Barisan Dan Deret Arimatika A. Barisan Aritmatika Niko Sentera memiliki sebuah penggaris ukuran 20 cm. Ia mengamati bilangan-bilangan pada penggarisnya ini. Bilangan-bilangan tersebut berurutan 0, 1, 2, 3, …, 20. Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama, yaitu 1 cm. Jarak antar bilangan berurutan ini menunjukkan selisih antarbilangan. Jadi, selisih antara bilangan pertama dan kedua adalah 1- 0 = 1, selisih antara bilangan kedua dan ketiga adalah 2 – 1 = 1, dan seterusnya hingga selisih antara bilangan keduapuluh dan keduapuluh satunya juga 1. Bilangan-bilangan berurutan seperti pada penggaris ini memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan. Barisan bilangan seperti ini disebut barisan aritmetika dengan selisih setiap dua suku berurutannya disebut beda (b). Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum: U 1 , U 2 , U 3 , U 4 ,...U n atau a, a b, a 2b, a 3b,... Dengan :
U 1 a disebut suku pertama
U 3 a 2b disebut suku ketiga
U 2 a b disebut suku kedua
U 4 a 3b disebut suku ke empat,dst
Sifat-sifat khusus pada barisan aritmatika 1. Untuk setiap n bilangan asli berlaku U n U n1 b 2. Bila a,b,c merupakan barisan aritmatika yang berurutan maka berlaku 2b = a+c
3. Bila suatu barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan hingga menjadi barisan aritmatika baru, maka beda baru : bbaru
blama k 1
1. Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika. Jika suku pertama U1, kita misalkan a, beda kita misalkan b, dan suku ke-n kita misalkan Un maka Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah Un = a + (n – 1)b
Sifat-sifat suku ke-n Un = a + (n – 1) b = a + bn – b = bn + (a – b). Jadi, suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah fungsi linier dari n, dengan n bilangan asli.
E. Deret Aritmatika ( Deret Hitung ) Jika U 1 , U 2 , U 3, ,...,U n merupakan suatu barisan aritmatika maka U 1 U 2 U 3, ... U n merupakan suatu deret aritmatika atau deret hitung.
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika : n n S n {2a n 1b}atauS n a U n 2 2
Dengan : Sn
= jumlah n suku pertama deret aritmatika
n
= banyaknya suku
a
= beda
Un
= suku ke-n deret aritmatika
Dalam deret arimatika berlaku hubugan antara S n dan U n sebagai berikut : U n S n S n1 Jika rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika di nyatakan dalam bentuk umum S n an 2 bn , maka suku ke-n deret aritmatika tersebut dapat di tentukan dengan cepat dengan rumus praktis sebagi berikut : U n 2an b a Menentukan Jumlah n Suku dari Deret Aritmatika Pada bahasan sebelumnya kamu sudah mempelajari barisan aritmatika. Jika suku-suku barisan aritmatika kita jumlahkan, maka deret tersebut disebut deret aritmatika. Jika U1, U2, U3, … Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … disebut deret aritmatika. Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika itu kita lambangkan dengan Sn, maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … Un. Seorang matematikawan Karl Friedrech Gauss (1777 – 1855) ketika di sekolah dasar, gurunya meminta dia untuk menjumlahkan seratus bilangan asliyang pertama. Gauss memberikan jawaban dalam beberapa detik, dia menjawab sebagai berikut: S100 = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 S100 = 100 + 99 + … + 2 + 1 + 2S100 = 1001 + 101 + 101 + … + 101 + 101 2S100 = 100 + 101
S100
100 101 5050 2
Jadi, jumlah seratus bilangana asli yang pertama adalah 5050.
Kita dapat mencari rumus untuk jumlah n suku pertama (Sn), dari deret aritmatika, yaitu: S n U 1 U 2 U 3 ... U n Atau Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un. Kemudian urutan suku-suku dijumlahkan dan dibalik sehingga:
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un. Sn = Un + (Un – b) + (Un – 2b) + … + (a + 2b) + (a + b) + (a + 2b) + a + 2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + … + (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)
Penjumlahan n suku, tiap sukunya (a + Un) 2Sn = n (a + Un) Sn =
n (a Un) 2
Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah Sn =
n n (a Un) atau Sn = 2a (n - 1)b 2 2
Catatan : Un = a + (n – 1)b Sifat-sifat Sn = an
n n (a Un) = 2a (n - 1)b = 2 2
b 2 b b b n n n 2 (a )n n 2 2 2
Jadi, Sn merupakan fungsi kuadrat dari n dengan n bilangan asli.
Contoh 1.1 Tentukan jumlah 25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +.... Penyelesaian: Deret 3 + 6 + 9 +.... adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Oleh karena itu dengan menggunakan rumus Sn =
n 2a (n - 1)b 2
25 [2(3) + (25 -1)(3)] 2
diperoleh S25 = =
25 [6 + 24(3)] 2
=
25 (6 + 72) 2
= 25 (39) = 975. Jadi jumlah 25 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +.... adalah 975.
Contoh 1.2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100. Penyelesaian: Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99. Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100, pertama tamakita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n dengan menggunakan rumus: Un = a + (n - 1) b 99 = 51 + (n - 1)(2) 99 = 51 + 2n - 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 - 49 n = 25.
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika, Sn =
n 2a (n - 1)b 2
diperoleh: S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)] 2
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1.875. Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875.
Contoh 1.3 Ditentukan deret aritmatika 1 + 4 + 7 + 10 + … Carilah : a. rumus suku ke-n, b. rumus jumlah n suku pertama, dan c. jumlah 20 suku pertama. Penyelesaian: a. Diketahui a = 1, dan b = 3 Un = a + (n – 1)b = 1 + (n – 1)3 = 3n – 1
b. Jumlah n suku pertama Sn = =
n (a Un) 2 n (1 3n - 2) 2
n (3n 1) 2
=
3 2 n n 2 2
Sn
c. Jumlah 20 suku pertama 3 2 n n 2 2
S 20
3 20 (20) 2 2 2
= 600 – 10 = 590
Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 590.
Contoh 1.4 Hitunglah jumlah deret aritmatika 3+ 8 + 13 + … + 98
Penyelesaian: Diketahui n = 3, b = 5 dan Un = 98 Un = a + (n – 1)b 98 = 3 + (n – 1)5 98 = 5n – 2 5n – 2 = 98 5n = 100 n = 20 S20 = Sn =
n (a U 20 ) 2 20 (3 98) 2
= 1010 Jadi, Sn adalah 1010
