Barisan Dan Deret Tak Hingga

Barisan Dan Deret Tak Hingga Matematika Wajib Kelas XI

Disusun oleh : Markus Yuniarto, S.Si

Tahun Pelajaran 2016 – 2017

SMA Santa Angela Jl. Merdeka No. 24 Bandung

=====================================================Matematika XI Wajib

Pengantar: Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

Tujuan Pembelajaran : 1. Memahami notasi sigma dengan baik. 2. Menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang terdapat pada pengertian barisan dan deret tak hingga dengan tekun. 3. Mengingat kembali konsep barisan dan deret . 4. Menyelesaikan persoalan-persoalan yang terkait dengan barisan dan deret dengan tekun. 5. Memahami deret konvergen dan tak konvergen.

Peta Konsep : Barisan dan deret Tak Hingga

Konvergensi

Notasi Sigma

Deret

Marcoes

Konsep Barisan

Menghitung Barisan

Dan Deret

Dan Deret Tak Hingga

hal 2


A.

Prasyarat 1.

2.

Misal diketahui pola : B, U, R, S, A, B, U, R, S, A, B, ... Berdasarkan barisan tersebut, Tentukan : a. Suku ke – 15 b. Suku ke – 18 c. Suku ke – 20 d. Suku ke – 1.000 e. Suku ke – 1.009 Suku-suku suatu barisan bilangan memenuhi rumus : Un  7  5n . Tentukan : a. Suku ke – 100 b. Jumlah 100 suku pertama

3.

Jika jumlah n suku pertama suatu barisan adalah S n  3n 2  4 . Tentukan suku ke – 200.

Ingat : Barisan Aritmatika :

1. Barisan U 1, U 2, U 3, ..., U n, ....

disebut barisan aritmatika jika Un

- U n-1 = konstan. U n disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut disebut beda, yang dinotasikan dengan b. 2. Jika U 1, U 2, U 3, ..., U n, ....

merupakan

barisan

aritmatka

dengan beda b dan unsur pertama U 1 = a, maka rumus unsur ke n dari barisan itu adalah U n = a + (n - 1)b 3. Jika U 1, U 2, U3, ..., U n, ....

merupakan

barisan

aritmatka,

maka U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n, ....disebut deret aritmatika. U n disebut suku ke n dari deret itu. Marcoes

hal 3


4. Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur pertama U 1 = a adalah Sn =

1 1 n(a  U n ) atau Sn = n(2a  (n  1)b) . 2 2

Barisan Geometri :

U

n  konstan 1. Barisan U 1, U 2, U3,..., U n,...disebut barisan geometri jika U n 1geometri di atas dengan n = 2, 2, 3,.... Konstanta pada barisan disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.

2. Rumus unsur ke n barisan geometri U 1, U 2, U 3, U 4,..., U n,.... dengan U 1 = a dan rasio r adalah: U n = ar 3. Jika U 1, U 2, U 3, ..., U n,....

n-1 merupakan barisan geometri dengan

unsur pertama adalah a = U 1 dan rasio r, maka U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n + ....disebut deret geometri dengan U n = ar

n-1

4. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:

Sn 

a(1  r n ) a(r n  1) untuk r < 1 atau S n  untuk r > 1 1 r r 1

Jika n menuju tak hingga Sn berhingga, maka deret yang bersangkutan disebut deret konvergen, dan jika tidak demikian disebut deret divergen. 5. Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah Sn =

Marcoes

a 1 r hal 4


B. Notasi Sigma Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut. 1.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

2.

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.

3.

1 1 1   . 3 9 27

4.

1 + 3 + 5 + 7 + 9. Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola

dapat dituliskan dengan notasi



(dibaca: sigma), sehingga jumlahan bilangan

diatas dapat ditulis kembali : 7

1.

1 2  3  4  5  6  7  n n 1

6

2.

2  4  6  8  10  12   2n n 1

3.

3 1 1 1 1    n 3 9 27 n1 3

4.

1  3  5  7  9   (2n  1)

5

n 1

Marcoes

hal 5


Beberapa sifat notasi sigma Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c  R ,maka berlaku: n

n

n

k m

k m

k m

1.  (ak  bk )   ak   bk n

n

k m

k m

2.  cak  c  ak n

p

p

k m

k n1

k m

3.  ak   ak   ak n

4.  c  (n  m  1)c , c Є R, c = konstanta k m n

n p

n

np

k m

k mp

k m

k mp

5.  ak   ak p atau  ak   ak p n

n

n

n

k m

k m

k m

k m

2 2 6.  (ak  bk )2   ak  2  ak .bk   bk

Ex. 1 Nyatakan dalam bentuk penjumlahan  kk  1 5

k 1

 kk  1  11  1  22  1  33  1  44  1  55  1 5

k 1

 1 2  2 3  3 4  4  5  5 6  2  6  12  20  30 Ex. 2 Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma: a. 2+ 4 + 6 + 8 + 10 =2x1+2x2+2x3+2x4+2x5 =2(1 + 2 + 3 + 4 + 5) 5

=  2k k 1

Marcoes

hal 6


1 2 3 4    2 3 4 5

b. 

1 2 3 4   12   13   14 11 21 31 4 1 4 k    1k k 1 k 1

  1

c. ab5  a2b4  a3b3  a4b2  a1b 61  a2b 62  a3b 63  a4b 64 4

  ak b 6k k 1

Ex. 3 Tentukan nilai dari : 10

a.  p p 1

6

b.  2n2 n3

c.  2k  1 5

k 1

3n  22n  3 n1 n  1 5

d.  4

e.  3k 2  4 k 2

Ex. 4 Buktikan : 2  2k  4   4  k  16  k  16n n

k 1

Marcoes

2

n

n

k 1

k 1

hal 7


Ex. 5 Ubahlah batas bawah sigma menjadi 4 dari notasi sigma berikut: a.

b.

4 6 10 k  6 k k6    k  2 2k  1 k  26 2k  6   1 k 4 2k  13 4



10





2  k 1

k 6

C. Deret Khusus dalam Notasi Sigma  Deret Bilangan Asli Himpunan bilangan asli {1, 2, 3, 4, 5,....,n} Suku ke- n adalah Un  n 1 Sn  n1  n , sehingga dapat ditulis : 2 1 2

 i  n1  n n

i1

 Deret Kuadrat Bilangan Asli



Himpunan kuadrat bilangan asli 12 ,22 ,32 ,...., n2



Suku ke-n adalah Un  n2 1 Sn  nn  12n  1 ,sehingga dapat ditulis : 2 1 2

2  i  nn  12n  1 n

i1

 Deret Kubik Bilangan Asli



Himpunan kuadrat bilangan asli 13 ,23 ,33 ,...., n3 Marcoes

 hal 8


Suku ke-n adalah Un  n3 2

1  Sn   nn  1 , sehingga dapat ditulis : 2  1 2

 

3  i   nn  1 n

i1

2

Ex. 6 Diketahui barisan : 1, 4, 9,16, 25, 36, ...., n 2. Tentukan jumlah dari suku ke-50 sampai suku ke-60. Ex. 7 Berapakan nilai dari 262  252  242  232  ....  42  32  22  12 Jawab :

262  252  242  232  ....  42  32  22  12



 

= 262  242  ....  42  22  252  232  ....  32  12







 22 132  122  ....  22  12 

23  1  212  1  ....  22  1  21  1  2

2

2

2

= 4  i2   2i  12 13

13

i1

i1

13

13

i1

i1





= 4  i2   4i2  4i  1 13

13

13

13

i1

i1

i1

i1

= 4  i2  4  i2  4  i   1 = 4  i  113 13

i1

 13  = 4 1  13  13 =351 2  Marcoes

hal 9


D. Barisan dan Deret Tak Hingga Misal : Barisan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 100 dinamakan barisan berhingga. 1 1 1 Barisan bilangan 1, , , ,.... dinamakan barisan tak hingga. 2 3 4

Bagaimana dengan deret?? Deret bilangan merupakan penjumlahan suku-suku barisan. Misal : barisan u1 ,u2 ,u3 ,u4 ... Deret : u1  u2  u3  u4  ... Ex. 8 Tentukan suku ke-2, suku ke-5, dan suku ke 12 jika diketahui un 

E.

1 n 1 2

Limit dari Suatu Barisan Suatu bilangan L dikatakan sebagai limit dari sebuah barisan tak berhingga u1 ,u2 ,u3 ,u4 ... apabila untuk setiap bilangan Є > 0 yang diberikan (berapa pun kecilnya), dapat ditemukan sebuah bilangan N sedemikian sehingga un L   ,untuk semua bilangan bulat n > N. Misalnya : un  3 

1 3n  1  . Barisannya adalah 4. n n

Teorema Limit Pusat Jika diketahui lim an dan lim bn ada maka : n

1. Marcoes

n

lim an  bn   lim an  lim bn

n

n

n

hal 10


2.

3.

lim an  bn   lim an  lim bn

n

n

n

lim a an n   n lim  , asal lim b n  0 n b n lim b n n n

4.

liman p   lim an  n n 

p

Ex. 9 Diketahui sebuah barisan dengan rumus suku ke-n adalah n1 un  . Tentukan nilai limitnya. n Jawab :

lim un  lim n

n

n1 1  1  lim  1    lim 1  lim  1  0  1 n   n   n   n n  n

F. Barisan Konvergen dan Divergen 1. Konvergen Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga. a. 1 + 2 + 4 + 8 + .... b. 5 – 10 + 20 – 40 + .... c.

1 1 1    .... 2 4

1 d. 9  3  1   .... 3

Marcoes

hal 11


Dalam contoh a dan b rasionya 2 dan -2,jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen,dengan r  1 . 1 1 dan  , dapat dihitung 2 3 jumlahnya,deret ini disebut deret konvergen dengan r  1 .

Dalam contoh c dan drasionya

n

Karena



a 1  rn n 1  r

S   lim S n  lim

deret



konvergen

r  1 ,untuk

n

→

∞

maka

r  0 ,sehingga : n

n





a 1  rn a  arn a  0 a  lim   n 1  r n 1  r 1 r 1r

S   lim S n  lim

Jadi rumus jumlah deret geometri tak hingga : S 

a , dengan r  1 1 r

Ex. 10 Tentukan jumlah deret tak berhingga suku dari deret berikut : a.

1 1 1 1     .... 2 4 8

Deret ini konvergen, Dengan a = 1 dan r =

b.

1 a 1 1 S    2 1 1 2 1 r 1 2 2

1 1 2 1  .... 2 4 2

Marcoes

hal 12


Deret ini konvergen, Dengan a = 2 dan r =

1 a 2 , S   4 1 2 1 r 1 2

Ex. 11 Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m danmemantul kembali dengan 3 ketinggian kali tinggi sebelumnya.pemantulan berlangsung terus 4 menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola. u 0  10 m; r 

3 4

3 30 u1   10 m  m 4 4  3     u1  S   10  2S   10  2   10  2 4   70 m 1 3   1 r    4 

Cara lain : Suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H secara vertikal dan memantul a ke atas dengan tinggi pantulan kali dari ketinggian semulamaka b panjang lintasan pantulan S  hingga berhenti adalah :

ba S    H  ba

Marcoes

hal 13


Soal Latihan Kerjakan soal –soal berikut ini pada buku tugasmu! 1. Hitunglah jumlah deret geometri takhngga berikut!

1 3

+…

a.

3+1+

b.

8–4+2–1+…

c.

-3 + 1 -

d.

4+

1 3

+…

4 4   ... 3 9

2. Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 6 dan rasio sama dengan

2 3

.

Hitunglah jumlah tak hingga sukunya! 3. Jika suatu deret geometri tak hingga diketahui jumlahnya 3 dan suku pertama sama dengan 4, hitunglah besar rasio deret tersebut! 4. Mobil bergerak lurus dengan kecepatan 60 km/jam selama jam pertama. Pada jam kedua kecepetannya berkurang menjadi dua pertiganya.Demikian seterusnya, setap jam kecepatannya menjadi

2 3

kecepatan sebelumnya.Berapa km jarak trjauh yang

dapat dicapai oleh mobil trsebut? 5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketnggian 18 m, saat mengenai lantai , bola memantul mencapai ketinggian

2 3

dari aktinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola

sampai berhenti

Marcoes

hal 14

=====================================================Matematika XI Wajib Berilah tanda silang pada huruf a, b, c, d, atau e sesuaia pilihan yang paling tepat

  1 n 5

1.

Nilai dari

n

2

 1 adalah …

n 1

2.

a. -16

b. -14

d. 14

e. 12

Notasi sigma dari 3 + 10 + 21 + … + 300 adlah : … 12

a.

 2k  1  3k 2 k 1

4.

5.

k 2  2 k 1

12

d.

12

12

b.

k 1

3.

c. -12

c.

 k 1  k  k 1

12

e.

 k 2k  1 k 1

Suku ke – 15 dari barisan 3, 5, 7, 9, …adalah … a. 27

b. 12

d. 29

e. 33

c. 35

Suatu deret aritmatika mempunyai suku ke- 1 sama dengan 4 dan beda 2. Jika jumlah n suku pertama adalah 180, maka n = … a. 6

b. 9

d. 15

e. 18

c. 12

Rumus suku ke- n dari barisan bilangan : 2, 4, 8, 16, 32 adalah : a. 2n

d. n2

b. 2n + 2

e. 2n – 2

c. 2n 6.

Lima suku pertama dari barisan dengan rumus Un = n2 + 1 adalah …

Marcoes

hal 15

=====================================================Matematika XI Wajib a. 2, 5, 7, 11

d. 3, 6, 9, 15, 21

b. 2, 5, 10, 17, 26

e. 3, 7, 9, 12, 15

c. 3, 5, 7, 9, 11 7.

Suatu deret aritmatika suku pertama sama dengan 5 dan bedanya 3 , maka suku ke seratus adalah … a. 300

d. 309

b. 302

e. 312

c. 306 8.

Diketahui barisan aritmatika dengan U3 = 3 dan U8 = 13. Suku ke – 100 adalah.. a. 199

d. 196

b. 198

e. 195

c. 197 9.

Suku tengah dari barisan aritmatika yang suku pertamanya = 3, bedanya lima, dan banyaknya suku 99, adalah … a. 245

d. 248

b. 246

e. 249

c. 247 10. U5 deret aritmatika adalah 21 dan U17 deret tersebut adalah 81, maka jumlah 25 suku pertama adalah …. a. 1.495

d. 1.520

b. 1.500

e. 1.525

c. 1.515 11. Jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 kurang dari 100 adalah … Marcoes

hal 16

=====================================================Matematika XI Wajib a. 166.833

d. 166.533

b. 166.733

e. 166.433

c. 166.633 12. Diketahui suatu barisan bilangan 5, 9, 13, 17, … suku ke-n barisan bilangan tersebut adalah … a. Un = 4 + n

d. Un = 1 + 4n

b. Un = 3 + 2n

e. Un = -1 + 6n

c. Un = 2 + 3n 13. Perusahaan “ ASIA JAYA” pada tahun pertama mempruduksi sepatu sebanyak 2.000 buah. Jika setiap tahun produksinya bertambah sebanyak 25 buah, jumlah produksi sepatu pada tahun ke-21 adalah … a. 2.045 buah

d. 3.975 buah

b. 2.500 buah

e. 5.500 buah

c. 2.550 buah 14. Pada barisan arit matika suku keempat sama dengan 8 dan suku kedua belas sama dengan 16. Suku kesepuluh adalah … a. 34

d. 44

b. 38

e. 48

c. 40 15. Sebuah perusahaan mobil pad tahun ke tiga memproduksi sebanyak 550 unit. Tiap – tiap tahun berikunya meningkat 5 % dari tahun pertama. Jumlah produksi selama sepuluh tahu adalh :… a. 700 unit

d. 6.125 unit

b. 725 unit

e. 6.250 unit

c. 1.125 unit Marcoes

hal 17

=====================================================Matematika XI Wajib 16. Suku kedua dan kelima pad barisan geometri berturut – turut adalah 6 dan 162. Jumlah empat suku pertam adalah : … a. 60

d. 90

b 70

e. 106

c. 80 17. Fitri mendapat gaji Rp 7.500.000,00 tiap tahun berikutnya bertambah Rp 200.000,00 tiap tahun. Total gaji Fitri selama 6 tahun adalah : a. Rp 49.000.000,00

d. Rp 44.000.000,00

b. Rp 48.000.000,00

e. Rp 43.000.000,00

c. Rp 46.000.000,00 18. Suatu deret geometri diketahui suku kedua adalah 24 dan suku kelima adalah 81, maka jumlah lima suku yang pertama adalah : … a. 112

d. 224

b. 121

e. 242

c. 211

Marcoes

hal 18


Marcoes

hal 19


DAFTAR PUSTAKA Rosihan,Ari y.Perspektif.Kelas XI MIA Wajib.Platinum. Sobirin.Fokus Matematika.Siap Ujian Nasional SMA.Erlangga.

Marcoes

hal 20

Barisan Dan Deret Tak Hingga

Recommend Documents