BAB 6 GEOMETRI PROYEKTIF A. Sejarah Perkembangan Geometri Proyektif
Geometri proyektif mulai dipelajari pada periode Renaissance, abad 14 sampai 16. Geometri proyektif muncul ketika seniman-seniman mencoba teknik baru untuk memperoleh hasil yang bagus dalam memindahkan objek 3D ke bentuk 2D. Sebelum adanya geometri proyektif, pelukis susah menampilkan bagaimana melukis garis sejajar di atas kanvas. Seniman ingin menampilkan garis sejajar, seperti pinggir jalan, karena sejajar pinggiran jalan tersebut, terlihat berubah dalam lukisan dengan apa yang dilihat nyata oleh orang. Usaha untuk mewujudkan gambar yang realistik di dunia ke dalam bentuk 2D dipelajari oleh banyak seniman selama periode Renaissance. Salah satunya adalah Albrecht Durer. Durer merupakan seniman yang terkenal di Jerman yang bekerja sebagai pelukis dan pengukir kayu. Dia bekerja keras untuk menampilkan secara nyata semua yang ada disekitarnya. Tujuan ini membawa Durer untuk mempelajari geometri. Dia sebagai Geometri proyektif
Page 119
penemu aturan geometri untuk merubah objek 3D ke bentuk 2D. Kita dapat belajar banyak tentang bagaimana orang melihat cara kerja dunia dengan seninya. Dalam lukisan, anak panah pemanah bergerak lurus secara sempurna hingga ia mencapai puncaknya, pada saat mereka berhenti tepat di titik, pada sudut yang tajam dan jatuh langsung ke bumi. Sebelum masa renaisans gambar dan lukisan dimulai dengan representasi dari pelukis, orang yang digambar akan lebih kecil dibandingkan sesungguhnya agar terlihat nyata. Bahkan, Giotto, pelukis yang hidup dari sekitar 12661337 adalah yang pertama menyadari bahwa ukuran relatif dan bentuk sesuatu harus dimodifikasi dalam lukisan untuk membuatnya tampak lebih nyata. Tentu saja dia tidak tahu persis bagaimana melakukan ini, sehingga beberapa lukisannya muncul sedikit aneh (ada beberapa koreksi untuk perspektif, tapi itu dilakukan secara tidak benar). Sungguh mengejutkan, karena semua orang sejak awal (sebelum pada kenyataannya) pasti melihat orang-orang yang jaraknya jauh terlihat kecil. Tentu saja ada alasan psikologis luar biasa untuk kesalahan representasi ini. Kita "tahu" bahwa meskipun orang itu jauh, dia benarbenar tetap dengan ukuran yang sama. Gambar tentang yang lainnya (orang-orang, bangunan, atau pegunungan) lebih kecil pada gambar, disebut gambar perspektif. Sekarang kita tahu cara menggambar perspektif, ini benar-benar jelas bahwa itu adalah cara yang "benar" untuk menggambar. Kita tahu bahwa jika kita melihat sepasang rel kereta api di tanah datar terus ke 120
cakrawala, sepasang rel itu akan bertemu di sebuah titik, dan juga bahwa garis lintasannya akan muncul lebih dekat di kejauhan, meskipun kita tahu bahwa di dunia nyata jarak satu sama lain adalah sama. Tentang bagaimana membuat suatu pemandangan dalam perspektif, ada cara yang mekanis untuk mendapatkan tampilan yang sangat akurat. Hanya dengan menggunakan sepotong kaca, dan menjaga kepala Anda di posisi yang sama persis (secara teknis, Anda harus menggunakan hanya satu mata, dan menjaga pandangan Anda). Caranya, di mana pun Anda melihat hijau melalui kaca, tandai cat hijau pada saat itu pada kaca. Cat merah di mana Anda melihat merah, dan sebagainya, dan itu jelas bahwa jika Anda dapat mencocokkan warna persis, Anda telah melukis sebuah pemandangan pada kaca dalam perspektif yang sempurna. Jika Anda membayangkan bahwa garis terang mengikuti ketika bergerak dari berbagai objek ke mata Anda melalui kaca, sinar cahaya dari atas dan bawah dari sebuah objek akan membuat sudut yang pada dasarnya menentukan ukuran gambar benda pada kaca. Jika objek yang sama lebih jauh, sudut akan lebih kecil, sehingga gambar pada kaca juga akan lebih kecil. Ini adalah ide dasar di balik gambar perspektif. Dapat dilihat pada gambar berikut:
Geometri proyektif
Page 121
Melukis itu juga merupakan ide dasar di balik geometri proyektif, yang mengatakan kepada kita bagaimana gambar-gambar benda pada kaca terkait dengan posisi benda-benda di dunia nyata, ke posisi kaca, dan posisi mata. Nama "Proyektif" berasal dari fakta bahwa pemandangan yang diambil dari kenyataan menjadi "diproyeksikan" pada kaca. Kita mungkin berpikir, dari sebuah proyektor dengan cara yang berlawanan, tentu saja slide proyektor dari lampu bersinar terang melalui slide (kaca) ke layar. Tetapi jika kita mengganti lampu dengan mata dan bayangkan sinar cahaya terbalik dan datang di objek, mereka akan memproyeksikan citra dari objek yang ada pada slide. Ada yang lebih dari geometri proyektif, tentu saja. Hanya untuk mengisyaratkan masalah yang lebih sulit, bayangkan bahwa Anda adalah seorang pelukis dari suatu seperti di atas, tapi salah satu subjek dalam pemandangan Anda adalah pelukis lain yang melakukan perspektif menggambar di kanvasnya. Ketika Anda menggambar di kanvas Anda apa yang ia ggambar, bagaimana gambar Anda dari fotonya yang terkait dengan dunia nyata, karena telah mengalami dua proyeksi? Dan jika ini tampaknya terlalu jauh, pertimbangkan ini: matahari melemparkan bayangan di tanah, yang hanya proyeksi benda pada "kanvas" dari tanah. Jika Anda seorang pelukis pemandangan dengan bayangan di tanah dan Anda ingin membuat bayangan dengan benar, Anda benar-benar melukis proyeksi. Geometri Proyektif bukan hanya bagian dari geometri Euclidean. Ini mungkin tampak mirip karena tampaknya untuk menangani terutama dengan proyeksi benda Euclidean pada bidang Euclidean. Tapi 122
itu tidak semua. Pikirkan tentang contoh kita dari sepasang rel kereta api berkumpul di cakrawala. Dalam lukisan Anda dari lintasan, dua baris mewakili mereka memenuhi di sebuah titik pada kanvas Anda, tapi apa titik yang mewakili di dunia nyata? Jawabannya adalah bahwa hal itu merupakan titik "Jauh di kejauhan" ke arah yang akan dituju lintasan (dengan asumsi, tentu saja, bahwa dunia benar-benar datar dan meluas seluas-luasnya). Kita bisa langsung tahu bahwa sesuatu yang aneh sedang terjadi, karena geometri Euclidean tidak dilengkapi dengan poin yang "jauh di takhingga", tetapi contoh ini menunjukkan bahwa geometri proyektif tidak memiliki masalah sama sekali yang mewakili titik-titik tersebut (atau setidaknya proyeksi mereka). Saat ini geometri proyektif banyak digunakan dalam waktu cara yang sangat praktis setiap Anda melihat gambar tiga dimensi pada layar komputer Anda, semua perhitungan untuk menghasilkan citra realistik dihitung dengan menggunakan rumus geometri proyektif. Sifat geometris pertama yang bersifat proyektif ditemukan pada abad ketiga oleh Pappus of Alexandria. Geometri proyektif memiliki sejarah yang sangat kompleks. Geometri ini mulai terkenal dan dijadikan sebagai bentuk perkembangan formal pada abad 19 dan ini merupakan hasil perkembangan dari geometri Euclid. Jika ditelusuri lebih lanjut berdasarkan konsep-konsep dasarnya maka geometri ini muncul pada abad ke-14. Dan temuan ini juga hampir sama dengan Euclid’s Elements yang diletakkan para ahli sebagai fondasi geometri proyektif di abad 17. Disinilah sejarah geometri proyektif menjadi menarik, Geometri proyektif
Page 123
dimana di abad 17 geometri ini tidak popular dikalangan matematikawan. Dan pada abad 19 geometri proyektif menjadi terkenal dan menjadi sorotan bagi semua matematikawan. Gemetri proyektif didefinisikan secara sederhana sebagai sifat-sifat angka yang tetap atau tidak berubah (invariant) dalam proyeksi. Proyeksi sendiri secara sederhana dapat dicontohkan pada pengamatan yang dilakukan pada papan catur. Jika kita melihat dari depan maka akan terlihat garis-garis yang ada adalah sejajar, tapi ketika kita turunkan papan tersebut dan kita lihat dari sudut pandang yang lain maka garis-garis tersebut terlihat seperti tidak parallel atau tak sejajar. Dari sudut pandang geometri kegiatan tersebut merupakan sebuah proyeksi dari bidang pada kotak-kotak papan catur. Geometri proyeksi adalah studi tentang sifat dari garis-garis yang diproyeksikan. Pada abad ke-17 barulah ada seorang matematikawan Perancis yang berusaha untuk mempelajari geometri proyektif, Gerard Desargues (1591 – 1661) dianggap sebagai penemu sejati dari geometri proyektif. Desargues adalah seorang insinyur dan arsitektur yang tertarik pada konsep proyeksi. Tidak banyak yang dapat diketahui tentang kehidupan Deargues. Keluarga (pihak ayah maupun pihak ibu) adalah keluarga kaya selama beberapa generasi. Profesi keluarga adalah pengacara atau hakim di Paris maupun di Lyon. Desargues sering pergi ke Paris dalam hubungannya dengan proses hukum guna pemulihan hutang. Meskipun bangkrut, kelurganya masih memiliki beberapa rumah besar di Lyon, puri dekat desa Vourles dan kastil kecil yang dikelilingi oleh tanaman anggur. Pendidikan 124
Desargues tidak susah untuk sekolah tinggi dan mampu membeli buku-buku yang dia inginkan dan mampu menikmati kesenangan apapun yang ingin dia reguk. Sebagai penemu, Desargues, merancang tangga spiral dan pompa model baru, tapi minat utama adalah geometri. Dia menemukan sesuatu yang baru, berbeda dengan geometri Yunani, yang sekarang dieknal dengan nama “proyeksi” atau geometri “modern”. Karya-karya Desargues terkesan praktis dengan judul-judul seperti: Perspekctif (1636), pemotongan batu untuk membangun gedung (1640) dan penunjuk waktu terbuatdari batu/sundial (1640). Beberapa salinan karya Desargues dicetak di Paris pada tahun1639, namun hanya satu yang dapat diselamatkan, dan ditemukan kembali pada tahun 1951. Penyebab semua itu adalah karyanya tidak diterima oleh kalangan matematikawan. Cara yang dipakai Desargues untuk memasyarakatkan karya-karyanya adalah lewat surat yang dikirim kepada teman-teman. Karya-karya itu hampir semua hilang sampai tahun 1847, namun salah satu salinan dibuat oleh Phillipe de Lahire, salah seoarng pengagum Desargues ditemukan di perpustakaan Paris. Karya-karyanya tidak untuk konsumsi ilmuwan, yang mengikuti penjelajahan imajinasi, tapi matematikawan “lapangan” dan ahliahli mesin, yang sulit memahami makna dari karyakaryanya. Istilah-istilah yang digunakan, karena ilmu baru, banyak diambil dari bidang ilmu-ilmu lain yang sudah mapan. Sekali lagi, metode proyektif tidak sejalan dengan jaman, yang bertumpukan hanya pada kemajuan aljabar dan analisis. Namun pada saat itu dia tidak tertarik pada proyeksi matematika dasar. Geometri proyektif
Page 125
Sebaliknya dia sangat berminat pada pendidikan seniman dan insinyur karena hal ini merupakan pekerjaannya yang paling menonjol. Desargues bukan matematikawan tunggal yang mempelajari geometri proyektif di abad ke-17 itu. Ada dua matematikawan lainnya yang mengabdikan hidup mereka untuk mempelajari geometri tersebut. Blaise Pascal dan Phillippe de Lahire merupakan dua orang yang sangat berminat pada geometri ini. Pascal lebih cendrung dipengaruhi oleh Desargues dan dia lebih berminat pada menyederhanakan sifat-sifat bagian kerucut. Pada saat itu Pascal membuat suatu esai mengenai geometri proyektif tapi sayangnya esai tersebut hilang sehingga kebenarannya sempat diragukan tapi sebelum esai tersebut hilang Leibniz sempat membacanya. Pikiran yang brilian diberikan oleh Pascal dan ahirnya lahir sebuah Teorema Pascal. Philippe de La Hire juga sangat dipengaruhi oleh Desargues dan sangat tertarik pada geometri proyektif. Ia sangat dikenal karena karyanya yang berjudul Sectiones Conicae (bagian kerucut). Konsep ini semua ditangani dengan menggunakan geometri proyektif. La Hire percaya bahwa metode proyektif jauh lebih kuat dari metode Appolonios. Dengan menggunakan geometri ini dia berusaha membuktikan 364 dari teorema Appolonios. Dan dia berhasil membuktikan 300 teorema. Jika diamati secara seksama maka sejarah geometri ini sangat menarik, sejak abad 17 dimana Desargues, Pascal dan La Hire berusaha menemukan teorema untuk geometri ini dan selama lebih dari 100 tahun teorema itu tidak tersentuh oleh siapapun. Berdasarkan sejarah yang ada sebenarnya 126
hasil karya Desargues sebenarnya memang tidak begitu dihargai oleh teman-temannya dan lingkungannya pada waktu itu. Hal ini menyebabkan Geometri Proyeksi menjadi tidak menarik atau tidak popular pada masanya. Berbeda sekali dengan geometri analitik pada awal 18. Banyak sekali matematikawan yang berminat untuk mempelajari geometri ini secara mendalam. Satu hal yang menjadi alasan utama mengapa hasil pikiran Desargues tidak diminati adalah karena geometri ini tidak ada kejelasannya. Bagaimana seseorang dapat menghargai suatu karya kalau karya tersebut susah untuk dimengerti. Sejarah mengaitkan ide-ide Desargues tidak popular dikalangan matematikawan karena pada waktu itu Desargues memfokuskan teorema proyeksi hanya untuk seniman dan pengrajin, dengan kata lain tidak ada kejelasan dalam hal matematika dan itu membuat para matematikawan menjadi tidak antusias pada idenya. Selain itu dalam ide-idenya, Desargues memakai istilah-istilah yang rumit untuk dimengerti oleh orang lain hal ini dapat dilihat pada Project Brouillon, salah satu hasil pekeraan Desargues. Walaupun diakui juga bahwa ide Desargues sangat brilliant tapi hal ini menunda kemajuan geomteri selama beberapa abad. Barulah pada abad ke 19 geometri proyeksi terlahir kembali sebagai hasil perkembangan dari cabang geometri non-Euclid. Dan ini mungkin ilmu yang lahir karena adanya suatu kebutuhan dimana pemikiran manusia sudah mulai maju. B.
Tokoh-tokoh dalam Geometri Proyektif Geometri proyektif
Page 127
1. Girard Desargues
Lahir pada tanggal 21 Februari 1591 di Lyon, Perancis dan meninggal pada bulan September 1661 di Lyon, Perancis. Desargues merupakan seorang matematikawan Perancis yang dianggap sebagai salah seorang pendiri geometri Proyektif. Pada saat di Paris, Desargues menjadi bagian dari kumpulan matematika Marin Mersenne (1588-1648). Dalam kumpulan ini juga termasuk Descartes (1597– 1650), Etienne Pascal (1588 – 1651) dan anaknya Blaise Pascal (1623 – 1662). Pada dasarnya kumpulin ini hanya dibaca oleh sahabat-sahabat mereka, namun Desargues telah mempersiapkan untuk mempublikasikan hasil kerjanya yang diterbitkan oleh Abraham Bosse (1602– 1676) yang kini dikenang sebagai pemahat terbaik tetapi juga sebagai seorang guru perspektif. Desargues menulis subjek “practical” seperti perspektif (1636), pemotongan kayu untuk digunakan dalam bangunan (1640) dan sundial (1640). Tulisannya memiliki isi dan teori yang padat dalam pendekatan mereka terhadap subjek yang bersangkutan. Desargues terkenal dengan 128
teorema Desarguesnya pada tahun 1636. Jelas bahwa, meskipun tekadnya untuk menjelaskan hal-hal ini dalam bahasa, dan tanpa referensi langsung ke teorema atau kosakata matematika Kuno, Desargues sangat menyadari pekerjaan geometers kuno, misalnya Apollonius dan Pappus. Dia memilih untuk menjelaskan dirinya sendiri berbeda, mungkin karena pengakuan bahwa karyanya sendiri juga sangat berhutang kepada tradisi praktis, khusus untuk studi perspektif (yang merupakan bentuk proyeksi kerucut). Tampaknya sangat mungkin bahwa itu sebenarnya dari karyanya pada perspektif dan hal-hal terkait bahwa ide-ide baru Desargues muncul. Ketika Error! Hyperlink reference not valid.Error! Hyperlink reference not valid.yang diciptakan kembali oleh murid Gaspard Monge (1746 -1818), penciptaan kembali berasal dari geometri deskriptif, suatu teknik yang memiliki banyak kesamaan dengan perspektif. 2.
Pappus of Alexandria
Pappus of Alexandria (Yunani c.290 – c.350) adalah salah seorang ahli matematika Yunani yang Geometri proyektif
Page 129
terkenal. Pappus lahir di Alexandria, Mesir sekitar 290 AD. Pappus terkenal denganbuku yang berjudul Synagoge atau Collection (c.340), dan teorema Pappus dalam geometri proyektif. Tidak banyak yang diketahui dari hidupnya kecuali dia mempunyai seorang anak laki-laki yang bernama Hermodorus sebagai guru di Alexandria (dari tulisan Pappus sendiri). Collection merupakan hasil karya Pappus yang sangat terkenal yang berisi ringkasan/ikhtisar matematika. The Collection diperkirakan ditulis pada sekitar tahun 340 (sebagian menaksir tahun 325) yang terdiri dari 8 buku. Karakteristik dari Collection Pappus adalah mengandung cerita, susunan yang sistematis, dari hasil yang paling penting yang diperoleh dari pendahulunya, yang kedua, menjelaskan dan mengembagkan penemuan sebelumnya, excellent dan elegan. Buku I: berisi ulasan tentang aritmatika yang tidak ditemukan. Buku II: sebagian hilang tapi diketahui berisi bahasan tentang metode menangani bilangan-bilangan besar. Metode untuk mengekspresikan bilangan berpangkat, diketahui sampai pangkat 10000. Buku III: berisi masalah geometri, bidang dan ruang. Buku III dapat dibagi menjadi 5 bagian yaitu: (1) Masalah yang paling terkenal adalah menemukan perbandingan proposional antara dua garis lurus tertentu. Pappus memberikan beberapa solusi dari masalah ini, termasuk metode pembuatan aproksimasi untuk solusi tersebut, dia memberikan solusi sendiri dalam menemukan sisi kubus yang diberikan perbandingan tertentu telah diketahui. (2) Membahas konstruksi aritmatika, geometrik dan perbandingan 130
harmonik antara dua garis lurus, dan masalah mempresentasikan ketiganya ke dalam gambar yang sama secara geometri. (3) Berisikan kumpulan paradoks-paradoks geometrikal yang dikatakan oleh Pappus diambil dari karya Erycinus. (4) Berisikan lima bentuk polyhedra yang digambarkan dalam bentuk ruang. (5) Tambahan oleh penulis di kemudian hari menjadi solusi lain dari masalah pertama dari buku ini. Buku IV: judul dan kata pengantar telah hilang, sehingga program itu harus dikumpulkan dari buku itu sendiri. Pada awalnya adalah generalisasi yang terkenal dari Euclid, kemudian diikuti berbagai teorema lingkaran, yang mengarah pada masalah pembangunan sebuah lingkaran yang akan membatasi tiga lingkaran yang diberikan, menyentuh masing-masing dua lainnya. Hal Ini dan beberapa proposisi lainnya pada kontak, misalnya kasus lingkaran menyentuh satu sama lain dan tertulis dalam sosok yang terbuat dari tiga setengah lingkaran dan dikenal sebagai arbelos ("shoemakers knife") membentuk bagian pertama dari buku tersebut. Pappus ternyata kemudian mempertimbangkan sifat spiral Archimedes, para conchoid dari Nicomedes (sudah disebutkan dalam Buku I seperti penyediaan metode penggandaan kubus), dan kurva paling mungkin ditemukan oleh Hippias dari Elis sekitar 420 SM, dan dikenal dengan nama quadratrix. Proposisi 30 menjelaskan pembangunan kurva kelengkungan ganda disebut oleh Pappus helix pada bola, melainkan digambarkan oleh sebuah titik yang bergerak seragam di sepanjang busur lingkaran besar, yang itu sendiri ternyata sekitar diameter seragam, titik menggambarkan kuadran dan Geometri proyektif
Page 131
lingkaran besar sebuah revolusi lengkap dalam waktu yang sama. Luas permukaan termasuk antara kurva dan basis adalah ditemukan contoh pertama yang diketahui dari quadrature dari permukaan melengkung. Sisa buku ini memperlakukan dari tiga bagian dari sebuah sudut, dan solusi dari masalah yang lebih umum dari jenis yang sama dengan menggunakan quadratrix dan spiral. Dalam satu solusi dari masalah pertama adalah penggunaan tercatat pertama dari properti sebuah kerucut (hiperbola) dengan mengacu pada fokus dan direktriks. Buku IV berisi bentuk-bentuk kurva termasuk di sini adalah bentuk spiral dari Archimedes dan kuadratrik dari Hippias. Terdapat tiga kategori problem dalam geometri yang disebut dengan “plane”, “solid” dan “linear.” Setiap problem mempunyai penyelesaian yang tepat. Jangan menggunakan pola garis lurus untuk menyelesaikan problem pada bidang. Begitu pula problem ruang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan pola garis lurus atau bidang. Buku V: diawali dengan bagaimana lebah membangun sarangnya (bentuk segienam). Bahasan Pappus tentang hasil penelitian disimpulkan dalam buku ini, seperti yang dinyatakan: lebah ternyata mengetahui bahwa bentuk segienam (heksagon) lebih besar daripada persegipanjang atau segitiga. Sarang lebah ternyata mampu menyimpan lebih banyak madu yang dibuat oleh lebah dengan menggunakan bahan yang sama. Dapat disimpulkan bahwa makin banyak sudut maka makin banyak mempunyai isi (makin besar) dan yang paling besar adalah lingkaran. Buku ini juga berisikan problem tentang isoperimeter, termasuk peragaan bahwa lingkaran mempunyai luas 132
lebih besar dibandingkan dengan poligon bentuk apapun. Pokok pikiran ini seperti karya Zenodorus (± 180 SM). Dalam buku ini juga terdapat penemuan Archimedes tentang bentuk polyhendra (bidang dengan tiga belas sisi) yang sering disebut dengan bidang-bidang (solids) Archimedes. Buku VI dan buku VII: merangkum buku-buku matematikawan lain seperti: Throdosius, Autolycus, Aristarchus, Euclid, Apollonius, Aristaeus dan Eratoshenes. Buku VI: menyinggung astronomi dan diberi subjudul Little Astronomy banyak mengandung perbedaan dengan Greater Astronomy (Almagest) dari Ptolemy. Buku VI berisi aplikasi matematika dalam astronomi, optik dan mekanika. Buku VII: tentang sejarah matematika. Melalui generalisasi, Pappus hampir menemukan prinsip dasar geometri analitik. Mempelopori generalisasi problem yang terkait dengan berbagai jenis kurva tipe baru. Disebut dengan problem Pappus yang menyebut tiga atau empat garis seperti halnya Euclid atau Apollonius. Pengantar Buku VII menjelaskan analisis persyaratan dan sintesis, dan perbedaan antara teorema dan masalah. Pappus kemudian menyebutkan karya-karya Euclid, Apollonius, Aristaeus dan Eratosthenes, terdapat 33 buku, substansi yang akan ia beri, dengan lemma yang diperlukan untuk penjelasan mereka. Buku VII juga berisi tentang: (1) Di bawah De Sectione Determinata, lemma yang telah ditentukan manjadi kasus-kasus involusi dari 6 poin. (2) Lemmalemma penting pada Porism Euclid. (3) Sebuah lemma Surface Loci dari Euclid yang menyatakan bahwa lokus Geometri proyektif
Page 133
dari sebuah titik sedemikian hingga jarak dari titik yang diketahui mempunyai jari-jari ke garis lurus yang diketahui adalah berbentuk sebuah kerucut, dan bukti bahwa kerucut merupakan parabola, elips, atau hiperbola. Hal ini tergantung jari-jari sama dengan 0 (r = 0), kurang atau lebih dari 1 (r >1atau r < 1). Buku VIII: adalah aplikasi matematika pada bidang astronomi, optik dan mekanika. 3. Blaise Pascal (1623– 1662)
Blaise pascal lahir pada tanggal 19 juni 1623 di Clermont, Ferrand dan meninggal dunia pada tanggal 19 Agustus 1662 merupakan seorang matematikawan dari Perancis, fisikawan, penemu, penulis, dan filsafat katolik. Ayahnya barnama Etienne Pascal seorang hakim dan Ibunya Antoinette Begon. Pascal merupakan anak yang luar biasa (pintar) untuk matematika dan ilmu pengetahuan yang diajarkan oleh ayahnya sendiri. Ayahnya melarang untuk lebih mengejar 134
matematika sampai usia 15 tahun agar tidak merugikan pendidikan bahasa Latin dan Yunani. Pada usia 12 tahun, ayahnya menemukan bahwa Blaise Pascal menulis sebuah bukti bahwa jumlah sudut segitiga sama dengan dua kali sudut sikusiku dengan sepotong batu bara di dinding. Karena terkesan dengan kemampuan Blaise Pascal, ayahnya memberinya salinan Euclid’s Elements yang memang ingin segera dibaca dan dikuasai oleh Blaise Pascal dan diijinkan untuk duduk sebagai penonton pada pertemuan beberapa ahli matematika dan ilmuwan terbesar di Eropa Sebelum menginjak usia 13 tahun. Blaise Pascal telah membuktikan proposisi ke 32 Euclid dan menemukan kesalahan geometri Rene Descartes. Pada usia 14 tahun, Blaise Pascal diijinkan untuk duduk sebagai penonton pada pertemuan beberapa ahli matematika dan ilmuwan terbesar di Eropa. Pada usia 16 tahun, ia menyusun makalah tentang kerucut untuk membantu menjelaskan ide Desargues tentang kerucut, namun kertas Pascal hilang. Blaise Pascal menulis risalah singkat tentang apa yang disebut “Mystic Hexagram”, “Essai pour les coniques“, “Essay on Conics” dan mengirimnya ke Pere Mersenne di Paris yang sampai sekarang kita kenal sebagai teorema Pascal. Pada tahun 1642, ketika Pascal masih remaja, dia memulai mempelopori kalkulator, dan setelah berusaha selama 3 tahun, dia menemukan mesin hitung Pascaline. Pascal merupakan matematikawan urutan pertama. Dia menciptakan dua daerah penelitian baru. Dia menulis risalah pada subjek geometri Geometri proyektif
Page 135
proyektif pada usia 16 tahun, dan kemudian berhubungan dengan Pierre de Fermat pada teori peluang, sangat mempengaruhi perkembangan ekonomi modern dan ilmu social. 4. Philippe De La Hire
Lahir pada tanggal 18 Maret 1640 di Paris, Perancis dan meninggal dunia pada tanggal 21 April 1718 di paris, Perancis. Ayah Philippe De La Hire bernama Laurent De La Sewa (27 Februari 1606–28 Desember 1656). Ia merupakan seorang pelukis dengan cara berbeda. Ia menjadi professor di Akademika Lukisan dan Patung. Ibu Philippe adalah Marguerite Coquin (meninggal 1669). La Hire dididik sebagai seorang seniman dan menjadi terampil dalam menggambar dan melukis. Meskipun ia tidak menerima pendidikan formal baik di sekolah atau disebuah universitas, namun ayahnya mengharapkan anaknya dapat mengikuti profesinya. Pada saat La Hire berusia 16 tahun, ayahnya meninggal dunia dan pada saat itu dia 136
berkomitmen penuh untuk hidup sebagai seniman. Tiga tahun setelah kematian ayahnya, ia membuat rencana untuk mengunjungi Italia. Ada dua alasan dia mengunjungi Italia yaitu: ia berharap kehidupannya lebih baik di Italia dan ayahnya telah memberikan cinta seni Italia walau ayahnya belum pernah ke Italia. La Hire berangkat ke Venesia pada tahun 1660 dan menghabiskan empat tahun untuk mengembangkan keterampilan artistic dan belajar geometri. La Hire menulis buku metode grafis (1673), conic section (1685), sebuah risalah epicycloids (1694), roulettes (1702), conchoids (1708). Karya-karyanya conic section dan epicycloids ditemukan pada pengajaran Desargues dimana ia merupakan salah seorang pengagum Desargues. 5. Gaspard Monge
Lahir pada tanggal 9 mei 1746 di Beaune, Bourgogne dan meninggal dunia pada tanggal 28 Juli 1818. Gaspard merupakan seorang ahli Geometri proyektif
Page 137
matematika Perancis, revolusioner, dan penemu geometri deskriptif. Ayahnya bernama Jacques Monge, seorang pedagang yang berasal dari Haute-Savoie di tenggara Perancis. Ibunya bernama Jeanne Rousseaux adalah penduduk asli dari Burgundy. Karya-karya Monge pada akhir abad 18 dan awal abad 19 penting bagi perkembangan geometri proyektif selanjutnya. Awal abad 19 geometri proyektif merupakan batu loncatan dari geometri analitik ke geometri aljabar. 6. Filippo Brunelleschi
Lahir pada tahun 1377 di Florence, Italia dan meninggal pada tanggal 15 April 1446. Filippo adalah seorang arsitek terkemuka dan insinyur dari Renaissance Italia. Ia paling terkenal atas penemuan perspektif linear dan merancang kubah Katedral Florence, selain itu juga berprestasi di bidang karya seni perunggu, arsitektur (gereja dan kapel, benteng, rumah sakit, dll), matematika, teknik (mesin, hidrolik, mekanisme jarum jam, teater mesin, dll) dan bahkan desain kapal. Ayah Filippo bernama 138
Brunellesco yaitu seorang pengacara di Lippo, dan ibunya bernama Giuliana Spini. Filippo merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Filippo diberi pendidikan sastra dan matematika pada saat ia masih muda. Hal ini betujuan untuk mengikuti jejak sang ayah sebagai seorang PNS. Filippo juga terdaftar di Seta della Arte, persekutuan pedagang sutra, emas, pengrajin logam, dan pekerja perunggu. Ia menjadi tukang emas pada tahun 1398, pada tahun 1401, filippo mengikuti kompetisi untuk merancang satu set pintu perunggu untuk baptistery di Florence. Selain itu, Filippo juga dikenal sebagai penemu perspektif linier. Lukisan-lukisan yang dikenal pertama dalam linier optic geometris perspektif dibuat oleh Filippo sekitar tahun 1425. Filippo melukis dengan dua panel, yang pertama Florentine Baptistery yang terlihat secara frontal dari portal barat katedral yang belum selesai dan yang kedua Palazzo Vecchio terlihat miring dari sudut barat lautnya. Panel Baptistery pertama dibangun dengan lubang dibor melalui titik hilang sentries. Filippo menginginkan perspektif barunya “realisme” yang akan diuji tidak dengan membandingkan lukisan baptistery ke actual tetapi untuk refleksi di cermin sesuai dengan hukum optic geometris Euclidean. Prestasi ini menunjukkan untuk pertama kalinya bagaimana mereka bisa melukis gambar mereka yang tidak lagi terlihat dalam dua dimensi namun sudah terlihat seperti tiga dimensi. 7. Joseph Diaz Gergonne Geometri proyektif
Page 139
Joseph Diaz Gergonne lahir 19 Juni 1771 di Nancy, Perancis, anak dari seorang arsitek dan juga pelukis. Ia adalah seorang perwira artileri Perancis, profesor matematika, dan ahli logika dan dia datang di bawah pengaruh Gaspard Monge. Joseph Diaz Gergonne kesulitan mempublikasikan karyanya sehingga dia mendirikan jurnal matematika sendiri. Gergonne adalah matematikawan pertama yang menggunakan istilah kutub dalam geometri tahun 1813. Prinsip dualitas tumbuh dari pekerjaan Poncelet dan pertama kali dinyatakan Gergonne pada tahun 1826. 8. Jean Victor Poncelet (1788– 1867) Jean Victor Poncelet adalah seorang matematikawanPerancis, dianggap sebagai bapak geometri modern dan telah memiliki dampak signifikan dalam bidang geometri proyektif. Jean Victor Poncelet lahir di Metz, Perancis tanggal 1 Juli 1788 anak dari Claude Poncelet, seorang pengacara. Ia dikirim untuk tinggal dengan keluarga Olierdi Saint-Avold dan kembali ke Metz untuk pendidikan menengahnya di Lycee. Setelah itu dia menghadiri Ecole Polytechnique, sebuah sekolah bergengsi di Paris (1808-1810). Setelah lulus ia bergabung dengan Korps Militer Engineers dan mencapai pangkat letnan di AD Perancis. Jean Victor Poncelet ditawan saat berperang dalam kampanye Rusia Napoleon. Selama 2 tahun penangkaran, ia bekerja pada bidang matematika dalam geometri proyektif (bangunan dari ide-ide Desargues dan Pascal) tetapi risalahnya tidak dipublikasikan. Ia memisahkan sifat proyektif 140
suatu obyek dan membangun hubungan antara sifat metrik dan proyektif. Dia dianggap sebagai pembangun kembali geometri proyektif, karyanya “Traite des proprietes projectives des figures” dan “Applications d’analyseet de geometrie”. Jean Victor Poncelet mempelajari conic section dan mengembangkan prinsip dualitas. 9. Jacob Steiner
Jacob Steiner lahir tahun 1796 anak dari Niklaus Steiner dan Anna Barbara Weber. Jacob Steiner adalah seorang ahli geometri Swiss yang juga memiliki dampak signifikan terhadap geometri proyektif. Steiner tidak belajar membaca dan menulis sampai dia berusia 14 tahun dan tidak disekolahkan sampai ia berusia 18 tahun. Pada usia18 tahun ia meninggalkan rumah untuk menghadiri sekolah Johann Heinrich Pestalozzi di Yverdom. Sekolah Pestalozzi memberikan efek yang baik bagi Steiner untuk matematika dan filsafat ketika melakukan penelitian dalam matematika. Geometri proyektif
Page 141
Karyanya melanjutkan pekerjaan Poncelet yang dikembangkan menjadi teorema Poncelet-Steiner. Ide-ide dan teoremanya mendorong pertumbuhan geometri proyektif Karya Poncelet, Steiner dan lainlain tidak dimaksudkan untuk memperpanjang geometri analitik. Teknik seharusnya sintetik: di ruang efek proyektif seperti sekarang dipahami adalah diperkenalkan secara aksiomatik. Akibatnya, perumusan karya awal dalam geometri proyektif sehingga memenuhi standar agak sulit. C. Gambaran Umum Geometri Proyektif Geometri proyektif mempelajari tentang sifatsifat proyektif yang tidak berubah dalam transformasi proyektif sehingga geometri ini berbeda dalam pengaturan, ruang proyeksi dan beberapa konsep dasar geometri. Berikut adalah perbedaan antara geometri proyektif dan geometri Euclid. 1. Secara intuisi, ruang proyektif memiliki titik lebih banyak daripada ruang Euclid. 2. Dalam geometri proyektif tidak dibicarakan tentang sudut seperti dalam geometri Euclid, karena sudut adalah contoh dari konsep yang berubah dalam transformasi proyektif, seperti yang terlihat jelas dalam gambar perspektif. 3. Geometri proyektif tidak didasarkan pada konsep jarak. 4. Tidak terdapat penggunaan jangka dalam geometri proyektif sehingga tidak membahas tentang lingkaran. 142
5. Geometri proyektif menggunakan prinsip utama seni perspektif yaitu garis sejajar berpotongan di tak hingga. Namun pada dasarnya, geometri proyektif dapat dianggap sebagai perluasan dari geometri Euclid. Geometri Euclid terkandung dalam geometri proyektif sehingga teorema terpisah namun serupa di geometri Euclid dapat dibahas bersama dalam kerangka kerja geometri proyektif. Misalnya, garis sejajar dan garis berpotongan tidak perlu diperlakukan sebagai kasus yang terpisah karena dua garis sejajar dalam geometri proyektif juga memiliki titik potong. Titik potong dua garis sejajar adalah titik di tak hingga. D. Materi geometri. 1. Pengertian pangkal geometri proyektif Pengertian pangkal geometri proyektif adalah titik, garis dan relasi insidensi. Contoh: Titik B. Garis c. Relasi Insidensi adalah relasi antara titik dan garis seperti 'terletak di' atau 'memotong'. Sebagai contoh adalah “titik P terletak pada garis L” atau “garis L1 memotong garis L2”. Artinya, relasi tersebut adalah relasi biner yang menggambarkan bagaimana obyekobyek geometri bertemu. Jadi suatu titik dan suatu garis dikatakan insidensi jika titik itu terletak pada garis tersebut dan garis tersebut melalui titik tadi. 2.
Definisi-definisi geometri proyektif
Geometri proyektif
Page 143
a. Himpunan titik-titik disebut collinear jika setiap titik pada himpunan tersebut insiden dengan garis yang sama. b. Garis-garis yang insiden dengan titik yang sama disebut concurrent c. Complete quadrangle adalah himpunan dari empat titik, yang tiga diantaranya tidak collinear dan enam garis insiden dengan masing-masing pasangan titik tersebut. empat titik tersebut disebut vertices (titik sudut) dan enam garis tersebut disebut sides (sisi) d. Dua sisi dari Complete quadrangle berlawanan jika titik insidennya tidak berpotongan pada kedua garis. e. Titik diagonal dari Complete quadrangle adalah titik yang insiden dengan sisi yang berlawanan pada quadrangle. f. Segitiga adalah himpunan tiga titik noncollinear dan tiga garis insiden dengan setiap pasangan titik tersebut. titik-titik tersebut disebut vertices dan garis tersebutdisebut sides (sisi) g. Pencil of points adalah himpunan dari titiktitik yang insiden dengan sebuah garis. h. Pencil of line adalah himpunan garis yang insiden dengan sebuah titik. 3. Aksioma-aksioma dalam geometri proyektif a. Aksioma 1: Terdapat sebuah titik dan sebuah garis yang tidak insiden. b. Aksioma 2: Setiap garis insiden dengan minimal 3 titik berbeda. 144
c. Aksioma 3: Dua titik sebarang yang berbeda berinsiden hanya dengan 1 garis. d. Aksioma 4: Jika A, B, C, D adalah 4 titik berbeda sedemikian hingga AB berpotongan dengan CD, maka AC memotong BD. e. Aksioma 5: Jika ABC adalah bidang maka terdapat paling sedikit 1 titik tidak berada pada bidang tersebut. f. Aksioma 6: Dua bidang sebarang yang berbeda memiliki paling sedikit 2 titik potong. g. Aksioma 7: Tiga titik diagonal pada complete quadrangle tidak pernah kolinear. h. Aksioma 8: Jika suatu proyeksi memproyeksikan tiga titik invarian yang segaris, maka hasil dari proyeksi setiap titik pada garis tersebut adalah titik invarian. Definisi: Titik-titik P1, P2, …… , Pn dikatakan kolinear jika terdapat sebuah garis yang memuatnya. Definisi : Jika A, B, C tiga titik yang berbeda dan nonkolinear, maka bidang yang memuat A, B, C disebut bidang yang ditentukan oleh A, B, C. Dan dinotasikan dengan ABC. 4.
Teorema-Teorema dalam Geometri Proyektif Teorema 1: Dua garis berbeda insiden dengan tepat satu titik.
Geometri proyektif
Page 145
Bukti: Andaikan dua garis tersebut memiliki 2 titik potong A dan B. Berdasarkan aksioma 3, setiap garis ditentukan oleh dua titik tersebut. Maka dua garis tersebut sama (coincide). Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa 2 garis tersebut berbeda. Jadi pengandaian salah. Yang benar kedua garis hanya perpotongan di 1 titik. Teorema 2: Sebarang dua garis berbeda yang sebidang memiliki paling sedikit satu titik potong.
Bukti: Misal diberikan garis AC dan BD. ACE adalah bidang yang memuat AC dan BD. Titik E tidak pada AC dan BD. Karena bidang ACE ditentukan oleh pensil garis yang melalui E dan memotong AC, sedangkan BD menghubungkan 146
2 titik pada garis pensil berbeda. Misal: B pada EA maka EA = BA. Titik D pada EC maka EC = CD. Maka BA berpotongan dengan CD. Berdasarkan aksioma 4, AC dan BD memiliki titik potong. Teorema 3: Jika titik A tidak terletak pada garis BC maka A, B, dan C berbeda dan nonkolinear.
Bukti : Garis BC memuat 2 titik sebarang yang berbeda B dan C. Andaikan A = B. Karena B pada BC maka A juga pada BC. Hal ini kontradisi dengan yang diketahui. Jadi pengandaian salah. Yang benar adalah A tidak sama dengan B. Dengan cara yang sama berlaku bahwa pengandaian A = C adalah salah. Jadi A, B, C berbeda. Andaikan A, B, C kolinear. Maka berdasarkan definisi kolinear, terdapat garis yang memuat ketiga titik tersebut, Misal A, B, C pada garis l, Karena l memuat B dan C, maka l = BC …(aksioma 3) tetapi A juga pada garis l. Akibatnya A termuat pada garis BC. Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui. Jadi pengandaian salah. Yang benar adalah A, B, C nonkolinear.
Geometri proyektif
Page 147
Teorema 4 : sebuah garis dan sebuah titik di luar garis hanya termuat pada sebuah bidang Teorema 5: Jika dua garis memiliki titik potong maka garis tersebut sebidang
Bukti: Misal diberikan garis l dan k dan A pada l, B pada k. Misal C = (l,k) dengan C pada garis AC, Maka k = BC dan l = AC. Dari tiga titik yang berbeda A, B dan C, dapat dibuat sebuah bidang. Teorema 6: Jika dua bidang berpotongan maka perpotongannya adalah sebuah garis
Bukti : Misal diberikan 2 bidang berbeda U dan V yang berpotongan. Maka terdapat 2 titik misal A 148
dan B sedemikian hingga titik A dan B merupakan 2 titik persekutuan bidang U dan V….(aksioma 6). Dari A dan B dapat dibuat garis AB….(aksioma 3). Jadi garis AB pada bidang U dan juga garis AB pada bidang V. Akibatnya AB merupakan garis persekutuan bidang U dan V. Karena dalam aksioma 6 hanya dikatakan bahwa minimal perpotongan 2 bidang adalah 2 titik, maka memungkinkan terdapat titik lain C dengan C pada bidang U dan C juga pada bidang V. Andaikan C tidak pada garis AB. Maka AB dan C termuat pada 1 bidang ABC…(teorema 4). Padahal AB dan C merupakan persekutuan 2 bidang U dan V. Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa bidang U dan bidang V adalah 2 bidang yang berbeda. Akibatnya pengandaian salah, yang benar C pada garis AB. Jadi hanya garis AB yang merupakan titik potong bidang U dan V. Akibat : Jika sebuah garis termuat pada dua buah bidang yang berbeda, maka garis tersebut adalah perpotongan kedua bidang. Teorema 7: Terdapat empat titik sebidang yang tiga diantaranya tidak collinear
Geometri proyektif
Page 149
Bukti: Berdasarkan 3 aksioma pertama, terdapat 2 garis berbeda yang memiliki titik potong dan masing-masing memuat paling sedikit 2 titik selain titik potong tadi. Misal: EA memuat B, EC memuat D. Akan dibuktikan A, B, C, D nonkolinear. Andaikan A, B, C kolinear. Maka E pada AB akan kolinear dengan ketiga titik tersebut. Sehingga EA = EC. Kontradiksi dengan permisalan bahwa EA tidak sama dengan EC. Jadi permisalan salah, yang benar adalah A, B, C noncolinear Prinsip Dualitas Salah satu sifat yang istimewa dari geometri proyektif ialah prinsip dualitasnya (principle of duality) yang menyatakan, bahwa dalam bidang proyektif setiap definisi tetap berarti dan setiap dalil tetap benar, apabila kita tukar kata titik dengan garis (terletak pada dengan melalui, menghubungkan dengan memotong, segaris dengan berpotongan pada satu titik). Dalam aksioma 1 dinyatakan bahwa “terdapat sebuah titik dan sebuah garis yang tidak insiden”. Berdasarkan prinsip dualitas, 150
dengan mengganti istilah “titik” dengan“garis” dan istilah “garis” dengan “titik” diperoleh dual aksioma 1 adalah aksioma 1 itu sendiri. Dengan cara yang sama terhadap aksioma berikutnya, diperoleh teorema- teorema berikut. Teorema 8: (dual aksioma 2) Sebarang titik insiden dengan minimal 3 garis berbeda
Bukti: Berdasarkan aksioma 1, terdapat sebuah titik dan sebuah garis yang tidak insiden, misal titik A dan garis BC tidak insiden. Berdasarkan aksioma 2, garis BC memuat minimal 3 titik berbeda yaitu B, C dan D. Berdasarkan aksioma 3, dapat dibuat garis AB, AC dan AD. Teorema 9: (dual aksioma 3) Sebarang 2 garis berbeda insiden dengan tepat 1 titik. Teorema 10: (dual aksioma4) Jika a, b, c, d adalah 4 garis berbeda sedemikian hingga a∩b segaris dengan c∩d, maka a∩c segaris dengan b∩d
Geometri proyektif
Page 151
Teorema 11: (dual aksioma 7) 3 garis diagonal pada complete quadrilateral tidak pernah konkuren Perspektif Elementary correspondence Pemetaan 1-1 antara Pencil of points dengan pencil of lines disebut dengan Elementary correspondence jika setiap titik pada Pencil of points insiden dengan garis yang koresponden dengan pencil of lines Perspektivity Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of points disebut perspektivitas jika garis insiden dengan titik yang berkorespondensi dengan dua Pencil of points concurrent. Titik dimana garis tersebut berpotongan disebut center of the perspectivity Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of lines disebut perspektivitas jika titik insiden dengan garis yang berkorespondensi dengan dua Pencil of lines collinear. Garis yang memuat titik yang berpotongan disebut axis of the perspectivity. Proyektif Proyektivitas adalah perluasan dari perspektivitas. Dua bangun F dan F’ dikatakan proyektivitas jika yang satu dapat diperoleh dari yang lain dengan suatu transformasi proyektif, yaitu jika ada deretan bangun berhingga F1, F2,…,Fk sedemikian hingga F perspektif dengan 152
F1, F1 perspektif dengan F2, dan seterusnya hingga Fk perspektif dengan F’. Dapat juga dikatakan bahwa proyektivitas adalah hasil kali dari perspektivitas. Dua buah bangun F dan F’ yang perspektif dari suatu titik O dinyatakan dengan F𝑂F’ dan dua bangun yang perspektif d ∧ ari suatu garis dinyatakan dengan F∧F’ Maka jika F∧F1∧F2∧F3∧ ……∧Fk∧F’, dikatakan F dan F’ proyektif dan dinyatakan dengan F∧F’. Antara dua bangun yang proyektif selalu ada korespondensi satu-satu antara unsurunsurnya. Perspektivitas adalah keadaan khusus dari proyektivitas. Teorema Desargues: Dalam ruang proyektif, 2 segitiga berada pada perspektif aksial, jika dan hanya jika keduanya berada pada perspektif terpusat Atau dapat dinyatakan sebagai: 𝐴𝐵 ∩ 𝑎𝑏, 𝐴𝐶 ∩ 𝑎𝑐, 𝐵𝐶 ∩ 𝑏𝑐 kolinear, jika dan hanya jika Aa, Bb, Cc kongkuren
Geometri proyektif
Page 153
Bukti : Bukti jika Aa, Bb, Cc konkuren maka AB∩ab, AC∩ac, dan BC∩bc kolinear: Garis (AB) dan (ab) berpotongan karena keduanya terletak pada bidang yang dibentang oleh A, B, a, b. Misal x = (AB) ∩ (ab). (A, B) terletak pada bidang yang memuat segitiga ABC. (a.b) terletak pada bidang yang memuat segitiga abc. Maka x terletak di perpotongan bidang (misal garis h). Jadi x pada garis h….(*). Dengan cara yang sama berlaku untuk dua titik perpotongan lainnya yaitu y = (AC) ∩ (a.c) , z = (BC) ∩ (b.c) Maka y, z pada garis h….(**). Dari (*) dan (**) maka x, y, z kolinear. Dengan menggunakan dual dari “ jika Aa, Bb, Cc konkuren maka AB∩ab, AC∩a c, dan BC∩bc kolinear” 154
maka “jika AB∩ab, AC∩ac, dan BC∩bc kolinear maka Aa, Bb, Cc konkuren” terjamin kebenarannya. Maka terbukti bahwa sifat implikasi yang terdapat pada teorema Desargues berlaku. Bukti di atas berlaku jika kedua segitiga terletak pada bidang yang berbeda, Namun jika keduanya berada pada bidang yang sama, teorema Desargues bias dibuktikan dengan memilih titik di luar bidang yang memuat segitiga tersebut. Dengan titik ini, salah satu segitiga diangkat keluar dari bidang sehingga argumen di atas berlaku dan kemudian memproyeksikan kembali ke bidang. Langkah terakhir dari bukti gagal, jika ruang proyeksi memiliki dimensi kurang dari 3, karena tidak mungkin untuk menemukan sebuah titik di luar bidang. Dualitas dari teorema Desargues adalah teorema Desargues itu sendiri. Hal inidisebabkan dalam teorema ini terdapat biimplikasi dengan implikasi yang pertama adalah dual dari implikasi kedua. Teorema Pappus: Jika diberikan himpunan tiga titik A1, A2, A3 kolinear dan himpunan tiga titik B1, B2, B3 yang juga kolinear, maka titik X = A1B2∩A2B1, Y = A1B3∩A3B1, dan Z = A2B3∩A3B2 adalah kolinear.
Geometri proyektif
Page 155
Bukti: A2A3𝐵1xy𝐴1B2B3 sehingga A2A3∧B2B3 dan ∧ ∧ 𝐵1 A1A2A3 xyz𝐴1B1B2B3 ∧ ∧ sehingga A1A2A3∧B1B2B3 dan karena A1, A2, A3 kolinear begitu juga B1,B2,B3 kolinear akibatnya x, y, z kolinear Dualitas Teorema Pappus: Diberikan himpunan garis konkuren A, B, C, dan himpunan garis konkuren a,b, c, maka garis x, y, z yang secara terurut didefinisikan oleh pasangan titik potong A∩b dan a∩B, A∩c dan a∩C, B∩c dan b∩C adalah konkuren.
156
Matematikawan Jerman Gerhard Hessenberg membuktikan bahwa teorema Pappus menyiratkan Teorema Desargues's Teorema Pascal : Jika titik- titik A1, A2, A3, B1, B2, B3 terletak pada lingkaran, maka X = A1B2∩A2B1, Y = A1B3∩A3B1, Z = A2B3∩A3B2 kolinear.
Geometri proyektif
Page 157
E. Aplikasi Geometri Proyektif Geometri proyektif banyak digunakan dalam waktu sangat praktis dengan segalacara anda melihat gambar tiga dimensi pada layar komputer Anda, semua perhitunganuntuk menghasilkan citra realistik dihitung dengan menggunakan rumus geometri proyektif. Kamera lubang jarum (Pinhole) Sebuah kamera lubang jarum memberikan ilustrasi perspektif yang sangatbagus. Sebuah kamera lubang jarum hanya kotak lampu-ketat dengan satu filmmelekat di dalam wajah dan dengan lubang jarum pada wajah berlawanan yangtercakup sampai kita ingin mengambil foto. Untuk mengambil foto, titik lubang jarum di arahkan yang benar, menangkap sampai fil m benar terkena, tutup lagi, kemudian keluarkan dan mengembangkan film di kamar gelap.
158
Di sini, tentu saja, kami akan pertimbangkan kamera lubang jarum ideal dimana lubang jarum merupakan titik kecil tak berhingga dalam sebuah kotak dengandinding tipis tak terhingga di alam semesta dimana cahaya bergerak dalam garislurus sempurna. Dalam dunia nyata, lubang jarum harus memiliki beberapa daerah, dinding kamera dengan beberapa ketebalan, dan ketika cahaya nyata melewatilubang kecil, itu terdifraksi, atau tersebar sedikit, tergantung pada ukuran dan bentuk lubang., titik adalah lubang jarum di depan kamera, dan film terpasang ke sisi berlawanan kotak. Bayangkan Anda mengambil foto garis pada sebelah kanan dengan titik ditandai di atasnya. Cahaya tersebar dari setiap titik ke segala arah, namun hanya sinar cahaya yang ditujukan tepat pada lubang jarumakan mampu mencapai film. Dengan demikian citra intinya adalah pada film, dan sebagainya. Perhatikan bahwa ini membalikkan atas dan bawah, jadi jika Anda terus melacak akhir film itu ketika anda mengambil foto, hal-hal ke arah bawah akan menciptakan gambar ke atas film. Demikian pula, kiri dan kanan tertukar pada selembar dua dimensi dari film.
Geometri proyektif
Page 159
Dalam dunia nyata, tentu saja, objek dalam foto tersebut tidak perlu berbaring di garis paralel ke bagian belakang kamera. Mereka dapat berada di mana saja dalam ruang. Perhatikan juga bahwa kita telah menarik sepotong satu dimensi kamera, dan film adalah dua dimensi, dan objek kepentingan dapat terletak di mana saja di dunia tiga dimensi. Ini adalah pelajaran untuk berpikir tentang keterbatasan foto kamera. Bagaimana jika kamera mengambil foto garis dengan titik yang ditandai? Bagaimana titik tersebut menjadi spasi pada film? Bagaimana perubahannya jika garis tidak sejajar dengan kamera kembali? Bagaimana jika kamera belakang tidak sejajar dengan bagian depan kamera dimana lubang jarum itu? Akhirnya, perhatikan bahwa contoh sebelumnya kita melukis di atas sepotong kaca "seperti" kamera lubang jarum di mana film ini di depan lubang jarum (jelas kamera fisik tidak mungkin, tapi itu menunjukkan bahwa gagasan tentang proyeksi matematis masuk akal, tidak peduli dimana "film" ini.
160
