BAB 12 BARISAN DAN DERET

BAB 12 BARISAN DAN DERET TIPE 1: Jika dari barisan aritmetika diketahui suku ke-m adalah u m dan suku ke-n adalah u n , maka u  un . b m mn Contoh: Diketahui barisan aritmetika, suku ke-5 adalah 24 dan suku ke-8 adalah 36. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 E. 2 Solusi 1: [C] un  a  n  1b u8  u5  36  24 a  7b  a  4b  36  24 3b  12 b4 Solusi 2: Care u  u5 36  24 b 8  4 85 3

TIPE 2: Jika dalam barisan aritmetika diketahui suku ke-p adalah u p dan suku ke-q adalah u q , maka suku ke-r dapat ditentukan dengan rumus

uq  u p q p



ur  u p rp

.

Contoh: Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-5 adalah 15 dan suku ke-20 adalah 660. Suku ke-9 adalah…. A. 157 B. 177 C. 187 D. 287 E. 297 Solusi 1: [C] un  a  n  1b u 5  15 a  4b  15 …. (1) u 20  660 a  19b  660 …, (2) Hasil pengurangan persamaan (2) oleh persamaan (1) adalah 15b  645 b  43 b  43  a  4b  15 a  4  43  15 a  157 68 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

u9  a  8b  157  8  43  187 Solusi 2: Care u 20  u 5 u 9  u 5  20  5 95 660  15 u 9  15  15 4 u 9  43  4  15  187

TIPE 3: Jika dari barisan geometri diketahui suku ke-m adalah u m dan suku ke-n adalah u n , maka u r mn  m . un Contoh: Diberikan barisan geometri, suku ke-3 adalah 18 dan suku ke-7 adalah 1458. Rasio barisan geometri tersebut adalah …. A.  9 B. 9 C.  9 D.  3 E. 3 Solusi 1: [A] u7 1458  u3 18

ar 6  81 ar 2 r 4  81 r   4 81  9 Solusi 2: Care u 1458 r 73  7   81 u3 18 r 4  81 r   4 81  9

TIPE 4: Menentukan b Jika un Diketahui Contoh: Dari suatu deret aritmetika diketahui siku ke-n adalah un  4n  5 . Nilai beda (b) adalah …. A.  5 B.  4 C. 2 D. 4 E. 5 Solusi 1: [D] b  un  un1 b  4n  5  4n  1  5  4n  5  4n  4  5  4 Solusi 2: Care u n  4n  5 Beda (b) adalah koefisien dari n atau turunan pertama dari un , sehingga b  4 .

TIPE 5: Menentukan S n Jika un Diketahui Contoh:

69 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

Dari suatu deret aritmetika diketahui siku ke-n adalah un  4n  5 . Rumus jumlah n suku pertama ( S n ) adalah …. A. 2n 2  3n B.  2n 2  n C. 4n 2  5n D.  2n 2  n E. 3n 2  2n Solusi 1: [A] u n  4n  5 a  u1  4  1  5  1 n S n  a  u n  2 n n S n   1  4n  5  4n  6   2n 2  3n 2 2 Solusi 2: Care u n  4n  5 Integral dari 4n adalah 2n 2 , sehingga S n  2n 2 Untuk n  1 , maka u1  4  1  5  1 , sedangkan S1  2 . Supaya nilai S1 sama dengan nilai u1 , maka haruslah S1  2  3 , sehingga S n  2n 2  3n .

TIPE 6: Menentukan un Jika S n Diketahui Contoh: Dari suatu deret aritmetika diketahui jumlah n suku pertama adalah S n  3n 2  4n . Tentukan jumlah n suku pertama ( S n ) dan beda (b). A. un  6n  1 dan b  6 C. un  3n  1 dan b  3 C. un  n  6 dan b  1 B. un  6n  1 dan b  6 D. un  4n  1 dan b  4 Solusi 1: [A] Menentukan suku ke-n ( un ): un  S n  S n1





2 un  3n 2  4n  3n  1  4n  1  3n 2  4n  3n 2  6n  3  4n  4  6n  1 Solusi 2: Care S n  3n 2  4n

Turunan (difrensial) dari 3n 2 adalah 6n , sehingga u n  6n Untuk n  1 , maka S1  3  12  4  1  7 , sedangkan u1  6 . Supaya nilai u1 sama dengan nilai S1 , maka haruslah u1  6  1 , sehingga un  6n  1

TIPE 7: Jika jumlah n suku pertama deret geometri adalah S n  kp qn  k , maka rasio antara dua suku yang berurutan adalah r  p q . Contoh: Diketahui deret geometri dengan jumlah n suku pertama S n  3  2 3n  3 . Rasio deret tersebut adalah …. A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 E. 24 70 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

Solusi 1: [C] S n  3  2 3n  3

u1  3  2 3  3  21





u 2  S 2  S1  3  2 6  3  3  2 3  3  189  21  168 u 168 8 r 2  21 u1 Solusi 2: Care S n  kp qn  k  r  p q S n  3  2 3n  3  r  2 3  8

TIPE 8: Jika sisi-sisi segitiga siku-siku panjangnya merupakan barisan aritmetika, maka 1. Sisi miring (hipotenusa) = 5k, panjang sisi siku-siku terpanjang = 4 k, dan panjang sisi siku-siku terpendek = 3k. 2. Keliling = 12k 3. Luas = 6k2 dengan k adalah bilangan positif.

3k

5k 4k

Contoh 1: Diketahui segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya merupakan barisan aritmetika. Jika panjang sisi sikusiku terpendek adalah 24 cm, maka kelilingnya adalah …. A. 36 cm B. 48 cm C. 72 cm D. 96 cm E. 192 cm Solusi 1: [D] Misalnya sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika adalah 24, y, z. Sifat beda barisan aritmetika: y  24  z  y z  2 y  24 Menurut Pythagoras: 24 2  y 2  z 2 z 24 576  y 2  (2 y  24) 2

576  y 2  4 y 2  96 y  576 y 3 y 2  96 y  0 3 y ( y  32)  0 y  0 (ditolak) atau y  32 (diterima) y  32  z  2 y  24 z  2  32  24  40 Keliling segitiga itu  24  32  40  96 cm Solusi 2: Care Panjang sisi siku-siku terpendek = 24 3k  24  k  8 Keliling segitiga itu: K  12k  12  8  96 cm Contoh 2: Diketahui segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya merupakan barisan aritmetika. Jika luasnya adalah 24 cm2, maka panjang sisi miringnya adalah …. 71 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

A. 20 cm B. 18 cm C. 15 cm D. 12 cm Solusi 1: [E] Misalnya sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika adalah x, y, z. Beda barisan aritmetika : y  x  z  y z  2y  x Menurut Pythagoras: x2  y2  z 2 z 24 x 2  y 2  ( 2 y  x) 2

E. 10 cm

x 2  y 2  4 y 2  4 xy  x 2 y

3 y 2  4 xy  0 y (3 y  4 x)  0 y  0 (ditolak) atau y 

4 x (diterima) 3

1 xy 2 1 4 24  x  x 2 3 2 x  36 x  36  6 4 4 x6 y  x  68 3 3 x  6   z  2 y  x  2  8  6  10 y  8 Jadi, panjang sisi miringnya adalah 10 cm. Solusi 2: Care Luas: L  6k 2 24  6k 2 k2  4 k  4 2 Panjang sisi miringnya = 5k  5  2  10 cm. L

TIPE 9: Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggiah h. Setiap bola menyentuh lantai, maka bola dipantulkan x sehingga mencapai ketinggian dari tinggi sebelumnya demikian seterusnya. Panjang seluruh y yx h. lintasan yang dilalui bola itu sampai berhenti adalah S  yx Contoh: Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 120 cm. Setiap bola menyentuh lantai, maka bola dipantulkan 2 sehingga mencapai ketinggian dari tinggi sebelumnya demikian seterusnya. Panjang seluruh lintasan 3 yang dilalui bola itu sampai berhenti adalah …. 72 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

A. 800 cm Solusi 1: [D]

B. 720 cm

C. 640 cm

D. 600 cm

E. 500 cm

Bola 2

2    120 3

120

2  120 3 Lantai 2 3 2  2 2 Deret geometri tak berhingga: 120  2  120     120     120  ... 3 3  3  Jumlah deret geometri tak berhingga: 2 a 2 S , dengan a   120  80 (suku pertama) dan r  (rasio) 3 1 r 3 80  120  480  600 cm S  120  2  2 1 3 Jadi, panjang seluruh lintasan yang dilalui bola itu sampai berhenti adalah 600 cm. Solusi 2: Care yx 3 2  120  600 cm S h  32 yx Jadi, panjang seluruh lintasan yang dilalui bola itu sampai berhenti adalah 600 cm.

LATIHAN SOAL-SOAL 1.

UN 2013 Sebuah bola tennis dijatuhkan dari ketinggian 2 m dan memantul kembali menjadi

2.

3.

4.

4 tinggi 5

sebelumnya. Panjang lintasan bola tennis tersebut sampai berhenti adalah…. A. 8 m B. 16 m C. 18 m D. 24 m UN 2013

E. 32 m

Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 4 m dan memantul kembali

3 dari ketinggian 4

semula. Panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti adalah …. A. 12 m B. 16 m C. 24 m D. 28 m E. 32 m UN A35 2012 Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n  n 2  5n . Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah…. A. 44 B. 42 C. 40 D. 38 E. 36 UN B47 2012

73 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n  2n 2  4n . Suku ke-9 dari deret aritmetika tersebut adalah…. A. 30 B. 34 C. 38 D. 42 E. 46 5. UN C61 dan E81 2012 Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n  n 2  3n . Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah…. A. 38 B. 42 C. 46 D. 50 E. 54 6. UN D74 2012 5 3 Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n  n 2  n . Suku ke-10 dari deret 2 2 aritmetika tersebut adalah…. 1 1 A. 49 B. 47 C. 35 D. 33 E. 29 2 2 7. UN 2011 Suku ke4 dan ke9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke30 barisan aritmetika tersebut adalah…. A. 308 B. 318 C. 326 D. 344 E. 354 8. UN AP 12 dan BP 45 2010 Diketahui barisan aritmetika dengan u n adalah suku ke-n. Jika u 2  u15  u 40  165 , maka u19  .... A. 10 B. 19 C. 28,5 D. 55 E. 82,5 9. EBTANAS 2001 Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n  4n  n 2 . Beda deret tersebut adalah ... A. 3 B. 2 C. 1 D. –1 E. –2 10. EBTANAS 2000 Jumlah suku n pertama deret aritmetika adalah 12.000 untuk n  75 maka suku tengah deret itu adalah …. A. 80 B. 150 C. 155 D. 160 E. 320 11. EBTANAS 1999 Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n  n 2  2n . Beda dari deret itu adalah .... A. 3 B. 2 C. 1 D. 2 E. 3 12. EBTANAS 1997 Jumlah suku pertama suatu deret geometri adalah S n  23n  1 . Rasio deret itu adalah …. 1 A. 8 B. 7 C. 4 D.  E. –8 8 13. EBTANAS 1996 Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n  n 2  19n . Beda deret itu adalah…. A. 16 B. 2 C. –1 D. –2 E. –16 14. EBTANAS 1993 n Jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmetika adalah S n  3n  1 . Beda dari deret 2 arimatika itu adalah ..... A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 E. 4 15. EBTANAS 1992 Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah S n  n 2  n . Suku ke-10 deret ini adalah ... 74 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

A. 8 B. 11 C. 18 D. 72 E. 90 16. EBTANAS 1991 Suku ke-n barisan Aritmatika dinyatakan dengan rumus un  5n  3 . Jumlah 12 suku pertama dari deret yang bersesuaian adalah …. A. 27 B. 57 C. 342 D. 354 E. 708

75 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika