Muhammad Dakim
BARISAN DAN DERET Jenis-jenis barisan dan deret yang sering diujikan adalah soal-soal tentang : 1. Barisan dan deret aritmatika 2. Barisan dan deret geometri 3. Sisipan SOAL DAN PEMBAHASAN 14.1 Soal dan pembahasan Barisan dan deret aritmatika Soal Barisan dan deret aritmatika dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 14.1 Konsep 14.1 Bentuk umum : a, a+b, a+2b, …,a+(n-1)b Jika Un = suku ke-n, Ut = suku tengah, dan Sn = jumlah n suku pertama, maka : 1. Un = a + (n – 1)b 2. = ( + ) = (2 + ( − 1) ) 3. 4. 5.
= = − = −
Contoh Soal : 1. UN 2011 Suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57. Suku ke15 barisan ini adalah … . Penyelesaian : Diketahui : U5 = a + 4b = 22 ……..(i) U12 = a + 11b = 57 …….(ii) Ditanya : U15 Jawab : eliminasi pers. (i) dan pers. (ii) a + 4b = 22 a + 11b = 57 -7b = -35 ↔ b = 5 Substitusi b = 5 ke salah satu persamaan a + 4b = 22 a + 4.5 = 22 a = 22 – 20 = 2 suku ke-15 U15 = a + 14b = 2 + 14(5) = 72 Jadi, suku ke-20 barisan tersebut adalah 72 2. UN 2011 Seorang ayah akan membagikan 78 ekor sapi kepada ke-6 anaknya yang banyaknya setiap bagian mengikuti barisan aritmetika. Anak termuda mendapat bagian paling sedikit, yaitu 3 ekor dan anak tertua mendapat bagian terbanyak. Anak ketiga mendapat bagian sebanyak … Penyelesaian : Diketahui : a = 3, n = 6, Sn = 78 Ditanya : U3 Jawab : = (2 + ( − 1) ) Matematikasmart.wordpress.com
Page 61
Muhammad Dakim 78 = (2.3 + (6 − 1) ) 78 = 3(6 + 5 ) 78 = 18 + 15 = =4 Anak ke-3 mendapatkan bagian sebanyak U3 = a + 2b U3 = 3 + 2.4 = 11 3. UN 2012 Suatu deret aritmetika diketahui suku ke-6 adalah 17 dan suku ke-10 adalah 33. Jumlah tiga puluh suku pertama deret itu adalah … . Penyelesaian : Diketahui : U6 = a + 5b = 17 ……..(i) U10 = a + 9b = 33 …….(ii) Ditanya : S30 Jawab : eliminasi pers. (i) dan pers. (ii) a + 5b = 17 a + 9b = 33 -4b = -16 ↔ b = 4 Substitusi b = 4 ke salah satu persamaan a + 5b = 17 a + 5.4 = 17 a + 20 = 17 a = 17 – 20 = -3 Jumlah tiga puluh suku pertama = (2 + ( − 1) ) = (2(−3) + (30 − 1)4) = 15(−6 + 116) = 15(110) = 1650 Jadi, jumlah tiga puluh suku pertama deret tersebut adalah 1650 4. UN 2012 Seorang anak menabung di rumah dengan teratur setiap bulan. uang yang ditabung selalu lebih besar dari yang ditabung pada bulan sebelumnya dengan selisih tetap. Jumlah seluruh tabungan dalam 12 bulan pertama adalah Rp306.000,00 sedangkan dalam 18 bulan pertama adalah Rp513.000,00. Besar uang tabungan pada bulan ke-15 adalah … . Penyelesaian : Diketahui : S12 = 306.000 S18 = 513.000 Ditanya : U15 Jawab : = (2 + (12 − 1) ) 306.000 = 6(2 + 11 ) 306.000 = 12 + 66 ..............(i) :
= (2 + (18 − 1) ) 513.000 = 9(2 + 17 ) 513.000 = 18 + 153 ..............(ii)
Eliminasi persamaan (i) dan (ii) Matematikasmart.wordpress.com
Page 62
Muhammad Dakim 18a + 153b = 513.000 x2 36a + 306b = 1.026.000 12a + 66b = 306.000 x3 36a + 198b = 918.000 108b = 108.000 b = 1.000 substitusi b = 1.000 ke salah satu persamaan 12a + 66(1.000) = 306.000 12a + 66.000 = 306.000 12a = 306.000 – 66.000 .
a=
= 20.000
U15 = a + 14b = 20.000 + 14(1.000) = 20.000 + 14.000 = 34.000 Jadi, besar uang tabungan pada bulan ke-15 adalah Rp 34.000,00 14.2 Soal dan pembahasan Barisan dan deret Geometri Soal Barisan dan deret geometri dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 14.2 Konsep 14.2 Bentuk umum : a, ar, ar2,…, arn-1 Jika Un = suku ke-n, Ut = suku tengah, dan Sn = jumlah n suku pertama, maka 1. Un = arn-1 2.
=
3. 4. 5.
= = =
(
)
, r > 1 dan
=
(
)
,r<1
−
Contoh Soal : 1. UN 2011 Suku ketiga dan suku keenam barisan geometri berturut-turut adalah 18 dan 486. Suku kedelapan barisan tersebut adalah … . Penyelesaian : Diketahui : U3 = a.r2 = 18 U6 = a.r5 = 486 Ditanya : U8 Jawab
:
=
= r3 =
= 27
r = √27 = 3 untuk r = 3 diperoleh : a.r2 = 18 a.32 = 18 ↔ a = 2 U8 = a.r7 = 2.37 = 2 x 2187 = 4374 Jadi, Suku kedelapan barisan tersebut adalah 4374 2. UN 2011 Suku kedua deret geometri dengan rasio positif adalah 10 dan suku keenam adalah 160. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah … .
Matematikasmart.wordpress.com
Page 63
Muhammad Dakim Penyelesaian : Diketahui : U2 = a.r = 10 U6 = a.r5 = 160 Ditanya : S10 rasio positif r > 1 Jawab
=
:
= 4
r = 16 r = √16 = 2 untuk r = 2 diperoleh : a.r = 10 a.2 = 10 ↔ a = 5
= =
(
)
(
)
= 5115
Jadi, Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah 5115 3. UN 2012 Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Suku ke-2 adalah 16 sedangkan suku ke-4 adalah 4. Suku ke-8 barisan tersebut adalah … . Penyelesaian : Diketahui : U2 = a.r = 16 U4 = a.r3 = 4 Ditanya : U8 rasio positif r > 1 Jawab
=
:
= r2 = r=
=
untuk r = diperoleh : a.r = 16 a.
= 16 ↔ a = 32
U8 = a.r7 = 32.
= 32 x
=
=
Jadi, Suku ke-8 barisan tersebut adalah 14.3 Soal dan pembahasan Sisipan Soal sisipan dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 14.3 Konsep 14.3 Langkah-langkah : Yang perlu diperhatikan U1 dan U2 saja, setelah disisipkan : 1. U1 tetap menjadi suku pertama 2. U2 menjadi suku ke ... Selanjutnya apapun pertanyaanya dapat diselesaikan
Contoh Soal Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, ... disisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah .... Matematikasmart.wordpress.com
Page 64
Muhammad Dakim Penyelesaian : 3,
, 18
Yang disisipkan a=3 U6 =
a + 5b = 18 3 + 5b = 18 b= =3
S7 = (2a + (n – 1)b) = (2.3 + (7 – 1)3) = (6 + 18) = 84
Matematikasmart.wordpress.com
Page 65
