BARISAN DAN DERET
A. Barisan Barisan adalah urutan bilangan yang memiliki aturan tertentu. Setiap bilangan pada barisan disebut “suku barisan” yang dipisahkan dengan lambang “,” (koma). Bentuk umum barisan: U1, U2, U3, U4, …, Un dengan: U1 = suku pertama U2 = suku kedua U3 = suku ketiga … … … Un = suku ke-n Contoh: Barisan bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, dan lain-lain. B. Rumus suku ke-n Rumus suku ke-n suatu barisan dikatakan valid, apabila setiap n memenuhi rumus tersebut. C. Deret Deret adalah bentuk penjumlahan barisan. Bentuk umum deret: U1 + U2 + U3 + U4 + … + Un Latihan Soal: 1. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan: a. 1, 4, 9, 16, … b. 5, 7, 9, 11, … c. 5, -2, -9, … d. 0, 3, 8, 15, … 2. Tentukalah suku ke-4 sampai dengan suku ke-10 dari barisan soal no. 1 di atas ! 3. Tentukanlah bentuk deret barisan soal no. 1 di atas ! 4. Suatu barisan mempunyai rumus suku umum Un = 2n – 1. Tentukanlah U2n dan U2n – 1 D. Pengertian barisan aritmatika Barisan aritmatika adalah barisan yang selisih suku yang berdekatan selalu tetap (konstan). Selisih dua suku yang berdekatan disebut beda. Syarat barisan aritmatika: Jika terdapat tiga suku U1, U2, U3 Maka : 2 U2 = U1 + U3 E. Bentuk umum suku ke-n barisan aritmatika Un = a + (n – 1) b Dengan Un = suku ke-n a = suku pertama (U1) n = banyaknya suku b = beda/selisih = U2 – U1 = U3 – U2 = … F. Menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika Contoh: 3, 5, 7, 9, … Tentukanlah suku ke-9 dari barisan di atas ! Jawab: a = U1 = 3 b = U2 – U1 = 5 – 3 = 2 n = 9, karena yang ditanyakan suku ke-9
Un = a + (n – 1) b U9 = 3 + (9 – 1) 2 = 3 + 16 = 19 Latihan Soal: 1. Suatu barisan aritmatika: 7, 10, 13, 16, … Tentukanlah: a. a b. b c. Un d. U25 2. Diketahui tiga suku yang berurutan merupakan barisan aritmatika, yaitu: x + 2, 2x + 3, 5x – 6. Tentukanlah nilai x ! G. Suku tengah barisan aritmatika Ut =
1 (U1 + Un) 2
H. Jumlah suku barisan aritmatika n (a + Un) 2 n = (2a + (n – 1)b) 2
Sn =
Latihan Soal: 1. Tentukanlah suku tengah barisan 3, 8, 13, … , 103 ! 2. Tentukanlah suku tengah barisan 17, 19, 21, 23, … , 97 ! 3. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dari deret – 8 – 4 – 0 + 4 + … ! 4. Diketahui suatu deret aritmatika dengan suku ketiga adalah 9, sedangkan jumlah suku kelima dan ketujuh sama dengan 36. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama deret tersebut ! I. Pengertian barisan geometri Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Perbandingan dua suku yang berurutan disebut rasio atau pembanding dan biasanya dilambangakan dengan “r”. Syarat barisan geometri: o Jika terdapat tiga suku U1, U2, U3 Maka : U22 = U1 . U3 o Jika terdapat empat suku U1, U2, U3, U4 Maka : U2 . U3 = U1 . U4 J. Bentuk umum suku ke-n barisan geometri Un = arn – 1 Dengan Un = suku ke-n a = suku pertama (U1) n = banyaknya suku U U r = rasio = 2 3 ... U1 U 2 K. Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri Contoh: 2, -6, 18, -54, … Tentukanlah suku ke-9 dari barisan di atas ! Jawab: a = U1 = 2
U2 6 3 U1 2 n = 9, karena yang ditanyakan suku ke-9 Un = arn – 1 U9 = 2 (-3)9 – 1 = 2 (-3)8 = 2 (6561) = 13122 r=
Latihan Soal: 1. Diketahui barisan 4, 8, 16, 32, … Tentukanlah: a. a b. r c. Rumus suku ke-n d. Suku ke-11 2. Jika 4 + x, 3 + 3x, dan 1 + 7x merupakan barisan geometri. Tentukanlah nilai x ! 3. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 40 dan suku ke-6 adalah 160. Jika sukusukunya selalu positif. Tentukanlah suku ke-11 ! L. Suku tengah barisan geometri Ut = U 1 .U n M. Jumlah suku barisan geometri
a(1 r n ) , jika r < 1 dan r 1 1 r a(r n 1) Sn , jika r > 1 dan r 1 r 1 Sn
Latihan Soal: 1. Diketahui barisan 2, 4, 8, 16, …, 512. Tentukanlah suku tengahnya ! 2. Diketahui deret 1 + 3 + 9 + 27 + … Tentukanlah jumlah 13 suku pertama ! 3. Suku ke-5 dan suku ke-8 suatu barisan geometri masing-masing adalah 48 dan 384. Tentukanlah jumlah 2 suku pertamanya ! 4. Jumlah n suku deret geometri dirumuskan Sn = 3.2n – 1. Tentukanlah suku ke-5 deret tersebut ! N. Deret geometri tak hingga: Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak sukunya tidak terbatas. Rumus jumlah deret geometri tak hingga: a S 1 r Latihan Soal 1. Diketahui deret geometri tak hingga x – 1, (x – 1)2, (x – 1)3, …. Tentukanlah nilai x agar deret tersebut konvergen ! 1 1 1 2. Diketahui deret geometri 1 ... . Tentukanlah jumlah deret tersebut ! 3 9 27 1 1 3. Jika jumlah deret geometri tak hingga dari a 1 2 ... adalah 4a. Tentukanlah nilai a ! a a -n 4. Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4 . Tentukanlah jumlah deret geometri tak hingganya ! O. Notasi Sigma Notasi Sigma adalah suatu cara penulisan penjumlahan berurutan secara singkat yang menggunakan lambang “ (dibaca: Sigma)”. Contoh: Ubahlah deret 10 bilangan asli pertama menjadi bentuk notasi Sigma !
Jawab: 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =
k k 1
P. Kaidah-kaidah notasi Sigma Misalkan ak dan bk merupakan suku, edangkan c adalah konstanta, maka berlaku n
c n.c
a. Jika ak = c maka
k 1
n
b.
n
c.a k 1 n
c.
k
c ak k 1
n
k 1
k 1
n
d.
k 1
n
n
n
k 1
k 1
k 1
2 2 2 ak bk a k 2 ak .bk bk k 1
n 1
n
e.
n
ak bk a k bk
a k 1
k
ak a n k 1
Latihan Soal: Tentukanlah bentuk notasi Sigma dari deret berikut: 1. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 + 1.458 ! 1 2. 243 + 81 + 27 + 9 + 3 + 1 + ! 3 1 1 1 1 1 3. 2 ! 2 8 32 128 512 4. 4 – 8 + 16 – 32 + 64 – 128 + 256 – 512 ! 6
5. Ubahlah notasi Sigma
k
2
2k menjadi bentuk deret !
k 2 4
6. Tentukanlah nilai dari
(n 3)(n 2) ! k 1
Q. Pembuktian pernyataan dengan cara: 1). Induksi matematika Contoh: Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n bilangan asli berlaku: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n-1 = 2n – 1 Jawab: Pembuktian: Misalkan P(n) adalah 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n-1 = 2n – 1 Untuk n = 1, maka 21-1 = 21 – 1 1 = 1 (benar) Jadi P(n) benar untuk n = 1 Andaikan P(n) benar untuk n = k, berarti P(k) = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2k-1 = 2k – 1 Akan dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1 Untuk n = k + 1, P(n) = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2k-1 + 2k+1-1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2k-1 + 2k = P(k) + 2k = 2k – 1 + 2 k = 2. 2k– 1 = 2k+1 – 1 Karena P(n) benar untuk n = 1, dan jika P(n) benar untuk setiap n bilangan asli, artinya terbukti bahwa 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n-1 = 2n – 1 Latihan Soal: 1. Dengan kontradiksi, buktikan pernyataan “Jika x tidak habis dibagi 3 maka x tidak habis dibagi 9”! 2. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2, untuk n A !
Tugas kelompok: 1. Seorang petani cabe mencatat hasil panennya setiap hari. Selama 12 hari pertama, hasil panennya mengalami kenaikan yang tetap, yaitu pada hari pertama 35 kg, hari kedua 45 kg, hari ketiga 55 kg, dan seterusnya. Hitunglah jumlah panen selama 12 hari tersebut ! 2. Iuran bulanan warga setiap tahun selalu naik Rp1.000,00 dari tahun sebelumnya. Jika iuran warga pada iuran pertama adalah Rp2.000,00 per bulan. Hitunglah jumlah iuran warga tersebut setelah 6 tahun ! 3. Dalam gedung pertunjukan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri atas 12 buah, baris kedua 14 buah, baris ketiga 16 buah, dan seterusnya. Tentukanlah banyaknya kursi pada baris ke20 ! 4. Seorang karyawan suatu perusahaan memperoleh gaji pertama sebesar Rp800.000,00. Jika setiap bulan gajinya bertambah 15% dari gaji sebelumnya. Tentukanlah jumlah gaji karyawan tersebut selama satu tahun pertama ! Uji Kompetensi: 1. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-3 dan suku ke-7 berturut-turut adalah 20 dan 36. Hitunglah suku ke-13 dan jumlah dari 13 suku pertama ! 20 2. Diketahui suatu deret geometri U1 + U2 = , sedangkan U3 + U4 = 20. Tentukanlah jumlah dari 9 5 suku pertama ! 3. Jumlah anggota perkumpulan setiap dua tahun berlipat dua kali. Dalam 10 tahun, jumlah anggotanya menjadi 12.800 orang. Tentukanlah anggota mula-mulanya ! 7
4. Tentukanlah nilai p dari persamaan
7
7
(2k 5) 2 4 k 2 20 k p ! k 3
k 3
k 3
