BAB V TRANSFORMASI GEOMETRI

x  3  2  5  4. a.  y             10 3  13 x  3 2  5       b.  y     10     3  7  x   3  2   1        c.  y 10    3      13

BAB V TRANSFORMASI GEOMETRI Latihan Kompetensi Siswa 1

3  2   1 x    d.  y     3   7   10       0  2  2  x       e.  y     0    3  3 

A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

a  1 3   4  5. a.                b  4  1  5    a  0  4  4 b.  b             0  2  2 

1. P B

6. a. BC c b 1 1 2        5 4  1     

C

R

A B'

A' 3 1 , 1 1A' 4, 0

b. AC c a 1 3  4   5           1 6  Translasi B(-2,4) oleh AC adalah: B ' 2 4 , 4 6 B'  6,10

3  5  

2. a. A 6,3   A'  6 3,3 5A'  3,8

c. AB b a 2  3  5   4           1 5 

3  5    

b. B 3, 7  B ' 3 3, 7 5B ' 6,12 3 5 

c. C  4,2    B'  4 3, 2 5C '  7,3

Translasi C(-1,5) oleh AB adalah: C'  1 5 , 5 5C '  6,10

3  5    

d. D  2, 5   D'  2 3,5 5D '  1,0  7.

y

a  8   2  6  3. a.   b   9      3     6   a  8  4  4  b.            b  9   5  4  a   8  6  2 c.   b        9    7  2  a  8  4  4  d.            b  9   3  6 

B'(1,8)

C(4,5)

B(0,5)

O'(1,3)

0

C'(5,8)

A'(5,3)

A(4,0)

Bangun hasil segi empat OABC oleh

- 121 -

x

1  translasi   3  y B(0,5) B'(-3,4)

Agar kedua garis berpotongan di (0,0) Maka translasinya adalah: a  0 2   2            b   0 1  1

C(4,5) C'(1,4)

B. Evaluasi Kemampuan Analisis. 1. Misalkan titik (x,y) berada pada garis 3 x y 4 0 . Titik ini akan ditranslasikan 0

A(4,0)

x

0  dengan  b  ke titik (0,0), maka:  x  0  0 0    y         b   0    b 

A'(1,-1)

O'(-3,1)

Bangun hasil segiempat OABC oleh 3  translasi  1  .  

Subtitusikan (x,y) = (0,-b) ke persamaan garis 3x y 4 0 , diperoleh:

3 0 (b) 4 0

5  8.  x, y  x ' , y' 2      x'5, y '2

b 4 2. L1 x y 3x 4 y 2 0 2



2

9 16 8 33  3 2 y 2   x   4 4  2

3x '15 2 y '4 1 3x '2 y '18 0 Jadi, bayangannya adalah : 3x 2 y 18 0

L 2 x 2 y 2 x 2 y 7 0





2 1 2 1 x x   y 2 y 1  1 7 0 4 4  

9.  x, y  x ' , y' 2,1

 x'2, y '1

2

1 4 28 33  1 2 x   y 1  2 4 4  

Subtitusikan x x '2 dan y y '1 ke

x 2 y 2 4 .

Lingkaran pertama ditranslasikan ke lingkaran ke dua.  3  1 a  x   a' x          2 b      2 b '   y 2    y 1     

x'2 y '14 2

x' 4 x '4 y ' 2 y '1 4 2



9 2 9 2 x 3x   y 4 y 4  4 2 0 4 4  

Subtitusikan x = x’+5 dan y = y’-2 ke 3x-2y = 1 3 x '52 y '21

2

2

2

x'2 y' 2 4 x '2 y '1 0 Jadi, bayangannya adalah : x 2 y 2 4 x 2 y 1 0

c  a'  a    d      b   b'    1    3 x   x    2  2  y 1  y 2    

10. Subtitusi y 3 x 7 ke 3x 2 y 4 0

3x 2 3 x 7 4 0 3x 6 x 14 4 0

x 1 x 3     2 2 y 1 y 2    2   1    

9 x 18 0 x 2 y 3 2  7 1 Garis y 3 x 7 dan 3x 2 y 4 0 Berpotongan di (-2,1)

2  Jadi, translasinya adalah  1    

- 122 -

3.  x' , y ' x, y  a, b

2. a. AD AB BD 3 2  1           1   4  3

 x a , y b 

Subtitusi x ' x a dan y ' y b ke 2x ' 3y '

b. AC AB BC

2 x a3 y b

AB AD

2x 2a 3 y 3b

3  1  4            1   3  2  1 c. AP AB  BD 2 3  1 2          1   2 4 

2x 3 y 2 a 3b 0 a  Jadi, garis yang ditranslasikan oleh  ke  b   2x 3 y adalah 2 x 3 y 2a 3b 0 . 4. a.  x, y  x ' , y ' 1, 2

 3  1  2           1   2  1

 x '1, y '2

Subtitusi x x '1 dan y y '2

2  1  d. PC  AC AP  1 2  

ke y x 5 2

y '2 x'12 5

1 1 2  1  e. BP  BD        2 2 4  2 

y '2 x ' 2x '1 5 2

y ' x'2  2 x' 8

3. a. T1  2,4 2 2, 4 1 4,3

Jadi, parabolanya adalah y x 2x 8

T2  4,3 4 3, 3 3 7,0 

2

b.  x , y  x ', y ' 3,2 

 2  3  5 b. T2  T1  1  3 4   T 2 T1  2,42 5,4 4 7, 0

 x '3, y '2 

Subtitusi x x '3 dan y y '2 ke y 2 4x 2 y '2  4 x '3

3  2  5  c. T1  T2  3 1 4     T1 T 2  2, 4 2 5, 4 47,0 

y '2 4 y '4 4 x '12 y ' 4 y '4 x'16 0 Jadi, parabolanya adalah: 2

 3 2   1  4. a. T 2 T1     4  3 1   3  1  2   T1 T 2      4 1 3     

y 2 4 y 4 x 16 0

Latihan Kompetensi Siswa 2

T2 T1  3, 33 1 , 3 32, 0 T1 T2  3, 33 1 , 3 32, 0 T2 T1  0,40 1 , 4 31,7 T1 T2  0,40 1 , 4 31,7

A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. AB BC AC

1 d. AB  BD AP 2 1 1 AC  DB AB 2 2

b. AB AD AC

e.

1 c. AD  DB AP 2

1 f. DC  CA DP 2

- 123 -

3  7. P ditranslasi oleh  n  diperoleh:   2  3  5      3  n   3 n      

b. y (3,3)

T2

0

T?? T2

(2,0)

5   ditranslasi oleh  3 n   

x

T?

m   diperoleh: 4   

5  m  5 m  m 5              3 n    4  3 n 4  n 1 

(0,-4)

7  m 5    P '  9 n 1      m 5 7  m 7 5 12

(-1,-7)

n 1 9  n 9 1 8

3  3  6  c. T1  T1     1  1  2 

B. Evaluasi Kemampuan Analisis.

2  2  4  T2 T2     4  4  8 

1. PQ q p

 T1 T1  3,13 6 , 1 2 3,3   T2 T 2  3,1 3 4 , 1 8 7, 7 

1  3  4      2 2 4      RS s r 5  5 0      1   1    2 

5. PQ q p

2  6 4   5       3    2  1 2  PQ  1   2  

PT t p t1  3 t1 3            t2    2  t2 2 

QR r q 4  2 2    3       5    2 

T T RS

T

2  2  0  PQ  QR   2           1  1 PQ  QR  4,34 0 , 3 14,2

RS

1 2

PQ

T

PQ

4  0  4   4           2  6 

x, yT

PT

x , y 

t1 3  x  4  x     y   6   y    t2 2        

1 2

x 4 x t1 3

y 6 y t 2 2

t1 1 t2 4 Jadi, titik T adalah (1,-4)

6. AB b a 2  3  5       5   1     4 

2.  x ' , y ' x, y  a1 , a2 

 x a1 , y a2 

BC c b 3  2  1       4 5 9      

Subtitusikan ke y ' 2 x' , diperoleh:

y a2 2 x a1 

1  5  6  AB BC  9         4  5  AB BC2,12 6 ,1 58,4 

y 2 x 2a1 a2 Subtitusikan y 2x 5 ke persamaan diatas, Diperoleh: 2 x 5 2x 2 a1 a2

5 2a1 a2 a 2 2a1 5

- 124 -

a1   a1  Jadi, T1   a     2  2a1 5

●Dari koefisien y 4 4 2a2  a2 0

x' , y 'x, y b1, b2   x b1 , y b2 

●3 a2 a1 4 a2  a1  3 2

Jadi, T1  3, 0

Subtitusikan y 2 x 5 ke persamaan diatas Diperoleh: 2 x 5 2 x 2b1 b2 12

y 2 x 4 y 3 0 ditranslasi oleh T2 diperoleh bayangan x 3 y . 2

b2 2b1 7 b1   b1   Jadi, T2  b     2  2b1 7 

b1    Misalkan T2   b2    x ' , y 'x , y  b1, b2 

 b1   a1    a. T1  T2  2b 7 2a 5  1  1 

Subtitusi ke x 3 y 2 diperoleh:

 x b1, y b2 

x b1 3 y b2 2 x b1 3 y 2 2b2 y b22

a b a1 b1     1 1   2a 2b 2 2 a1 b1  2   1 1     a1   b1    T2 T1  2ba 52b 7   1  1 

y 2 x 2b2 y b2 b1 3 2

Subtitusi y x 4 y 3 diperoleh: 2

a1 b1    2   a1 b1 2 

4 y 3  2b2 y b2 2 b1 3

b.  x , y  x ', y '  a1 b1 ,2 a1 b1  2

●Dari koefisien y 4 2b2  b2 2

 x ' a1 b1  , y ' 2 a1 b1  2 

●3 b2  b2  2 2

3  2b1 3

Subtitusi ke y 2 x 5 diperoleh:

2

y ' 2 a1 b1  2 2 x ' a1 b1  5

3 4 b1 3  b1 4

y '2 a1 b1 2 2x '2 a1 b1  5 y ' 2 x' 7

Jadi, T2  4, 2 

1  4  3  T1 T 2  2   0   2        x , y x ', y ' 1,2  x '1, y'2

Jadi, bayangannya adalah : y 2 x 7 3. Parabola: y 2 x 4 y 3 0 Ditranslasi T1 diperoleh y 2 x 4 y 0

a1  Misalkan T1  a   2  x' , y 'x, y a1, a2 

Bila x y 4 y 3 ditranslasi oleh T1  T2 diperoleh: 2

x '1y '2 2 4y '2 3

 x a1 , y a2 

x '1 y '2 4 y'4 4 y '8 3

Subtitusi ke y x 4 y 0 diperoleh:

y ' x'

2

2

y a 2 2 x a1 4y a2 0

Jadi, bayangannya adalah y 2 x .

y 2 2a 2 y a 2 x a1 4 y 4a2 0 2

y 2 x  4 2a2  y a2 a1 4a2 0 2

y x  4 2a2  y a2 a1 4a2 2

2

Subtitusi y 2 x 4 y 3 diperoleh:

4 y 3  4 2a2  y a 22 a1 4a2

- 125 -

2. B(3,-1) dicerminkan terhadap garis x  2 diperoleh B'  2. 2 3,1B'  7, 1 .

4. Dengan menggunakan gambar pada koordinat Cartesius diperoleh titik R. y

Dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x = 3 diperoleh B"  2 3 7, 1 B"  1, 1 .

S

11

y B

P

5

3

R(7,5)

-1 B"

-1 0 -1

3

0

x -1

7 x

Q

3  7  Translasi berurutan  7  kemudian  3      3  7  4  Diperoleh translasi  7          3  4  Jadi, koordinat bayangan R (7,5) oleh translasi 11 4  7  4    adalah :     4  5  4  9      

B'

-7

 3 3. C  4,  2 x C ' 2 3 4,2C '  10,2

C ' 10,2   C " 2 2 10, 2C "  14, 2 x 2

y

-14

Latihan Kompetensi Siswa 3

-4

10

0

C"

A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

-2

C

C'

 1 4. A 5,1x A'  2 1 5,1A'  3,1

1.

x 1 B 2,3 B'  2 1 2,3B ' 4, 3

R

x 1 C 0,2   C ' 2 1 0, 2C '  2,2 

E

E'

 3 A' 3,1x A"  2 3 3,1A"  9,1  3 B ' 4, 3 x B" 2 3 4,3B"  2,3  3 C'  2,2  x C"  2 3 2,2 C "  4,2 

D'

F'

F

D y B

S

3 2C

A' -3

- 126 -

B" C'

B' C"

1 -2

0

2

4

A

A"

5

9

x

y

5. C  2,3    C '  2,2   1 3C '  2,  5 y  1

C"

18

 3 C'  2,  5y  C"  2,2  3 5  C "  2,11

13

y

A" B"

C"

11

C

6

1 0 3

-5 2

5 A' 3,4  y  A"  3, 2  5 4 A" 3,6

y 4

b. A 3, 4 A'  3,2  2 4A'  3, 0 y 2

 1 2, 7y 2, 2  1 7  2,5

x 1 A' 3,0   A"  2 1 3,0 A"  1, 0

y

c.

(2,7)

y

y A"

6 (2,1) 2

C'

x 3

6.  2,1 2, 2  4 1 2,7 

-5

A' B'

8. a. A 3, 4  A'  2 3 3,4  A'  3, 4

C'

-5

0

x

x -10

1

B

234

C

0

7

A

A A'

4

A

4

x

(2,-5)

0

3 x

A' 3 x

A" -1 0

7. A 2,1   A'  2, 2  2 1A'  2, 5 y  2

 B 4,1 y 2  B'  4, 2  2 1B'  4,5

 3 9. a. B  3,1y  B'  3, 2  3 1B '  3, 5

 2 C 3, 6y   C'  3, 2  2 6C '  3,  10 

 2 B ' 3, 5 x B"  2 2 3, 5B"  7, 5  b. B 3,1 x 4 B'  2 4 3,1 B'  5,1

4 A'  2,5 y  A" 2, 2  4 5A"  2,13

B'  5,1   B"  5, 2  1 1B"  5, 3 y 1

4 B'  4,5 y  B"  4,2  4 5B"  4,13 4 C'  3,  10  y  C"  3, 2  4 10C"  4, 2

c. y B'

B -3

B"

5

1 0

7

x

y B'

B

-5

-3

B"

- 127 -

x

-3

b. 10. (x,y) My1(x,y) Mx1(x,y) My1○Mx1 (x,y) Mx1○My1 (x,y)

(2,1) (2,3) (8,1) (8,3) (8,3)

(0,0) (0,4) (10,0) (10,4) (10,4)

(7,4) (7,0) (3,4) (3,0) (3,0)

(-1,2) (-1,2) (11,2) (11,2) (11,2) 13. a. Pencerminan Terhadap y x

My1(2,1)

y 3

x ' , y 'y , x 

My1oMx1(2,1) Mx1oMy1(2,1) y=2 (2,1)

1 0

2

Bayangan garis x y 2 0 adalah: y 'x'2 0 Jadi, bayangannya: y x 2 0

Mx1(2,1) 8

x=5

x

b. Pencerminan terhadap y x

y 4

My1(0,0)

My1oMx1(0,0) Mx1oMy1(0,0)

x ', y 'y ,x  x y '

y x ' Bayangan garis x y 2 0 adalah:

y=2

0

Mx1(0,0) 10 x

x=5

y

y 'x ' 2 0 Jadi, bayangannya: y x 2 0

Mx1(7,4)

4

y 'x '2 0

(7,4)

14. Pencerminan terhadap x 4 x ' , y '2 4 x , y 

 8 x, y 

y=2 My1oMx1(7,4) Mx1oMy1(7,4) 0

x=5

My1(7,4) 7

x ' 8 x  x 8 x ' y ' y  y y '

x

My1oMx1(-1,2) Mx1oMy1(-1,2) y=2 Mx1(-1,2)

y My1(-1,2) (-1,2)

a. x y 2x 4 y 5 0 2

2

2 8 x'2  y' 2 8 x ' 4 y ' 5 0

64 16x 'x ' y ' 16 2 x'4 y'5 0 2

-1 0

11 x

x=5

x '2 y '2 14 x '4 y '53 0 Jadi, bayangannya adalah: x 2 y 2 14 x 4 y 53 0 b. y 2 x 2 x

Transformasi Kedua

11. ○

Transformasi Pertama I X

2

y ' 2 8 x ' 8 x ' 2

Y





y ' 2 64 16x 'x '2 8 x ' I

(x,y)

(-x,y)

(x,-y)

y ' 128 32 x'x ' 8 x'

X

(-x,y)

(x,y)

(-x,-y)

y ' x'2 31x '120 Jadi, bayangannya adalah:

Y

(x,-y)

(-x,-y)

(x,y)

2

y x 2 31x 120 20 15. P  r,    r, 2  20  r ,40  45 r, 40   P2  r, 2  45  40   P2  r ,90 40   P2  r ,50  

12. a. X○Y○I

P P2

- 128 -

(2,10°) (2,60°)

(10,20°) (10,70°)

(5,30°) (5,80°)

(3,45°) (3,95°)

(4,60°) (4,110°)

3. a. A(2,1) dicerminkan terhadap y x 3 x ' y 3 1 3 2

B. Evaluasi Kemampuan Analisis. 1. a.

y ' x 3 2 3 5  A'  2,5  b. A(2,1) dicerminkan terhadap y x 5 x ' y 5 1 5 4 y ' x 5 2 5 3  A'  4,3 c. A(2,1) dicerminkan terhadap y 2 x 1

R2 B 30°

y 1 1 1  1 2 2 y ' 2x 1 2  2 1 3

x'  30°

A

R R1

0

 A'  1,3 d. A(2,1) dicerminkan terhadap y 2x 1 y 1 1 1 x'   0 2 2 y ' 2 x 1 2  2 1 3

b.

 A'  0, 3

R2 B

4. Persamaan bayangan dari lingkaran x 2 y 2 9 karena pencerminan x 2 y 6 0 x ' 6 2 y

R 60°

6 x x y'  3  2 2 2 2 Titik pusat x y 9 adalah di (0,0) Pencerminan titik ini terhadap x 2 y 6 0 x ' 6 2. 0 6 0 y ' 3  3 2 2 2 Jadi, bayangannya adalah :  x 6   y 3 9

30°

A

0 30°

R1

c.

5.

R2 B

30+ 30-

R A

0

R1 2. ROR2 BOR BOR2

AOB AOR BOR1 AOB AOR AOR1 AOB 2AOB AOR AOR 2AOB (terbukti)

- 129 -

2.

Latihan Kompetensi Siswa 4 A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a.



R 0 ,2



 

3 A x , y 3. A 0, 2  /

/

/

2 2 .0 sin .2 3 3 1 2. 3  3 2 2 2 y / sin .0 cos .2 3 3 1  . 2 1 2 /  A  3, 1 x / cos

b.





A dirotasi dengan titik pusat  2,1 dan sudut

   cos   . 0 sin    .2   2 2 sin2 .1 cos2 .2 2 

putar  2

x/ c.

 0  1 . 2 1 1  1 .2 2 

2 1 2 2 1 y sin  . 0 cos  . 2  2 2

     cos 2 .1 sin2 .2 1

/

 1.0 0.2 0. 1  1 . 2 13 A 1, 3 /

d.



         R 0, 2

3  B / x / , y/ B  3 ,1    2 2 x / cos .  3 sin . 1 3 3 1 1     .  3  . 1    3 2 2     3 3    3 2 2 2 2 y / sin .  3 cos . 1 3 3 1  1     1  3  3   2    2 3 1   1 2 2  B / 3 ,1

   

e.

 

- 130 -

B dirotasi dengan titik pusat  2,1 dan sudut putar  2 / x cos  .  3 sin  . 1 2 2 sin  . 2 cos  . 1 1 2 2

4. a. Putaran berpusat di O  0,0  dengan sudut  putar 3   x / cos x sin y 3 3 1 1  x  3y 2 2   y / sin x cos y 3 3 1 1  3x  y 2 2 Matriks transformasinya : 1 1   3 2 2   1 3 1    2 2  1 1  0   3  3  2 2    / b.   A 1 3 1    2 1   2 2    1  1 0  3  3  2    / 2   B 1 3 1    1 2 2     2 

               1  3 0. 1 0.2 1.1 1

 3 1 1  3 y cos  .  3 sin  .  1 2 2 sin  . 2 cos  . 1 1 2 2

             0  3 1 1 1.2 0.1 1  1 2 1 2 B   3 ,2  /

/







R 0 ,2



 

3 C  3, 1   C / x / , y / 2 2 x / cos  3 sin   1 3   3   1 1     3  3  1  2 2 

 

 

3 3   3 2 2 2 2 y / sin   3 cos   1 3   3  1   1  3  3    1 2   2 3 1   1 2 2 /  C 3, 1 

 

1 2  1 2  1 2  1  2 1 2  1  2 1 2  1 2 

 

 

C dirotasi dengan titik pusat  2,1 dan sudut putar  2 / x cos  .  3 sin  . 1 2 2 sin  . 2 cos  . 1 1 2 2

               1.  3 0. 1  0.2 1 .1 1

 3 1 1  3 y cos   3 cos   1 2 2 cos  .2 sin  . 1 1 2 2 /

             0.  3 1. 1  1.2 0.1 1

3

3

3

 3  3  3      /   C     1 1       2 1  3      /   D     0  3       3   3 3      /   E     1 1       3  1  2    /   F   0   3    

1 1   5. a. R45  1,2   2  1 2, 2 1 2  2 2   3 1    2, 2 2 2 

 1 2 1 2 /  C  3 ,2



3

1  2 1 2 1  2 1 2 1  2 1 2 1  2 1 2

 cos 30. 2 sin 30.1,   b. R30  2,1  sin 30 .2 cos 30.1   



1 1 1 1   3. 2  .1 , . 2  3  2 2 2 2   1 1    3  , 1  3  2 2  

- 131 -

 cos 60. 1 sin 60 . 3,   c. R60  1,3       sin 60 . 1  cos 60 . 3   1 1 1  1  .1  3.3, 3.1  .3  2 2 2  2 1 3 1 3     3 , 3  2 2 2 2

1 f. R60  R45  1,2 R60   2

2,

3  2 2 

 1   3 cos 60 .  2 sin 60 . 2 ,  2 2   1  3  sin 60 .  2 cos 60 . 3   2 2    1 1 1 3  2 2 2 2 3. 2 2 ,   1 1 1 3  3 2  . 3   2 2 2 2 

1 1   d. R45 R30  2,1R45  3  ,1  3  2 2     1   1    cos 45  3  sin 45  1 3 ,  2   2     1 1    sin 45  3  cos 45  1  3   2   2   1   1 1  1  1 3 , 2 2  3 2 2 2  2       1 1 1   1  1  3   2  3   2 2 2   2  2

 2 3 6 6 3 3    ,   4 4 4   4    0 10 1   1 0 6. a. R90 R90    I 1 0 1 0  0 1  b. R270 R180 R90 R180 0  1  1 c. R180  R90  0 0 d. R90 R180  1 

6 2 2 6      , 2 4 2 4   6 2 2 6       2 4 2 4 

6 3 2 3 6 2   ,   4 4 4   4   1 3 3 3  e. R30 R60  1,3R30  2 2 3, 2 2     1 3 3    sin 30 3 3   cos 30   , 2 2 2  2          3 3   1 3 3      sin 30   2  2 cos 30 2 2        3 1 3 3  1  3 3         , 2 2  2 2 2 2          3  3 3  1  1 3 3    2    2  2 2 2   2    3 9 3 3 1 3 3 3 3 3     ,     4 2 4   4 2 4 4 4  21 7     ,   4 4

e. R90 R180

1 1 0   0 1   R90 00 1  1 0 00 1  0 1   R90 1 1 0   1 0 1  1 0  0 1   R90 0 0 1  1 0 0 1 1 0    1 0 0 1 0 1   R90 R270 1 0 

0, 60 

0,180 

0 ,180 

0, 60 

0 ,180 

0, 240 

0 ,60 

0 ,60 

0, 60 

0, 60 





7. a. OA  OB OE 



b. OA  OD  OE 



c. OF  OC  OA 



d. OA  OB  OC 



e. OC  OD  OE maka : O ABC   O CDE 8. a.

- 132 -

My x

10. A   A 0  2,0    1 

b.

/

1 2  0  0 0  2

x / B My  B 0 1 4  4  4,4   1 0 4 4    x / C My  C 0 1 2  4  2,4   1 0 4  2  Bangun hasil pencerminan jajargenjang OABC terhadap My x adalah

jajargenjang OA / B / C / dengan A /  0, 2 ,

c.

B/  4,4 , dan C /  4, 2  0 10 1   1 0 11. a. R90  R90    I 1 0 1 0  0 1   0 1 1 0  0 1 b. M y x M x     R90 1 0 0  1 1     0  1 0  0 1 0 1  c. M x M y x    R90 0 1 1 0  1 0  0 1 0 1  1 0 d. R90 R90    I 1 0  1 0  0 1   1 0  0 1 0 1 e. H M y x     1 0  1 0 0 1 M y x

d.

 1 01 0  1 0  f. M x  M y    H 0  1 0 1    0 1  0 1 2  1  M y x 12. A 2,1     1 0 1  2  1 0 1  1   Mx  1,2      0 1 2  2 

0 ,90  9. O    O / 

0 1 3  0 / 0, 90   A 3, 0 A 1 0  0  3  0 1 1  6  / 0 ,90   B 1,6    B 1 0 6 1   Bangun hasil pencerminan segitiga OAB terhadap R90 adalah 

y x A 2,1 M xM    A//  1,  2



0 1 0 1  13. a. M y x R90    1 0  1 0   1 0  M y 0 1   1 0 0 1 0 1 b. H R90    R90 1 0  1 0 0 1  1 00 1 c. H M y x    1 0 0 1  0 1  M y x 1 0 

segitiga OA / B / dengan A /  0, 3 dan B /  6,1

- 133 -

d. R90 H M y x R90 M y x

B.

0 1 0 1     1 0 1 0  1 0   M y 0 1 

  R

 3,2

1. a. H R90 M y x  3, 2 90

M y x

 0 1  0 13      1 01 0 2      3  3 1 0        0 12 2       b. M x R90 M y x  1, 3

 0 1 0 1 14. a. H M y x R90    1 0 1 0   1 0  M x 0 1   1 0 3 3     0 1 2  2 





1 0  0 1 0 1 1        0 1 1 0  3 1 0      0 1 3 1         1 0 1    3

 M y x  R90 P 3, 2H    P/  3,  2 b. H M x M y H H





c. M y M y x H  2,1

1 0 0 11 02        0 1    1 0    0 11  1 0 12            1 0 1 2   

 1 0 1 0    0 10 1  1 0  I 0 1 

 M x P 3, 2H M y  P/  3,  2





2. a. 2 x y 3 0 dirotasikan  1, 2 ,90 

 1 00 1 0 1 c. M x M y x M y x     0 1 1 0 1 0   0 1 0 1  1 0      1 0  1 0 0 1  1 0 3  3    0 1 2   2 

x cos 90 . x sin 90 . y  

/



sin 90. 1cos 90.2 2 y 1 2 1 y y / sin 90. x cos 90. y  cos 90 . 1 sin 90. 2  1 x 2 1 x 3 / x 1 y  y 1 x /

M y x  y x P  3, 2 M x M  P/  3,2 

1 0 1 0  15. a. M M x M y x    0 1 0 1 1 0   M y 0 1 b. R90 R90 M y x I M y x

y / x 3  x y / 3 substitusi ke 2x y 3 0

  

2 y / 3 1 x / 3 0 2 y / 6 1 x / 3 0

1 0 0 1     0 1 1 0  0 1   M y x 1  0

2 y / 6 1 x / 3 0 2 y / x / 10 0 Jadi, bayangannya adalah 2 y x 10 0

1 0  1 0 0 1  c. M y M x M 90     0 1 1 0 0 1 1 0 0 1     1 0 0 1 0 1   R90 1 0 

  cos 180  x sin  180  y sin  180  2 cos  180  11

b. y 2 4 x 3 dirotasikan  2,1 ,180

x

/









x 1 1 x 2

    cos  180  2 sin  180  12

y sin 180 x cos 180 y  /









y 2 2 y

- 134 -

x x 2  x x 2 /

2. Matriks yang bersesuaian dengan  2 0 dilatasi  0, 2 adalah   0 2  A 3,1

/

y y  y y /

/

substitusi ke y 2 4x 3



B 3,4 

y / 2 4x / 8 3

D 6,1

y 4x / 2

/

2 3

C 6,4 

y / 2 4x / 5 Jadi bayangannya adalah y 2 4x 5



c. x y 2 x 2 y 5 0 dirotasi  4, 5 , 60 2

2

 x/   5 3.  /   y     0





a. R  2,0

x 2x 1 y 2 y 1 5 2 0 2

2

x /   5 0 1   1       R/       y /  0 5 2  2     1  6  5        102 8      

x 1y 17 2

2

titik pusat llingkaran  1,1 dan r  7 titik pusat dirotasi menjadi : x / cos 60 1 sin 60 1

b. S  3,1

sin 60 .4 cos 60 .5 5 1 1 5   3 2 3  5 2 2 2 3  3 2 2 y / sin 60 1 cos 60  1

 x/   5 0 2   1       S /      y /  0 5 1  2     10 1 11           5 2 3     

c. T  3,5

cos 60 . 4 sin 60 .5 4 1 1 5  3  2  3 4 2 2 2 1 3 3 6 2 13 3 3  2 Jadi. Bayangannya adalah 



2

 x/   5 0 2  1        T /  /      y   3  2     0 5 10   1  11         2   15 17       d. U  5,7 x /   50  4  1       U /      y /  0 5 5 2       1  21  20        25 2 27      

2

 3    13    x 2 3 2   y 2 3 3   7       

 x/   P 0 x a   a 4.            y /   0 p b y b     

Latihan Kompetensi Siswa 5

 x/  P x a a     p  y /     y b b   x/  Px ap a    py bp b   y /     / S 9,9 S  9,17 

A. 1. P 2,1  P  0, 2 0, 2

0 1 x 1            5 2 y 2   

/

0, 2 Q 4,1  Q/ R 4,3 S 2, 3

T 9,11 T /  9, 21 9 9 p a p 1 ........ 1 17 9 p b p 1 ........ 2 21 11 p bp 1 ........ 3

- 135 -

eliminasi  2 dan  3 diperoleh : 4 2 p  p 2

 x/   P 0 3 x 3      2.  /       y   0 p 1 y 1     px 3 p 3    py p 1    x / 3 p 3 y / p 1 substitusi x  dan x  p p ke persamaan 4x 6 y 18 0 diperoleh :

substitusi p 2 ke  1dan  2 diperoleh : 9 18 a  a 9

17 18 b  b 1 jadi, a,b , dan p adalah 9,1, dan 2

 x/   2 0   x 1  1  5.           y /   y 2  2        0 2  2 x 1 1   2y 22     2x 3   2 y 6   

x / 3 p 3  y / p 1  6 18 0 4    p  p     /

/

3 x x 2 / y 2 y 6 /

y 6 y 2 substitusi x dan y ke persamaan : /

3. A 1, 2

y x 2 24

ax  2 0 1 2       ay  0 2  2 4         B 1,5 

2

y / 6  3 x /   2  24 2   2 y / 12 9 6x / x / 2 96   4 4 4 2 y / x / 2 6 x / 117

 bx  2 0 1 2             by    0 2  5 10 C 3,5

x / 2 6 x / 117 y/  2 Bayangan parabolanya adalah :

 c x  2 0 3  6              cy   0 2  5  10  D 3, 2

x 6x 117 / y  2 2

d x  2 0 3  6       d y  0 2  2  4        

B.

 x /  P 0   x  px     1.  /        y   0 p y  py    /

x y substitusi x  dan y  ke 3x 3 y 3 0 p p /

/

4 x 6 y 18   0 p p p Bandingkan dengan persamaan : 2 x 3 y 9 0 4 2  p 2 p 6 3  p 2 p

x / 2 x 3

/

/

4 x 12 p 12 6 y 6 p 6 18 p       0 p p p p p p p

/

3x 3y  3 0 p p Bandingkan dengan persamaan : x y 3 0 3 1  p 3 p

- 136 -

1 1a  7    4.  8      1 4   b  7  a b     8  a 4b    

Uji Kompetensi Akhir BAB I A. Pilihan Ganda

eliminasi 7 a b dan 8 a 4b diperoleh : 7 a b 8 a 4b  1  5b

1. D 2. A

1 b 5

3. E

x x , y y  y, x y x 5,00,5

1 substitusi b  ke: 7 a b 5 1 7 a  5 1 1 36 a 7   a 7  5 5 5 36 1 Jadi, a  dan b  5 5

4. B

1 0  0 1  0 1       M x M y x       0 1  1 0   1 0 5. A  x/  1 2  1  3              y /   0 2 1  2     diputar setengah putaran dengan pusat O maka :

 1  a b  1  a 2b  5.   5  c d   2         c 2d  3 a b  1  a               1  c d 0   c  a 3 dan c 1 substitusi ke 1 a 2b dan 5 c 2d 1 3 2b  b 1 5 1 2d  d 2 Jadi, nilai a, b, c , dan d berturut-turut adalah 3, 1,1, dan 2

a, ba, b 3, 2  3,2

6. C Bayangan y 2 x 2 dari pencerminan terhadap y x adalah : x 2 y 2

x 2 y 2 x y  1 2 7. C 3x 4 y 12 dicerminkan terhadap y x 0 atau y x menjadi 3x 4 y 12 lalu di

 3 5 transformasi dengan   1 1  

 x/   3 5 x  3 x 5 y  /   1 1  y  x y  y      / / x 3x 5 y  1 x 3x 5 y y / x y

3

3 y /  3 x 3 y x / 3 y / 2 y y

- 137 -

-

x 3 y ........ 1 2 /

/

substitusi c 5 ke 2c 5b 6 6 5d 6 d 0 1 2  Jadi M   3 0 

substitusi persamaan ini ke y x y /

x / 3 y / / y x   2 

   

2 y / 2x x / 3 y / x / 5 y / x ....... 2 2

10. B  43  

A 1,1    A  5, 2

substitusi  1dan  2 ke 3x 4 y 12

x / 3 y / 3  2  /

 x / 5 y / 4   2   /

/

/

 43  

B 2, 4    B  2,1

 12  

/

 43  

c 3,5   C  7, 8

/

3x 9y 4x 20 y    12 2 2 2 2 / / 11y x 24   0 2 2 2 11y / x / 24 0 Jadi, persamaannya adalah :11 y x 24 0

/

11. A

x  12   x 2 x /            y  y 1   y /       x x 2 /

y y / 1 substitusi ke y 2x 1

8. D  3  

y 12x 21

 1  

2 1 x, y   x 3, y 2    x 2, y 1 / / x x 2   x x 2 ........ 1 / / y y 1   y y 1........ 2 substitusi  1dan  2 ke 2x 3 y 6



/

/

y / 1 2 x / 4 1 y / 2 x / 2 Jadi, persamaannya adalah y 2 x 2

 

2 x / 2 3 y / 1 6

12. E x x , y y  y, x

2 x 3 y / 5 0 /

 x/   1 2 y  y 2x        x     y /   0 1   x    x y /

9. B

a b  Misalkan : M   c d 

2,5  8, 6

y 2 x x /

a b 2  2a 5b  8       c d  5  2c 5d  6  

y x / 2 x y x / 2y /

3,1  5,9

substitusi x y / dan y x / 2y / ke

a b 3  3a b  5       c d  1   3c d  9  eliminasi 2a 5b 8 dan 3a b 5 2a 5b 8  15a 5b  25  17 a 17 a 1 substitusi a 1 ke 2a 5b 8 2a 5b 8 b 2 eliminasi 2c 5b 6 dan 3c b 9 2c 5b 6 15c 5d  45 17c 51 c 3

2 x y 4 0 diperoleh :





2 y /  x / 2 y / 4 0 x 4 0 Jadi, bayangannya adalah x 4 0 /

13. E M 1 M 2  1, 2M 1  M 2 1, 2 

M 1 1, 2.8 2 M 1 1,14

 1, 2 2 14  1, 18 

- 138 -

14. A  1 1   2  3    0 2   1        2  0 13  2          1 0  2   3 

18. D  2 x , y x   2. 2 x , y  4 x, y  3 4 x , y y  4 x, 6 y 

dirotasi terhadap R90

 0 1 4 x   y 6  4              1 0   6 y  4 x   6  y 6 4 y 2 4 x 6 x 10 Jadi, A 10,2

15. E 1 0 x  x    0 1        y   y  0 1x  x           1 0   y  y  16. C

19. C x, y diputar 45menghasilkan :

   

Dari gambar diketahui bahwa titik antara  2,3 dan  4,5terhadap titik  3, 4 yang terjarak sama dari kedua titik garis yang digambar merupakan garis yang sejajar garis y x , sehingga persamaan garisnya dapat ditulis sebagai y x c

untuk mendapatkan nilai c , substitusi  3,4  ke persamaan tersebut 4 3 c c 7 Jadi, garis lurus m memiliki persamaan y x 7 atau x y 7 0

20. A x , y sumbu  x  x ,y 

  

lalu diputar R 0, 90

0 1 x  y           1 0  y  x 

17. C 6 x, y x 2.6 x , y  12 x , y 

substitusi y x dan x y ke y 2x 3 /

x / 12 x x 12 x

   

 cos 45.x sin 45  y,     sin 45x cos 45 y    1 1 1 1   2 x  2 y, 2 x  2 y  2 2 2 2   di cerminkan terhadap sumbu x menghasilkan : 1 1 1 1   2 x  2 y, 2 x  2 y  2 2 2 2  1 1  2  2 2  2 matriksnya  atau 1 2 1 2  2 2   1 1 1 2  2 1 1 

x 1 2 y / 3 /

x 1 2 y / 3 0

y y substitusi ke y x 1 /

y / 12 x / 1 y / x / 13 memotong sumbu y ,artinya x 0 y 13 Jadi, titik potongnya adalah  0,13

- 139 -

/

0  2   2  1 1          2   2    2      1  1  2        2  2  2   2  2  

B. Bentuk Uraian 1.

 2  2  1 1         2     2    1 1         0 2  2  2   

Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan menghasilkan perputaran terhadap titik potong kedua garis yang jauhnya sama dengan dua kali sudut antara kedua garis dan arahnya searah dengan arah dari garis pertama ke garis kedua. Jadi, hasil pencerminan titik P  x, y terhadap OA dan OB sama dengan hasil perputaran P terhadap titik pusat O sebesar dua kali sudut yang dibentuk oleh garis OA dan OB . (dalam gambar diatas, sudut tersebut  adalah 2  )

Perputaran yang sesuai adalah R45



 

3. Pemetaan P x , y   P x , y dinyatakan dengan matriks :  x/   x 2 y  /  2x 3 y   y      /

Misal : sudut antara OAdan OB

sudut antara OC dan OD sudut antara OA dan OD M 1 , M 2 , M 3 , dan M 4 merupakan pencerminan terhadap OA, OB , OC, dan OD . a. M1 M 2 R  O ,2 b. M 3 M 4 R  O ,2  c. M 2 M 1 R O, 2 d. M 4 M 3 R  O ,2  e.  M 3 M 4  M 1 M 2 R O, 2 f.  M 1 M 2  M 3 M 4 R  O ,2 g.  M 2 M 1  M 4 M 3 R O, 2 h.  M 4 M 3  M 2 M 1 R O, 2

/

/

1 2x     2 3y   matriks yang bersesuaian dengan transformasi : 1 2    2 3 

 x/   2 0 x  2x  4. /   1 3  y  x 3 y  y       /

x 2 / / / y x y x y   3 3 6 substitusi ke 2x 3 y 5 0 x

2 2   2  1  2. 1          2   2    2   1 1  2          2  0  2   2  2      0 1  2 1      2 2       1 1        2  2   2 2   

x / 2 2 

 y / x /  3  5 0  3 6    /

x x / y /  5 0 2 / 3x y / 5 0 2 3x / 2 y / 10 0 Jadi, bayangannya adalah : 3x 2 y 10 0

- 140 -

 

5. Matriks dari pemetaan P x, y    P x , y /

/

3. E

/

x

b



 dx c cos c 

 x/   3x 2 y   /  4x 3  y       3  4 x     4 3 y  

a

b

x c sin  c c a

 b a c  sin sin c c  c b a sin sin 1 c c b b x 1 1 x sin 2 dx  dx   cos   a a 2c c 2 2 1 b 1 b x  dx  cos dx a a 2 2 c b 1 b 1 x   xa  c sin  2 2 c a 1 1  b a   b a   c sin sin  2 2  c c 1 1   b a   c 2 2 1   b a c  2

 x/   3 4 3 1     /   4 3 2 18 y          x/   3 4 1  19     /     4 3 4  8  y       x/   3 4 1  21    /     4 3  6 22  y      Bayangannya adalah : A/  1,18  , B/  19,8 ,C/ 21, 22







Uji Akhir Siswa 1



A. Pilihan Ganda 4. D

1 tan

1. C

x

2

2

1

2

9 x  dx 3 y 0

3

3

3

0

2

dy





2

1

2



2 x dx 78

x

3

2

2x

dx

1

5. A

x dx ax f 

2

bx c

f  x 2ax b

barisan aritmatika : a, f  a a q, 2b 1 2q dimana q beda

2b a 2q

a 2q b 2 f  a a q

 x 78

2

dx

1  sin 2x k 2

1  2   2 3  3  6 2 4   9 9

a

2x

dx  sec 2 x  cos 2x dx 

1 2 2      3  9 8 9

1

2

1

sec



2

3x

1

3

1 2     3  9 x 3   0

2. C

2 x tan 4 2x tan 6 2 x ... dx

1 tan



2

1 2 y 9 x  y  dy 3 0 dy  3 x 2dx 1  2 1 3 2 y 0 2 x dx  dx 2 3 1 2      3  y 0 3

2

2a 2 b a q a 2q 2a 2  a q 2 4 a2 a 2q 2a 2q

2 a 1

a a 2 1 1 78 3

a 3 a 2 80 a 3 a 2 64 16 43 43 a 4

4 a2 a 0 a 4a 10

- 141 -

8. E

1 a 0 atau a  4 1 karena a 0, maka a  4 f  b 2 ab b 6 1 b b 6 2 2 b 6. 4 3 1

1 2  f  x dx  x 4 x c  0 4  0 1



1  4 c c 4 1 17 4  4 4

3

6





L  x 2 3x dx  x 2 3 x dx 0

3

3

9. C

1

1

2 1  x x 3 dx x  x 4  3 4 0 2 1   3 4 8 3 5   12 12

 0

6

x 3 3x 2  x 3 3x 2        3 2  3 2  0 3 27 27 9  72 54 9  27 2 2

6. B

3

2

y y 4 x 2  x 2  4 y x 2  x 2 y 4 y V  y  dy 0 4 43  y dy 0 4 3 4  y dy 4 0 4 3 1 2   . y  4 2  0 3 2  4 02 6 8

7. A y ax 2 bx c

dy 2 ax b dx 2 x 8 b 8 b2 4ac y 4a  64 4c 7 4 28 64 4c









4c 36 c 9 jadi, y x 8x 9 2

- 142 -



4 x 10 y 20 4 x  3 y 12  7 y 8

10. E

8 y 7 40 2 x  10 7 30 15 x  14 7 z y 2 x 2 Titik Pojok 0, 0 z 2 z 4 3,0 z 4 0, 2

x 2 y 2 9  y 2 9 x 2 x 2 y 2 16  y 2 16 x 2

  7 dx 4





V  16 x 2 9 x 2 dx 3

157 , 87 

4

4 z 4

z 13 7

3

4 7x  3 7 4 3 7

14. A

11. A

Titik Pojok

20, 0 0, 20

12. A

Titik Pojok

0, 48 20,8

20x 8 408 8 20x 8 8 408

Nilai maksimum 20 x 8 adalah 408

13. B

- 143 -

15. C

17. C

Titik Pojok

 1,2  4,2 3, 3  1, 133 

3x 4 y

11 20 21 61 3

20 13

Nilai minimum 3x 4 y adalah11 Titik Pojok

4,0  0,4   3,6   6, 3

4x 2 y 16

18. E

8

24 30

Nilai maksimum 4 x 2 y adalah 30 16. B

Titik Pojok

 10, 0 0,12 2,8

Titik Pojok

 16,0   8, 4 0,12 

2 x 5 y

10a 120 2a 80  minimum

2x 5 y

2a 80 10a 2a 80 120 8 a 80 2a 40 a 10 a 20 jadi, 10 a 20

32 36 60

Nilai minimum 2x 5 y adalah 32

- 144 -

19. C x banyak jeruk

21. C

 1 A2  4m 

y banyak mangga 5000 x 6000 y 600.000  5 x 6 y 600 x y 110

 1  1 4m 1 2

  1 2m 0    1  0 1 2m  1 2

 1 4  6 m14 1 B 1    6 m 4  1 6m 6 m14

4 46m 6m 46m

  

A2 B 1 C  1 2m 0  6m14   1 2m  6m14 0

Titik Pojok

 110,0  0,100   50, 60

 6500 5000  x  8000 6000 y 1500x 2000 y

165. 000 200.000 195. 000

y banyak penumpang kelas ekonomi 60 x 20 y 1440  3x y 72 x y 48

23. D  1 2x x   0 2      1 y  7 10 2 3  x 2 x 2 y   0 2     7 10 2 x 3 2x 3 y   x 2 0 x 2 2 2 y 2 2 y 4 y 2 24. D  2 6  x  2     1 3y   5   2 x 6 y  2     5  x 3 y   2 x 6 y 2

150. 000x 100. 000 y

3 .600.000 5 .400.000

 1 8m    1 5   

22. A 4 1  1 a   1 15             3 a 7 20   2 a b 7    4a 7   4 2a b 1 15     3 2a 2 ab 10a  7 20      10a 20 a 2 4 4b 1 b 1

20. A x banyak penumpang kelas utama

24, 0  12, 36  0, 48

6m 46 m

4 1 2m 6m14   1 8m  46 m  1   6 m 1 2m 46 m   1 5   6 m4 1 1 6m 4 1 6m 4 1 6m 3  m  2

Laba maksimum Rp200. 000

Titik Pojok

4 46 m

 maksimum

4.800. 000

- 145 -

2 x 6 y  10  12 y 12 y 1

x 3y 5 x 3 5 x 2

28. D

1  2  4       2a 3b c 2 2 3 4  6  3 3  3      

x 2 2xy y 2  22 2 1 12 4 4 1 1 2

2  6  4      4 12  6  6  9  3     

25. D det  A det B

3x 4 2x 2 6

0    2 2 j 0   

2 x 3 x 2 0 3 x 2  x 1 0 2 2 x1 x 22 x12 x22 2 x1 x2 2x1 x2 2

29. C

 x1 x2 2 x1x 2

12  2      A 3, B 2  1  6      AP : PB 2 : 3

2

2

 3   2 1  2 9  2 4 9 8  4 17 1  4 4 4

V PB ?

3a 2b p 3 2 2   12     3322 1  6       5 6  24     94  30  3   12  1      p  p  5 5 5  15  6    p 1 3   

26. D

a 2, b 3



a, b 120  3a 2b 3 a 2 b 3. 2 2.3 6 6 12 27. C

 4 a      y 4 x 2   7  1     

PB b p

12  6   6      2 1 V 3  6  3  3     

y  4  4  7 9 2

2

2

19 Panjang proyeksi skala x pada y  9

30. E

x. y

19  9 y

U 6i 4 j 5k V 2i j 2k

4 a 4. 2 7. 1 19  9 9 4a 15 19 4a 4 a 1

U .V 12 4 10 18

V  2 12 2 2 2

 4 1 4 3

- 146 -

Proyeksi orthogonal U pada V   U .V   2  V V    2  18    2 1  3   2 

35. A

2 2    18    1 21  9   2  2    4    2 4i 2 j 4k 4   

36. C A 1,1

31. D

 1 2 2  4  0, 90  // 1  A/     A  0 1    4   1 1          1 2 4  8  0, 90  // 2  B /   0 1  2     B  8      2     1 2  1  7  0, 90  // 3  C /    0 1      C  7   3     3    





 3 0 1  3           0 1  1 1 B 5, 1

0, 90 

 3 0 5  15           0 1  1 1 C 3,1

A 2,1  A  2,1  A  1, 2  sumbu y

/



//

 3 0 3 9        0 1 1 1     

0, 90  // 1, 6 B 6,1   B  6,1 B  sumbu y / 0 ,90  // 3, 5 C 5,3 C  5, 3 C  sumbu y

/





32. A Panjang 4 satuan

Lebar 3satuan Luas 4 3 satuan luas 12 satuan luas

alas tinggi Luas ∆A/ B / C /  2 12 2  12 satuan luas 2

karena dilatasi  0, 3 maka luasnya menjadi 3 12 satuan luas 36 satuan luas 33. E

 6 4, 8x 2. 6 4,8 8,  8   cos 60 . 8 sin 60 8 , 0, 60    8, 8      sin 60 . 8  cos 60   8   

37. B  x/  k 0 x a   a  k x a  a                  y /  0 k b  k y b  b  y b       1,2  10,17



1 1  8 ,  .8  3  2 2   1 1  8  3.8  .  2 2 



 4 4 3, 4 3 4

10   k  1 aa   k a k 1      17   k     k 1    2 bb  2k b  2,1  14, 5 



14 k  2 a  a  2k a k 1      5   k     k 1    1 bb   k b 

34. C x 2  sumbu x  x 2  y1  x1  0, 90         x1  y 2  x2  x1   x 2 y1  x 2 y1  1 y 1 0. y2

elliminasi k a  k 110

2k a k 114  k 4 k 4 substitusi substitusi 4 a 4 110 k b k 15 a 3 6 4 b  35 a 2 b 3 9 b 3

x1 y 2  x1 y 2 0. y1  1 y2

 A yang memenuhi x Ay adalah : 0 1   1 0 

- 147 -

 x/   4 0 x 2   2       Jadi,  /           0 4 y  y 3  3   4 0 2 2  2      0 4 1 3  3      4 0  0  2   0 4          4   3   0  2  2       16  3 13      

40. E x x , y y  x, y  x / , y /

 

 3 5y  3 y 5x              1 1 x  y x 

x //  3 y 5 x  1 y // y x

x

x 3 y y // 2 // // x 5 y y ..... 2 2 substitusi  1dan  2 ke 3 x 4 y 12 y

1 1   3 .7  . 1,  / 2 2  A  1 1   . 7  3. 1  2 2  1 7 1  7 A/  3  ,  3  2 2 2 2  

3, ,60  

//

//

/

//

//

 x // 5 y //  4 12   2    

3x // 9 y // 4x // 20 y // 24

7 1 7 1  x / cos 60  3  sin 60  3  2 2 2 2     sin 60 .3 cos 60.2 2

x // 11 y // 24 jadi, petanya adalah : 11y x 24 0

1 7 1  1 7 1    3   3  3  2 2 2  2 2 2  1 1 3.3  . 2 2 2 2 21 1 7 1 3   3   3   3 3 4 4 4 4 2 1 11  3 2

3 3 1 A //   2 ,11 2  

//

x 3 y 3  2 

  /

//

y x y //



B. Bentuk Uraian 1. A 4, 2sumbu  x  A/  4,  2

B 8, 4 sumbu  x  B /  8,4,  C 2,10sumbu x  C /  2,10 2 14  10  //  A         1 3  2  10 

 3  

2 18  12  //  B         1 3  2 4  2 12 14  C //          1 3  10 32

39. B

 cos180.3 sin 180 . 5 , 0,180   P 3,  5   P /     sin 180 . 3 cos 180 . 5   

jadi, koordinat titik-titik sudut bayangan ∆ABC tersebut adalah :

P/  3 0,0 5

A//  10,  10  , B //  12,  4 , C //  14,  32 

P /  3, 5 3 3 2  2,  /  2, 4, 3 //   P 3, 5    P   3 5 44   

2.

P //  13,7 

- 148 -

-

x 3 y ..... 1 2

y // y x

 cos 30. 7 sin 30.1,  0, 30   A 7,1   A/   sin 30 .7 cos 30 .1   

/

3 y // 3 y 3x x // 3y // 2 x

38. E

A   A x , y

3

x //  3 y 5 x

15

4. 5x 6xy 5 y 8 dirotasi  0, 45 2

75

  cos 3 x sin 3x dx

L  cos 3x sin 3x dx  sin 3x cos 3 x dx  0 90



x / cos 45x sin 45 y 1 1  2 x  2 y ........ 1 2 2 y / sin 45x cos 45y 1 1  2 x  2 y ........ 2 2 2 eliminasi  1dan  2 1 1 y/  2 x  2 y 2 2 1 1 / x  2x  2y 2 2  / / y x  2 y

75

 sin 3x sin 3 x  cos 3 x sin 3x   15 0 90 75

75 15

sin 3x cos 3x 

  cos 225 sin 225 cos 45 sin 45   sin 270 cos 270 sin 225 cos 225   sin 45 cos 45 1  cos 45 sin 45 cos 45 sin 45  1 sin 45 cos 45  sin 45cos 45sin 0cos 0  































4 sin 45 4 cos 45 2 1 1 4. 2 4. 2 2 2 2 

2

0, 45  / / x , y   x ,y 

15



y / x /

........ 3 2 1 y / x / / x  2x  2 2 y

4 2 2 3.

2 x  2 x y x /

/

/

x / y / x ........ 4 2

substitusi  3 dan  4 ke 5 x 6 xy 5 y 8 2

2

2

x / y /  x / y / y / x /  5     6      2   2  2  2

x / y /   8 5    2  5 2 6 5  x / y /  y / 2 x / 2  y / x / 8 2 2 2 5 /2 5 /2 / / /2  x 5x y  y 3x  2 2 5 5 3y / 2  x / 2 5x / y /  y / 2 8 2 2



2



V  8 x x dx 4

0

2

 2 x5   4x   5  0

 

 2 x / 2 8y / 2 8 Jadi, bayangannya adalah : 2x 8y 8 2

2

 2 2   4.2  0 5   0  32   16   5   48   5 5

 

1 a.b 5. cos cos 60  2 ab a b 2.a.b 2

2

2

2

2

a b a b 2 a b cos 60 a b a b a.a b.b 2.a.b

 

a b

- 149 -

2

2



2

2

2

2

2

a 2b a 4 b 2 a b cos 60



a 4 b 2 a b a.a 4b.b 4.a.b





a 2b

2

a b a 2b 

cos 

a b a 2b

a b a 2b  a b a 2b 



1  0



- 150 -