BARISAN DAN DERET A. POLA BILANGAN Berbagai jenis bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai pola tertentu. Pola ini sering digunakan dalam menentukan urutan / letak bilangan dari sekumpulan bilangan yang ditentukan, contoh bilangan ganjil ke-5 dari bilangan : 1, 3, 5, 7,… yaitu 9.
B. BARISAN BILANGAN Barisan adalah himpunan sembarang unsur-unsur yang ditulis secara berurutan. Barisan bilangan adalah bilangan yang disusun menurut suatu aturan tertentu. Contoh : a. 1, 3, 5, ⋯ b. 10, 9, 8, 7, ⋯
Contoh Soal 1. Carilah 4 suku pertama dari barisan berikut, jika : a. 𝑈𝑛 = b. 𝑈𝑛 = c. 𝑈𝑛 =
𝑛2 𝑛+1 𝑛+1 𝑛2
− 2𝑛 + 1
1 (4𝑛−3)(2𝑛−1)
2. Tuliskan tiga suku berikutnya dari setiap barisan berikut ini dan tentukan rumus sederhana suku ke – n !
1|
a. −8, −4, 0, ⋯ b. 1, √2, 2, ⋯ c. 4, 2, 1, ⋯ 3. Tentukan rumus sederhana suku ke-n dari barisan berkut. a. −1, b. c.
1
1
1
1
, 1×2 2
1
, 3×4
, 5×8
1
1
1 1
,
1
− 2, − 4 , − 2 , ⋯ 1 7 × 16
,⋯
√2 , 2 √3, 2 √4, ⋯ 2
d. √5 − √2, √7 − √4, √9 − √6, ⋯ e.
1
1
,
,
1
,
1
√ 2 + 1 √ 3 − √2 2 + √ 3 √ 5 − 2
,⋯
4. Rumus umum suku ke-n suatu barisan adalah 𝑈𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛. Suku ke-2 dan suku ke-7 barisan tersebut masing-masing 8 dan 63. a. Hitunglah
𝑎 dan 𝑏 serta rumus umum suku ke-n
b. Tentukan suku ke-10 5. Suku ke-n sebuah barisan ditentukan dengan rumus : 𝑈𝑛 = (−1)𝑛
𝑛3 − 1 𝑛2 + 𝑛 + 1
a. Tentukan suku ke-5, suku ke-10 dan suku ke-15 b. Suku ke berapakah yang nilainya −24
C. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari
pemetaan
bilangan asli yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.
2|
Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan Geometri. 1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG) 1.1 BARISAN ARITMETIKA Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b. Contoh-contoh barisan Aritmetika : 1) 1,3,5,....
bedanya b = ...
2) 0,5,10,...
bedanya b = ...
3) 100,97,94,...
bedanya b = ...
4) 3 2 , 7 2 , 11 2 ,...
bedanya b = ...
.
Suku ke-n barisan aritmetika Jika suku pertama =
U 1 = a dan beda = b, maka :
U n a + (n – 1) b U n : suku ke-n barisan aritmetika
b=
a
: suku pertama
n
: banyak suku
b
: beda/selisih
U n U n 1
Contoh 1 : Tentukan beda dari : a) 1, 5, 9 Jawab :
a) …………. b) ………….
b) 10, 8
1 ,7,... 2
3|
Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... ! Jawab :
……………
Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 ! Jawab :
…………..
Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... ! Jawab :
…………….
Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui
U 5 21 dan U10 41 . Tentukan
U15 ! Jawab :
…………….
LATIHAN SOAL 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut ! a) 3.5.7,... c) 20,17,14,... b) 1, 1
1 ,2,... 2
d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,...
2. Tentukan suku yang diminta ! a) 4,10,16,... suku ke-25 b) 20 3 , 18 3 , 16 3 ,... suku ke-40 3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut : a) b = 4, U 6 21 , a = ...
U 20 33 , b = ... c) a = 9, b = -2, U n 19 , n = ... d) U 4 1, U 7 8 , a = ... , b = ... 1 e) U 3 7 , U 6 15 , U10 ... 2 b) a = -5,
4|
4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280, maka tentukan ketiga bilangan itu ! 5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika ! 6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan ! 1.2 DERET ARITMETIKA Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan. Jumlah n suku pertama deret aritmetika
Sn U1 U 2 U 3 ....... U n 1 U n Sn a (a b) (a 2b) .......... (U n 2b) (U n b) U n Sn U n (U n b) (U n 2b) ....... (a 2b) (a b) a +
2S n (a U n ) (a U n ) (a U n ) ........ (a U n ) (a U n ) (a U n ) 2 S n n( a U n )
Sn Sn
1 n( a U n ) 2
, karena
1 n[2a (n 1)b] 2
U n a ( n 1)b , maka :
Sn : jumlah n suku pertama
U n S n S n1 Contoh 1: Hitunglah jumlahnya ! a) 1+3+5+...sampai 50 suku b) 2+5+8+...+272 Jawab :
a) ……………..
5|
b) ……………. Contoh 2: Tentukan
𝑥 jika 5+7+9+……+ x = 192
Jawab :
……………
Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 sampai 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 ! Jawab :
Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = S1 =…….. Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 = S2 = …… Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = S1 - S2 = ……..
Contoh 4: Tentukan Jawab :
U10 jika Sn n 2
…………
LATIHAN SOAL 1. Tentukan jumlah dari : a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku c) -7-3+1+ ... + 53 d) 25+21+17 + ... + 1 2. Tentukan x jika ; a) 1+3+5+ ... + x = 441 b) 1+5+9+ ... + x = 561 3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut : a) a = 2, S22 737, b ...
U10 46, S15 ... c) U4 9,U7 18, S10 ... b) b=5,
4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3
6|
6. Tentukan
U 8 jika Sn n2 2n
2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR) 2.1 BARISAN GEOMETRI Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r.
Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,... Jawab : ………… Suku ke-n barisan geometri
Jika suku pertama u1 a dan rasio = r, maka :
U n ar n 1
Dimana
r
Un U n 1
Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,.... Jawab :
…………….
Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,... Jawab :
………………
7|
Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U3 4 dan U5 16 . Tentukan U 8 ! Jawab : ……………….
Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu ! Jawab :
Misal ketiga bilangan itu
x .x.xr 27 r
x 3 27
x , x, xr maka r
x3
3 3 3 r 13 x r 3r 2 10r 3 0 (3r 1)(r 3) 0 r 1 Jadi r bilangannya 9, 3, 1 3 r 3 bilangannya 1, 3, 9 Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri ! Jawab : …………….. LATIHAN SOAL
1.
Tentukan suku yang diminta dari barisan : a) 1,3,9,..... suku ke-7 b) 3,6,12,....suku ke-8 c) 16,8,4, ... suku ke-10
2.
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan : a)
1 1 , ,1,.... 4 2 8|
b) 2,2 2 ,4,.... 3.
Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut : a) a 4,U4 32,U6 ...
1 ,U 5 3, a ... 3 c) U3 8,U6 64,U5 ... d) U3 1,U5 25,U2 ... b) b
4.
Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu !
5.
Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !
6.
Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !
2.2 DERET GEOMETRI Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri. Jumlah n suku pertama deret geometri
Sn a ar ar 2 .............. ar n 3 ar n 2 ar n 1
x r
rS n ar ar 2 ar 3 ............. ar n 2 ar n 1 ar n -
S n rS n a ar Sn
n
a (1 r n ) a (r n 1) , r 1 1 r r 1
dimana
Un Sn Sn 1 9|
Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+.... Jawab :……………
Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243 Jawab :………………
Contoh 3: Tentukan n jika 1 2 22 ....2n 255 Jawab : ……………… LATIHAN SOAL
1.
Tentukan jumlah dari :
1 1 1.... S10 ... 4 2 b) 36+18+9+.... S6 ... a)
c)
2 2 2 2 ... S8 ...
2.
Tentukan jumlah dari : a) 1/3+1+3=....+81 b) 32+16+8+....+1/8
3.
Tentukan n jika : a) 3 32 33 ...3n 363 b) 2 22 23 ...2n1 1022
4.
Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a) U1 50,U3 200, S5 ... 10 |
b) a 1, r 3, Sn 29524, n ...
5 6
c) S8 15 , r 5.
1 , a ... 2
Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !
2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA
a (1 r n ) a rn Sn 1 r 1 r 1 r Untuk n maka : Lim a rn S ( ) n 1 r 1 r Untuk –1 < r < 1 maka :
S
a 0 sehingga 1 r 1 r
S
a 1 r
syarat –1 < r < 1
Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1
Contoh 1: Hitung 1
Jawab :
1 1 .... 2 4
………………
Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !) Jawab : ……………….
11 |
Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama dengan 9, maka tentukan rasionya ! Jawab : …………………….
LATIHAN SOAL 1. Hitunglah jumlahnya dari : a. 32+16+8+…. b. 125+5+1+…. c. 12+8+16/3+…. d. 1/2+1/3+2/9+….
e. 0,1+0,01+0,001+…. f. 8+2+1/2+…. g. 1+1+1+…. h. 2 2 1 ....
2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a. r = -2/5, S 15 maka a = ….
1 maka S …. 8 1 c. U 2 9, U 7 maka S …. 27 9 1 d. U1 U 3 , U 5 maka S …. 2 8 b. a = 2, U 3
3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti 4. Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga tak terhingga jumlahya.
12 |
5. NOTASI SIGMA Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan "
b
x " ia
i
dimana I sebagai indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan xi adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks menggunakan huruf kecil. b
x ia
1
dibaca “sigma dari xi untuk harga i dari a sampai b”.
Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari
5
(2k 1) k 1
Jawab :
5
(2k 1)
= …………………
= …………
k 1
Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28 Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..
Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma sifatnya tidak unik. k
k c
n 0
n c
xn xn c
13 |
Contoh 3 : Ubahlah
5
(4k 3) menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 ! k 0
Jawab :
5
5 7
12
k 0
k 7
k 7
(4k 3) 4(k 7) 3 (4k 25)
LATIHAN SOAL 1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari : 7
a.
(5k 4) k 1 7
b.
i
2
i 3 10
c.
(1)
ki
3k
k 1 6
d.
n
n2 n0 n
e.
2x k 1
k
2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :
a. 2 5 8 ...... 74 b. 1 5 9 ...... 41 c. 10 17 26 ...... 101 3 4 21 d . 2 ...... 2 3 20 e. 1 2 4 ....... 256 f . 2 4 6 ......... 56 g. 1 4 9 ......... 144
3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5 14 |
8
a.
(3k 4) k 0 10
b.
(10 2n) n 3 10
c.
2
x
x 7 n
d.
i 1
i 2 i 0
6. INDUKSI MATEMATIKA Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika dengan menggunakan pola bilangan asli. Misalkan Pn suatu pernyataan dan n Asli sedemikian sehingga : 1. Pn benar untuk n = 1 2. Misal Pk benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga menyebabkan Pk 1 benar pula, maka Pn benar untuk n Asli.
Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula.
Contoh 1 : Buktikan 1 2 3 ..... n
n (n 1) dengan menggunakan 2
induksi matematika !
1 (1 1) benar. 2 k Misal untuk sembarang n = k maka 1 2 3 ..... k (k 1) benar. 2
Jawab :
Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 =
Sehingga untuk n = k+1 : 15 |
1 2 3 ...... k (k 1)
k k 2(k 1) k 1 (k 1) (k 1) (k 1) (k 2) 2 2 2 2
benar. Jadi 1 2 3 ..... n
n (n 1) benar untuk n Asli. 2
LATIHAN SOAL Buktikan dengan induksi matematika !
1. 2 4 6 ..... 2n n(n 1) 2. 1 3 5 ....... (2n 1) n 2 n(5n 1) 3. 2 7 12 ....... (5n 3) 2 4. 10 8 6 ..... (12 2n) 11n n 2 5 5. 25 20 15 ....... (30 5n) n(11 n) 2 2 3 n n 6. 2 2 2 ........ 2 2 2 1
7. 2 faktor dari n n 2
8. 3 faktor dari n3 n 3 9. 8 faktor dari 32 n 7
16 |
