Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret
BILANGAN BAB V BARISAN BILANGAN DAN DERET A.
Barisan Bilangan 1. Pengertian Barisan Bilangan Jika bilangan-bilangan diurutkan dengan aturan tertentu maka akan diperoleh suatu barisan bilangan. Contoh : Tentukan aturan pembentuk dan dua suku berikutnya dari barisan bilangan berikut! 1. 2,
6,
10,
14, …..
2. 1,
2,
5,
10, …..
3. 2,
6,
18,
54, …..
4. 96, 48,
24,
12, …..
5. 1,
2,
3,
1,
5, …..
Penyelesaian : 1.
2, 6, 10, 14, ..... +4 +4 +4
Aturan pembentuknya adalah “di tambah 4” Dua suku berikutnya adalah 18 dan 22. 2. 1, 2, 5, 10, ..... +1 +3 +5
Aturan pembentuknya adalah “di tambah bilangan ganjil beraturan” Dua suku berikutnya adalah 17 dan 26. 3. 2, 6, 18, 54, ..... x3 x3 x3
Aturan pembentuknya adalah “di kalikan 3” Dua suku berikutnya adalah 162 dan 486. 4. 96, 48, 24, 12, ..... :2
:2
:2
Aturan pembentuknya adalah “di bagi 2” Dua suku berikutnya adalah 6 dan 3. 5. 1, 1, 2, 3, 5, 1+1 2+3 Aturan pembentuknya adalah “suku berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua suku di depannya”. Dua suku berikutnya adalah 8 dan 13. Barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, ….. disebut sebagai barisan bilangan Fibonacci. NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret 2. Suku ke-n Suatu Barisan Bilangan Contoh : Tentukan rumus suku ke-n barisan bilangan berikut! 1. 5, 8, 11, 14, ….. Penyelesaian : 5, 8, 11, 14, ..... +3 +3 +3
Rumus suku ke-n nya adalah : U n = 3n + 2 2. 2, 8, 14, 20, ….. Penyelesaian : 2, 8, 14, 20, ..... +6 +6 +6
Rumus suku ke-n nya adalah : U n = 6n − 4 3. Menggunakan Rumus Suku ke-n Contoh : Tentukan empat suku pertama suatu barisan bilangan, jika suku ke-n adalah n(n + 2) . Penyelesaian : U n = n(n + 2)
U1 = 1(1+2) = 3 U 2 = 2(2+2) = 8 U 3 = 3(3+2) = 18
U 4 = 4(4+2) = 24 Jadi empat suku pertama barisan tersebut adalah 3, 8, 18, dan 24.
B.
DERET ARITMETIKA 1. Pengertian Deret Aritmetika, Suku, dan Beda Deret Aritmetika (Deret Hitung) adalah deret yang mempunyai beda yang selalu tetap. Beda = b = U n − U n −1
Bentuk umum dari deret Aritmetika adalah :
U1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + ..... + U n Contoh : Selidiki bahwa 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + … merupakan deret Aritmetika. Penyelesaian :
U 1 = 2,
U 2 = 5, U 3 = 8, U 4 = 11,
Cari beda nya : Beda = b = U n − U n −1
NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
U 5 = 14
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret U 5 − U 4 = 14 – 11 = 3 U 4 − U 3 = 11 – 8 = 3 U3 − U2 = 8 – 5 = 3
U 2 − U1 = 5 – 2 = 3 Karena bedanya tetap, maka deret 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + … merupakan deret ariematika. 2. Deret Aritmetika Naik dan Turun Suatu deret aritmétika yang suku-sukunya selalu bertambah dan mempunyai beda lebih dari nol atau positif disebut deret aritmétika naik, sedangkan deret aritmétika yang suku-sukunya selalu berkurang dan mempunyai beda kurang dari nol atau positif disebut deret aritmétika turun. Contoh : Tentukan jenis deret aritmetika berikut, apakah deret aritmetika naik atau turun! 1. 5 + 7 + 9 + 11 + …. Penyelesaian : 5 + 7 + 9 + 11 + ….
U 2 − U1 = 7 – 5 = 2 U3 − U2 = 9 – 7 = 2 U 4 − U 3 = 11 – 9 = 2 Karena beda = 2 (positif), maka 5 + 7 + 9 + 11 + …. Adalah deret aritmetika naik. 2. 10 + 7 + 4 + 1 + …. Penyelesaian : 10 + 7 + 4 + 1 + ….
U 2 − U1 = 7 – 10 = –3 U 3 − U 2 = 4 – 7 = –3 U 4 − U 3 = 1 – 4 = –3 Karena beda = –3 (negatif), maka 10 + 7 + 4 + 1 + … Adalah deret aritmetika turun. 3. Rumus Suku ke-n pada Deret Aritmetika Dalam deret Aritmetika U1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + ..... + U n , dengan beda = b , maka berlaku rumus seku ke-n :
U n = U1 + (n − 1)b Keterangan :
U1 = Suku Pertama b = Beda
n = Banyak Suku U n = Suku ke-n NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret Contoh : 1. Tentukan suku ke-10 dari deret 2 + 5 + 8 + 11 + … Penyelesaian : 2 + 5 + 8 + 11 + …
U4
U3
U1 U 2
U 2 − U1 = 5 – 2 = 3 U3 −U2 = 8 – 5 = 3 U 4 − U 3 = 11 – 8 = 3 Beda = b = 3 U n = U1 + (n − 1)b U10 = 2 + (10 – 1)(3) = 2 + 27 = 29 Jadi, suku ke-10 adalah 29. 2. Dalam deret Aritmetika diketahui U1 = 5 dan U 7 = 29. Tentukan beda dari deret tersebut. Penyelesaian :
U1 = 5,
U 7 = 29 → n = 7
U n = U1 + (n − 1)b U 7 = U1 + (7 − 1)b 29 = 5 + 6 b 6 b = 29 – 5 b
=
24 =4 6
Jadi bedanya adalah 4. 3. Pada deret Aritmetika diketahui U1 = 3 dan U 5 + U 8 = 61. Hitunglah U11 . Penyelesaian :
U1 = 3,
U 5 + U 8 = 61
U n = U1 + (n − 1)b U 5 = U1 + (5 − 1)b = 3 + 4b
U 8 = U1 + (8 − 1)b = 3 + 7b
+ U 5 + U 8 = (3 + 4b ) + (3 + 7b ) 61
= 6 + 11 b
b
= 61− 6 = 5 11
Jadi U11 = 53. NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
U11 = U1 + (11 − 1)b = 3 + 10(5) = 53
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret 4. Sisipan pada Deret Aritmetika Besar beda yang baru ( b1 ) dari deret aritmetika yang telah mendapat disipan adalah:
b1 =
y−x b atau b1 = k +1 k +1
Keterangan : b = beda dari dua bilangan mula-mula yaitu x dan y
k = banyak bilangan yang disisipkan
Contoh : 1. Di antara bilangan 3 dan 30 disisipkan 8 buah bilangan sehingga menbentuk deret aritmetika. Tentukan besar beda dari deret aritmetika tersebut, dan kemudian tentukan besar suku ke-6! Penyelesaian :
x = 3, b1 = =
y = 30,
k=8
y−x k +1
U n = U1 + (n − 1)b
30 − 3 8 +1
U 6 = 3 + (6 − 1)3
=3
= 18
Jadi, besar beda adalah 3 dan suku ke-6 adalah 18. 2. Di antara dua suku yang berurutan pada deret 2 + 8 + 14 + 20 + 26 disisipkan 2 buah bilangan sehingga membentuk deret aritmetika yang baru. Tentukan : a. Besar beda deret yang baru b. Banyak suku deret yang baru Penyelesaian : a. 2 + 8 + 14 + 20 + 26 b = U 2 − U1 = 8 – 2 = 6,
b1 =
b k +1
=
6 2 +1
k=2
=2 b. U1 = 2,
U n = 26, b1 = 2
U n = U1 + (n − 1)b1 26 = 2 + (n − 1)2 26 = 2 + 2n − 2
n
=
26 = 13 2
Jadi, besar beda deret yang baru adalah 2 dan banyak suku deret yang baru adalah 13. NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret 5. Suku Tengah pada Deret Aritmetika
Ut =
U1 + U n 2
Contoh : Suku terakhir dari deret Aritmetika = 17, suku tengahnya = 11, dan suku keempatnya = 14. Tentukan : 1. Suku pertama 2. Bedanya 3. Banyak suku dalam deret tersebut Penyelesaian : U t = 11, U 4 = 14
U n =17, 1. U t =
U1 + U n 2
11 =
U 1 + 17 2
U1 = (11 × 2) – 17 U1 = 5 2. U 4 = 14 U n = U1 + (n − 1)b
U 4 = 5 + (4 − 1)b 14 = 5 + 3b 14 − 5 3
b
=
b
= 3
3. U n = U1 + (n − 1)b 17 = 5 + (n − 1) (3) 17 = 5 + 3n − 3 17 − 2 3
n
=
n
= 5
6. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika
Sn =
1 n(U1 + U n ) 2
Contoh : 1. Tentukan jumlah 35 suku pertama dari deret Aritmetika 207 + 204 + 201 + 198 + …. Penyelesaian : NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret 207 + 204 + 201 + 198 + …. n = 35 b = 204 – 207 = –3
= U1 + (n − 1)b
Sn =
1 n(U1 + U n ) 2
U 35 = 207 + (35 – 1)( –3)
S35 =
1 (35)(207 + 105) 2
Un
1 (35)(312) 2
= 207 + (–102)
=
= 105
= 5.640
2. Jumlah statu deret Aritmetika adalah 12.792. Jika banyak sukunya 41 dan bedanya 15. Tentukan : a. Suku pertama ( U1 ) b. Suku terakhir ( U 41 ) c. Suku tengahnya Penyelesaian : S n = 12.792, n = 41, b = 15 a. S n
=
1 n(U1 + U n ) 2
S 41
=
1 (41)(U1 + U 41 ) 2
12.792
=
1 (41)(U1 + [U1 + (n − 1)b]) 2
= 12 + 600
12.792
=
1 (41)(U1 + [U1 + (41 − 1)15]) 2
= 612
12.792
=
1 (41)(U1 + [U1 + (40)(15)]) 2
12.792
=
1 (41)(2U1 + 600) 2
12.792
= (41)(U1 + 300)
(U1 + 300)
=
(U1 + 300)
= 312
U1
= 312 – 300
U1
= 12
b. U n = U1 + (n − 1)b
U 41 = 12 + (41 – 1)(15)
c. U t =
U1 + U n 2
=
12 + U 41 2
=
12 + 612 2
12.792 41
= 312
3. Hitung jumlah bilangan-bilangan kelipatan 3 antara 1 dan 300. Penyelesaian : Bilangan kelipatan 3 antara 1 dan 300 = 3 + 6 + 9 + … NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret U1 = 3, Un
U n = 297,
b=6–3=3
= U1 + (n − 1)b
Sn =
1 n(U1 + U n ) 2 1 (99)(3 + 297 ) 2
297 = 3 + (n – 1)(3)
=
297 = 3 + 3 n – 3
= 14.850
n
=
297 3
= 99
C.
DERET GEOMETRI 1. Pengertian Deret Geometri dan Rasio Suatu deret yang memiliki Rasio (perbandingan) yang selalu tetap disebut Deret Geometri (Deret Ukur). Rasio =
U U2 U3 U4 , , , …. , n U1 U 2 U 3 U n−1
Rasio ( r ) =
Un U n −1
Contoh : Selidiki bahwa 16 + 8 + 4 + 2 + … merupakan deret Geometri. Penyelesaian : 16 + 8 + 4 + 2 + .…
U1 U 2
U3
U2 8 1 = = , U 1 16 2
U4 U3 4 1 = = , U2 8 2
Karena rasionya selalu tetap =
U4 2 1 = = U3 4 2
1 , maka 16 + 8 + 4 2
+ 2 + .… merupakan deret
geometri. 2. Deret Geometri Naik dan Turun Suatu deret geometri yang nilai suku berikutnya lebih dari nilai suku sebelumnya atau U n+1 > U n disebut deret geometri naik. Sedangkan jika nilai suku berikutnya kurang dari nilai suku sebelumnya atau U n+1 < U n disebut deret geometri turun. Contoh : Di antara deret-deret berikut, manakah yang termasuk deret geometri naik atau turun? a. 3 + 9 + 27 + 81 + … b. –2 + (–4) + (–8) + (–16) + … Penyelesaian : NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret a. 3 + 9 + 27 + 81 + …
U 1 = 3, U 2 = 9, U 3 = 27, dan U 4 = 81 U 2 > U1 , U 3 > U 2 , U 4 > U 3 Karena U n+1 > U n , maka deret 3 + 9 + 27 + 81 + … disebut deret geometri naik. b. –2 + (–4) + (–8) + (–16) + …
U 1 = –2, U 2 = –4, U 3 = –8, dan U 4 = –16 U 2 < U1 , U 3 < U 2 , U 4 < U 3 Karena U n+1 < U n , maka deret 3 + 9 + 27 + 81 + … disebut deret geometri turun. 3. Rumus Suku ke-n pada Deret Geometri U n = U 1 × r n −1
Atau U n = a × r n −1 , dengan a sebagai suku pertama.
Contoh : 1. Tentukan suku ke-6 dari deret geometri 81 + 27 + 9 + 3 + ….! Penyelesaian : 81 + 27 + 9 + 3 + ….
U1 U 2 U 3 U 4 U 2 27 1 = = , U1 81 3 U3 9 1 = = , U 2 27 3 U4 3 1 = = . U3 9 3
Un
= U1 × r n −1
U6
= U1 × r 6−1
U6
1 = 81 × 3
=
5
1 3
Jadi, suku ke-6 adalah
1 . 3
2. Dalam deret geometri diketahui suku ke-2 = 7 dan suku ke-4 = 252. Tentukan suku ke-5 jika rasionya positif. Penyelesaian :
U 2 = 2,
U 4 = 252
NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret Un
= U1 × r n −1
U 2 = U1 × r
U2 U4
=
7 252
7 = U1 × 6
U1 × r 2−1 1 = 4−1 U1 × r 36
U1 = 1
1 r2
=
1 36
U 5 = U1 × r 4
r2
=
1× 36 1
r2
= 36
r
= 6 …….rasio positif
1 6
1 = 1 × 64 6
= 1.512
Jadi, suku ke-5 pada deret tersebut adalah 1.512. 3. Suku pertama dari deret geometri adalah 4, sedangkan suku ke-5 = 2.500. Hitunglah suku ke-3, jika rasionya positif! Penyelesaian :
U1 = 4,
U 5 = 2.500
Un
= U1 × r n −1
U5
= U1 × r 5−1
U 3 = U1 × r 3−1
2.500 = 4 × r 4
= 4× r2
r4
= 625
= 4 × 52
r
=
r
= 5 …….rasio positif
4
625
= 100
Jadi, suku ke-3 nya adalah 100. 4. Sisipan pada Deret Geometri Rasio deret geometri setelah disisipkan k buah bilangan adalah :
r1 = k +1
y …. → x dan y adalah dua suku mula-mula. x
Jika k merupakan bilangan ganjil, maka r1 = ± k +1
y x
Contoh : Tentukan rasio dari deret geometri yang terbentuk jika di antara dua suku berurutan yaitu 3 dan 48 disisipkan 3 suku! Penyelesaian : Bilangan mula-mula 3 dan 48.
x = 3, y = 48, k = 3
NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret r1 = ± k +1 = ± 3 +1
y x 48 3
= ± 4 16 = ±2 Jadi, rasio dari deret geometri itu adalah 2 atau –2 Untuk r1 = 2, maka deret geometrinya adalah : 3 + 3× 21 + 3× 2 2 + 3× 2 3 + 48 atau 3 + 6 + 12 + 24 + 48. Untuk r1 = –2, maka deret geometrinya adalah : 3 + 3 × (− 2 ) + 3 × (− 2 ) + 3 × (− 2 ) + 48 atau 3 + (–6) + 12 + (–24) + 48 atau 1
2
3
3 – 6 + 12 – 24 + 48. 5. Suku Tengah pada Deret Geometri
U t = U1 × U n Contoh : Diketahui deret geometri 2 + 4 + 6 + 8 + 16 + … + 128. 1. Tentukan suku tengahnya 2. Suku ke berapakah suku tengahnya Penyelesaian : 2 + 4 + 6 + 8 + 16 + … + 128.
U1 = 2,
U n = 128,
1. U t =
U1 × U n
=
2 × 128
=
256
r=
= 16 2. U n
= U1 × r n −1
Ut
= U1 × r t −1
16
= 2 × (2 )
(2)t −1
=
(2)t −1
= (2 )
t −1
=3
t
=4
t −1
16 2 3
Jadi suku tengahnya adalah 4. NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
4 = 2. 2
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret 6. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri
(
U1 1 − r n Sn = 1− r
)
Contoh : 1. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret geometri jika suku pertama 6 dan rasio 2! Penyelesaian :
U1 = 6,
r = 2.
(
Sn
U1 1 − r n = 1− r
S8
6 1 − 28 = 1− 2
(
)
)
=
6(1 − 256 ) −1
=
6 × (− 255) −1
= 1.530 Jadi, jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah 1.530. 2. Tentukan jumlah deret geometri 2 + (–10) + 50 + (–250) + 1.250! Penyelesaian :
U 1 = 2,
r=
n = 5,
(
− 10 = −5 2
)
Sn
U1 1 − r n = 1− r
S5
2 1 − (− 5) = 1 − (− 5)
(
5
)
=
2(1 − (− 3.125)) 1+ 5
=
2 × 3.126 6
= 1.042 Jadi, jumlah deret tersebut adalah 1.042. 7. Rumus Geometri Turun Tak Hingga
S∞ =
U1 untuk 0 < r < 1 1− r
Contoh : 1. Diketahui deret geometri tak hingga 5 + Penyelesaian : NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
5 5 + + …. 6 36
Matematika Kelas IX Semester 2
Barisan Bilangan dan Deret U1 = 5 5 5 1 1 r=6 = × = 5 6 5 6
S∞ =
U1 1− r
5
=
1−
=
1 6
5 5 6
=6 Jadi, jumlah deret tersebut adalah 6. 2. Jumlah deret geometri turun tak hingga = 0,729 dan rasionya = pertama dari deret geometri tersebut! Penyelesaian :
S ∞ = 0,729 r=
S∞
2 3
=
0,729 =
0,729 =
U1 1− r
U1 2 1− 3 U1 1 3 1 × 0,729 3
U1
=
U1
= 0,243
Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 0,243.
NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013
2 . Tentukan suku 3
