SOAL GEOMETRI 1. Jumlah deret geometri tak hingga
+1+
+½+…=…
PEMBAHASAN : r = u2 / u1 = 1 /
=½
= = x = = = 2(
+ 1$
2. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …
yang bernomor
PEMBAHASAN : Deret geometri
:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + ar6 + …
Perhatikan suku genap dan ganjilnya, dimana pada suku-suku genap, suku pertamanya adalah ar dan pada suku-suku ganjil, suku pertamanya adalah ar, dengan rasionya adalah r2.
7= 7(1 – r) = a … (i)
Berdasarkan rumus jumlah deret geometri tak hingga diatas, maka kita memperoleh rumus deret geometri takhingga bersuku genap dengan mengganti suku awal dengan “ar” dan rasionya “r2“. Sgenap = 3= 3(1 – r2) = ar … (ii) Substitusi (i) ke (ii), sehingga diperoleh : 3(1 – r2) = (7(1 – r))r 3 – 3r2 = 7r – 7r2 4r2 – 7r + 3 = 0 (4r-3)(r-1) = 0 r = ¾ atau r = 1 substitusi nilai “r” tersebut ke persamaan (i), sehingga diperoleh : untuk r = ¾ a = 7(1 – r) = 7(1 – ¾) = 7/4 untuk r = 1 a = 7(1 – r) = 7(1 – 1) = 0 3. SOAL:
Kubus ABCD.EFGH
Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 16 cm. Titik N terletak di tengah garis CG dan titik M terletak di tengah garis AE. Tentukan jarak dari titik M ke bidang BDN. PEMBAHASAN: 3 langkah penyelesaian: 1. Perluas bidang BDN sehingga ‘mengalasi’ titik M 2. Proyeksikan/jatuhkan bayangan titik M (secara tegak lurus) pada perluasan bidang BDN, misal ke titik O 3. Gunakan segitiga siku-siku OMN untuk mencari jarak M ke bidang BDN, yaitu panjang MO.
Bidang BDN 2 pengetahuan yang dibutuhkan: 1. Dalil Phytagoras 2. Identitas Trigonometri JAWAB: Fokus ke segitiga MNO Segitiga MNO adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku dalil phytagoras. Panjang MO dapat diketahui jika MN & NO diketahui. Sayangnya, hanya panjang MN yang diketahui yaitu , karena MN merupakan diagonal sisi, seperti halnya AC dan EG. Sedangkan panjang NO tidak diketahui. Alternatif: Karena segitiga MNO adalah segitiga siku-siku, identitas trigonometri juga berlaku. Panjang MO dapat diketahui jika nilai sin(sudut MNO) yaitu sin(NO,MN) diketahui.
dan lagi-lagi hanya MN yang diketahui sedangkan MO belum. Namun perhatikan sudut NPC. Fokus ke segitiga NPC Sudut NPC adalah sudut yang berseberangan dalam dengan sudut MNO, ini artinya mereka sama besar. NPC = MNO, sehingga sin(NPC) = sin(MNO) Sudut NPC merupakan salah satu sudut pada segitiga siku-siku NPC.
Segitiga NPC adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku dalil phytagoras.
Sehingga panjang NP = Karena
maka
Karena sin(NPC) = sin(MNO), maka sin(MNO) = Fokus ke segitiga MNO
Sehingga jarak titik M ke bidang BDN adalah panjang MO, yaitu
cm.
4 Tentukan batas-batas x agar deret 2 log( x 1) 2 log 2 ( x 1) 2 log 3 ( x 1) ....... merupakan deret konvergen Jawab : Deret konvergen (deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah) mempunyai syarat 1 r 1
log 2 ( x 1) 1 2 1 1 2 log( x 1) 1 log( x 1) 2
1 2
x 1 2 12 x 1
5 Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua dikurangi 2 diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2, maka hasilnya menjadi 4 kali suku pertama. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut ! Jawab : Misal p, q, r membentuk barisan aritmetika maka :
pr ............(1) 2 p, q 2, r 2 merupakan barisan geometri maka :
q p rq q
q2 r2 2 q 2 pr 2 .............(2) p q2 r 2 4 p r 4 p 2 ................(3) Substitusi (1) dan (3) ke (2) sehingga : pr 2 p 4 p 2 2 2 2
p 4p 2 4 2 4 p (3 p 2)( p 6) 0 2 6 22 p 6 r 4.6 2 22 q 14 2 b q p 14 6 8 2
6 Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7 adalah 33 dan suku ke-12 adalah 58. Tentukan : a). Suku pertama (a) dan beda (b) b). Besarnya suku ke-10 Jawab Diketahui : U7 = 33 U12 = 58 Penyelesaian : a). U7 = the + (7-1)b 33 = the + 6b U12 = the + (12-1)b 58 = the + 11b Lakukan metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut. 58 = the + 11b 33 = the + 6b (-) twenty-five = 5b b = 25/5 b=5 33 = the + 6b 33 = the + 6.(5) 33 = the + 30 the = 33 – 30 the = 3 b). Un = the + (n-1) b U10 = 3 + (10-1). 5 = 3 + (9).5 = 3 + 45 = 48
:
SOAL ALGEBRA 1 Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = PEMBAHASAN : 2.34x – 20.32x + 18 = 0 Misal : 32x = y 2y2 – 20y + 18 = 0 2(y2 – 10y + 9) = 0 (y – 9)(y – 1) = 0 y = 9 atau y = 1 9 = 32x atau 1 = 32x 32 = 32x
30 = 32x
1 = x1
0 = x2
x1 + x2 = 1 + 0 =1 2 Nilai x yang memenuhi persamaan 2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah … PEMBAHASAN : 2
log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x
2
log.2log (2x+1 + 3) = 2log 2 + 2log x
2
log.2log (2x+1 + 3) = 2log 2x
2
log (2x+1 + 3) = 2x
2x+1 + 3 = 22x 22x – 2x+1 – 3 = 0 22x – 2.2x – 3 = 0 misal : y = 2x
y2 – 2y – 3 = 0 (y – 3)(y + 1) = 0 y = 3 atau y = -1 3 = 2x log 3 = log 2x log 3 = x log 2 2
log 3 = x
Untuk “-1 = 2x ” tidak ada solusi karena tidak ada bilangan positif yang dipangkatkan akan menghasilkan bilangan negatif 3 Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah … PEMBAHASAN : log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) log [(x – 4)(x + 8)] < log (2x + 16) log (x2 + 4x – 32) < log (2x + 16) x2 + 4x – 32 < 2x + 16 x2 + 2x – 48 < 0 (x + 8)(x – 6) = 0 x = -8 atau x = 6 dengan menggunakan garis bilangan maka akan diperoleh : -8 < x < 6 syrat-syarat : 1. untuk “log (x – 4)” (x – 4) > 0, maka x > 4 2. untuk “log (x + 8)” (x + 8) > 0, maka x > -8 3. untuk “log (2x + 16)” (2x + 16) > 0, maka x > -8
Dari ketiga syarat tersebut dan -8 < x < 6, dengan menggunakan garis bilangan, maka yang memenuhi untuk ke semuanya adalah : 4 < x < 6 4 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2 log x
log (2x + 5) + 2 log 2 adalah …
PEMBAHASAN : 2 log x
log (2x + 5) + 2 log 2
log x2
log (2x + 5) + log 22
log x2
log [(2x + 5)22]
x2
8x + 20
x2 – 8x – 20
0
(x – 10)(x + 2) = 0 x = 10 atau x = -2 dengan menggunakan garis bilangan, maka diperoleh x yang memenuhi adalah : -2
x
10
syarat : 1. untuk “log x2“, x2 > 0 maka x > 0 2. untuk “log (2x + 5)”, x > -2/5 Dari ketiga syarat tersebut dan -2 x 10, dengan menggunakan garis bilangan, maka yang memenuhi untuk ke semuanya adalah : 0 < x 10 5 Diketahui titik A= (0,0,0) ; B= (-1,1,0) dan C= (1,-2,2). Tentukan:
Vektor AB Vektor AC Nilai cos sudut antara AB dan AC
Penyelesaian:
Jadi, nilai cos x nya adalah – 1/2 √2. 6 Diketahui titik A= (5,1,3) ; B= (2,-1,-1) dan C = (4,2,-4). Tentukan besar sudut antara vektor AB dan vektor BC? Penyelesaian:
Jadi, sudut yang terbentuk adalah sudut siku-siku 90°. 7 Diketahui vektor a = (3i 4j 2k) dan vektor b = (2i 3j 4k). Tentukan nilai cos x diantara vektor tersebut? Penyelesaian:
Jadi nilai cos x nya adalah 0,89.
SOAL NUMBERTEORI SOAL PROBABILITI 1 Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang tamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status bekerja pada tabel: Gender Laki – laki Perempuan Total
Bekerja Menanggur Jumlah 670 130 800 130 270 400 800 400 1200
Ada 36 orang dengan status bekerja dan 12 orang menganggur merupakan anggota koperasi. - Berapa probabilitas orang yang terpilih ternyata anggota koperasi? - Berapa probabilitas anggota yang bekerja? - Berapa probabilitas anggota koperasi yang menanggur? Diket : Jenis Kelamin Bekerja
Menganggur Jumlah
Laki – laki
670
130
800
Perempuan
130
270
400
Total
800
400
1200
36 Bekerja dan 12 menganggur dan merupakan anggota koperasi Ditanya : a. Probabilitas orang yang terpilih jadi anggota koperasi ? b. Probabilitas anggota koperasi yang bekerja ? c. Probabilitas anggota koperasi yang menganggur ? Jawab : a.) Probabilitas orang yang terpilih jadi anggota koperasi = ( 36 + 12 ) / 1200 =4% b.) Probabilitas anggota koperasi yang bekerja = 36 / 800 = 4,5 % c.) Probabilitas anggota koperasi yang menganggur = 12 / 400 =3% 2 Sebuah kantong berisi 100 kartu yang diberi nomor 2 sampai dengan 101. Sebuah kartu diambil secara acak dari kantong itu. Tentukan peluang terambil kartu yang merupakan bilangan kuadrat ? “ Pembahasan. n(S) = 100 A = kejadian terambil kartu bilangan kuadrat = {4,9,16,25,36,49,64,81,100} n(A)= 9 Sehingga p(A) =
p(A) = 9/100
