BAB 5 TRANSFORMASI GEOMETRI

BAB 5 TRANSFORMASI GEOMETRI I.

TRANLASI Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

 Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai

  2    2 

 Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah ditulis sebagai   2 

 1 

 Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. Dengan translasi   2  , diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik N ’(a-2,b+2).  2 

 2     2

Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut : N a, b    N ' a  2, b  2 a Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan T1    maka diperoleh b

bayangannya P ' x  a, y  b  .

a T1   b

Secara matematis, ditulis sebagai berikut : Px, y   P ' x  a, y  b  c Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan T2    d  c T2   d 

Didapat, P x  a, y  b   P '' x  a  c, y  b  d  '

Perhatikan bahwa P '' x  a  c, y  b  d   P '' x  a  c , y  b  d 

Ini berarti P '' x  a  c, y  b  d  diperoleh dengan mentranslasikan

Px, y  dengan

a c  Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis T   b  d  a c a c  sebagai T1  T2 . Oleh karena T1    dan T2    maka T1  T2   b  d  b d 

Px, y  ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2

Akibatnya, titik

 a c   T1 T2   bd 

menghasilkan bayangan P sebagai berikut : Px, y   P '' x  a  c, y  b  d  ''

Sifat: 

Dua buah translasi berturut-turut

c a   diteruskan dengan   dapat digantikan dengan d  b

a c  translasi tunggal  b  d   Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. Contoh:  p 1. Translasi T1    memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6) q

a. Tentukan translasi tersebut ! b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 6) oleh translasi tersebut.

  1 c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan T2      1 Tentukan bayangannya! d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c?

Jawab : a.

 p T1   q

A1,2  A' 1  p, 2  q   A1 4,6 Diperoleh 1 + p = 4 sehingga p = 3 2 + q = 6 sehingga q = 4

 3 Jadi translasi tersebut adalah T1     4

 3

b. Translasi T1    artinya memindahkan titik, 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas.  4 Dengan mentranslasikan titik-titik A', B', dan C'dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut  3 T1    4

A1,2  A' 1  3,2  4  A' 4,6  3 T1    4

B3,4  B' 3  3,4  4  B' 6,8  3 T1    4

C  5,6  C '  5  3,6  4  C '  2,10  Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan A'(4,6), B'(6,8), dan C'(-2,10)

c.

 1   T2   1 

A' 4,6  A' ' 4   1,6   1  A' ' 3,5  1  T2    1 

A' 6,8  A' ' 6   1,8   1  B' ' 5,7   1  T2  

 1  A' 4,6    A' '  2    1,10   1  A' '  3,9 

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah A''B''C'' dengan A''(3,5), B''(5,7) dan C''(-3,9)

d. translasi titik T1  T2   3   1    2   4   1  3       2    3

A1,2  A' 1  2,2  3  A' 3,5  2  

3 B3,4  B' 3  2,4  3  B' 5,7   2  

3 C  5,6  C '  5  2,6  3  C '  3,9

Jadi bayangan ∆ ABC adalah ∆ A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan C'(-3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d.

  5 2. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan T    !  2  Jawab : Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 sehingga diperoleh (a3)2 + (b+1)2 = 4  5 

    5 2 Translasikan titik P dengan T    diperoleh Pa, b     P' ' a  5, b  2  2 

Jadi titik P'(a-5, b+2) Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5. b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' – 2. Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan Diperoleh (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4 dan (a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4

II.

  5 Jadi bayangan dari (a' + 5 – 3)2 + (b' – 2 + 1)2 = 4 jika ditranslasikan dengan T     2  adalah (a'+ 2)2 + (b ' – 1)2 = 4 REFLEKSI Perhatikan Gambar di bawah ini!

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:  Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’  Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.  Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku. Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi. Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri Refleksi Rumus Matriks 0  x   x'   1 Refleksi terhadap .x       Ax, y  sb  A' x, y  y ' 0  1 y     sumbu x  x '    1 0  x  Refleksi terhadap .y       Ax, y  sb  A'  x, y  1  y   y'   0 sumbu y Refleksi terhadap  x'   0 1  x  yx           A x , y    A ' y , x garis y = x  y '   1 0  y  Refleksi terhadap y  x Ax, y    A'  y, x  garis y = – x Refleksi terhadap k Ax, y  x  A' 2k  x, y  garis x = k Refleksi terhadap y k Ax, y    A' x,2k  y  garis y = k p ,q  Refleksi terhadap Ax, y    A' x' , y' titik ( p, q ) Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚ Refleksi terhadap 0, 0  Ax, y    A'  x, y  titik pusat ( 0, 0 ) y  mx Refleksi terhadap Ax, y    A' x' , y' garis y = mx, dengan x'  x cos 2  y sin 2 m = tan α y'  x sin 2  y cos 2 Refleksi terhadap garis y = x + k Refleksi terhadap garis y = –x + k

y xk Ax, y    A' x' , y ' dengan x'  y  k y'  x  k y  x  k Ax, y     A' x' , y ' dengan x'   y  k y'   x  k

 x'   0      y'    1

 1 x    0  y 

 x' p   cos180  sin 180  x  p         y 'q   sin 180 cos180  y  q   x'    1      y'   0

0  x     1 y 

 x'   cos 2      y '   sin 2

sin 2  x     cos 2  y 

 x'   0 1  x   0            y '   1 0  y  k   k 

 x'   0  1 x   0            y '    1 0  y  k   k 

Sifat-Sifat a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah. b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:



Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.  Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip. c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif. d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:  Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.  Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu encerminan.  Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Contoh : 1. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A (2,0), B (0,-5) dan C (-3,1). Tentukan koordinat bayangan segitiga ABC tersebut bila dicerminkan terhadap sumbu x jawab : Pencerminan terhadap sumbu x

2. Bayangan garis – oleh refleksi terhadap sumbu x adalah Jawab : oleh pencerminan terhadap sumbu x maka: dan disubstitusi ke kurva – diperoleh: – Jadi bayangannya adalah 3. Tentukan bayangan kurva – oleh pencerminan terhadap sumbu Y. Jawab: oleh pencerminan terhadap sumbu Y maka: dan dan disubstitusi ke – diperoleh: Jadi bayangannya adalah 4. Tentukan bayangan kurva oleh pencerminan terhadap garis Jawab: oleh pencerminan terhadap garis x = 3 maka: dan dan disubstitusi ke diperoleh: – – – Jadi bayangannya adalah –

.

5. Tentukan bayangan kurva Jawab: oleh pencerminan terhadap garis maka:  dan

.

oleh pencerminan terhadap garis maka:

dan

–

 disubstitusi ke – – Jadi bayangannya: 6. Bayangan garis Jawab :

yang dicerminkan tehadap garis

adalah….

0 1  Sehingga Matriks transformasi refleksi terhadap y = x adalah  1 0

disubstitusi ke –

–

dan

diperoleh:

dikali (-1) → Jadi bayangannya adalah – 7. Bayangan persamaan lingkaran garis adalah…. Jawab : dan atau Kemudian disubstitusikan ke –

–

–

0 yang dicerminkan terhadap

dan

Jadi bayangannya adalah III.

ROTASI Rotasi Rumus 0,  Rotasi dengan pusat Ax, y  R  A' x' , y' (0,0) dan sudut putar α dengan x'  x cos  y sin 

Matriks  x'   cos      y '   sin 

 sin   x    cos  y 

y'  x sin   y cos Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α

 P ,  Ax, y  R  A' x' , y' dengan x'a  x  a cos   y  b sin  y'b  x  a sin    y  b cos

Keterangan α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam α - : arah putaran searah putaran jarum jam

 x'   cos  sin   x  a   a            y'   sin  cos  y  b   b 

Sifat-Sifat Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan: Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri. Contoh : 1. Persamaan bayangan garis setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran , adalah…. Jawab : berarti: dan disubstitusi ke: diperoleh – Jadi bayangannya: – 2. Persamaan bayangan garis setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran , adalah .. Jawab : berarti: – atau atau disubstitusi ke: diperoleh – Jadi bayangannya: 3. Persamaan bayangan parabola koordinat dengan sudut putaran Jawab : berarti: disubstitusi ke: di peroleh Jadi bayangannya: IV.

– setelah dirotasikan pada pangkal , adalah ..............

– atau

(dikali

)

DILATASI Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.  Jika k > 1 atau k < -1, maka hasil dilatasinya diperbesar  Jika -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil  Jika k =  1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan

Dilatasi Rumus 0, k  Dilatasi dengan pusat (0,0) dan Ax, y    A' kx, ky  faktor dilatasi k Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

Matriks  x'   k 0  x         y '   0 k  y   x'   k 0  x  a   a            y '   0 k  y  b   b 

P ,k  Ax, y    A' x' , y ' dengan x'a  k x  a  y 'b  k  y  b 

Contoh : 1. Garis memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B. Karena dilatasi [O,-2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’ Jawab : garis – memotong sumbu x di memotong sumbu y di karena dilatasi [O,-2] maka : dan Titik

dan titik

membentuk segitiga seperti pada gambar: Sehingga :

V.

KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MARIKS Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri Transformasi Rumus Matriks  x'   1 0  x  1       Identitas Ax, y    A' x, y   y '   0 1  y   p  x'   x   p            Translasi q Ax, y   A' x  p, y  q   y'   y   q  Refleksi terhadap sumbu-x

.x Ax, y  sb  A' x, y 

Refleksi terhadap sumbu-y

.y Ax, y  sb  A'  x, y 

Refleksi terhadap garis y=x

yx Ax, y    A'  y, x 

Refleksi terhadap garis y=-x Refleksi terhadap garis x=k Refleksi terhadap garis y=k

y  x Ax, y    A'  y, x  k Ax, y  x  A' 2k  x, y  y k Ax, y    A' x,2k  y 

 x'   1 0  x         y '   0  1 y   x'    1 0  x         y '   0 1  y 

 x'   0 1  x         y '   1 0  y   x'   0  1 x         y '    1 0  y 

p ,q  Refleksi terhadap Ax, y    A' x' , y' titik (p,q) Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚

 x' p   cos180  sin 180  x  p         y 'q   sin 180 cos180  y  q 

Refleksi terhadap titik pusat (0,0)

0, 0  Ax, y    A'  x, y 

Refleksi terhadap garis y = mx, m = tan α

y  mx Ax, y    A' x' , y' dengan x'  x cos 2  y sin 2 y'  x sin 2  y cos 2

 x'    1 0  x         y '   0  1 y   x'   cos 2 sin 2  x         y '   sin 2  cos 2  y 

Refleksi terhadap garis y=x+k Refleksi terhadap garis y=-x+k Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

y xk Ax, y    A' x' , y ' dengan x'  y  k y'  x  k

y  x  k Ax, y     A' x' , y ' dengan x'   y  k y'   x  k

0,  Ax, y  R  A' x' , y ' dengan x'  x cos  y sin  y '  x sin   y cos

 P ,  Ax, y  R  A' x' , y ' x'a  x  a  cos   y  b sin  y 'b  x  a sin    y  b  cos 0, k  Ax, y    A' kx, ky 

P ,k  Ax, y    A' x' , y ' dengan x'a  k x  a  y 'b  k  y  b 

 x'   0 1  x   0            y '   1 0  y  k   k   x'   0  1 x   0            y '    1 0  y  k   k   x'   cos      y '   sin 

 sin   x    cos  y 

 x'   cos  sin   x  a   a            y '   sin  cos  y  b   b   x'   k 0  x         y '   0 k  y   x'   k 0  x  a   a            y '   0 k  y  b   b 

Komposisi transformasi 1. komposisi dua translasi berurutan a c Diketahui dua translasi T1    dan T2    . Jika translasi T1 dilanjutkan translasi T2 b d  maka dinotasikan ” T1  T2 ” dan translasi tunggalnya adalah T=T1+T2=T2+T1 (sifat komutatif). 2. komposisi dua refleksi berurutan a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar Jika titik A ( x, y ) direfleksikan terhadap garis x = a dilanjutkan terhadap garis x = a. Maka bayangan A adalah A' x' , y' yaitu: x ' = 2 (b – a ) + x dan y' = y Jika titik A( x, y) direfleksikan terhadap garis y = a dilanjutkan terhadap garis y = b. Maka bayangan A adalah A' x' , y' yaitu: x' = x dan y '= 2 (b – a ) + y

b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus Jika titik A (x, y) direfleksikan terhadap garis x = a dilanjutkan terhadap gris y = b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah A' x' , y' sama dengan rotasi titik A (x, y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut putar 180˚ c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan Jika titik A (x, y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah A' x' , y' dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar 2 α (α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h. m k  ml tan   1  m k  ml Catatan ml  gradien garis l

mk  gradien garis k d. sifat komposisi refleksi Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus). 3. rotasi berurutan yang sepusat a. Diketahui rotasi dan , maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1 4. komposisi transformasi a b   p q  dan T2    maka transformasi tunggal dari Diketahui transformasi T1   c d r s     transformasi: a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦ T1) adalah T=T2 . T1 b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦ T2) adalah T=T1 . T2 Catatan T1 . T2 = T2 . T1 5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih Contoh: Tentukan bayangan garis oleh pencerminan terhadap garis  3 dilanjutkan translasi   !  2 Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x + y = 5 P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)  3 P'(y,x) ditranslasi   . Bayangannya  2 Jadi x'' = y + 3 → y = x'' – 3 y'' = x + 2 → x = y'' – 2 persamaan -4x + y = 5 → -4(y'' – 2) + (x'' – 3) = 5 -4y'' + 8 + x'' – 3 = 5 x'' – 4y' ' = 0 jadi bayangan akhirnya adalah

6. luas bangun hasil tranformasi Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka: a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan rotasi. b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh , maka luas bangun bayangannya adalah EVALUASI 1  1. Tentukan bayangan garis 3x + 2y – 3 = 0 ditranslasikan oleh T =    2 2  2. Tentukan bayangan lingkaran x2 + y2 – 4x – 6 = 0 ditranslasikan oleh T2 =   dilanjutkan   3   1 oleh T1 =     1

3. Diketahui titik A(1,2), B(3,4), dan C(5,6). Tentukan bayangan segitiga ABC jika dicerminkan terhadp sumbu y 4. Tentukan bayangan lingkaran x2 + y2 -2x + 4y – 3 = 0 jika dicerminkan terhadap garis y = x 5. Tentukan bayangan titik P(3, -4) dirotasi 900 berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putar O(0,0) 6. Tentukan bayangan garis x – y + 3 = 0 jika dirotasi +600 dengan pusat putar O(0,0) 1 7. Tentukan bayangan titik R(-2,4) didilatasikan oleh [O, ] 4 8. Tentukan bayangan garis 3x – 5y + 15 = 0 yang didilatasikan oleh [O,5]. 9. Tentukan persamaan bayangan dari garis 3x – y + 2 = 0 oleh refleksi trhadap garis y=x dilanjutkan dengan rotasi 900 terhadap pusat putar O. 10. Titik P(x,y) direfleksikan terhadap y = x menghasilkan bayangan titik Q. Kemudian diputar 900 dengan titik pusat O, sehingga bayangan akhirnya adalah R(1,-2). Tentukan koordinat titik P dan Q.