terhadap titik asal (0,0) Refleksi terhadap garis = Refleksi terhadap garis = − Refleksi terhadap garis = ℎ Refleksi terhadap garis = Refleksi terhadap titik ( , ) Rotasi terhadap titik (0,0) sebesar sudut berlawanan arah jam Rotasi terhadap titik ( , ) sebesar sudut berlawanan arah jam

Dilatasi terhadap titik pusat (0,0), dengan faktor skala >0 ℎ Translasi Scaling ke arah x dengan faktor >0 Scaling ke arah y dengan faktor >0 Geseran ke arah x dengan faktor ∈ Geseran ke arah y dengan faktor ∈ Bentuk transformasi Geometri

umum

Pemetaan / Bayangan ( , ) → ( ,− ) ( , ) → (− , )

( , ) → (− , − ) ( , )→( , )

( , ) → (− , − )

( , ) → (2ℎ − , ) ( , ) → ( ,2 − )

( , ) → (2 − , 2 − )

( , ) → ( cos − sin , sin + cos )

−

= ( − ) cos

−

= ( − ) sin

( , )→(

,

)

( , ) → ( + ℎ, + ) ( , )→(

, )

( , )→( ,

( , )→( +

( , )→( , +

)

, )

( , ) → ( , ′) = + = +

cos sin

cos sin

−( − ) sin

+( − ) cos

Matriks transformasi 1 0 0 −1 −1 0 0 1 −1 0 0 −1 0 1 1 0 0 −1 −1 0 −1 0 2ℎ + 0 1 0 1 0 0 + 0 −1 2 −1 0 2ℎ + 0 −1 2

)

− sin cos

− sin cos

0

0

1 0

1 0 1

+

0 +

ℎ

0 1

0

1 0 1

Sumber : Modul Geometri transformasi H12SA


− −

19

Matriks-matriks transformasi tersebut diasumsikan dapat dibalik (mempunyai invers)

2.2 KOMPOSISI TRANSFORMASI DI

Gabungan dari beberapa transformasi disebut komposisi transformasi. Transforma terhadap titik

dilanjutkan transformasi

( , ), dapat digambarkan dalam bentuk bagan

urutan transformasi sebagai berikut: ( , )

′( ′, ′)

′′( ′′, ′′)

yang dapat dituliskan dalam bentuk komposisi transformasi berikut =

∘

dibaca “transforma terhadap titik

∶

( , )

∘

⎯⎯⎯⎯

′′( ′′, ′′)

dilanjutkan dengan transformasi

( , )”.

2.2.1 Komposisi untuk Transformasi yang berbentuk perkalian matriks (Multiplikatif)

Jika

=

adalah matriks yang bersesuaian dengan

trnasformasi

dan

=

bersesuaian dengan trnasformasi

adalah matriks yang

ℎ

, dengan

dan

matriks-

matriks yang dapat dibalik. Maka komposisi transformasi menghasilkan perkalian matriks berikut : (a) (b)

∘

∘

= =

= =

ℎ

(2.21) ℎ

(2.22)


20

∘

dimana

≠

∘

Rumus ini dapat diperluas untuk

berhingga banyaknya

transformasi, dengan memperhatikan urutan trnasformasinya.

2.2.2

Komposisi untuk transformasi yang berbentuk penjumlahan matriks (Additive) =

Jika translasi dilanjutkan

ℎ

=

dan

maka komposisi translasi

dapat diwakili oleh translasi tunggal yang

ditentukan oleh ∘

=

ℎ

+

=

ℎ+ +

(2.23)

Perhatikan diagram translasi berurutan yang mentranslasikan titik ( , )

′ ′

⎯

⎯⎯

maka bayangan komposisi translasi adalah ′′ = ′′

′′ ′′

ℎ+ +

+

(2.24)

Sifat-sifat komposisi translasi

(a) Jika

dan

dua translasi berurutan, maka ∘

=

∘

(komutatif)

(b) Jika tiga translasi berurutan (

∘

)∘

=

,

∘(

dan ∘

, maka ) (asosiatif)


21

2.2.3 Transformasi Oleh Perkalian Matriks yang Dapat Dibalik Teorema 2.1 :

Jika

→

adalah perkalian oleh sebuah matriks

berukuran 2 × 2 yang dapat dibalik (mempunyai invers), maka

efek dari T adalah sama seperti urutan yang sesuai dari gesesran, dilasi (kontraksi, ekspansi) dan refleksi. Bukti Karena matriks

dapat dibalik, maka

dapat direduksi

kepada identitas dengan urutan berhingga dari operasi baris elementer. Sebuah baris elementer dapat dilakkan dengan mengalikan sebuah matriks elementer dari kiri, sehingga ada ,

matriks-matriks elementer ⋯,

Dengan mengalikan dari kiri diperoleh ⋯

atau

⋯,

=

⋯

,⋯,

=

sedemikian sehingga. (2.25) ⋯ =

∎

pada (2.25), ⋯

(2.26)

Teorema 2.2 Jika

:

→

adalah perkalian oleh sebuah matriks

berukuran 2 × 2 yang dapat dibalik , maka

(a) Bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus (b) Bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal (c) Bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar


22

(d) Bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q. (e) Bayangan dari tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis (koliner) Dengan kedua teorema ini, dapat dijelaskan efek geometrik dari suatu transformasi oleh perkalian matrik yang dapat dibalik.

Luas daerah bangun hasil transformasi Jika mtariks transformasi

adalah

mentransformasikan bangun = |(| |)| ×

=

yang

menjadi ′ maka luas bangun

(2.27)

dimana |(| |)| nilai mutlak determinan A dan | |=

=

−


23

2.3 APLIKASI GEOMETRI TRANSFORMASI

Pada bagian ini akan dibahas beberapa soal-soal untuk memperjelas konsep teori yang telah diuraikan sebelumnya. 2.3.1. Refleksi 1.

Tentukan bayangan dari ruas garis yang berpangkal di titik (1,1) dan berujung di titik (2,3) melalui refleksi terhadap

(a) sumbu x , (b) sumbu y , (c) titik asal , (d) = − , (f)

=3

=

, (e)

Penyelesaian

(a). Refleksi garis AB terhadap sumbu x. Dengan rumus (2.1), maka Bayangan titik (1,1) adalah =

′ 1 0 1 1 = = ′ 0 −1 1 −1

Bayangan titik (2,3) adalah =

′ 1 0 2 2 = = ′ 0 −1 3 −3

(b).Refleksi garis AB terhadap sumbu y. Dengan rumus (2.2a), maka Bayangan titik (1,1) adalah =

′ −1 0 1 −1 = = ′ 0 1 1 1


′ −1 0 2 −2 = = ′ 0 1 3 3


24

(c). Refleksi garis AB terhadap titik asal (0,0). Dengan rumus (2.5b), maka

Bayangan titik (1,1) adalah

′ −1 0 1 −1 = = ′ 0 −1 1 −1

=


′ −1 0 2 −2 = = ′ 0 −1 3 −3

= . Dengan rumus (2.6b),

(d). Refleksi garis AB terhadap garis maka Bayangan titik (1,1) adalah

Bayangan titik (2,3) adalah

=

=

(e). Refleksi garis AB terhadap garis (2.7b), maka

′ 0 1 1 1 = = ′ 1 0 1 1

′ 0 = ′ 1

1 2 3 = 0 3 2

= − . Dengan rumus


′ 0 −1 1 −1 = = ′ −1 0 1 −1


′ 0 −1 2 −3 = = ′ −1 0 3 −2

(e). Refleksi garis AB terhadap garis

= 3 (sejajar sumbu x).

Dengan rumus (2.9), maka bayangan titik (1,1) adalah =

0 ′ 1 0 1 1 = + = 2(3) ′ 0 −1 1 5


0 ′ 1 0 2 2 = + = 2(3) ′ 0 −1 3 3


25

Hasil dari semua refleksi ini di tunjukkan dalam Gambar 2.14. 1 Refleksi terhadap sumbu x 2 Refleksi terhadap sumbu y 3 Refleksi terhadap titik asal (0,0)

=

4 Refleksi terhadap garis

=−


=3


(−2,2)

=−

(1,5) 6

2 (−1,1)

5

(−3, −2)

(−1, −1)

O

B(2,3)

A(1,1)

3

(−2, −3)

4

= (3,2)

=3

(1, −1) 1

(2, −3)

Gambar 2.14 : Refleksi

2.3.2 Translasi 2.

Sebuah segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut (1,0), =

(3,1) dan

(3, −1), di translasikan pada vector

4 . Tentukan dan gambar hasil translasi tersebut. 3

Penyelesaian

Dengan rumus (3.11b), maka bayangan hasil transformasitiaptiap titik sudut segitiga ABC adalah


26

′ ′

′ ′

=

=

1 4 5 + = 0 3 3

′ ′

;

4 7 3 + = 3 2 −1

(5,3),

Sehingga diperoleh titik-titik Gambar 2.15

4 7 3 + = 3 4 1 (7,4) dan

y

y 0

=

A

(1,0)

B(3,1) C(3, −1)

A′

(5,3)

⃗

x

0

(a). sebelum translasi

;

(7,2) ,

B′(7,4) C′(7,2)

(b). setelah translasi

x

Gambar 2.15

2.3.3 Rotasi 3.

Diberikan titik

(3,1) dan

(2,3). Carilah bayangan segmen

garis AB dengan rotasi 90 berlawanan arah jarum jam dengan pusat titik asal yaitu

( ,

)(

)

Penyelesaian . Dengan rumus (2.13a), maka ( ,

)(

):

( ,

)(

):

=

=

′ cos 90 − sin 90 3 = ′ sin 90 cos 90 1

=

′ cos 90 = ′ sin 90

=

0 −1 3 −1 = 1 0 1 3

− sin 90 2 cos 90 3

0 −1 2 −3 = 1 0 3 2

Jadi hasil rotasi segmen garis AB adalah segmen ′ ′ dengan

(−1,3) dan

(−3,2), Gambar 2.16


27

B(2,3)

A (−1,3)

B (−3,2)

A(3,1)

O

Gambar 2.16

Cara lain adalah sebagai berikut : ( ,

)(

)= =

′

′

0 −1 3 1 0 1

Jadi kolom pertama adalah adalah 4.

2 −1 −3 = 3 3 2

= (−1,3) dan kolom kedua

(−3,2).

=

Tenukan bayangan parabola

+ 1 bila dirotasikan

sebesar 90 berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat rotasi (2, −1) Penyelesaian

Ambil sembarang titik

( ′, ′) pada parabola, sehingga

′ = ′ + 1. Rotasikan titik

sebesar 90 berlawanan arah

jarum jam dengan titik pusat rotasi ( , ) = (2, −1), sehingga diperoleh bayangan titik

( ,

′ cos 90 − sin 90 = ′ sin 90 cos 90 =

=

0 −1 1 0

), dengan − −

−2 2 + +1 −1

+

− −1 − +1 2 + = −1 −2 −3


28

diperoleh persamaan = − + 1 atau

=

dan

−3

Subtitusi pada parabola =(

1− 1−

=

+ 3)

Jadi bayangan dari parabola berpusat di (2, −1) adalah

5.

=

atau

= ′ +6

=−

2.3.4. Dilatasi

= 1− ′

+3

+ 1, diperoleh + 9 atau =

+1

=− ′ −6

−8

akibat rotsi 90

−6 −8

Sebuah segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut (2,0),

(4,1) dan

= 1/2

(4, −1), Tentukan dilatasi dengan

= 3⁄2.

dan

transformasinya.

Kemudian

gambarkan

hasil

Penyelesaian Berdasarkan rumus dilatasi (2.16) untuk masing-masing adalah 0

0

dan

0

0

= 1/2 dan

= 3/2

.

Tuliskan koordinat-koordinat x pada baris pertama dan y pada baris kdua dari titik-titik A,B dan C, demikian pula untuk bayangannya, sehingga:  Untuk ′ ′

′ ′

= 1/2, ′ ′

=

0 2 0 0

1 2 2 4 4 = 0 − 1 −1


29

 Untuk ′ ′

′ ′

= 3/2, ′ ′

=

Jadi dilatasi dengan

0 2 0 0

dengan faktor sebesar

= 1/2, ukuran segitiga ABC mengecil,

= 1/2 , Gambar 2.17b, dan dengan

= 3/2, maka ukuran segitiga ABC akan membesar

dengan

dengan faktor

A′

3 6 6 4 4 = 0 − 1 −1

0 (1,0)

= 1.5, Gambar 2.17c

B′(2, 1/2)

C′(2, −1/2)

(b).Kontraksi,

A

0

= 1/2

(2,0)

B(4,1) C(4, −1)

(a).Gambar semula

B"(6, 3⁄2) 0

A"

(3,0)

(c). Ekspansi,

C"(6, − 3⁄2 = 1.5

Gambar 2.17 : Dilatasi

Cara lain dapat dilakukan dengan mendilatasikan setiap titiktitik segitiga ABC dan memberikan hasil yang sama.


30

2.3.5. Komposisi Geseran dan Refleksi (Composition of Shear and Reflection) 6.

(a).

Tentukan sebuah transformasi matriks dari

yang mula-mula menggeser objek dengan sebuah faktor sebesar = 2 dalam arah x dan kemudian merefleksikannya terhadap

garis (b).

= .

Tentukan sebuah transformasi matriks dari

yang mula-mula merefleksikan objek terhadap garis kemudian menggeser

=

dengan sebuah faktor sebesar

dalam arah x . (c).

Berikan sebuah contoh figur

dan =2

untuk soal (a) dan (b)

untuk memperlihatkan efek transformasi tersebut. Penyelesaian (a). Dari rumus (2.20a), matriks standar untuk geseran kearah x dengan faktor

= 2 adalah

1 2 0 1 dan dari rumus (2.6a) ,matriks refleksi terhadap garis adalah =

=

0 1

=

1 0

Sehingga matriks standar untuk geseran yang di ikuti oleh refleksi adalah =

0 1 1 1 0 0

2 0 = 1 1

1 2

1 2 = 0 1

1 0

(b) dengan cara serupa, maka matriks standar untuk refleksi yang di ikuti oleh geseran adalah =

1 2 0 0 1 1


31

≠

Dari kasus ini tampak bahwa

, sehingga efek

penggeseran kemudian di ikuti refleksi berbeda dari efek refleksi kemudian di ikuti penggeseran.

(c) Gambar 2.18 memperlihatkan efek transformasi pada sebuh persegi panjang (1,5)

(3,1)

=

(5,1)

Figur semula

Geseran pada arah =2

Refleksi terhadap =

,

Gambar 2.18

(3,1) Figur semula

(1,3)

=

(7,3)

Refleksi terhadap =

Geseran pada arah =2

,

Verifikasi Perhatikan titik (3,1) dituliskan bayangannya adalah ( , kompositnya (a). (b) .

′ = ′

′ = ′

=

=

) atau

=

3 , 1

′ , ′

dan misalkan maka aturan

1 0 1 3 = , yang sesuai hasil 5 1 2 1

2 1 3 7 = , yang sesuai hasil 1 0 1 3


32

Jika di kehendaki mencari titik semula, maka dapat dicari dengan rumus =[

′ 0 1 7 3 = = ′ 1 −2 3 1

]

yang merupakan titik semula.

7.

=

(a) Tentukan hasil transformasi matriks titik (2, −3) dan

2 3

4 terhadap 5

(b) Kemudian cari efek geometrinya yang merupakan urutan transformasinya Penyelesaian ′ 2 = ′ 3

2 adalah −3

(a). Bayangan dari

4 2 −8 = 5 −3 −9

(b). Lakukan operasi baris elementer pada matriks transformasi 2 3

4 × ⎯⎯ 5

dengan

dan

0 , 0 1

=

=

sehingga =

Dengan

1 2 3 5 =

2 0 , 0 1

membaca

⎯⎯⎯⎯

1 0

1 0 , −3 1

×( ) 1 2 ⎯⎯⎯⎯ −1 0

=

1 0 , 3 1

= =

dari

1 0 , 0 −1 =

2 ⎯⎯⎯⎯ 1 =

1 0 , 0 −1

2 0 1 0 1 0 1 0 1 3 1 0 −1 0 belakang

maka

efek

1 0 0 1

1 −2 , 0 1 =

1 0

2 1

2 2 = 1 3

geometri

4 5

dari

tarnsformasinya adalah (a). geseran ke arah x dengan factor (b). refleksi terhadap sumbu x, di ikuti

= 2 , di ikuti


33

= 3, di ikuti

(c). geseran kea rah y dengan factor

=2

(d). scaling kea rah x dengan skala Pemeriksaan :

−4 −4 −4 1 2 2 1 0 −4 1 0 −4 = → = → = 0 1 −3 −3 0 −1 −3 3 3 1 3 −9 (a)

8.

→

→

2 0 −4 −8 = 0 1 −9 −9

(b)

=

Nyatakan matriks

1 3

→

2 4

(c)

→

( )

sebagai hasil kali matriks-

matriks elementer dan jelaskan efek geometric dari perkalian oleh A dalam geseran, dilasi dan refleksi. Penyelesaian Matrik

berukuran 2 × 2

dapat direduksi pada matriks identitas

sebagai berikut : 1 2 3 4

⎯⎯⎯

1 2 0 −2

×

⎯⎯⎯⎯

1 2 0 1

⎯⎯⎯

1 0 0 1

Ketiga operasi baris yang berurutan tersebut dapat dilakukan dengan mengalikan dari sebelah kiri oleh =

1 0 −3 1

,

1 0 = 0 −

,

=

1 −2 0 1

1 0 0 −

,

=

1 2 0 1

Invers masing-masing matriks ini adalah =

1 0 3 1

Berdasarkan (2.26) maka

,

=


34

=

Tetapi bentuk

1 0 1 = 0 − 0 =

0 1 −1 0 1 0 1 3 1 0

=

1 3

0 1 0 1 2 1 0 −2 0 1

0 , maka A dapat dituliskan dalam 2 0 1 0 1 2 −1 0 2 0 1

Dengan membacanya dari arah kanan ke kiri, terlihat bahwa efek pengalian matriks

ekivalen dengan

(a). Geseran oleh sebuah faktor

= 2 dalam arah x

(b). Kemudian menskalakannya dengan faktor sebesar arah y

=2 dalam

(c). Kemudian merefleksikannya terhadap sumbu x (d). Kemudian menggesernya dengan sebuh faktor

9.

Tentukan bayangan matriks

=

Penyelesaian

= 2 + 1 melalui transformasi

garis

3 1 2 1

Menurut teorema 3.2, matriks sehingga memetakan garis lain.

= 3 pada arah y

=

3 2

1 1

dapat dibalik

= 2 + 1 ke dalam garis yang

Misalkan ( . ) adalah sebuah titik pada garis

= 2 + 1 dan

( ′, ′) adalah bayangannya di bawah perkalian oleh , maka =

atau

′ 3 1 = ′ 2 1


35

Karena

A

dapat

dibalik,

=

yaitu

1 −1 1 −1 = , maka −2 3 −2 3 =A

′ atau

=

(∗) = 2 + 1 diperoleh

Dengan mensubtitusikan (*) ke dalam −2

Jadi ( , diminta. 10.

⟺5

+3

=4

= 2(

( )=

′ , diperoleh ′

1 −1 −2 3

= − = −2 ′ + 3 ′

.

− ′) + 1

+ 1 atau

=

) memenuhi persamaan garis

′+

=

+

yang

Cari bayangan sebuah bujur sangkar dengan titik-titk sudut (0,0), (1,0), (0,1) dan (1,1) di bawah transformasi perkalian

oleh matriks

Penyelesaian

=

−1 3 dan tentukan luas daerah bayangannya 3 −1

Transformasikan setiap titik-titk sudut bujur sangkar untuk memperoleh bayangannya ′ ′ ′ ′

= =

−1 3 0 0 = 3 −1 0 0

−1 3 0 3 = 3 −1 1 −1

Jadi bayangan bujur sangkar ′ ′ ′ ′

dengan

′ ′ ′ ′

= =

−1 3 1 −1 = 3 −1 0 3

−1 3 1 2 = 3 −1 1 2

adalah sebuah jajaran genjang titik-titik

sudut

′(0,0), ′(−1,3), ′(3, −1) dan ′(2,2), Gambar 2.19.


36

′(−1,3) (0,1)

O

(1,1)

′(2,2) O

(1,0)

′(3, −1)

Gambar 2.19

Berdasarkan rumus (2.27), maka luas jajaran genjang ′ ′ ′ ′ = |(| |)| × luas bujursangkar Pemeriksaan

−1 3 3 −1

=

Alas jajaran genjang adalah sehingga luas jajaran genjang

Ataupun

11.

=

× 1 = |−8| × 1 = 8 satuan luas

= √10 dan tinggi adalah

×

=2×

√10 ,

4 = √10 × √10 = 8 ∎ 5 ∆

=2×4=8

Diketahui jajaran genjang ABCD dengan titik-titik sudut (−3,2), (−1 ,11), (2,4) dan

jajaran genjang tersebut jika

(0, −5). Tentukan bayangan

(a) di refleksikan terhadap sumbu x, dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu y (b) di refleksikan terhadap sumbu y, dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu x Penyelsaian (a) Bayangan refleksi jajaran genjang ABCD terhadap sumbu x adalah


37

=

0 −3 −1 −1 2 11

1 0

−3 −1 2 0 −2 −11 −4 5

=

2 0 4 −5

Hasil ini di refleksikan terhadap sumbu y, sehingga bayangan jajaran genjang ′ ′ ′ ′ adalah =

3 1 −2 −11

=

−1 0 −3 −1 0 1 −2 −11 −2 0 −4 5

2 0 −4 5

(b) Bayangan refleksi jajaran genjang ABCD terhadap sumbu y adalah

=

=

3 1 2 11

−1 0 −3 −1 0 1 2 11 −2 0 4 −5

2 0 4 −5

Hasil ini di refleksikan terhadap sumbu x, sehingga bayangan jajaran genjang ′ ′ ′ ′ adalah =

=

3 1 −2 −11

1 0 3 1 0 −1 2 11 −2 0 −4 5

−2 0 4 −5

Cara lain dapat digunakan komposisi dua refleksi, yaitu refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan refleksi terhadap sumbu x, yaitu 1 0 −1 0 −3 −1 2 0 0 −1 0 1 2 11 4 −5 3 1 −1 0 −3 −1 2 0 −2 0 = = −2 −11 −4 5 0 −1 2 11 4 −5 =

Tampak bahwa hasil (a) sama dengan hasil (b). Hal ini disebabkan karena dua refleksi berurutan terhadap sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, adalah bersifat komutatif.


38

RANGKUMAN GAMBAR

PENCERMINAN (Reflection)

SIMETRI TITIK (Simetri Pusat)

O

TRANSLASI

ROTASI

⃗

90

O

PENSKALAAN (Scaling)

DILATASI

GESERAN PADA ARAH X (Shear) (x + sy, y) (b). Geseran,

>0

(x , y)

(x + sy, y)

(a). Gambar semula (c). Geseran,

<0


39

Mencari Grafik aliran air Enam benda berikut mempunyai tinggi yang sama 80 dan memiliki volume yang sama 100 . Keenam benda tersebut di aliri air /

dengan debit konstan

, Gambar 2.30.

Grafik kenaikan permukaan air dalam ke enam benda tersebut selama awal pengisian hingga penuh, merupakan fungsi dari waktu, ditunjukkan dalam Gambar 2.31. Temukan pasangan yang bersesuaian antara benda dan grafik kenaikan ] permukaan air tersebut. [ , , , , , air

A

air

air

B

air

D

C

air

E

F

Gambar 2.30

80

80

80

20 0

20 0

20 0

1 2 3 4 5

1

1 2 3 4 5

2

3

80

80

80

20 0

20 0

20 0

1 2 3 4 5

4

1 2 3 4 5

5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

6

Gambar 2.31


40

Referensi 1. 2. 3. 4. 5.

David W Hnderson, 1995, Experiencing Geometry on plan and sphere, Ithaca Nathalie Nakatani et Francis Nassiet, 1994, DIMATHEME 2 ,Didier, Paris P.A. Surjadi, 1979, Aljabar Linier dan Ilmu Ukur Analitik, Jambatan Rawuh, 1988, GEOMETRI, Karunika Jakarta Shanti Narayan, 2007, Analytical Solid Geometry, S.Chand & Company LTD. New Delhi. 6. Suryadi, 1984, Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia, Jakarta 7. Varberg Purcell, 2000, Calculus and Geometry, Prentice-Hall, Inc, New Jersey


GEOMETRI. Transformasi & Analitik Ruang UNIVERSITAS HASANUDDIN. M Saleh AF. Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang LKPP

Recommend Documents