Bab 9
BARISAN DAN DERET
Deret Aritmatika (Deret Hitung) o
Bentuk deret Aritmatika: a , ( a + b ) , ( a + 2b ) + .....+ ( a + ( n – 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku
o
Suku ke-n : Un = a + (n-1)b
o
Jumlah n suku pertama : Sn =
n
(2a+(n-1)b)
2
Contoh : Rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah S n n 2 3 n , beda deret tersebut adalah : A. 6 B. 4 C. 2 D. –4 E. –6 Jawab : 2 Sn n 3n U n Sn Sn 1 Cara cerdik : Sn
(n
1
Un
3( n
n
2
2n
n
2
n
Sn 2
3n
3
2
Sn
n
Un
S n 1 (Jumlah koefisien sama)
Un
2n
3n
3
1
= 2n + 2
1
3n )
2n
U2
1
1)
2
Sn
(n
b
2
1)
(n
2
n
b=U2
2)
U1 = 2
2
U1
= (2.2+2) – ( 2.1+2) = 2
Deret Geometri : Bentuk umum : a , ar , ar 2 , ………..ar n a = suku pertama r = rasio/ pembanding Jika U n a. U n c. U t
suku ke
n
, U t = suku tengah , dan S n = jumlah n suku pertama, maka :
n 1
ar
aU
1
b. S n d. r
n
a
r
n
r Un Un
1 1
e. U n
Sn
Sn
1
1
Deret geometri tak hingga a. Deret divergen S n = tak dapat ditentukan b. Deret Konvergen Sn =
a 1
Syarat :
atau S = S genap
r 1
r
S ganjil
1
Contoh : Jumlah tak hingga suku-suku deret geometri konvergen adalah 6, sedang jumlah suku-suku bernomor genap adalah 2. Maka rasio deret itu adalah .. A.
1 2
B.
1 3
C.
1 4
Matematika SMA By Drs. Pundjul Prijono
D.
1 5
E.
1 6
42
Jawab : S~
a
6 , a = 6 – 6r
1
Cara cerdik :
r
Suku bernomor genap : U 2 , U 4 , U 6 ,... 3
s~ 5
ar , ar , ar ,... S genap
ar 1
r
2
2 , ar
(6 – 6r)r=2 –2r 2 Jadi r =
r
2 1 2
,r
2r
2
6
S ~ ganjil
r
6
2
4
S ~ genap
2
1
S ~ ganjil
4
2
1( tm )
1 2
SOAL LATIHAN. 1. Suatu deret aritmatika mempunyai suku pertama 4 dan beda 2. Jika jumlah n suku pertama adalah 180, maka n = ... a. 6 b. 9 c. 12 d. 15 e. 18 2. sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika . Jika sisi miringnya 40, maka siku-siku terpendek sama dengan … a. 8 b. 16 c. 20 d. 24 e. 32 3. Jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 150 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 7 adalah . a.2382 b.2392 c.2402 d.2412 e.2422 4. Pada barisan bilangan 500,465,430,395,... Suku negatifnya yang pertama adalah .... a. -5 b.-10 c.-15 d.-20 e.-25 5. Antara 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan. Bilangan ini bersama bilangan semula membentuk sebuah deret hitung. Jumlah deret hitung adalah ... a.952 b.884 c.880 d.816 e.768 6. Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + 13 + ..... + 99 Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah a. 950 b.1480 c.1930 d.1980 e.2430 7. Deret Ukur tak berhingga : (x-1),(x-1),(x-1), dst.... konvergen untuk nilai dalam selang .... a.-1<x<1 b.0<x<2 c.2<x<~ d.-~x<2 e.-~x<0 8. Syarat supaya deret geometri tak berhingga dengan suku pertama a konvergen dengan jumlah 2 adalah ... a.-2
43
15.Jika jumlah deret geometri tak hingga adalah 12 dan suku keduanya - 5, maka suku pertama salah satu deret itu adalah ... a. 13 b.14 c.15 d.16 e.17
16. Diketahui suatu deret hitung 84 , 80 ½ , … Suku ke –n akan menjadi nol bila n = … a. 20 b. 24 c. 25 d. 100 e. ~ 17. Jika k+1 , k-1 , k-5 mmbentuk deter geometri maka harga yang dapat diberikan pada k adalah … a. -3 b. -2 c. 2 d. 3 e. 4 2 2 2 2 3 18. Agar deret geometri log( x 1) log ( x 1) log ( x 1) ... konvergen , maka batas-batas nilai x adalah … a. 2 x 1 b. 0 x 1 c. 12 x 1 d. 2 x 0 e. 3 x 0 19. Jumlah deret tak hingga : 1 tan 2 30 0 a.
1 2
b.
3
c.1
4
20. Jika suku pertama deret geometri adalah adalah m 2 , maka suku ke-21 adalah … a. m 8 3 m 2
4
tan
b. m 6 3 m 2
30
0
6
d. 3
m
c. m 4 3 m 2
tan 30 3
0
2
...
...
e. 2
dengan m > 0 sedang suku ke -5 d. m 2 3 m 2
e.
3
m
2
Brighten The Corner Where You are
Barisan dan Deret Geometri 1. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = n/2 ( 5n – 19 ). Beda deret tersebut adalah …. A. – 5
B. – 3
C. – 2
D.3
E.5
2. Suku ke-2 dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut 14 dan 112. Suku ke-7 barisan tersebut .. A. 384 B. 448 C. 480 D. 768 E. 896 3. Jika suku pertama deret geometri adalah adalah m2, maka suku ke-21 adalah... A.
B.
dengan m>0, sedangkan suku ke-5
C.
D.
E.
4. Dari suatu deret geometri diketahui suku pertama adalah 3 dan suku ke-4 adalah 24. Jumlah enam suku pertama deret itu adalah... A.48 B.93 C.96 D.186 E.189 5. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing – masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm. A. 378
B. 390
C. 570
D. 762
E.1.530
6. Jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah 511. Suku pertama dan rasionya masing-masing 256 dan , banyak suku barisan geometri tersebut adalah... A.7 B.9 C.13 D.15 Matematika SMA By Drs. Pundjul Prijono
E.17 44
7. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Hasil kali dan jumlah ketiga bilangan ini masing-masing 216 dan 26. Suku ketiga dari barisan geometri itu adalah ... A. 2 atau 18 B. 54 atau C. 3 atau D.6 atau18 E.8 atau 6 8. Suatu deret geometri diketahui suku ketiga dan suku keenam berturut-turut 32 dan 2048. Rumus jumlah n suku pertama deret itu adalah ... A. B. C. D. E. 9. Suku ke-n deret geometri dirumuskan dengan Un = . Dengan demikian rasio dari deret geometri tersebut A. B. C. 1 D. 3 E. 9 10. Jumlah n suku pertama deret geometri dirumuskan dengan deret tersebut sama dengan ... A. B. C.3 D. E.
Rasio
11. Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Jumlah n suku pertama deret geometri tersebut dapat dirumuskan dengan ... A. B. C. D. E. 2
3
4
n
12. Agar supaya 2 + 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 254, maka nilai n haruslah... A.3 B.4 C.5 D.6 E.7 13. Jika Un adalah suku ke-n dari suatu deret geometri dan p>3 maka Up-3.U3p+5 sama dengan ... A. B. C. D. E. 14. Tiap 10 tahun jumlah penduduk suatu kota menjadi dua kali lipat semula. Menurut taksiran, pada tahun 2000 nanti penduduk kota itu akan mencapai 3,2 juta jiwa. Ini berarti bahwa pada tahun 1950 jumlah penduduk kota itu baru mencapai... jiwa A. 100 ribu B. 120 ribu C. 160 ribu D. 200 ribu E. 400 ribu 15. Persamaan 2 +x+k=0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1, x2, dan ½x1.x2 merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga deret geometri, maka suku keempat deret tersebut adalah... A.-4 B.-¼ C. D. 1 E. 8 16. Jika x-50, x-14, dan x-5 adalah tiga pertama suatu deret geometri tak hingga maka jumlah semua suku-sukunya adalah... A. -96 B. -64 C. -36 D. -24 E. -12 2
o
4
o
6
o
17. Jumlah deret geometri tak hingga : 1-tg 30 +tg 30 -tg 30 +... = ... 3 A.½ B.¾ C.1 D. E. 2 18. Bujur sangkar dengan sisi x seperti disamping ini jika diteruskan jumlah luasnya 2
A. 2x
2
B. 3x
2
C. 4x
2
D. 5x
E. ∞
19. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 1 sedang jumlah sukusuku yang bernomor ganjil adalah 2 , maka jumlah deret dengan rasio positif adalah ... A. B. C. D. E. 2
20. Barisan geometri dengan rasio log(x−2). Deret ini konvergen untuk semua x yang memenuhi ... Matematika SMA By Drs. Pundjul Prijono
45
A. 2½ < x < 4
B. 2½ < x ≤ 4 C. 2½ ≤ x ≤ 4 D. x>2½
E. x≠2
Ujian NasionaBarisan dan Deret Aritmetika 1. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah …. a. 840 b. 660 c.640 d.630 e.315 UAN 2007 2. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah …buah. a. 60 b.65 c.70 d.75 e. 80 UAN 2006 3. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah …. a. Rp. 1.315.000,00 b. Rp. 1.320.000,00 c. Rp. 2.040.000,00 d. Rp. 2.580.000,00 e. Rp. 2.640.000,00 UAN 2005 4. Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah …. a. 3.250 b.2.650 c.1.625 d.1.325 e. 1.225 UAN 2005 5. Suku ke – n suatu deret aritmetika Un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah a. Sn = /2 ( 3n – 7 ) b. Sn = /2 ( 3n – 5 ) c. Sn = /2 ( 3n – 4 ) d. Sn = /2 ( 3n – 3 ) e. Sn = /2 ( 3n – 2 ) UAN 2004 n n n
n
n
n
6. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = /2 ( 5n – 19 ). Beda deret tersebut adalah …. a. – 5 b.– 3 c.– 2 UAN 2004
d.3
e. 5
7. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …. a. 49 b.50 c.60 d.95 e. 98 UAN 2002 8. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n + /2 n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah …. 2
5
11
a. – /2 b. – 2 c. 2 Matematika SMA By Drs. Pundjul Prijono
46
5
d. /2 e. /2 UAN 2001 9. Dari deret aritmetika diketahui suuku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah …. a. 17 b. 19 c. 21 d. 23 e. 25UAN 2000 10. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ? a. Rp. 20.000.000,00 b. Rp. 25.312.500,00 c. Rp. 33.750.000,00 d. Rp. 35.000.000,00 e. Rp. 45.000.000,00 UAN 2007 11. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …. a. 65 m b. 70 m c. 75 m d. 77 m e. 80 m UAN 2006 11
12. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing – masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm. a. 378 b. 390 c. 570 d. 762 e. 1.530 UAN 2005 13. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25m dan memantul kembali dengan ketinggian /5 kali tinggi semula. Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m. a. 100 b. 125 c. 200 d. 225 4
e.
250
UAN 2005 14. Jumlah deret geometri tak hingga √2 + 1 + ½√2 + ½ + … adalah …. a. /3 (√2 + 1 ) b. /2 (√2 + 1 ) c. 2 (√2 + 1 ) d. 3 (√2 + 1 ) 2 3
Matematika SMA By Drs. Pundjul Prijono
47
4 (√2 + 1 )UAN 2003
e.
15. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …. a. 7/4 b. ¾ c.
/
4 7
d. ½ e. ¼ UAN 2003 16. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah … orang. a. 324 b. 486 c. 648 d. 1.458 e. 4.374 UAN 2002 ¾
17. Diketahui barisan geometri dengan U1 = x dan U4 = x√x. Rasio barisan geometri tesebut adalah …. a. x . √x b. x c. x d. √x e. √x UAN 2001 2
4
2
¾
4
Kunci Jawaban Barisan dan Deret 1. B 2. D 3. D 4. D 5. A 6. E 7. B 8. C 9. C 10. C 11. B 12. D 13. D 14. C 15. A 16. D 17. E
Matematika SMA By Drs. Pundjul Prijono
48
21. Deret geometri U1+U2+U3+… jika U6=162 dan logU2+logU3+logU4+logU5= 4log2 + 6log3, maka U3=... A.2 B.3 C.6 D.8 E.9
22. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah …. a.
840
b. 660
c. 640 d. 630 e. 315
23. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah …buah. b.
60 b. 65 c.70
d.75
e.80
24. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah …. c.
Rp. 1.315.000,00
d.
Rp. 1.320.000,00
e.
Rp. 2.040.000,00
f.
Rp. 2.580.000,00
g.
Rp. 2.640.000,00
25. Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah …. h.
3.250
b.2.650 c. 1.625 d. 1.325
e. 1.225
26. Suku ke – n suatu deret aritmetika Un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah …. Matematika SMA By Drs. Pundjul Prijono
49
n
i.
Sn = /2 ( 3n – 7 )
j.
Sn = /2 ( 3n – 5 )
k.
Sn = /2 ( 3n – 4 )
l.
Sn = /2 ( 3n – 3 )
n n n n
m. Sn = /2 ( 3n – 2 )
27. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …. n.
49
o.
50
p.
60
q.
95
r.
98
28. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n2 + 5/2 n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah …. 11
s.
– /2
t.
–2
u.
2
v.
5
w.
11
/2 /2
29. Dari deret aritmetika diketahui suuku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah …. x.
17
y.
19
z.
21
aa. 23 bb. 25 Materi Pokok : Barisan dan Deret Geometri
30. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ? cc. Rp. 20.000.000,00 dd. Rp. 25.312.500,00 ee. Rp. 33.750.000,00 ff.
Rp. 35.000.000,00
gg. Rp. 45.000.000,00
31. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …. hh. 65 m ii.
70 m
jj.
75 m
kk. 77 m ll.
80 m
Matematika SMA By Drs. Pundjul Prijono
50
32. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi semula. Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m. mm.
100
nn. 125 oo. 200 pp. 225 qq. 250
33. Jumlah deret geometri tak hingga 2 + 1 + ½ 2 + ½ + … adalah …. rr.
2
/3 ( 2 + 1 )
3
ss. /2 ( 2 + 1 ) tt.
2( 2+1)
uu. 3 ( 2 + 1 ) vv. 4 ( 2 + 1 )
34. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …. 7
ww. /4 xx. ¾ 4
yy. /7 zz. ½ aaa.
¼
35. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah … orang. bbb.
324
ccc. 486 ddd.
648
eee.
1.458
fff. 4.374
36. Diketahui barisan geometri dengan U1 = x ¾ dan U4 = x x. Rasio barisan geometri tesebut adalah …. 2 4
ggg.
x . x
hhh.
x
iii. x jjj.
2
¾
x 4
kkk. x 37. Suatu tali dibagi menjadi enam bagian dengan panjang yang membentuk barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka panjang tali semula sama dengan...cm A. 183 B. 185 C. 187 D. 189 E. 191
Matematika SMA By Drs. Pundjul Prijono
51
