MAKALAH HASILKALI TRANSFORMASI
Dosen Pengampu
HERDIAN, S.Pd., M.Pd. DI SUSUN OLEH : 1. 2. 3. 4. 5. 6.
PITRIYANI ANGGI FEBRIYANTI ERIKA HESLIATI SABIYAH PRIYO SUTIRTO SRI HARTATI
: : : : : :
10030130.P 10030149.P 10030064.P 06030101 10030159.P 06030066
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PRINGSEWU – LAMPUNG 2010
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepadaTuhan Yang Maha Esa, atas segala limpahan dan karuniaNya sehingga makala geometri transformasi yang berjudul Hasilkali Transfomasi ini dapat diselesaikan. Guna untuk mengembangkan pengetahuan, pemahaman, dan kemampuan terhadap mahasiswa semoga makalah ini dapat menjadi buku pegangan bagi mahasiswa berikutnya.Dengan demikian diharapkan program pengajaran geometri transfomasi ini dapat membekali nparaq mahasiswa untuk mencapai fungsi pengajaran yang maksimal. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini jauh dari kesempurnaan. Sesuai dengan pribahasa yang menyatakan “ tak ada gading yang tak retak “ oleh karena itu , kritik dan saran yang relevansinya dengan penyempurnaan makalah ini sangat penulis harapkan. kritik dan saran sekecil apapun akan penulis perhatikan guna penyampurnaan makalah berikutnya . Pada kesempatan ini penulis mengucapkan ucapan terimakasikepada bapak Herdian, M.Pd, selaku guru pembimbing, dan para mahasiswa dan kelompokkelompok lain yang telah memberi masukan. Semoga makalah ini mampu memberikan manfaat dan mampu memberikan pengetahuan tambahan kepada para pemakainya.
Pringsewu, 13 november 2010
penulis
BAB V HASIL KALI TRANSFORMASI
Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi, dengan F=V V G=V V Maka oroduk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G 0 F didefinisikan sebagai : ( G 0 F ) (P) = G [ F (P) ] . V P →V Teorema 5.1 : Jika F : V V dan G : V V masing – masing suatu transformasi, maka hasil kali H = G 0 F : V V adalah juga suatu transformasi Buktikan : Untuk inni harus di buktikan dua hal yaitu 1) H subjektif . 2) H injektif 1)
Oleh karena F transformasi maka daerah nilai F adalah seluruh bidang V , dan daerah asal G juga seluruh bidang V sebab G transformasi juga. Ambil y V : apakah ada x sehingga H (x ) = y ? Karena G transformasi maka untuk setiap y V ada z V sehingga y = G (z) ,karena F suaatu transformasi maka pada z ini ada x V sehingga z = F (X) . maka y = [Z (x ) ] atau y = G [ F (X) atau y = ( G o F ) (X) Jadi y = H (x ). b a sedemikian sehingga f (a)=b→b=f (a) y b, x sedemikian sehingga f (x)=y → y= f (x) H=f o g = f [g(x)] = (x + 2 )+2 =x+3 Ada bilangan Z= H (x) Ambil Z € V , maka ada y € V sedemikian sehingga Z = g(y), karena ada y € V maka terdapat X € V sedemikian sehingga Y=f(x)
Z = g(x) = g{ f(x) } = (g o f) (x) = H (x)
2)
Untuk membuktikan bahwa H injektif ,harus kita perlihatkan bahwa kalau P Q maka H (P) H(Q)Andaikan H (P ) = H (Q ) ,maka G [ F (P ) ] = G [F (Q ) ] Oleh karena G injektif maka F (P) = F (G ) .Karena F injektif maka pula P = Q ini bertentangan dengan pengandaian bahwa P Q Jaadi pemisalan bahwa H (P )=H (Q ) tidak benar .Sehingga haruslah H (P) H(Q). Karena g injektif maka f(p) = f(q)
P
F(p)
q
F(q)
g{f(p)} g{f(q)}
Contoh soal : Andaikan G sebuah garis dan T sebuah transformasi F : V V yang didefinisikan sbagai berikut X g maka T (X) = X JIKA x g maka T ( X ) adalah titik tengah ruas garis dari x ke g 9 gammbar 5. 1 ) yang tegak lurus x h
T(X)
g Gambar 5. 1 Jelas T suatu transformasi ( buktikan ) .Apakah T suatu transformasi ? Ambil kemudian transformassikan kedua. Misalkan sebagai berikut : Ambil sebuah garis h g dan h M adalah reflexi dari garis h jadi hasilkali M h [ T ( x) ]= Y adalah suatu tranformasi pula sehingga Y = (M h o T ) (X ) Apakah hasil kali ini merupakan isometri selidiki pada contoh di atas kebetulan M h o T = T o M h untuk
membuktikanlah ini ambil gambar 5. 1 garis g sebagai sumbu x suatu sistim koordinat ortogonal dan garis h sebagai sumbu Y .Titik potong h dan g kita ambil sebagai titik asal. Andaikan x = ( x, y ) maka T (x) = ( x,½ y) dan M h [T ( x) ]= (- x,½ y) Oleh karena M h [T ( x) ]= T[M h (X) maka M h o T ( x )= T o M h akan tetapi sifat komutatif tersebut tidak selalu berlaku .untuk memperlihatkan ini ambil lagi garis g dan garis h yang tidak tegak lurus pada g lihat gambar 5.2
x
T(x )
h
g T[M h (x)] T [M h (x)]
M h (x)
Gambar 5.2 Tampak bahwa M h [T ( x) ] T[M h (X)]. Jadi M h o T ( x ) T o M contoh di atasb dapat di katakan bahwa apabila S dan T transformasi maka SoT ToS
h
Dari
Buktikanlah bahwa memang M h [T ( x) ] T[M h (X)] pada gambar 5.2 . Hasil kali transformasi yang telah di bahas di atas tidak hanya terbatas pada dua transformasi andaikan T1 , T2, transformasi – transformasi.Kita dapat menyusun terlebih dahuluhasil kali T1 o T2 kemudian dikalikan dengan T3 untuk hasil kali transformasi kita tulis 2 (T1 , T2 Jadi andaikan : P’= T1 , (P).P’= T2 (P’ ).P’= T3 (P’).P (T3 (T2 . T1 ) (P) = T3 (T2 . T1 (P))) = T3 (T2 (P’ ) ) = (T3 (P’) = P1.....
Kita dapat mengalihkan sebagai berikut : (T 3 (T2 .) (P)= (T 3 . T2 ) (T1 (P) ) = (T3 . T2 ) (P) = T3 (T2 (P) = T3 (P’ ) = P Jadi hasil kali transformasi bersifat asosiatif kita dapat juga mengatakan bahwa = T3 (T2 . T 1 ) = (T3 . T2 ). T 1 = 1)
Diketahui garis g = { (x,y )| x + 2y = 1 }dan h = {(x,y )| x = -1 }.Tulislah sebuah persamaan garis g1 Mg(h). Penyelesaian : g {( x.y) | x + 2y = 1} dan h = { (x ,y ) | x = -1 } g = x + 2y = 1 h = x = -1 x=0 y=2 y=0 x=1
h
y
X = -1 X + 2y = 1 h = -1 g = x + 2y = 1 ( -1 ) + 2y = 1 2y = 2 y=1
2)
Jadi Diketahui garis g = { (x , y) | 3x – y + 4 = 0 } dan garis h = { (x, y ) | y= 2}. Tulislah persamaan garis g’= M h (g). Penyelesaian : g = { x,y ) | 3x – y + 4 =0 dan garis h = { ( x,y ) | y =2 } h=y=2 g 3x y 4 0 M h (g ) g 3x – 2y + 4=0 3x – 2 garis persamaan yang di maksud yaitu g = { ( x,y ) | y = 1 }
3)
Diketahui garis –garis g = { (x,y) | y = 0 },h = { (x,y) | y = x } dan k ={ (x,y) | x =2} Tulislah persamaan garis – garis berikut : a) M g (h) b) M h (g) c) M g (g) Penyelesaian : Diketahui g = { (x,y) | y = 0 } h = { (x,y) | y = x } k ={ (x,y) | x = 2 } a) M g (h) = y = x 0=x x 0 Jadi persamaan yang di maksud { ( x,y ) | x =0 } b) M h (k) x 2 y=0 c) M g (g) = y = 0
4)
Diketahui garis – garis g dan h dan titik – titik P dan Q Lukislah : a) A = M g [M h ( p)] b) B =M h [M g ( p)] c) C = M h [M h ( p)] d) D =M h [M h (k )] e) R Sehingga M g [M h( R )] Q f) Apakah M g oM h= M h oM g ?mengapa ? Penyelesaian : a) A = M g [M h ( p)] M h( p)= P’ M h (p)= A b) B =M h [M g ( p)] M g(p)= p” M h( p)= B c) C = M h [M h ( p)] M h (p)= p‘ M h (p)= C
d) D =M h [M h (k )] M h (k)= k’ M h (k)= =k= K‘=D e) M h[M g(R)] = Q M h [M g( R)] Q M g (R)= R’ M h (R)= Q f) M g oM h M(h)oM g karena : A = M g [M h (P)] M h (p)= p’ M g( p)= p’ B=M h [M g (P)] M g (p)= p” M h (p)= B
P=C K=k’=D
g h
B
M h (p)
R
Q
KESIMPULAN
Produk atau komposisi dari F dan G yang di tulis sebagai G o F didefinisikan sebagai: (G o F) (P)= G [F (P)]. P € V Jika F: V→V dan G: V→ V masing- masing suatu transformasi, maka hasilkali H = G o F :V→ V adalah juga sebagai suatu transformasi. Subjektif adalahbahwa pada titik P B € V ada prapeta. Injektif adalah kalau A1 ≠ A2 dan T (A1) = B1, T (A2) = B2 maka B1≠ B2 Hasilkali juga bersifat asosiatif.
