Matematikawan terbesar pada abad pertengahan adalah Leonardo dari Pisa, Italia (1180 – 1250). Ia lebih dikenal dengan nama Fibo-nacci. Artinya, “anak Bonaccio”. Menara Pisa yang terkenal sampai sekarang dibangun pada masa hidupnya, tetapi ia belum sempat mengagumi kemegahannya.
Fibonacci
awal bulan ke-
1
Meskipun Leonardo lahir di Pisa, tetapi ia lebih banyak menyerap ilmu pengetahuan dari orang-orang Timur, karena ia ikut ayahnya yang bekerja di Aljazair.
Dialah salah seorang yang telah berjasa memperkenalkan angka Hindu-Arab dengan sistem desimal dan angka nolnya, meskipun pada saai tu banyak ditentang. Ia menulis sebuah buku Aljabar, Liber Abaci (Buku tentang Abacus), yang sebenarnya merupakan buku pegangan bagi pedagang dalam aritmetika dan aljabar. Buku yang diselesaikannya pada tahun 1202 itu memuat masalah sebagai berikut:
Misalkan pertumbuhan jumlah kelinci mengikuti keadaan sebagai berikut. Sepasang kelincui menjadi dewasa dalam waktu satu bulan, dan setiap bulan berikutnya berturut-turut setiap bulan melahirkan sepasang anak kelinci, jantan dan betina. Bila tidak ada kelinci yang mati, bagaimanakah perkembangan jumlah pasangan kelinci itu pada setiap awal bulan? Situasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram sebagai berikut:
1
Tambah Jumlah
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI
1
2
+0
1
3
+1
2
4
+1
3
5
+2
5
6
+3
8
7
+5 13
8
+8 21
Terlihat, bahwa banyaknya pasangan kelinci pada setiap awal bulan berturut-turut adalah: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ................................... (1) Barisan di atas disebut barisan Fibonacci. Dimulai dari suku ketiganya, setiap suku barisan itu dapat diperoleh dari menjumlahkan dua suku tepat sebelumnya. Jika suku-suku barisan Fibonacci dilambangkan dengan Fn, maka diperoleh bentuk umum: Fn+2 = Fn+1 + Fn ; F1 = 1 dan F2 = 1. .......... (2) Fibonacci sendiri tidak banyak menyelidiki lebih lanjut tentang barisan dari masalah yang dikemukakannya itu. Ia juga tidak memberi nama barisannya sebagai Barisan Fibonacci. Nama itu Barisan Fibonacci baru muncul pada abad ke-19 dan diperkenalkan oleh Lucas, seorang matematikawan Perancis. Lucas mengembangkan barisan semacam atau yang mempunyai sifat seperti Barisan Fibonacci, yang selanjutnya disebut Barisan Lucas, yaitu: 1, 3, 4, 7, 11, 18, ................................. (3)
2
L3 = F2 + F4, yaitu: 4 = 1 + 3 L4 = F3 + F5, yaitu: 7 = 2 + 5 L5 = F4 + F6, yaitu: 11 = 3 + 8
Sifat dasarnya sama dengan Barisan Fibonacci. Yang berbeeda suku keduanya. Jika suku ke-n Barisan Lucas dapat dilambangkan dengan Ln maka: L1 = 1 dan L2 = 3. .......... (4) Ln+2 = Ln+1 + Ln ;
M L49 = F48 + F50, yaitu: 17393796001 = 4807526976 + 12586269025
Hubungan Barisan Fibonacci dan Barisan Lucas Limapuluh suku pertama Barisan Fibonacci dan Barisan Lucas adalah sebagai berikut: Tabel 1. Limapuluh suku pertama Barisan Fibonacci dan Barisan Lucas F1 1 L1 1 F2 1 L2 3 F3 2 L3 4 F4 3 L4 7 F5 5 L5 11 F6 18 8 L6 F7 L 13 29 7 F8 21 L8 47 F9 34 L9 76 F10 55 L10 123 F11 89 L11 199 F12 144 L12 322 F13 233 L13 521 F14 377 L14 843 F15 610 L15 1364 F16 987 L16 2207 F17 1597 L17 3571 F18 2584 L18 5778 F19 4181 L19 9349 F20 6765 L20 15127 F21 10946 L21 24476 F22 17711 L22 39603 F23 28657 L23 64079 F24 46368 L24 10368 F25 75025 L25 16776 Dari tabel di atas terlihat
F26 121393 L26 F27 196418 L27 F28 317811 L28 F29 514229 L29 F30 832040 L30 F31 1346269 L31 F32 2178309 L32 F33 3524578 L33 F34 5702887 L34 F35 9227465 L35 F36 14930352 L36 F37 24157817 L37 F38 39088169 L38 F39 63245986 L39 F40 102334155 L40 F41 165580141 L41 F42 267914296 L42 F43 433494437 L43 F44 701408733 L44 F45 1134903170 L45 F46 1836311903 L46 F47 2971215073 L47 F48 4807526976 L48 F49 7778742049 L49 F50 1258626902 L50 di antaranya bahwa:
Dapat diduga bahwa: Ln = Fn–1 + Fn+1 ..................... (5) Diperoleh juga bahwa untuk n ≥ 3,
271443 439204 710647 1149851 1860498 3010349 4870847 7881196 12752043 20633239 33385282 54018521 87403803 141422324 228826127 370248451 599074578 969323029 1568397607 2537720636 4106118243 6643838879 1074995712 2 1739379600 2814375312
L2= F1 + F3, yaitu: 3 = 1 + 2
3
F3 × F4 × F5 × F6 × F7 × F8 ×
L3 = L4 = L5 = L6 = L7 = L8 =
F6, yaitu: F8, yaitu: F10, yaitu: F12, yaitu: F14, yaitu: F16, yaitu:
2×4=8 3 × 7 = 21 5 × 11 = 55 8 × 18 = 144 13 × 29 = 377 21 × 47 = 987
M F25 × L25 = F16, yaitu: 75025 × 167761 = 12586269025 Dapat diduga bahwa, untuk n ≥ 3 berlaku hubungan: Fn × Ln = F2n, ................................................... (6) Persamaan Diophantus (yaitu persamaan yang hanya memperhatikan bilangan rasional positif sebagai jawabannya) dengan bentuk 5x2 + 4 = y2 ternyata penyelesaiannya adalah bilangan-bilangan bulat hanya apabila x dan y adalah Bilangan Fibonacci dan y adalah Bilangan Lucas dengan nomor suku yang sama. Misalnya untuk
n = 1, maka x = 1 dan y = 1 n = 2, maka x = 1 dan y = 3 n = 3, maka x = 2 dan y = 4
Bila dipilih satu di antara + 4 atau – 4, akan dipenuhi hubungan: 5Fn2 + 4 = Ln2 ................................................... (7) Perhatikan contoh berikut: n = 1, 5F12 – 4 = L12 , yaitu 5 × 1 – 4 = 12 n = 2, 5F22 + 4 = L22 , yaitu 5 × 1 +4 = 32 n = 3, 5F32 – 4 = L32 , yaitu 5 × 22 – 4 = 42
4
n = 4, 5F42 + 4 = L42 , yaitu 5 × 32 + 4 = 72 n = 5, 5F52 – 4 = L52 , yaitu 5 × 52 – 4 = 112 n = 6, 5F62 + 4 = L62 , yaitu 5 × 82 + 4 = 182
M n = 49, 5F492 – 4 = L492 , yaitu 5 × 77787420492 – 4 5 × 60508827864880718401 – 4 = 302544139324403592005 – 4 = 302544139324403592001 = 173937960012 n = 50, 5F502 + 4 = L502 , yaitu 5 × 125862690252 + 4 5 × 158414167969674450625 + 4 = 792070839848372253125 + 4 = 792070839848372253129 = 281437531232 Dengan kata lain, kuadrat sebuah suku Barisan Bilangan Lucas dikurangi 4 (jika nomor sukunya ganjil ) atau ditambah 4 (jika nomor sukunya genap), besarnya adalah lima kali kuadrat suku Barisan Bilangan Fibonacci pada nomor baris yang sama. Ternyata juga bahwa hanya 1 dan 3 saja bilangan-bilangan yang merupakan suku persekutuan antara kedua barisan.
Barisan Fibonacci dan Bilangan Keemasan Dari suku-suku Barisan Fibonacci pada Tabel 1 diperoleh pula hasil bagi dua suku berurutan seperti pada Tabel 2 sebagai berikut. Fn F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10
Fn : Fn–1 Fn : Fn+1 1 1.000000000 1 1.000000000 0.500000000 2 2.000000000 0.666666667 3 1.500000000 0.600000000 5 1.666666667 0.625000000 8 1.600000000 0.615384615 13 1.625000000 0.619047619 21 1.615384615 0.617647059 34 1.619047619 0.618181818 55 1.617647059 0.617977528
Fn F21 F22 F23 F24 F25 F26 F27 F28 F29 F30
10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040
Fn : Fn–1 1.618033999 1.618033985 1.618033990 1.618033988 1.618033989 1.618033989 1.618033989 1.618033989 1.618033989 1.618033989
89 1.618181818 0.618055556 F31 1346269 1.618033989 0.618033989 144 1.617977528 0.618025751 F32 2178309 1.618033989 0.618033989 233 1.618055556 0.618037135 F33 3524578 1.618033989 0.618033989 377 1.618025751 0.618032787 F34 5702887 1.618033989 0.618033989 610 1.618037135 0.618034448 F35 9227465 1.618033989 0.618033989 987 1.618032787 0.618033813 F36 14930352 1.618033989 0.618033989 1597 1.618034448 0.618034056 F37 24157817 1.618033989 0.618033989 2584 1.618033813 0.618033963 F38 39088169 1.618033989 0.618033989 4181 1.618034056 0.618033999 F39 63245986 1.618033989 0.618033989 6765 1.618033963 0.618033985 F40 102334155 1.618033989 0.618033989 Terlihat bahwa untuk setiap n yang semakin besar nilai Fn : Fn–1 untuk n yang berurutan selalu naik dan turun secara bergantian dan semakin mendekati atau sama dengan1,618033989, nilai pendekatan sampai dengan delapan tempat desimal dari 1,6180339887498948482045868343656... Sebaliknya nilai Fn : Fn+1 yang nilainya juga bergantian naik dan turun, semakin mendekati atau sama dengan 0,618033989, nilai pendekatan sampai dengan 8 tempat desimal dari bilangan 0,6180339887498948482045868343656. Untuk setiap nilai n ganjil dan semakin besar, nilai Fn : Fn–1 dan Fn : Fn+1 cenderung turun mendekati nilai batasnya dari atas, sedangkan untuk setiap nilai n genap, nilai Fn : Fn–1 dan Fn : Fn+1 cenderung naik mendekati nilai batasnya dari bawah. Kedua nilai batas tersebut selisihnya adalah 1. Bilangan 1,6180339887498948482045868343656... dikenal sebagai bilangan keemasan. Bilangan itu dilambangkan dengan Φ (phi). Jadi Φ = 1,6180339887498948482045868343656... F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
Fn : Fn+1 0.618033990 0.618033988 0.618033989 0.618033989 0.618033989 0.618033989 0.618033989 0.618033989 0.618033989 0.618033989
5
Rumus Umum Suku ke-n Barisan Fibonacci. Untuk menentukan rumus suku ke-n Barisan Fibonacci, berikut ini disampaikan penjabaran menurut Binet. Jika diperhatikan nilai perbandingan antara sukusukunya yang berurutan, tampak adanya faktor yang mempengaruhi besar nilai sebuah suku, yaitu oleh bilangan yang diperoleh dari hasil bagi dua suku yang dikenal sebagai Φ tersebut di atas. Barisan yang setiap hasil bagi un : un–1
6
merupakan konstanta adalah barisan geometri dengan suku umumnya adalah un = arn–1.
Dari (10) dan (11) diperoleh A =
Untuk menentukan rumus umum barisan Fibonacci kita berasumsi bahwa Fn merupakan suatu fungsi suatu variabel, misalnya x, yang berderajat n, sehingga: Fn = Cxn
n
1 1 + 5 1 Fn = − 5 2 5
.....................................................
5
1 5
, sehingga
n
2n 5
5
dan B = –
1 − 5 atau 2
1 (1 + 5 )n − (1 − 5 )n
Fn =
(8)
1
........................... (12)
Daaari (2) dan (8) diperoleh hubungan: Cxn+ 2 = Cxn+ 1 + Cxn
Karena x1 =
Jika kedua ruas dibagi Cxn diperoleh:
5 −1 1− 5 . Bentuk (11) dapat diubah menjadi: Fn = = – 2 2
x2 = x + 1 ⇔ x2 – x – 1 = 0 1± 1+ 4 x1,2 = 2
φn − (− 1 )n φ
5
1+ 5 1− 5 x1 = dan x2 = 2 2 Bentuk umum suku ke-n dari Fn dapat diubah menjadi
n
n
1 + 5 + B 1 − 5 atau: Fn = A 2 2 dengan F1 = F2 = 1.
n=1⇒ A
F2
n
1 + 5 − 1 − 5 ............................... (14) Ln = 2 2
n
.......................... (9) Barisan Dua Langkah
disubstitusikan ke persaman (9)
1+ 5 1− 5 +B = 1 ..................................... (10) 2 2 2
........................................... (13)
Dengan cara rumus suku ke-n barisan Lucas 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... adalah
n Fn = Ax1n + Bx 2
Jika nilai F1 dan diperoleh:
1 2 1+ 5 = 1,61803398... = Φ, maka = = 2 φ 1+ 5
2
1 + 5 + B 1 − 5 = 1 n = 2 ⇒ A 2 2
Misalkan disusun barisan dengan suku ketiga diperoleh melalui cara yang sama seperti pada Barisan Fibonacci, sedangkan kedua suku awalnya dipilih sembarang bilangan. Jika suku ke-n-nya dilambangkan dengan un, maka barisannya dikenal dengan Barisan Dua Langkah (Two Steps Sequence), yang rumus umumnya: un+2 = un+1 + un ;
........................................
(15) u1 dan u2 bilangan tertentu.
6+2 5 6−2 5 +B =1 4 4 3+ 5 3− 5 A +B = 1 ..................................... (11) 2 2
A
Contoh:
1) 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, ... 2) 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, ... 3) 4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, ...
7
8
setiap barisan dua langkah memiliki sifat yang sama, yaitu 1 lim (Fn +1 : Fn ) = Φ dan lim (Fn : Fn +1 ) = φ n→ ∞ n→ ∞
4) 5, 3, 8, 11, 19, 30, 49, 79, ... 5) 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ... Fakta pertama dari berisan dua langkah ternyata sangat unik. Perhatikanlah barisan yang terbentuk dari hasil pengurangan setiap suku dengan suku di depannya. Kemudian dengan melakukan hal serupa, akan diperoleh hasil yang berbeda hanya pada beberapa suku pertama, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, ...
1) 1,
4,
5,
9,
14,
23,
37, 3 1 4 5 9 14 23 –2 3 1 4 5 9 ... 5 –2 3 1 4 ... Setiap barisan memiliki bagian barisan: 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, ...
Barisan dua langkah pada contoh terakhir di atas yaitu: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ... dinamakan Barisan Lucas, sesuai nama penyusun awalnya dan pemberi nama bagi Barisan Fibonacci. Barisan Lucas
60, ...
Seperti dissebutkan di atas, Barisan Lucas adalah barisan dua langkah dengan suku pertama dan kedua berturutturut 1 dan 3. Berikut ini dipaparkan 40 pasangan pertama suku-suku Barisan Fibonacci dan Barisan Lucas.
2) 3,
2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, ... –1 3 2 5 7 12 19 ... 4 –1 3 2 5 7 ... –5 4 –1 3 2 ... Setiap barisan memiliki bagian barisan: 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, ....
Ln
Fn F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 L16 F17 F18 F19 F20
Hal di atas sesungguhnya bukan hal yang mengejutkan. Perhatikan kembali secara umum: un+2 = un + un+1 ⇔ un+2 – un+1 = un Dengan mengganti n → n – 1 diperoleh: un+1 – un = un–1 Ini menunjukkan bahwa barisan yang sukiu-sukunya yang berurutan terbentuk oleh hasil pengurangan setiap suku dengan suku di depannya adalah juga barisan dua langkah.
Fakta berikutnya menunjukkan, bahwa ternyata berapa pun suku pertama dan kedua ditentukan, untuk n yang semakin besar nilai un+1 : un semakin mendekati Φ dan un : un +1 1 . Dengan demikian maka semakin mendekati 1 – Φ = φ
9
10
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765
L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11 L12 L13 L14 L15 L16 L17 L18 L19 L20
1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843 1364 2207 3571 5778 9349 15127
Ln
Fn F21 F22 F23 F24 F25 F26 F27 F28 F29 F30 F31 F32 F33 F34 F35 F36 F37 F38 F39 F40
10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 10233415 5
L21 L22 L23 L24 L25 L26 L27 L28 L29 L30 L31 L32 L33 L34 L35 L36 L37 L38 L39 L40
24476 39603 64079 103682 167761 271443 439204 710647 1149851 1860498 3010349 4870847 7881196 12752043 20633239 33385282 54018521 87403803 14142232 4 22882612 7
= (Fn–2 + Fn–3) + Fn–2 (mengganti Fn–1 dengan Fn–2 + Fn–3) = 2 Fn–2 + Fn–3
Fakta yang tampak pada tabel di atas di antaranya: F1 + F3 F2 + F4 F3 + F5 F4 + F6 F5 + F7 Dapat diduga bahwa:
=1+2 = =1+3 = =2+5 = =3+8 = = 5 + 13 = Fn + Fn+2 = Ln+1
3 4 7 11 18
Perhatikan juga yang berikut ini: Fn Ln 1 1 1 2 1 3 3 2 4 4 3 7 5 5 11 F10 6 8 18 F12 7 13 29 F14 M Dengan memperhatikan paparan di diduga bahwa: Fn × Ln = F2n (n ∈ A)
= = = = =
= 2(Fn–3 + Fn–4) + Fn–3(mengganti Fn–2 dengan Fn–3 + Fn–
L2 L3 L4 L5 L6
4)
= 3 Fn–3 + 2Fn–4 = 3(Fn–4 + Fn–5)+ 2Fn–4 (mengganti Fn–3 dengan Fn–4 + Fn–5)
F2n 1 3 8 21 55
= = = = =
144
=
377
=
F2 F4 F6 F8
Dengan memperhatikan bentuk di atas dan dari rumus rekursifnya diperoleh bahwa: F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, dan seterusnya Dapat diduga pula bahwa: Fn = Fk+1 Fn–k + Fk Fn–k–1, untuk 1 ≤ k < n
atau
Jika m = n maka diperoleh: Fn+n = Fn+1 Fn + Fn Fn–1. F2n = Fn (Fn+1 + Fn–1)
atas dapat Rumus-rumus: 1.
Salah satu sifat yang dapat diamati di antaranya ialah:
F2n =
Telah ditunjukkan bahwa Barisan Fibonacci termasuk barisan dua langkah yang rumus rekursifnya Fn+2 = Fn + Fn+1, rumus umum suku ke-n adalah Fn = 2n 5
F2n = Fn(Fn+1 + Fn) ........................................ (17) Bukti:
Sifat-sifat Barisan Fibonacci
(1 + 5 )n − (1 − 5 )n
Fm+n = Fm+1 Fn + Fm Fn–1. ........................... (16)
=
(1 + 5 )2n − (1 − 5 )2n 22n 5 (1 + 5 )n − (1 − 5 )n
dengan F1 = F2 = 1. = Fn ×
2n 5
Fn(Fn+1 + Fn)
11
12
(1 + 5 )n + (1 − 5 )n 2n
(1 + 5 )n − (1 − 5 )n + 2(1 − 5 )n
Dari hubungan di atas diperoleh: Fn = Fn–1 + Fn–2
×
2n 5
× 5
n n = (1 + 5 ) − (1 − 5 ) × (1 +
2n 5
=
5 )n +1 − (1 − 5 )n +1 2n +1 5
)n (1− 5 )− ((1+
(
(1+ 5 )(1+ 5 )2n − (1+ 5 )(1− 5 )
+
)n + ((1+
5 )(1− 5 )
7.
(1+ 5 )n −(1− 5 )n 2n 5 5 )(1− 5
)n (1−
5) +
22n +1( 5 )2
(
)n + ((1+
(1+ 5 )2n − 2 (1+ 5 )(1− 5 )
Fn+1 – Fn = Fn–1 Fn+1 – Fn
)
5 )+ (1− 5 )n
(2n 5 )
2
2.
Fn+1 × Fn–1 – Fn2 = (–1)n
=
F1 + F2 + F3 + …+ Fn = Fn+2 – 1
Bukti:
=
Diandaikan rumus di atas benar untuk n = k, maka F1 + F2 + F3 + …+ Fk= Fk+2 – 1
( 1 + 5 ) n +1 − ( 1 − 5 ) n + 1 2 n +1 5
–
(1 + 5 )n − (1 − 5 )n 2n 5
(1 + 5 )(1 + 5 ) n − (1 − 5 )(1 − 5 ) n 2 .2 n 5
–
(1 + 5 )n − (1 − 5 )n 2n 5
=
(1 + 5 )(1 + 5 ) n − (1 − 5 )(1 − 5 ) n − 2(1 + 5 ) n + 2(1 − 5 ) n
Dibuktikan rumus benar untuk n = k + 1. Berarti harus dibuktikan bahwa: F1 + F2 + F3 + …+ Fk + Fk+1 = Fk+3 – 1
2 .2 n 5
Bukti: F1 + F2 + F3 + …+ Fk + Fk+1 = Fk+2 – 1+ Fk+1 = Fk+1+Fk+2– 1; sedangkan Fk+1+Fk+2= Fk+3
= Fk+3– 1 (terbukti) Dicoba untuk n = 1: F1 = F3 – 1; sedangkan pada barisan Fibonacci F1 = 1 dan F3 = 2
=
=
=
=
( −1 + 5 )(1 + 5 ) n + (1 + 5 )(1 − 5 ) n 2 .2 n 5 ( −1 + 5 )(1 + 5 )(1 + 5 ) n −1 + (1 + 5 )(1 − 5 )(1 − 5 ) n −1 2 .2 n 5 ( 5 − 1)(1 + 5 ) n −1 + (1 − 5)(1 − 5 ) n −1 4 .2 n − 1 5 ( 1 + 5 ) n −1 − ( 1 − 5 ) n −1 2 n −1 5
1 = 2 – 1 benar Karena benar untuk n = k dan n = k + 1 serta benar untuk n = 1 maka benar untuk setiap nilai n. Rumus-rumus berikuit ini dapat Anda buktikan sendiri kebenarannya seperti kedua contoh di atas.
= Fn–1 Beberapa catatan:
1. Dapat ditunjukkan, bahwa Fn genap hanya bila n kelipatan 3.
3.
F2n+1 = (Fn+1)2 +( Fn)2
2. Untuk setiap n, nilai satuan pada Fn+60 dan Fn sama.
4.
F2n =
(Fn+1)2
5.
F1 + F3 + F5 + …+ F2n–1 = F2n – 1
3. Dua Bilangan Fibonacci berurutan merupakan pasangan prima relatif (pembagi persekutuannya hanya sebuah, yaitu 1).
6.
F2 + F4 + F6 + …+ F2n = F2n+1 – 1
–(
Fn–1)2
13
14
4. Untuk setiap Bilangan Fibonacci Fn yang merupakan bilangan prima, maka n pastilah juga prima.
15
