Pola dan Barisan Bilangan Pola dan barisan bilangan meliputi pola bilangan dan barisan bilangan. Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka-angka baik mendatar, menurun, diagonal (miring).
Pola Bilangan 1. Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang
Dalam pola persegi panjang biasanya terdiri dari kumpulan noktah berjumlah 2, 6, 12, dst. Untuk menentukan pola-pola bilangan tersebut kita dapat menggunakan rumus Un = n (n+1) dimana n adalah bilangan bulat bukan negatif. 2. Pola Persegi
Pola ini memiliki bentuk kumpulan noktah menyerupai persegi dengan sisi-sisi yang sama besar. Perhatikan polanya. Kemudian kita dapat memperoleh pola-pola bilangannya yaitu : 1, 4, 9 dst di lihat dari jumlah noktah dalam susunan pola. Andaikan kita ingin mengetahui pola-pola bilangan persegi dapat kita lakukan dengan menggunakan rumus Un = n2 dengan n adalah bilangan bulat positif. 3. Pola Segi tiga (segitiga sama sisi) Dalam membentuk pola ini dibutuhkan kumpulan noktah yang berbentuk segitiga sama sisi. Terdapat dua cara dalam menentukan pola segitiga, yaitu: Cara 1: dengan cara mengikuti pola berikut ini
Kita mulai dengan angka 1 yang kemudian ditambahkan angka setelah angka satu yaitu 2 yang menghasilkan 3 dan 3 ditambahkan dengan 3 dimana tiga adalah bilangan setelah dua yang kemudian hansil jumlahnya 6, 6 dijumlahkan dengan bilangan berikutnya dari 3 dan menghasilkan 10, 10 dijumlahkan lagi denagn bilangan setelah empat yaitu lima akan menghsilkan 15 dan begitu seterusnya.
Cara 2: pola bilangan segitiga anara lain1, 3, 6,10 dst. Bilangan tersebut dapat diperolah dengan cara ke-2 yaitu menentuak pola segitiga dengan menggunakan rumus Un = n/2 (n+1). Sehingga dihasilkan bentuk seperti dibawah ini dengan urutan-urutan bilangannya.
4. Pola Kubus Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n3
5. Pola bilangan ganjil dan genap Pada pola ini bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua. a. Pola bilangan ganjil Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua
b. Pola bilangan genap Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua
6. Pola Bilangan Segitiga Pascal
Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1
7. Pola Bilangan Fibonaci
Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu aturan tertentu. Yang biasanya dilambangkan Un. Barisan bilangan biasanya ditulis : U1, U2,`U3, . . . . , Un Dengan Un adalah suku ke – n dan n = 1,2,3, . . . Perhatikan bentuk penulisan barisan bilangan dimana U1 adalah suku pertama, U2 adalah suku ke-2, dan seterusnya hingga Un yang disebut suku ke-n Contoh : Barisan 0,2,4 berarti: U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4 (menambahkan 2 pada suku sebelumnya) 1. Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan Contoh: Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan 2, 5, 8, 11, . . . Jawab: Barisan 2, 5, 8, 11,. . . U1 = 2 U2 = 5 = 2 + 3 U3 = 8 = 5 +3 U4 = 11 = 8 +3 Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, . . .n +3) 2. Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan Un = f (n)
Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap (b) U1, U2, U3, U4, …, Un Maka diperoleh: Un = bn + (U1 - b) Contoh :
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil. 1, 3, 5, 7, …, Un Maka, b = 2 ; U1 = 1 Un = bn + (U1 - b) = 2n+(1-2) = 2n -1
Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap U1, U2, U3, U4, …, Un Maka diperoleh: Un = rn x U1/r Contoh : Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . Un ) Maka, r = 10 ; U1 = 1 Un = rn x U1/r = 10n x 1/10 = 10n -1
Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan formula berikut: Un = b/2 . n (n-1) + c Dengan: c = Suku ke-n barisan bilangan pola b = Selisih tetap Contoh:
Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang berpola tingkat satu Barisan: 3 5 7 9 11 +2 +2 +2 c = 2n + (U1 - b) = 2n+(3-2)= 2n +1 Jadi, suku ke-n adalah: Un = ½. n(n-1) +c Un = ½. n(n-1) + 2n + 1 Un = ½ n2 – ½ n + 2n +1 Un = ½ n2 – 3/2 n +1
+2
Barisan Arimatika dan Barisan Geometri Barisan Arimatika atau Barisan Hitung Barisan Aretmatika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap. Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut : U1 = a U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b . . . Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b Un = a + (n – 1 )b Dengan n = 1, 2, 3,.. Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut : U2 = U1 + b => b = U2 - U1 U3 = U2 + b => b = U3 - U2 U4 = U3 + b => b = U4 - U3 . . . Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1 Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun. Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naik Bila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun Contoh: Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan aritmetika tersebut. a. 1, 3, 5, 7,. . . . b. 4, 2, 0, -2,. . . Jawab : Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan aritmetika. a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . . berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh .. U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5
b = U2 - U1 = 2 b = U3 - U2 = 2 b = U4 - U3 = 2 karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik. U10 = U1 (10 - 1) . b U10 = 1 + 9 . 2 = 19 b. Barisan 4, 2, 0, -2, . . U1 = 4 ; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2 b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2 karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus Un = U1 (n - 1) . b U10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14 Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14
Barisan Geometri atau Barisan Ukur Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka : U1 = a U2 = U1 . r = ar U3 = U2 . r = ar2 U4 = U3 . r = ar3 Un = Un-1 . r = arn-1 1. Un = r × Un-1 atau 2. Un = a × rn-1 Dengan: r = rasio atau pembanding n = bilangan asli a = suku pertama Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun. Bila r > 1 maka barisan geometri naik. Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun. Contoh : a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :
b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :
Jawab: a.
Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729 b.
Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah
Deret Aritmetika dan Deret Geometri Deret Aritmetika atau Deret Hitung Deret bilangan adalah jumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari suatu barisan bilangan. Bentuk umum: Menyatakan deret ke-n Contoh: 1. Deret dari barisan 3, 5, 7, …, (2n+1) adalah Maka, 2. Deret dari barisan 1, 2, 4, …, Maka,
adalah
Deret aritmetika adalah jumlah suku yang ditunjukkan oleh barisan aritmetika. Deret aritmetika: Dengan
dan
Rumus n suku pertama deret aritmetika: [ Dengan:
] suku ke-n n = bilangan asli b = beda
Contoh: 1. Tentukan jmlah sepuluh suku pertama dari deret Jawab:
[ 2.
]
Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertama adalah 20 Jawab: maka:
Deret Geometri atau Deret Ukur Deret geometri adalah jumlah suku-suku yang ditunjuk oleh barisan geometri. Deret geometri: dengan
dan
Rumus n suku pertama deret geometri:
Contoh: 1. Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret Jawab:
2. Diberikan deret geometri dengan suku-suku positif, tentukanlah jumlah n suku pertama deret geometri itu. Jawab:
dan
Bila
Karena suku-suku positif maka
maka:
Sifat-sifat Deret Dalam deret aritmatika maupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut ini.
. . .
Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut.
Contoh: Dalam deret aritmatika ditemukan a. b. Jawab : a.
, hitunglah : c. Beda
b. c.
Sifat Dasar Deret Aritmetika 1. Bila
2. Bila
merupakan deret aritmatika, maka :
merupakan suku-suku pada deret aritmatika, maka:
Contoh: Tentukan nilai dari agar barisan aritmatika. Jawab: Kita gunakan sifat dasar kedua, yaitu 2(3x - 5) = x + 1 + 4 6x –10= x + 5 6x –x= 5 + 10 5x = 15 x=3
merupakan suku-suku dari deret
Selain kedua sifat di atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika yang lain. Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini :
Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan hubungan antara suatu suku dengan suku yang lainnya. Memo 7= 1+6 7=4+3 7=5+2 7=3+4 Secara umum dapat dituliskan:
Contoh: Bila a. b Jawab:
dan
dari deret aritmatika, tentukanlah : b.
a. b.
atau
Sifat Dasar Deret Geometri 1. Bila
2. Bila
merupakan deret geometri, maka :
merupakan suku-suku pada deret geometri, maka:
Contoh: Tentukan nilai agar barisan
merupakan barisan geometri.
Jawab: Berdasarkan sifat (2) barisan geometri, yaitu
, diperoleh: Memo atau
Jadi, nilai adalah
atau
Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deret geometri. Perhatikan Un = arn-1 Memo Dengan formula itu didapat: Lihat Indeks U10 = ar9 10 = 1 + 9 U10 = (ar2) . r7= U3 . r7 10 = 3 + 7 U10 = (ar4 ). r7 = U5 . r5 10 = 5 + 5 Secara umum di tuliskan:
Contoh: Diketahui deret geometri dengan U3 = 24 dan U6 = 192. Tentukanlah : a. r b. U2 Jawab : a.
b.
Daftra Pustaka Wilson Simangunsong. Matematika untuk SMP Kelas IX. Erlangga
