Bab
Barisan dan Deret A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran barisan dan deret, siswa mampu: 1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari; 2. memprediksi pola barisan dan deret aritmetika dan geometri atau barisan lainnya melalui pengamatan dan memberikan alasannya; 3. menyajikan hasil menemukan pola barisan dan deret dan penerapannya dalam penyelesaian masalah sederhana.
• • • • •
Pola Bilangan Beda Rasio Suku Jumlah n suku pertama
Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi barisan dan deret aritmetika dan geometri atau barisan lainnya, siswa memperoleh pengalaman belajar: • menemukan konsep dan pola barisan dan deret melalui pemecahan masalah otentik; • berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur; • berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif) dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep dan pola barisan dan deret dalam memecahkan masalah otentik.
B. PETA KONSEP
178
Kelas X
C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Menemukan Pola Barisan dan Deret Amati dan kritisi masalah nyata kehidupan yang dapat dipecahkan secara arif dan kreatif melalui proses matematisasi. Dalam proses pembelajaran barisan dan deret, berbagai konsep dan aturan matematika terkait barisan dan deret akan ditemukan melalui pemecahan masalah, melihat pola susunan bilangan, menemukan berbagai strategi sebagai alternatif pemecahan masalah. Kita akan mempelajari beberapa kasus dan contoh yang berkaitan dengan barisan dan deret pada bab ini. Barisan suatu objek membicarakan masalah urutannya dengan aturan tertentu. Aturan yang dimaksud adalah pola barisan. Kita memerlukan pengamatan terhadap suatu barisan untuk menemukan pola.
Masalah-6.1 Beberapa kelereng dikelompokkan dan disusun sehingga setiap kelompok tersusun dalam bentuk persegi sebagai berikut:
Gambar 6.1 Susunan Kelereng
Kelereng dihitung pada setiap kelompok dan diperoleh barisan: 1, 4, 9, 16, 25.
K1 1
K2 4
K3 9
K4 16
K5 25
Gambar 6.2 Jumlah Kelereng pada Setiap Kelompok
Permasalahan: Dapatkah kamu temukan bilangan berikutnya pada barisan tersebut? Dapatkah kamu temukan pola barisan tersebut? Tentukan banyak kelereng pada kelompok ke-15?
Matematika
179
Alternatif Penyelesaian 1. Kemungkinan metode yang dapat digunakan adalah membuat susunan benda berikutnya dan menghitung kembali banyak kelereng pada susunan itu. Alternatif penyelesaian ini tidak efektif dan tidak efisien karena harus menyusun kembali banyak kelereng untuk kelompok berikutnya. K6 36 Gambar 6.3 Jumlah kelereng pada kelompok ke-6
2. Alternatif penyelesaian lainnya adalah menemukan pola barisan tersebut. Perhatikan tabel berikut!
Tabel 6.1 Pola banyak kelereng pada setiap kelompok Kelompok
Banyak Kelereng
Pola
K1
1
1=1×1
4
4=2×2
K2
9
9=3×3
16
16 = 4 × 4
K5
25
25 = 5 × 5
...
...
...
Kn
?
?=n×n
K3 K4
Dengan pola barisan pada tabel di atas, bilangan berikutnya adalah K6 = 6 × 6 = 36 dan bilangan pada K15 = 15 × 15 = 225.
3. Apakah ada pola yang lain pada barisan tersebut? Silahkan amati kembali tabel berikut!
Tabel 6.2 Pola banyak kelereng pada setiap kelompok Kelompok
Banyak Kelereng
Pola
K1
1
1 =1+0 =1+1×0
4
4 =2+2 =2+2×1
K2
9
9 =3+6 =3+3×2
16
16 = 4 + 12 = 4 + 4 × 3
K5
25
25 = 5 + 20 = 5 + 5 × 4
...
...
...
Kn
?
? = n + n × (n – 1)
K3 K4
180
Kelas X
Jadi pola barisan adalah K n = n + n × (n − 1) sehingga bilangan berikutnya adalah K6 = 6 + 6 × 5 =36 dan bilangan pada K15 = 15 + 15 × 14 =225. Kamu dapat dengan mudah menentukan bilangan-bilangan berikutnya pada sebuah barisan bilangan jika dapat menemukan pola barisannya. Silahkan pelajari pola barisan pada beberapa contoh berikut.
Contoh 6.1 Perhatikan barisan huruf berikut: A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D ... Amatilah barisan huruf tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah huruf pada urutan 25 × 33! Penyelesaian Pertama, kita perlihatkan urutan setiap huruf pada barisan, sebagai berikut: A B B C C C 1 2 3 4 5 6
D D D D A B B C C C D D D D ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ...
Jika kamu amati dengan teliti, kelompok huruf ABBCCCDDDD pada urutan 1 sampai 10 berulang. Perulangan kelompok huruf terjadi pada setiap kelipatan 10 huruf pertama. Jadi, huruf pada urutan 1 sama dengan huruf pada urutan 11, urutan 21, urutan 31, dan seterusnya. Kedua, huruf pada urutan 25 × 33 adalah huruf pada urutan 32 × 27 = 864 atau 864 = 860 + 4 = 86 × 10 + 4 sehingga perulangan kelompok huruf tersebut mengalami perulangan sebanyak 86 kali. Dengan demikian, huruf pada urutan ke-864 sama dengan huruf pada urutan ke-4 atau C. Perhatikan tabel di bawah ini! Tabel 6.3 Urutan barisan huruf Urutan ke
Huruf
Urutan ke
Huruf
...
Urutan ke
Huruf
Urutan ke
Huruf
1
A
11
A
...
851
A
861
A
2
B
12
B
...
852
B
862
B
3
B
13
B
...
853
B
863
B
4
C
14
C
...
854
C
864
C
5
C
15
C
...
855
C
6
C
16
C
...
856
C
7
D
17
D
...
857
D
8
D
18
D
...
858
D
9
D
19
D
...
859
D
10
D
20
D
...
860
D
Matematika
181
Contoh 6.2 Sebuah barisan bilangan dituliskan sebagai berikut: 12345678910111213141516171 81920212223242526... sehingga suku ke-10 = 1, suku ke-11 = 0, suku ke-12 = 1 dan seterusnya. Dapatkah anda temukan bilangan yang menempati suku ke-2004? Penyelesaian Mari kita amati kembali barisan tersebut, sebagai berikut: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 ... ? ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ u1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u8 u 9 u10 u11 u12 u13 u14 u15 u16 u17 u18 ... u 2004
un menyatakan suku ke-n pada barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, ... Kita akan mencari bilangan yang menempati suku ke-2004 dengan menghitung banyak suku pada bilangan satuan, puluhan, dan ratusan sebagai berikut: Langkah 1. Mencari banyak suku pada barisan bilangan satuan (1 sampai 9): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Banyak suku pada barisan bilangan satuan adalah 1 × 9 = 9 suku. Langkah 2. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (10 sampai 99) 10, 11, 12, 13, ...,19 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku 20, 21, 22, 23, ...,29 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku ... 90, 91, 92, 93, ..., 99 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku Banyak suku pada barisan bilangan puluhan adalah 9 × 20 = 180 suku. Jadi, banyak suku pada barisan 1 sampai 99 adalah 9 + 180 = 189 suku. Langkah 3. Mencari banyak suku pada barisan bilangan ratusan (100 sampai 999) Jika ratusan (100 sampai 99) 100, 101, 102, 103, ..., 109 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku 110, 111, 112, 113, ..., 119 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku 120, 121, 122, 123, ..., 129 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku ... 690, 691, 692, 693, ..., 699 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
182
Banyak suku untuk barisan bilangan ratusan dengan ratusan 1 sampai 6 adalah 6 × 10 × 30 = 1800 suku
Kelas X
Jadi terdapat sebanyak 9 + 180 + 1800 = 1989 suku pada barisan bilangan 1 sampai dengan 699 sehingga suku ke-1989 adalah 9. Suku berikutnya (suku ke-1990) adalah barisan bilangan dengan ratusan sebagai berikut. 9
7
0
0
7
0
1
7
0
2
7
0
3
7
0
4
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
u1989
u1990
u1995
u1996
u1997
u1998
u1999
u 2000
u1991 u1992
u1993 u1994
u 2001 u 2002
u 2003 u 2004
Bilangan pada suku ke-2004 adalah 4.
Contoh 6.3 1 1 1 1 1 1 1 Tentukan pola barisan , , , , , , ... , . Tentukanlah banyak suku 9900 pada barisan tersebut! 2 6 12 20 30 42 Penyelesaian Jika un adalah suku ke-n dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3,... maka barisan di atas disajikan dalam tabel berikut. Tabel 6.4 Pola Barisan Suku ke
Nilai
Pola
u1
1 2
1 1 = 2 2 1 +1
u2
1 6
1 1 = 6 22 + 2
u3
1 12
1 1 = 12 32 + 3
u4
1 20
1 1 = 20 42 + 4
u5
1 30
1 1 = 30 52 + 5
u6
1 42
1 1 = 42 62 + 6
...
...
un
?
...
?=
1 n2 + n
Matematika
183
1 Berdasarkan pola barisan un = 2 yang telah diperoleh pada tabel di bawah maka n +n 1 un = atau 9900 1 1 ⇔ 2 = n + n 9900
⇔ n2 + n = 9900 ⇔ n2 + n – 9900 = 0 ⇔ (n – 99)(n + 100) = 0 ⇔ n1 = 99 atau n2 = –100
Barisan •
1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , ... , terdiri dari 99 suku. 2 6 12 20 30 42 9900
Diskusikan dengan temanmu kenapa yang digunakan n = 99?
Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... maka deret dari barisan di atas disajikan dalam tabel berikut. Tabel 6.5: Pola Deret Deret
184
Jumlah suku-suku
Nilai
s1
u1
1 2
s2
u1 + u2
2 3
s3
u1 + u2 + u3
3 4
s4
u1 + u2 + u3 + u4
4 5
s5
u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6
5 6
s6
u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6
6 7
...
...
...
sn
u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + ... + un
Kelas X
sn =
n n +1
1 2 3 4 5 99 Berdasarkan tabel di atas, s1, s2, s3, ..., sn, ..., yaitu , , , , , ... , ,... adalah 2 3 4 5 6 100 n sebuah barisan dengan pola sn = . n +1 1 1 1 1 1 1 1 99 Karena n = 99 maka s99 = + + + + + + ... + = . 2 6 12 20 30 42 9900 100 Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... atau sn = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 + un dan sn–1 = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 maka sn = sn–1 + un atau un = sn – sn–1.
Contoh 6.4 Suatu barisan dengan pola deret sn = 2n3 – 3n2. Tentukan pola barisan tersebut kemudian tentukanlah suku ke-10! Penyelesaian Dengan rumus un = sn – sn–1 maka dapat ditentukan sn = 2n3 – 3n2 maka
sn −1 = 2(n − 1)3 − 3(n − 1)2
sn −1 = (2n3 − 6n 2 + 6n − 2) − (3n 2 − 6n + 3) sn −1 = 2n3 − 9n 2 + 12n − 5 Jadi, un = sn − sn −1 = (2n3 − 3n 2 ) − (2n3 − 9n 2 + 12n − 5) un = 6n 2 − 12n + 5 Pola barisan tersebut adalah un = 6n 2 − 12n + 5 sehingga: u10 = 6(10) 2 − 12(10) + 5 = 600 − 120 + 5 = 485 Jadi, suku ke-10 pada barisan tersebut adalah 485.
2. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmetika Pada sub-bab di atas, kita telah membicarakan masalah pola dari barisan dan deret bilangan secara umum. Berikutnya, kita akan belajar menemukan konsep barisan dan deret aritmetika.
Matematika
185
a. Barisan Aritmetika
Masalah-6.2 Perhatikan gambar tumpukan jeruk di samping ini! Bagaimana cara menentukan atau menduga banyak buah dalam satu tumpukan? Gambar 6.4 Tumpukan Buah Jeruk
Alternatif Penyelesaian Jika diperhatikan Gambar 6.5, maka diperoleh susunan dari beberapa jeruk. Jeruk itu dapat disusun membentuk sebuah piramida. Jumlah jeruk pada bagian bawah tumpukan akan lebih banyak dibandingkan pada susunan paling atas. Misalkan susunan jeruk tersebut disederhanakan menjadi sebuah susunan segitiga, seperti Gambar 6.6.
Gambar 6.5 Susunan piramida jeruk
Gambar 6.6 Susunan bulatan bentuk segitiga
•
Mengapa harus dengan susunan segitiga, coba lakukan dengan susunan segi empat. Apa yang kamu temukan?
Banyaknya bulatan yang tersusun dari setiap kelompok dapat dituliskan dengan bilangan, yaitu 1, 3, 6, 10, 15. Bilangan tersebut membentuk barisan perhatikan polanya pada Gambar 6.7 berikut.
186
Kelas X
Gambar 6.7. Pola susunan banyak jeruk dalam tumpukan
Ternyata beda antara setiap dua bilangan yang berdekatan membentuk barisan yang baru yaitu 2, 3, 4, 5,... Perhatikan skemanya pada Gambar 6.8 berikut. Beda setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan 2, 3, 4, 5,... adalah tetap yaitu 1. Dengan demikian barisan 2, 3, 4, 5,... disebut Gambar 6.8. Pola “Barisan Aritmetika” dan barisan 1, 3, 6, 10, dalam tumpukan 15, ... disebut “Barisan Aritmetika Tingkat Dua”. •
turunan banyak jeruk
Coba kamu bentuk sebuah barisan aritmetika tingkat tiga?
Masalah-6.3 Perhatikan masalah berikut! Jika tinggi satu buah anak tangga adalah 20 cm, berapakah tinggi tangga jika terdapat 15 buah anak tangga? Tentukanlah pola barisan? Gambar 6.9: Tangga
Alternatif Penyelesaian Untuk menentukan tinggi tangga maka permasalahan di atas diurutkan menjadi:
Dari uraian di atas, ditemukan susunan bilangan 20, 40, 60, 80, … un : suku ke-n u1 = 20 = 1 × 20 u2 = 40 = 2 × 20 u3 = 60 = 3 × 20 u4 = 80 = 4 × 20 u5 = 100 =5 × 20 ... un = n × 20 = 20n Matematika
187
Cermati pola bilangan un = 20n, sehingga u15 = 15 × 20 = 300. Berarti tinggi tangga tersebut sampai anak tangga yang ke-15 adalah 300 cm.
Masalah-6.4 Mbak Suci, seorang pengerajin batik di Gunung Kidul, ia dapat menyelesaikan 6 helai kain batik berukuran 2,4 m × 1,5 m selama 1 bulan. Permintaan kain batik terus bertambah sehingga Mba Suci harus menyediakan 9 helai kain batik pada bulan kedua, dan 12 helai pada bulan ketiga. Dia menduga, jumlah kain batik untuk bulan berikutnya akan 3 lebih banyak dari bulan sebelumnya. Dengan pola kerja tersebut, pada bulan berapakah Mbak Suci menyelesaikan 63 helai kain batik?
Alternatif Penyelesaian Dari Masalah-6.4, dapat dituliskan jumlah kain batik sejak bulan pertama seperti di bawah ini. Bulan I : u1 = a = 6 Bulan II : u2 = 6 + 1.3 = 9 Bulan III : u3 = 6 +2.3 = 12 Bulan IV : u4 = 6 + 3.3 = 15 Demikian seterusnya bertambah 3 helai kain batik untuk bulan-bulan berikutnya sehingga bulan ke-n : un = 6 + (n–1).3 (n merupakan bilangan asli). Sesuai dengan pola di atas, 63 helai kain batik selesai dikerjakan pada bulan ke-n. Untuk menentukan n, dapat diperoleh dari, 63 = 6 + (n – 1).3 63 = 3 + 3n n = 20. Jadi, pada bulan ke-20, Mbak Suci mampu menyelesaikan 63 helai kain batik. Jika beda antara dua bilangan berdekatan di notasikan “b”, maka pola susunan bilangan 6, 9, 12, 15,…, dapat dituliskan un = a + (n – 1).b.
Definisi 6.1 Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama. Beda, dinotasikan “b” memenuhi pola berikut. b = u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = ... = un – u(n–1) n adalah bilangan asli sebagai nomor suku, un adalah suku ke-n.
188
Kelas X
Berdasarkan definisi di atas maka diperoleh bentuk umum barisan aritmetika sebagai berikut. u1, u2, u3, u4, u5, …, un Setiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, maka diperoleh u1 = a u2 = u1 + 1.b u3 = u2 + b = u1 + 2.b u4 = u3 + b = u1 + 3.b u5 = u4 + b = u1 + 4.b … un = u1 + (n – 1)b Sifat-1 Jika u1, u2, u3, u4, u5, …, un merupakan suku-suku barisan aritmetika. Rumus suku ke-n dari barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut. un = a + (n – 1)b a = u1 adalah suku pertama barisan aritmetika b adalah beda barisan aritmetika
Masalah-6.5 Setiap hari Orlyn menabungkan sisa uang jajannya. Uang yang ditabung setiap hari selama enam hari mengikuti pola barisan aritmetika dengan suku pertama a = 500 dan beda b = 500. Bagaimana cara mengetahui banyaknya uang Orlyn yang ditabung pada hari ke-6?
Alternatif Penyelesaian Penyelesaian Masalah-6.5 dapat dilakukan dengan membuat barisan aritmetika dari uang yang ditabung Orlyn kemudian menentukan suku terakhirnya.
Matematika
189
Karena un = a + (n – 1)b maka u6 = (a + 5b) = 500 + 5(500) = 500 + 2500 = 3000 Berarti tabungan Orlyn pada hari ke-6 adalah Rp 3000,00.
Contoh 6.5 Tentukan nilai dari suku ke-n pada barisan di bawah ini! a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, … tentukan suku ke-15 ! b) 4, 1, – 2, – 5, – 8, … tentukan suku ke-18! Penyelesaian a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Dari barisan bilangan tersebut, diketahui bahwa u1 = a = 1, u2 = 2, u3 = 3, …. b = u2 – u1 = u3– u2 = 1. Karena un = a + (u – 1)b, maka u15 = a + (15 – 1)b. u15 = 1 + (15 – 1).1 = 15 b) 4, 1, – 2, – 5, – 8, … Diketahui: u1 = a = 4, u2 = 1, u3 = –2, u4 = –5 …. b = u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = –3. Karena un = a + (n – 1)b, maka u18 = a + (18 – 1)b. u18 = 4 + (18 – 1). (–3) = –47 b. Induksi Matematika Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n). 1. P(1) bernilai benar. 2. Jika P(n) benar, maka P(n – 1) benar untuk setiap n ≥ 1. Maka P(n) benar untuk setiap n bilangan asli. P(1) bernilai benar disebut langkah dasar sedangkan jika P(n) benar, maka P(n + 1) benar untuk setiap n ≥ 1 disebut langkah induktif. Prinsip pembuktian induktif dapat diilustrasikan dengan proses menaiki anak tangga. Gambar 6.10 Anak Tangga 190
Kelas X
Contoh 6.6 Selidiki apakah jumlah n bilangan asli pertama, yaitu 1 + 2 + … + n sama dengan n(n +1) ! 2 Penyelesaian Misalkan pernyataan P(n) = 1 + 2 + … + n = n(n +1) . 2 Langkah 1 Menunjukkan pernyataan tersebut benar untuk n = 1, diperoleh untuk n = 1 peryataan tersebut benar.
1(1 + 1) = 1 maka 2
Langkah 2 Anggap pernyataan tersebut benar untuk n = k yakni: k (k +1) 1+2+…+k= . 2 Langkah 3 Akan dibuktikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1, yaitu: (k + 1) ( (k + 1) + 1) 1 + 2 + … + k + (k + 1) = 2 Bukti: Dengan menggunakan manipulasi aljabar diperoleh: k (k +1) 1 + 2 + … + k + (k + 1) = + (k + 1) 2 k (k + 1) 2(k + 1) + = 2 2 (k + 1).(k + 2) = 2 (k + 1). ( (k + 1) + 1) = 2 Berarti untuk n = k + 1, P(n) =
n(n +1) adalah benar. 2
Matematika
191
Jadi, P(n) = 1 + 2 + … + n = bilangan asli.
n(n +1) adalah benar untuk n anggota himpunan 2
Latihan 6.1 Selidiki kebenaran pernyataan 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1)= n2. c. Deret Aritmetika
Masalah-6.6 Perhatikan kembali gambar di samping! Apakah kamu masih ingat tentang masalah anak tangga? Jika membuat sebuah anak tangga dibutuhkan 40 buah batu bata, berapa banyak batu bata yang dibutuhkan untuk membuat 80 buah anak tangga?
Gambar 6.11: Tangga
Alternatif Penyelesaian Untuk menentukan banyaknya batu bata yang dibutuhkan dalam membuat anak tangga pertama sampai anak tangga yang ke 80 dapat diilustrasikan seperti gambar berikut.
Berdasarkan gambar di atas dapat disimpulkan bahwa banyak batu bata yang dibutuhkan untuk membuat 80 buah anak tangga:
192
Kelas X
40
Tangga ke-1
+
(40 + 40) + (40 + 40 + 40) + (40 + 40 + 40 + 40) + ... + (40 + 40 + 40 + 40 + 40 + ...)
Tangga ke-2
Tangga ke-3
Tangga ke-4
Tangga ke-...
Tangga ke-80
Susunan banyak batu bata membentuk barisan aritmetika: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400,…. Cukup jelas, bahwa, u1 = 40 dan b = 40, maka u80 = 3200. Karena pertanyaan dalam masalah ini adalah banyak batu bata yang diperlukan untuk membuat 80 anak tangga, bukan banyak batu bata yang diperlukan membuat tangga ke-80 maka banyak batu bata harus dijumlahkan. 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 + 280 + 320 + 400 + ... + 3160 + 3200 sebanyak 80 suku
sn adalah jumlah n suku pertama pada barisan. Perhatikan pola berikut: (40 + 80) × 2 • s2 = 40 + 80 = = 120 2 (40 + 160) × 4 = 400 • s4 = 40 + 80 + 120 + 160 = 2 (40 + 240) × 6 = 840 • s6 = 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 = 2 (40 + 320) × 8 = 1440. • s8= 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 + 280 + 320 = 2 Jadi, untuk menghitung jumlah 80 suku pertama, dilakukan dengan pola di atas, s80 = 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 + 280 + 320 + 360 + 400 + … + 3160 + 3200 (40 + 3200) × 80 = = 129.000. 2 Jadi, banyak batu bata yang diperlukan untuk membuat 80 anak tangga adalah 129.000 buah batu bata. •
Untuk penjumlahan bilangan di atas, bagaimana cara yang kamu gunakan jika banyak bilangan yang akan dijumlahkan adalah ganjil?
Susunan jumlah suku-suku barisan aritmetika, dinyatakan sebagai berikut.
Matematika
193
s1 = u1 s2 = u1 + u2 s3 = u1 + u2 + u3 s4 = u1 + u2 + u3 + u4 ... s(n–1) = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + … + u(n–1) sn = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + … + u(n–1) + un n merupakan bilangan asli.
Definisi 6.2 Deret aritmetika adalah barisan jumlah n suku pertama barisan aritmetika, s1, s2, s3, ..., s(n–1), sn, … dengan sn = u1 + u2 + u3 + ... + u(n–1) + un
Untuk menentukan jumlah n suku pertama, ditentukan rumus berikut: sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n – 1)b) ……………. (1) Persamaan 1) diubah menjadi sn = (a + (n – 1)b) + … + (a + 2b) + (a + b) + a …………….. (2) Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2), diperoleh: 2sn = 2a + (n – 1)b + 2a + (n – 1)b + 2a + (n – 1)b + … + 2a + (n – 1)b 2sn = n (2a + (n – 1)b) 1 sn = n ( 2a + ( n − 1) b ) 2 Sifat-2 sn = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + … + un–1 + un merupakan jumlah n suku pertama barisan aritmetika, n n sn = (2a + (n – 1)b) = (u1 + un) 2 2
Contoh 6.7 Carilah jumlah bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 9! Penyelesaian Bilangan bulat yang habis dibagi 9 diantara 1 dan 100 adalah 9, 18, 27, …, 99 194
Kelas X
Bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika dengan a = 9, b = 9, dan un = 99. Selanjutnya akan ditentukan nilai n sebagai berikut: un = 99 ⇔ a + (n – 1)b = 99 ⇔ 9 + (n – 1)9 = 99 ⇔ 9 + 9n – 9 = 99 ⇔ 9n = 99 ⇔ n = 10 Jadi, banyak bilangan yang habis dibagi 9 diantara 1 dan 100 adalah 10. Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika diperoleh: 1 1 sn = n ( a + un ) atau s10 = (10)(9 + 99) = 540 2 2 Dengan demikian, 9 + 18 + 27 + 36 + 45 + … + 99 = 540.
Contoh 6.8 Diketahui a + (a + 1) + (a + 2) + ... + 50 = 1139. Jika a bilangan bulat positif, maka nilai a = ... Penyelesaian Suku ke-n barisan bilangan di atas adalah 50, sehingga un = a + (n – 1)b ⇔ 50 = a + (n – 1)1 ⇔ a = 51 – n. Jumlah n suku pertama adalah 1.139 sehingga n n sn = (2a + (n – 1)b) ⇔ 1139 = (2a + (n – 1)1), atau 2 2 ⇔ 2278 = n ( (2a + (n − 1) ) . Dengan mensubtitusikan a = 51– n, diperoleh n2 – 101n + 2278 = 0. •
Ingat kembali cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang telah kamu pelajari SMP.
n2 – 101n + 2278 = 0 ⇔ (n – 67).(n – 34) = 0. diperoleh, n = 67 atau n = 34. Jika nilai a bilangan bulat positif maka nilai yang memenuhi adalah n = 34 dengan nilai a = 17.
Matematika
195
Contoh 6.9 Diketahui deret aritmetika tingkat satu dengan sn adalah jumlah n suku pertama. Jika sn = (m3 – 1) n2 – (m2 + 2) n + m – 3, maka tentukanlah suku ke-10 pada barisan tersebut! Penyelesaian Dengan mengingat kembali rumus deret aritmetika tingkat satu: n b sn = (2a + (n – 1)b) = n2 + (a – b)n 2 2 maka sn = (m3 – 1) n2 – (m2 + 2) n + m – 3 akan menjadi deret aritmetika tingkat satu jika m – 3 = 0 atau m = 3 sehingga sn = (33 – 1) n2 – (32 + 2) n + (3 – 3) = 26n2 – 11n. Jadi, u10 = s10 – s9 = ( 26(102 ) − 11(10) ) − ( 26(92 ) − 11(9) ) = 2490– 2007 = 483.
Uji Kompetensi 6.1 1. Tentukan jumlah deret aritmetika berikut! a. 3 + 6 + 9 + 12 + ... sampai dengan 18 suku. b. 2 + 8 + 14 + 30 + ... sampai dengan 10 suku. c. 1 + 6 + 11 + 16 + ... sampai dengan 14 suku. d. 50 + 46 + 42 + 38 + ... sampai dengan 10 suku. e. –22 – 16 – 10 – 4 – ... sampai dengan 20 suku. 2. Tentukan banyak suku dan jumlah deret aritmetika berikut! a. 4 + 9 + 14 + 19 + ... + 104 b. 72 + 66 + 60 + 54 + ... + 12 c. –12 – 8 – 4 – 0 – ... – 128 d. –3 – 7 – 11 – 15 ... – 107 196
Kelas X
3. Tentukan banyak suku dari deret berikut! a. 6 + 9 + 12 + 15 + ... = 756 b. 56 + 51 + 46 + 41 + ... = – 36 c. 10 + 14 + 18 + 22 + ... = 640 4. Diketahui deret aritmetika dengan suku ke-7 dan suku ke-10 berturutturut adalah 25 dan 37. Tentukanlah jumlah 20 suku pertama! 5. Bila a, b, c merupakan suku berurutan yang membentuk barisan aritmetika, buktikan bahwa ketiga suku berurutan berikut ini juga membentuk barisan aritmetika 1 1 1 . , , bc ca ab
6. Tentukan banyak bilangan asli yang kurang dari 999 yang tidak habis dibagi 3 atau 5.
n ( n + 1) 1 + 2 + 3 + .. + n = b. 2
7. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 … Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2004 ? (bilangan ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2).
9. Pola A B B C C C D D D D A B B CCCDDDDABBCCCDD D D ... berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 2634?
8. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan persamaan berikut ini benar! a. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n (n + 1) =
.3 + 3.4 + ... + n ( n + 1) =
n ( n + 1) ( n + 2 ) 3
3
3
3
2
3
10. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 … Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2013? (bilangan ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2).
Projek Himpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret aritmatika dalam bidang fisika, teknologi informasi, dan masalah nyata di sekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret aritmatika di dalam pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas!
Matematika
197
3. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri Perhatikan susunan bilangan 1, 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8
u u2 u3 1 = = ... = n = . Jika nilai perbandingan dua suku beru1 u2 un −1 2 urutan dimisalkan r dan nilai suku pertama adalah a, maka susunan bilangan tersebut 1 1 1 1 1 1 1 dapat dinyatakan dengan 1,1,1 , , , , … 2 2 2 4 2 8 2 Perhatikan gambar berikut! Nilai perbandingan
Sehingga: • u1 = a = 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 • 1,1u2 = 1u,11. = ,1. , , , , , ⇔ ,u2 = u1.r = a.r 2 22 2 2 42 2 4 82 2 8 2 2 3 1 1111 1 11111 1 1111111 111 2 • 1,1u3 = 1u,121.,1= ,1.,, . = ,1. ⇔ , , , , , ,u3,= u2.r = a.r.r = a.r 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 8 4 2 2 2 8 2 8 2 2 2
23
3
1 1 1 111 111111 11 1 1 1 2 3 • 1,1u4 = u,3. =1,11., , . =, 1. , , ⇔ , u4 = u,3.r = a.r .r = a.r 2 2 2 224 222228 24 2 8 2 2 3 2 3 1 11 1 111 111 1 1 11 1 1 1 • 1,1u5 =u . = 1 1 1. . = 1. , , , , , , , u5 = ,u4.r = a.r3.r = a.r4 4 , ⇔ 2 22 2 224 222 28 24 2 8 2 Dari pola di atas, tentunya dengan mudah kamu pahami bahwa, un = un–1.r = a.rn–2 r = a.rn–1 198
Kelas X
Orlando memiliki selembar kertas. Berikut ini disajikan satu bagian kertas.
Gambar 6.12 Selembar Kertas
Ia melipat kertas tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Kertas terbagi menjadi 2 bagian yang sama besar.
Gambar 6.13 Selembar Kertas pada Lipatan Pertama
Kertas yang sedang terlipat ini, kemudian dilipat dua kembali olehnya. Kertas terbagi menjadi 4 bagian yang sama besar.
Gambar 6.14 Selembar Kertas pada Lipatan Kedua
Orlando terus melipat dua kertas yang sedang terlipat sebelumnya. Setelah melipat, ia membuka hasil lipatan dan ditemukan kertas tersebut terbagi menjadi 2 bagian. Perhatikan bagian kertas tersebut membentuk sebuah barisan bilangan yang disajikan sebagai berikut.
Setiap dua suku berurutan dari barisan bilangan tersebut memiliki perbandingan yang u u u sama, yaitu 2 = 3 = ... = n = 2. Barisan bilangan ini disebut barisan geometri. u1 u2 un −1
Matematika
199
Definisi 6.3 Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berurutan. Nilai r dinyatakan: r =
u u2 u3 u4 = = = ... n . u1 u2 u3 un −1
Sifat-3 Jika u1, u2 , u3, …, un merupakan susunan suku-suku barisan geometri, dengan u1 = a dan r adalah rasio, maka suku ke-n dinyatakan un = arn–1, n adalah bilangan asli. b. Deret Geometri Analog dengan konsep deret aritmetika, deret geometri juga penjumlahan bilangan-bilangan berurutan yang memiliki pola geometri. Cermati masalah di bawah ini!
Masalah-6.8 Sebuah bola jatuh dari gedung setinggi 3 meter ke lantai dan memantul kembali 4 setinggi kali dari tinggi sebelumnya 5 Tentukanlah panjang lintasan bola tersebut sampai pada pantulan ke-10!
Gambar 6.15 Pantulan Bola
Pandang dan amatilah kembali gambar di atas! Tampak pada Gambar 6.15 bahwa terdapat 2 kali lintasan bola yang sama tingginya setelah pantulan pertama. Misalkan a ketinggian awal bola dan misalkan t tinggi pantulan maka tinggi pantulan bola dapat diberikan pada tabel berikut. Tabel 6.6 Tinggi Pantulan Bola Pantulan ke ...
0
1
2
3
...
Tinggi pantulan (m)
3
12/5
48/25
192/125
...
Suku ke ...
u1
u2
u3
u4
...
• •
Coba kamu teruskan mengisi tabel pada pantulan berikutnya. Apakah mungkin terjadi ketinggian pantulan bola sama dengan nol? 200
Kelas X
Misalkan panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah S. S = u1 + 2 (u2 + u3 + u4 + ... + u10) ⇔ S = 2 (u1 + u2 + u3 + u4 + ... + u10) – u1 ⇔ S = 2s10 – u1 dimana Tabel 6.7 Deret Pantulan Bola
Deret
Jumlah suku-suku
Nilai
S1 S2
u1 u1 + u2
3
S3
u1 + u2 + u3
S4
u1 + u2 + u3 + u4
... Sn
... u1 + u2 + u3 + u4 ... + un
3+ 3+ 3+
12 9 25 − 16 = 3( ) = 3( ) 5 5 5
12 48 61 125 − 64 + = 3( ) = 3( ) 5 25 25 25
12 48 192 369 625 − 256 + + = 3( ) = 3( ) 5 25 125 125 125 ... ssn n = 3(
5n − 4n ) 5n −1
Berdasarkan Tabel 6.7 deret bilangan tersebut adalah sebuah barisan jumlah, 51 − 41 52 − 4 2 53 − 43 5n − 4 n . s1 , s2 , s3 , ..., sn , ... yaitu 3( 0 ), 3( ), 3 ( ), ..., 3 ( ) 5 51 52 5n −1 510 − 410 Sehingga s10 = 3( ) 59 Jadi, panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah S = 2s10 – u1 atau 510 − 410 S = 6( )−3 59 • Coba kamu diskusikan bersama temanmu untuk mencari panjang lintasan bola pantul jika dilemparkan ke atas setinggi 5 meter dan memantul setinggi 4/5 kali dari tinggi sebelumnya.
Matematika
201
Definisi 6.4 Deret geometri adalah barisan jumlah n suku pertama barisan geometri. Bentuk umum:
atau
sn = u1 + u2 + u3 + … + un
sn = a + ar + ar2 + … + arn – 1
dengan u1 = a dan r adalah rasio.
Sifat-4 Jika suatu deret geometri suku pertama adalah u1 = a, dan rasio = r, maka jumlah n suku pertama adalah a(1 − r n )a (1 − r na)(r n − 1)a (r n − 1) sn =i. sn = sn = , untuk sn = r < 1. r > r 1<.1. r > 1. 1− r r −1 r −1 1− r ssnn ==
aa((11−− rrnn)) aa((rrnn −−11)) ii. ssnn == , untuk rr <<11.. rr >>11.. 11−− rr rr −−11
iii. sn = na, untuk r = 1. Bukti: …………… (1) i. sn = a + ar + ar2 + … + arn–1 Dengan mengalihkan kedua ruas persamaan 1) dengan r, didapatkan Persamaan berikut. rsn = ar + ar2 + ar3 + … + arn …………… (2) Sekarang, selisih persamaan (1) dengan (2), diperoleh sn – rsn = (a + ar + ar2 + … + arn–1) – (ar + ar2 + ar3 + … + arn) sn(1 – r) = a – arn a − ar n sn = sn = 1− r
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah n sn = a (1 − r ) , r < 1. 1− r
ii. Untuk membuktikan prinsip ini, coba kamu kerjakan sebagai berikut.
202
Kelas X
Contoh 6.10 Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri berikut ini! 1 1 4 + 1 + + + ... 4 16 Penyelesaian Pertama harus ditentukan rasio deret bilangan tersebut. u2 u3 u4 1 r = = = = . u1 u2 u3 4 Karena r < 1, maka jumlah 10 suku pertama ditentukan melalui rumus, a (1 − r n ) sn = 1− r 1 10 4 1 − 4 = Akibatnya, s10 = 1 1 4
1 10 4 1 − 10 4 16 1 = − 1 . 3 3 2 4
Pertanyaan Kritis Perhatikan pola barisan bilangan berikut! a) 1, 3, 7, 9, … b) 1, 4, 9, 16, … c) 3, 1, 4, 2, 5, … Apakah barisan tersebut termasuk barisan aritmetika atau barisan geometri? Tentukanlah suku ke 10 dari pola barisan di atas!
Matematika
203
Uji Kompetensi 6.2 1. Untuk memeriksa sebuah barisan merupakan barisan geometri apakah cukup hanya dengan menentukan rasio dua suku berturutan? Jelaskan dengan menggunakan contoh! 2. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 3 dan suku kedua dikurangi 1, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 8, maka hasilnya menjadi 5 kali suku pertama. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut! 3. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya 30. Tentukan Hasil kali dari ketiga bilangan tersebut! 4. Suku-suku barisan geometri tak hingga adalah positif, jumlah u1 + u2 = 60, dan u3 + u4 = 15, tentukan jumlah suku barisan itu! 5. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 8m dan memantul kembali de 3 ngan ketinggian kali tinggi sebe5 lumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Berapakah jarak lintasan seluruhnya?
204
Kelas X
6. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 72 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 48, tentukan suku ke-3 deret tersebut! 7. Pertumbuhan penduduk biasanya dinyatakan dalam persen. Misalnya, pertumbuhan penduduk adalah 2% per tahun artinya jumlah penduduk bertambah sebesar 2% dari jumlah penduduk tahun sebelumnya. Pertambahan penduduk menjadi dua kali setiap 10 tahun. Jumlah penduduk desa pada awalnya 500 orang, berapakah jumlah penduduknya setelah 70 tahun apabila pertumbuhannya 2.5%? 8. Pertumbuhan ekonomi biasanya dalam persen. Misalnya, pertumbuhan ekonomi suatu negara sebesar 5% per tahun artinya terjadi pertambahan Produk Domestik Bruto (PDB) sebesar 5% dari PDB tahun sebelumnya. Berdasarkan analisis, ekonomi Indonesia akan mengalami pertumbuhan sebesar 6.5% per tahun selama tiga tahun ke depan. Tentukan PDB pada tahun ketiga apabila PDB tahun ini PDBnya sebesar 125 triliun rupiah. 9. Jika barisan x1, x2 , x3,… memenuhi
x1 + x2 + x3 + ... + xn = n3, untuk semua n bilangan asli, maka x100 = .... 10. Kenaikan harga barang-barang disebut inflasi. Berdasarkan analisis, ekonomi Indonesia akan mengalami inflasi sebesar 8% per tahun
selama 5 tahun mendatang. Apabila harga emas sekarang ini adalah Rp200.000,00 per gram, tentukan harga sabun tersebut empat tahun lagi.
Projek Himpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret geometri dalam bidang fisika, teknologi informasi dan masalah nyata di sekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret geometri di dalam pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.
D. PENUTUP Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi barisan dan deret, disajikan sebagai berikut. 1. Barisan bilangan adalah sebuah fungsi dengan domainnya himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real. 2. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda dua suku berurutan selalu tetap. 3. Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika. 4. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki hasil bagi dua suku berurutan adalah tetap. Hasil bagi dua suku berurutan disebut rasio. 5. Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. 6. Masih banyak jenis barisan yang akan kamu pelajari pada jenjang yang lebih tinggi, seperti barisan naik dan turun, barisan harmonik, barisan fibbonaci, dan lain sebagainya. Kamu dapat menggunakan sumber bacaan lain untuk lebih mendalami sifat-sifat barisan dan deret. Selanjutnya kita akan membahas materi persamaan dan fungsi kuadrat. Tentu kamu wajib mengulangi mempelajari materi persamaan linear, relasi, dan fungsi, sebab materi tersebut adalah prasyarat utama mempelajari persamaan dan fungsi kuadrat. Matematika
205
Bab
Persamaan dan Fungsi Kuadrat A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran persamaan siswa mampu: 1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari; 2. memahami persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya; 3. menganalisis persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian masalah kontekstual; 4. Memahami konsep dan prinsip persamaan dan fungsi kuadrat serta menggambarkan grafiknya dalam sistem koordinat; 5. memahami berbagai bentuk ekspresi yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dan mengidentifikasi sifatsifatnya; 6. menganalisis persamaan kuadrat dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat; 7. memahami persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan masalah nyata serta memeriksa kebenaran jawabannya; 8. menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa fungsi kuadrat.
• • • • • • • • • •
Persamaan Kuadrat Peubah Koefisien Konstanta Akar-akar Persamaan Fungsi kuadrat Parabola Sumbu Simetri Titik Puncak Nilai Maksimum dan Minimum
Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi fungsi kuadrat, siswa memperoleh pengalaman belajar: • menjelaskan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait dengan model matematika sebagai persamaan kuadrat; • merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat; • menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan; • menafsirkan hasil pemecahan masalah; • menuliskan ciri-ciri persamaan dan fungsi kuadrat. dari beberapa model matematika; • menuliskan konsep persamaan dan fungsi kuadrat. berdasarkan ciri-ciri yang ditemukan dengan bahasanya sendiri; • menurunkan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat berdasarkan konsep yang sudah dimiliki; • menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc; • menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat; • menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi kondisi tertentu; • menggunakan konsep dan prinsip persamaan kuadrat untuk memecahkan masalah otentik; • menentukan persamaan sumbu simetri dan titik puncak grafik fungsi kuadrat; • menggambarkan grafik fungsi kuadrat; • menentukan fungsi kuadrat, jika diberi tiga titik yang tidak segaris; • menjelaskan kaitan fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat; • menggunakan konsep dan prinsip fungsi kuadrat untuk memecahkan masalah otentik dan soal-soal.
B. PETA KONSEP
Matematika
207
C. MATERI PEMBELAJARAN I. PERSAMAAN KUADRAT 1. Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat Satu Peubah Banyak permasalahan dalam kehidupan yang pemecahannya terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Secara khusus keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip persamaan kuadrat, sering kita temukan dalam permasalahan kehidupan nyata yang menyatu/bersumber dari fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep persamaan kuadrat dapat dibangun/ditemukan di dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang diberikan, kamu cermati objek-objek budaya atau objek lingkungan budaya yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan. Objek-objek itu menjadi bahan aspirasi/inspirasi, karena terkadang ada konsep matematika melekat pada objek itu yang tidak kita sadari dan ternyata sebagai kata kunci dalam penyelesaian masalah. Demikian juga kamu tidak boleh mengabaikan atau melupakan konsep-konsep dan aturan-aturan matematika yang telah dipelajari sebelumnya, baik di tingkat SD, SMP, bahkan pada materi yang baru saja kamu pelajari. Dalam menyelesaikan masalah matematika, kamu bisa pada kesepakatan antara kamu dan teman-teman serta guru, saling terkait materinya, menggunakan variabelvariabel, bersifat abstrak sebab matematika adalah hasil abstraksi pemikiran manusia. Matematika menganut kebenaran konsistensi atau tidak boleh ada di dalamnya, unsurunsur, simbol-simbol, konsep-konsep, dan rumus-rumus yang saling bertentangan. Alat ukur kebenarannya, jika konsep yang ditemukan, ukuran kebenarannya apabila konsep tersebut diterima pada struktur matematika yang sudah ada sebelumnya. Jika prinsip (rumus-rumus, sifat-sifat) yang ditemukan, ukuran kebenarannya dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan konsep atau aturan yang sudah ada sebelumnya.
208
Kelas X
Masalah-7.1 Arsitek Ferdinand Silaban merancang sebuah rumah adat Batak di daerah Tuk-tuk di tepi Danau Toba. Ia menginginkan luas penampang atap bagian depan 12 m2. Di dalam penampang dibentuk sebuah persegi panjang tempat ornamen (ukiran) Batak dengan ukuran lebar 2 m dan tingginya 3 m. Bantulah Pak Silaban menentukan panjang alas penampang atap dan tinggi atap bagian depan!
Gambar 7.1 Rumah Adat
Pahamilah masalah di atas, artinya kamu tuliskan hal apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, dan sajikan/dekati masalah dalam gambar. Gunakan variabel untuk menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa saja yang terkait dengan masalah yang dihadapi supaya dapat terpecahkan. Perhatikan konsep apa yang melekat pada penampang depan atap rumah adat tersebut. Gunakan sebagai langkah awal untuk menyelesaikan masalah. Ingat kembali apa yang dimaksud dua bangun dikatakan kongruen dan lakukan perbandingan panjang sisi-sisi kedua bangun tersebut untuk memperoleh persamaan tinggi penampang atap. Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, bagaimana cara menentukan nilai variabel dengan menggunakan manipulasi aljabar pada persamaan yang diperoleh? Berdasarkan nilai variabel akan ditentukan tinggi penampang atap dan panjang alasnya. Alternatif Penyelesaian Diketahui: Luas penampang atap bagian depan 12 m2 Ukuran persegi panjang tempat ornamen adalah 3 m × 2 m Ditanya: a. Panjang alas penampang atap b. Tinggi atap
Matematika
209
Kamu ilustrasikan masalah di atas seperti gambar berikut!
• Memperhatikan konsep apa yang melekat pada penampang depan atap rumah adat tersebut.
Gambar 7.2 Penampang Atap Bagian atas
Kamu cermati segitiga sama kaki ABC dan lakukan hal berikut. Misalkan panjang AE = FB = x m. Karena penampang atap rumah berbentuk segitiga sama kaki, maka 1 Luas = × panjang alas × tinggi 2 1 1 Luas × panjang L = =× ( AE FB )××tinggi t + EF + alas 2 2 1 L == 1×t ((xAE 12 x) + FB ) × t + 2++EF 22 12 = = t1(1t (+x x+) 2 +................................................................................ (1) x) 12 GT 2 TB t 1+ x Perhatikan = CTB dan segitiga GFB. Kedua segitiga tersebut sebangun. 2 = =t (1 + x⇔ )segitiga 1GF 3 FB x GT 3TB t 1 + x + 3⇔ x = ⇒ t == GF FBx 3 x 3 + 3x 3 3x ⇒t = t= (2) x ................................................................................
x
(b)
Substitusikan persamaan 2) ke persamaan 1) sehingga diperoleh Sehingga diperoleh
12 = (
3 3x ) (1 + x) 12x = (3 + 3x) (1 + x) x 12x = 3 + 3x + 3x + 3x2 3x2 + 6x – 12x + 3 = 0
210
Kelas X
x2 - 2x + 1 = 0
3x2 - 6x + 3 = 0 (1)
Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, bagaimana cara
t= Sehingga diperoleh
(b)
x
3 3x diperoleh 12 =Sehingga ( ) (1 + x) 12x = (3 + 3x) (1 + x) x 3 3x 12 = ( ) (1 + x) +2x) 12x12x = 3 =+ (3 3x++3x) 3x +(13x x 2 + 6x=–312x = 0+ 3x2 3x 12x + 3x+ +3 3x x2 - 2x + 1 = 0
2 2 +3=0 3x - 6x 3x + 6x – 12x + 3 = 0
(1)
3x2 - 6x + 3 = 0
x2 - 2x + 1 = 0 ...................................................................................... (3) (1) Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, bagaimana cara
Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, bagaimana menentukan nilai-nilai x dengan melakukanmanipulasi manipulasi aljabar pada persamaan (1). cara menentukan nilai-nilai dengan melakukan pada di persamaan Ingat kembali materi xpersamaan kuadrat yang telahaljabar dipelajari SMP, bagaimana ca (3). Berdasarkan persamaan(1) (3)akan akanditentukan ditentukan nilai-nilai Berdasarkan persamaan nilai-nilaix.x
menentukan nilai-nilai x dengan melakukan manipulasi aljabar pada persamaan ( x - Berdasarkan 2x + 1 = 0 x2 - x – x + = 0 ditentukan nilai-nilai Apax makna dari a b = 0 persamaan (1)1 akan 2
x - 2x + 1 = 0 x(xx2– -1)x –– 1(x x + -1) 1 = =0 0 (x 1)–=1(x 0 -1) = 0 -1) x (x(x––1) 2
2 (x 0 – 1) = 0 –(x1)-1)= (x
x= (x 1 – 1)2 = 0
• Apa makna dari a × b = 0 dan apadan kaitannya dengan dengan apa kaitannya (x – 1) (x – Apa 1) = 0makna dari a b = 0
(x – 1) (x – 1) = 0 dan apa kaitannya dengan (x – 1) (x – 1) = 0
Dengan menggunakan nilai x akan ditentukan nilai t Dengan menggunakan nilai x =x1akan ditentukan nilai t. 33 − 33xxxakan Untuk 1 diperoleht t==nilai ==6.6.ditentukan nilai t Dengan Untuk x =x1=menggunakan diperoleh x x Sehingga diperolehpanjang panjang alas atap atap rumahrumah adalah adalah 4 m dan 4m dan 3 dan 3x tinggi penampang Sehingga diperoleh penampang 6. x = 1 diperoleh t = alas dan=tinggi 6Untuk m. x 6m. Sehingga diperoleh panjang alas dan tinggi penampang atap rumah adalah 4m dan Sering kita temui orangorang tua yang sudah lanjut usia, menghitungharga harga telur (banyak Sering kita temui tua yang sudah lanjut usia,mampu mampu menghitung telur 6m. (banyak telur, cukup banyak) tanpa menggunakan kalkulator dengan waktu cukup telur, cukup banyak)orang tanpa tersebut menggunakan kalkulator dengan waktu cukup singkat. singkat. Sementara tidaklanjut pernahusia, menduduki pendidikan. Sering kita temui orang tua tua yang sudah mampujenjang menghitung harga telur (bany Ternyataorang mereka dari leluhur cara menjumlahkan dan mengalikan Sementara tuamemiliki tersebutwarisan tidak pernah menduduki jenjang pendidikan. Ternyata mereka telur, cukup banyak) tanpa menggunakan kalkulator dengan bilangan. Agar kamu mengetahuinya, gunakan jari tanganmu dan pecahkanwaktu Masalahcukup singk memiliki warisan dari leluhur cara menjumlahkan dan mengalikan bilangan. Agar kamu 7.2 berikut. Sementara orang tua tersebut tidak pernah menduduki jenjang pendidikan. Ternyata mere mengetahuinya, gunakan jari tanganmu dan pecahkan masalah 7.2 berikut. memiliki warisan dari leluhur cara menjumlahkan dan mengalikan bilangan. Agar kam
Masalah-7.2
mengetahuinya, gunakan jari tanganmu dan pecahkan masalah 7.2 berikut.
Nenek moyang salah satu suku di Indonesia dalam melakukan operasi hitung penjumlahan dan perkalian mereka menggunakan basis lima dengan fakta bahwa banyak jari tangan kiri atau kanan adalah lima. Coba bantu temukan aturan perkalian untuk menentukan hasil kali bilangan x dan y dengan
BUKU PEGANGAN SISWA BUKU PEGANGAN SISWA
Matematika
211
227
227
a. 5 < x, y < 10, dengan x, y ∈ N b. x = 5 dan y ≥ 5, dengan x, y ∈ N
Gambar 7.3 Jari Tangan
Sebelum menemukan aturan perkalian bilangan-bilangan yang dibatasi pada bagian a) dan b), coba pilih dua bilangan x dan y, 5 < x, y < 10, dengan x, y ∈ N (misalnya, 6 × 8). Ingat apa arti basis 5, lakukan pencacahan bilangan 6 di jari tangan kiri dan bilangan 8 di jari tangan kanan. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut! 1) Setelah kamu mencacah satu kali bilangan x di tangan kiri, ada berapa banyak jari yang terpakai dan yang tidak terpakai pada pencacahan kedua kali? 2) Setelah kamu mencacah satu kali bilangan y di tangan kanan, ada berapa banyak jari yang terpakai dan yang tidak terpakai pada pencacahan kedua kali? 3) Berapa jumlah banyak jari yang terpakai pada tangan kiri dan banyak jari yang terpakai pada tangan kanan pada saat pencacahan kedua kali? 4) Berapa hasil kali jumlah jari yang terpakai di tangan kiri dan jari di tangan kanan dengan hasil pada langkah 3)? 5) Berapa banyak jari yang tidak terpakai di tangan kiri saat pencacahan kedua kali ? 6) Berapa banyak jari yang tidak terpakai di tangan kanan saat pencacahan kedua kali? 7) Berapa hasil kali bilangan pada langkah 5) dan 6)? 8) Berapa hasil jumlah bilangan pada langkah 4) dan 7) Berdasarkan 8 langkah penentuan hasil perkalian bilangan x dan y, bekerjasama dengan temanmu satu kelompok untuk menemukan aturan perkalian dua buah bilangan x dan y, 5 < x, y < 10, dengan x, y ∈ N.
212
Kelas X
Alternatif Penyelesaian Misalkan: z adalah bilangan basis (dalam contoh = 5) x = z + a, a < z y = z + b, b < z 1. hitung (a + b) 2. hitung (z + z ) = 2z 3. kalikan hasil langkah 1) dan 2), yaitu (a + b) 2z 4. hitung (z – a) 5. hitung (z – b) 6. kalikan hasil langkah 4) dan 5), yaitu (z – a) (z – b) 7. jumlahkan hasil langkah 3) dan 6), yaitu (a + b) 2z + (z – a) (z – b) 8. diperoleh x × y = (a + b) 2z + (z – a) (z – b), 5 < x, y < 10, x, y ∈ N Untuk contoh di atas diperoleh 6 × 8 = (a + b) 2z + (z – a)(z – b) 48 = 8z + (z – 1) (z – 3) (1) ∴ z2 + 4z - 45 = 0 ......................................................................
Latihan 7.1 Cermati aturan perkalian pada bagian a) dan mencoba menemukan aturan perkalian bilangan pada bagian b). Awali kerja kamu dengan memilih dua bilangan x = 5 dan y ≥ 5, dengan x, y ∈ N. Ingat apa arti basis 5, lakukan pencacahan bilangan x di jari tangan kiri dan bilangan y di jari tangan kanan.
Masalah-7.3 Pak Anas memiliki tambak ikan mas di hulu sungai yang berada di belakang rumahnya. Setiap pagi, ia pergi ke tambak tersebut naik perahu melalui sungai yang berada di belakang rumahnya. Dengan perahu memerlukan waktu 1 jam lebih lama menuju tambak dari pada pulangnya. Jika laju air sungai 4 km/jam dan jarak tambak dari rumah 6 km, berapa laju perahu dalam air yang tenang? Ilustrasi masalah dapat dicermati pada gambar berikut.
Gambar 7.4 Sungai
Matematika
213
2) Jika diasumsikan perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai ditujuan, apa yang dapat Selesaikanlah masalah di keadaan atas, agarperahu? pekerjaan kamu lebih efektif renungkan beberapa kamu simpulkan dari pertanyaan berikut. 3) Coba temukan bentuk perasamaan langkah masalahsaat tersebut? 1) Bagaimana kecepatan perahu saat kuadrat menuju dalam hulu sungai danpemecahan kecepatan perahu Pak Anas pulang? 2) Jika diasumsikan perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai ditujuan, apa Alternatif Penyelesaian yang dapat kamu simpulkan dari keadaan perahu? Misalkan kecepatan air sungaikuadrat dengan dalam Va = 4 langkah km/jam pemecahan masalah 3) Coba Vtemukan perasamaan a adalah bentuk tersebut? V adalah kecepatan perahu kehulu hu
hi adalah kecepatan perahu saat pulang Alternatif VPenyelesaian Misalkan VVta adalah adalahkecepatan kecepatanperahu air sungai dengan Va = 4 km/jam dalam air tenang Vhu adalah kecepatan perahu kehulu t1 adalah waktu yang diperlukan menuju Tambak Vhi adalah kecepatan perahu saat pulang yang perahu digunakan menuju rumah (pulang) 2 adalah adalahwaktu kecepatan dalam air tenang tV t St1adalah adalahjarak waktu yang diperlukan Tambak tambak dari rumah menuju Pak Anas t2 adalah waktu yang digunakan menuju rumah (pulang) BagaimanaSkecepatan perahu saat dari pergirumah kehulu dan saat menuju hilir (pulang)? adalah jarak tambak Pak Anas Bagaimana kecepatan saat pergi kehulu dan saat menuju hilir (pulang)? Kecepatan perahu saatperahu menuju hulu sungai Asahan menentang kecepatan air dan saat Pak Kecepatan perahu saat menuju hulu sungai menentang kecepatan air dan saat Pak Anas pulang, kecepatan perahu searah dengan kecepatan air sungai mengalir. Sehingga, Anas pulang, kecepatan perahu searah dengan kecepatan air sungai mengalir. Jika dimisalkan Vat = x km/jam Sehingga, Jika dimisalkan Vat = maka x km/jam maka V = x + 4 VVhu == xx –– 44 dan dan Vhihi = x + 4 hu Diasumsikan perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai di tujuan, berarti Diasumsikan perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai di tujuan berarti
x ≠ – 4 dan x ≠ 4. t1 - t2 =
S S =1 Vhu Vhi
6 6 =1 x- 4 x 4 6 (x + 4) – 6 (x – 4) = (x + 4) (x – 4) 6x + 24 - 6x + 24 = x2 + 4x – 4x - 16 48 = x2 – 16 x2 – 64 = 0
..................................................................................... (1)
(1)
x2 – 64 = 0 (x – 8) (x + 8) = 0 x - 8 = 0 atau x + 8 = 0
214
x = 8 atau x = -8
Kelas X
BUKU PEGANGAN SISWA
231
6 6 =1 x- 4 x 4 6 (x + 4) – 6 (x – 4) = (x + 4) (x – 4) 6x + 24 - 6x + 24 = x2 + 4x – 4x - 16 48 = x2 – 16 x2 – 64 = 0
(1)
2
x – 64 = 0 (x – 8) (x + 8) = 0 x - 8 = 0 atau x + 8 = 0 x = 8 atau x = -8
Kecepatan perahu di air tenang adalah Vat = x = 8 km/jam. Nilai x = –8 tidak berlaku sebab kecepatan perahu bergerak maju selalu bernilai positif. 231 BUKU PEGANGAN SISWA Kejadian dalam Masalah 7.4 yang akan dibahas, sering dialami oleh penggembala kerbau di tengah padang rumput yang penuh dengan pepohonan. Tentu kamu mengenal ketapel yang sering digunakan para petani untuk mengusir burung dikala padi sedang menguning. Mari kita temukan sebuah model matematika berupa persamaan kuadrat dari permasalahan berikut.
Masalah-7.4 Ronald anak Pak Sulaiman sedang asyik menunggang kerbau. Tiba-tiba ia melihat seekor burung yang berada di pohon dengan ketinggian 8m dari tanah. Ronald mengarahkan ketapelnya dengan sudut 30o, ternyata batu ketapel mengenai burung saat batu mencapai ketinggian maksimum. Berapa kecepatan batu bergerak? (gravitasi bumi = 10 m/det2). Ilustrasi masalah, dapat kamu cermati pada gambar di bawah ini.
Gambar 7.5 Posisi Burung di Pohon
Coba jelaskan pada temanmu pernyataan berikut. Pada Sumbu-x, batu bergerak lurus beraturan, apa artinya? Pada Sumbu-y, batu bergerak lurus berubah beraturan, apa artinya? Renungkan beberapa pertanyaan berikut, agar kamu lebih mudah memecahkan masalah. Matematika
215
1) Bagaimana hubungan kecepatan anak ketapel bergerak menuju burung dengan kecepatan anak ketapel arah vertikal? 2) Saat batu mencapai ketinggian maksimum dan mengenai burung, Bagaimana kecepatan 1) Bagaimana hubungan kecepatan anak ketapel bergerak menuju burung dengan batu (VyP) ?anak ketapel arah vertikal? kecepatan 2) Bagaimana Saat batu mencapai ketinggian maksimum (hmaks) anak dan mengenai burung,detiknya? 3) menentukan ketinggian yang dicapai ketapel setiap Bagaimana kecepatan batu (VyP) ? gravitasi bumi yang dalamdicapai hal ini anak ? 3) Bagaimana Bagaimanapengaruh menentukan ketinggian ketapel setiap detiknya? Bagaimana pengaruhanak gravitasi bumi dalam hal ini ? 4) Tentukan kecepatan ketapel dengan memanfaatkan apa yang diketahui dalam soal! 4) Tentukan kecepatan anak ketapel dengan memanfaatkan apa yang diketahui dalam soal! Diketahui: hmax = 8m dan = 300 Alternatif Penyelesaian V0x = V0 cos ; V0y = V0 sin o Diketahui: hmaks = 8 m dan a = 30 Pada Sumbu-x, Vox = V cos a; Vbatu = Vbergerak sin a lurus beraturan o oy o Pada Sumbu-x, Pada Sumbu-y, batu batu bergerak bergerak lurus lurusberaturan berubah beraturan Pada Sumbu-y, batu bergerak lurus berubah beraturan Saat batu mencapai mencapai ketinggian ketinggian maksimum maksimumdan danmengenai mengenaiburung, burung,VVyP= =0 0 yP
VyP = V0y – gt 0 = V0y – gt toP = toP = hmax = V0y toP –
V0 y • Apa dimaksud ketinggian Apayangyang dimaksud ketinggian maksimum yang dicapai anak maksimum yang dicapai anak ketapel. ketapel. Bagaimana kecepatan Bagaimana kecepatan anak ketapel saat anak ketapel saat mencapai mencapai ketinggian maksimum ketinggian maksimum
g V0 sin α g
1 2 gt oP 2
V sin α 1 V0 sin α = V0 sin 0 – g g 2 g hmax =
2
1 V0 sin α 2 g
2
Untuk hmax = 8 m, = 300, dan g = 10 m/det2 diperoleh
2 1 V0 sin 30 0 1 V0 sin α hmax = 8= 2 10 2 g
8= 216
1 14 V02 2 10
2
Kelas X
BUKU PEGANGAN SISWA
233
8= V02 - 640 = 0
1 2 V0 80
.......................................................................................... (1)
V02 - 640 = 0 (V0 +
(V0 +
(1)
640 )(V0 - 640 ) = 0 640 ) = 0 atau (V0 - 640 ) = 0
V0 = - 640 atau V0 = 640 V0 = - 8 10 atau V0 = 8 10 Jadi kecepatan batubatu (anak) ketapel meluncur adalahadalah V0 = 8 V10 Jadi kecepatan (anak) ketapel meluncur 8 10 m/det. 0 =m/det. • Bagaimana untuk V0 = - 8 10 m/det, apakah berlaku? 10 kecepatan untuk V0 = - 8sebab m/det, apakah berlaku? V0 = - Bagaimana anak ketapel bergerak arah ke atas 8 10 m/det tidak berlaku (positif).
V0 = - 8 10 m/det tidak berlaku sebab kecepatan anak ketapel bergerak arah ke
• (positif). Temukan persamaan kuadrat pada langkah pemecahan Masalah 7.1, 7.2, 7.3, danTemukan 7.4 persamaan kuadrat pada langkah pemecahan masalah 7.1, 7.2, 7.3, dan 7.
• x2 – 2x 2 +1=0
• z2 + 24z – 45 = 0
• 3z2 + 22z – 85 = 0
• x2 – 64 = 0
x -3x+2=0
z + 4z - 45 = 0 3z + 2z - 85 = 0 2 x2 – 64 = 0
• v0 – 640 = 0 V 2 - 640 = 0 • Tuliskan0ciri-ciri dari persamaan kuadrat secara individual dan diskusikan dengan teman secara klasikal. Tuliskan ciri-ciri dari persamaan kuadrat secara individual dan mendiskusika
Ciri-ciri persamaan kuadrat. dengan teman secara klasikal. • Sebuah persamaan • Pangkat tertinggi peubahnya adalah 2 dan pangkat terendah adalah 0 kuadrat. • Ciri-ciri Koefisienpersamaan variabelnya adalah bilangan real • Koefisien berpangkat 2, tidak sama dengan nol Sebuahvariabel persamaan • Koefisien berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0. terendah adalah 0 Pangkatvariabel tertinggi peubahnya adalah 2 dan pangkat
Koefisien variabelnya adalah bilangan real Matematika Koefisien variabel berpangkat 2, tidak sama dengan nol
Koefisien variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0.
217
Berdasarkan ciri-ciri persamaan kuadrat di atas, coba kamu tuliskan pengertian persamaan kuadrat dengan kata-katamu sendiri dan diskusikan hasilnya dengan temanmu secara klasikal. Dari hasil diskusi siswa secara klasikal ditetapkan didefinisi berikut.
Definisi 7.1 Persamaan kuadrat dalam x adalah suatu persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0.
Keterangan: x adalah variabel atau peubah a adalah koefisien dari x2 b adalah koefisien dari x c adalah konstanta persamaan
Contoh 7.1 Persamaan 2x + 5 = 0, bukan persamaan kuadrat sebab persamaan 2x + 5 = 0 dapat dibentuk menjadi persamaan 0x2 + 2x + 5 = 0, tetapi koefisien x2 adalah nol. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan 2x + 5 = 0 tidak memenuhi syarat Definisi 7.1, sebab koefisien x2 adalah 0. Persamaan 2x + 5 = 0 adalah persamaan linear satu peubah.
Contoh 7.2 Sebuah bola bergerak dari ketinggian h m. Ketinggian bola dari tanah untuk setiap detiknya ditentukan fungsi waktu h(t) = 20t – 5t2. Saat bola tiba di atas tanah, apa yang kamu temukan? Penyelesaian Saat bola tiba di atas tanah, h(t) = 0. h(t) = 0 ⇒ h(t) = 20t – 5t2 = 0. Persamaan 20t – 5t2 = 0 termasuk persamaan kuadrat sebab persamaan 20t – 5t2 = 0 dapat ditulis menjadi -5t2 + 20t + 0 = 0, dengan koefisien a = -5 ≠ 0, b = 20 dan c = 0. Berdasarkan Definisi 7.1 persamaan 20t – 5t2 = 0 merupakan persamaan kuadrat dengan satu variabel, yaitu t.
218
Kelas X
Contoh 7.3 Persamaan x2 + y2 – 2x + 5 = 0, bukan persamaan kuadrat satu peubah sebab persamaan tersebut memuat dua peubah, yaitu x dan y.
Latihan 7.2 Di depan sebuah sekolah akan dibangun lapangan bola basket. Tanah kosong yang tersedia berukuran 60 m × 30 m. Karena dana terbatas, maka luas lapangan yang direncanakan adalah 1000 m2. Untuk memperoleh luas yang diinginkan, ukuran panjang tanah dikurangi x m dan ukuran lebar dikurangi x m. Dapatkah kamu menemukan sebuah persamaan kuadrat dari masalah ini?
Uji Kompetensi 7.1 1. Apakah persamaan yang diberikan merupakan persamaan kuadrat? Berikan alasanmu! a. x2y = 0, y ∈ R, y ≠ 0. 1 b. x + = 0, x ≠ 0. x 2. Robert berangkat kesekolah mengenderai sepeda. Jarak sekolah dari rumahnya 12 km. Robert berangkat dengan kecepatan awal sepeda bergerak 7 km/jam. Karena Robert semakin lelah, kecepatan sepedanya mengalami perlambatan 2 km/jam. Berapa lama waktu yang digunakan Robert sampai di sekolah. 3. Pada sebuah kerucut lingkaran tegak diketahui bahwa: penambahan volume karena jari-jarinya ber-
tambah sepanjang 24 cm sama dengan penambahan volume karena tingginya bertambah 24 cm. Jika tinggi semula kerucut 3 cm, berapakah jari-jari kerucut semula ? 4. Dua buah jenis printer komputer akan digunakan untuk mencetak satu set buku. Jenis printer pertama, 1 x jam lebih cepat dari jenis printer kedua untuk menyelesaikan cetakan satu set buku. Jika kedua jenis printer digunakan sekaligus, maka waktu yang digunakan untuk mencetak satu set buku adalah 4 jam. Berapa waktu yang dibutuhkan printer jenis kedua untuk mencetak satu set buku.
Matematika
219
untuk mencetak satu set buku adalah 4 jam. Berapa waktu yang dibutuhkan print kedua untuk mencetak satu set buku. 5. Jika
maka nilai terbesar yang mungkin dari adalah. . . .
) adalah. . . . 6. Jika , maka nilai dari ( 5. Jika a2 + a – 3 = 0, maka nilai terbesar 7. Bentuk faktorisasi dari : 4kn + 6ak + adalah. . . 4a2+9988 dari : 6an + 9a2 adalah. . . yang mungkin 7. dariBentuk a3 + faktorisasi adalah. . . . 8. Jika a + b + c =, maka 0 dengan a, b, c ≠ 0, 8. Jika 6. Jika a3 + b3 = 637 dan a + b = 13, maka nilai maka nilai dari (a–b)2 adalah. . . . ) ( ) ( )] [ (
Projek
Rancanglah minimal dua masalah nyata di lingkungan sekitarmu yang terkait dengan persamaan kuadrat dan berilah penyelesaian kedua masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas. b. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Ada beberapa cara (aturan) menentukan akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat. Aturan tersebut seluruhnya diturunkan dari konsep (Definisi-7.1) yang telah kita temukan. Aturan tersebut antara lain, cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus ABC. Ketiga aturan ini memiliki kelebihan dan kelemahan terkait dengan efisiensi waktu yang digunakan untuk menentukan akar-akar sebuah persamaan kuadrat. Agar lebih terarah pembahasan kita, mari kita coba memecahkan masalah-masalah yang diberikan. 1) Cara Pemfaktoran
Latihan 7.3
BUKU PEGANGAN SISWA
Temukan pola atau aturan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menemukan rumus ABC berdasarkan konsep persamaan kuadrat untuk menentukan akar-akarnya (harga-harga x yang memenuhi persamaan). Selesaikanlah masalah di atas, agar pekerjaan kamu lebih efektif pahamilah beberapa pertanyaan berikut! a) Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan? Berdasarkan Definisi-7.1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Nilai x dapat kita tentukan dengan cara
220
Kelas X
Temukan pola atau aturan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menemukan rumus ABC berdasarkan konsep persamaan kuadrat untuk menentukan akarakarnya (harga-harga x yang memenuhi persamaan). Selesaikanlah masalah di atas, agar pekerjaan kamu lebih efektif pahamilah beberapa pertanyaan berikut! a) Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan? Berdasarkan Definisi-7.1, kita memiliki pemfaktoran. Cara pemfaktoran dapat kita lakukan dengan memperhatikan koefisien x2, x, dan konstanta bentuk umum persamaan kuadrat c. ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real b) Ada berapa kasus yang dapat kamu pilah agar pemfaktoran persamaan kuadrat dan a ≠ 0. Nilai x dapat kita tentukan dengan cara pemfaktoran. Cara pemfaktoran dapat dapat terwakili seluruhnya. kita lakukan dengan memperhatikan koefisien x2, x, dan konstanta c. b) Ada Contoh berapa kasus yang dapat kamu pilah agar pemfaktoran persamaan kuadrat dapat 7.4 terwakili seluruhnya. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 3z2 + 2z – 85 = 0 dengan cara pemfaktoran. c) Perhatikan masalah 7.2 bagian b), kita telah peroleh persamaan kuadrat 3z2 + 2z - 85 = Penyelesaian 0. Untuk menentukan harga z yang memenuhi sebagai berikut.
3z2 + 2z - 85 =
1 ( 9z2 + 6z - 255) = 0 3
1 ( 9z2 + 3(17 - 15)z + (17 (-15)) = 0 3
1 ((9z2 + 51z) - (45z + 255)) = 0 3
= 17 m =m17 n = n = -15–15 m +mn+=n2==2b= b = –255 m mn×=n-255 = ac= ac
1 ((3z + 17)3z - 15(3z + 17)) = 0 3
(3z +SISWA 17)(3z – 15) = 0 atau (3z + 17)(z – 5) = 0 238 BUKU PEGANGAN −17 17 −17 Harga-harga z yang memenuhi memenuhi adalah 5 atau himpunan penyelesaian Harga-harga adalahzz == atau z =, 55. Sehingga himpunan penye33 3
−17 17 −17 2 = 0 adalah Hp = - 85 persamaan 3z2 + 2z 3z lesaian persamaan + 2z – 85 = 0 adalah , 5 , 5 . 3 3 3 . 2) Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
2) Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Untuk menemukan aturan penentuan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara
Untuk menemukan aturan penentuan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara
melengkapkan kuadrat sempurna cermati beberapa pertanyaan berikut.berikut. melengkapkan kuadrat sempurna cermati beberapa pertanyaan a) a) ApaApa yangyang dimaksud melengkapkan kuadrat sempurna ? dimaksud melengkapkan kuadrat sempurna?
2 2 + 2b)2 = a2 + 2ab Apakah kamu masih pelajaran di bahwa SMP bahwa b) b) Apakah kamu masih ingatingat pelajaran di SMP (a + b)2 (a = a + 2ab + b2 + b ?
c) Dapatkah kamu membentuk persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, dengan a, b, c
2 c) Dapatkah membentuk kuadrat ax(a ++bxb)+2 =c a=2 0, 2 b, c adalah adalahkamu bilangan real danpersamaan a ≠ 0 dalam bentuk + dengan 2ab + ba, ? 2 2 2 d) Apakah persamaan kuadrat akarnya dengan bilangan real seluruh dan a ≠ 0bentuk dalam bentuk (a + b) = a + dapat 2ab + bditentukan .
teknik kuadrat sempurna?
d) Apakah seluruh bentuk persamaan kuadrat dapat ditentukan akarnya dengan teknik kuadrat sempurna ? Berdasarkan
Definisi-7.1,
kita
memiliki
bentuk
umum
Matematika
persamaan
ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Untuk a = 1 ax2 + bx + c = 0 x2 + bx + c - c = 0 – c 2
2
221 kuadrat
b) Apakah kamu masih ingat pelajaran di SMP bahwa (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 c) Dapatkah kamu membentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah c) Dapatkah kamu membentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dalam bentuk (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. bilangan real dan a ≠ 0 dalam bentuk (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. d) Apakah seluruh bentuk persamaan kuadrat dapat ditentukan akarnya dengan teknik d) Apakah seluruh bentuk persamaan kuadrat dapat ditentukan akarnya dengan teknik kuadrat sempurna ? kuadrat sempurna ? Berdasarkan Definisi-7.1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat Berdasarkan Definisi-7.1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat Definisi-7.1, kita memiliki bentuk umum +2 c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠persamaan 0. Untuk akuadrat =1 ax2 + bxBerdasarkan 2 ax + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. a = 1, 1 ax + bx +2 c = 0, dengan a, b,2 c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Untuk a = Untuk ax + bx + c = 0 x + bx + c - c = 0 – c ax2 + bx + c = 0 x2 + bx + c - c =20 – c 2 1 1 x2 + bx + b 2 = b 2 – c 1 1 x2 + bx + 2 b = 2 b – c 2 2 2 1 2 1 2 (x + b) = 1 b – c 1 (x + 2 b)2 = 2 b – c 2 2 1 (x + b) = 1 (x + 2 b) = 2 1 x =- b 1 x =-2b 2
2
2
1 1 2 1 b c , jika 1 b 2 c 0 2 b c , jika 2 b c 0 2 2 2 2 1 1 2 1 b c , jika 1 b 2 c 0 2 b c , jika 2 b c 0 2 2
3) Menggunakan Rumus ABC Masih ingatkah kamu rumus abc waktu belajar persamaan kuadrat di SMP? Darimana rumus itu diturunkan? Bagaimana cara menemukannya?. Untuk itu beberapa pertanyaan berikut. 239 BUKU perhatikan PEGANGAN SISWA
239 BUKU PEGANGAN SISWA a) Dapatkah kamu membagi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan koefisien a? mengapa? b) Setelah kamu membagi persamaan dengan koefisien a, dapatkah kamu melakukan manipulasi aljabar untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna? c) Bagaimana memanipulasi dan menyederhanakan persamaan agar diperoleh nilai x1 dan x2? d) Akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan, dapatkah kamu membedakan jenis akar-akar itu dari segi jenis bilangannya dan nilainya? Apa yang membedakan akar-akar tersebut? e) Temukanlah jenis-jenis akar-akar persamaan kuadrat dilihat dari nilai diskriminan. Berdasarkan Definisi-7.1, bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.
222
Kelas X
Minta siswa siswa menemukan menemukan rumus rumus abc, abc, bagaimana bagaimana cara cara menentukan menentukan nilai-nilai nilai-nilai xx yang yang Minta memenuhi persamaan persamaan dengan dengan rumus rumus abc. abc. Diharapkan Diharapkan jawaban jawaban siswa siswa sebagai sebagai memenuhi berikut. berikut. Berdasarkan Definisi-7.1, Definisi-7.1, bentuk bentuk umum umum persamaan persamaan kuadrat kuadrat ax ax222 ++ bx bx ++ cc == 0, 0, Berdasarkan dengan a, a, b, b, cc adalah adalah bilangan bilangan real real dan dan aa ≠≠ 0. 0. dengan bb cc cc bb ax222 + bx + 0, aaa ≠ xxx222 + xxx222 + ax ax ++ bx bx ++ ccc = == 0, 0, ≠≠ 000 ++ xxx + ++ = == 000 ++ xxx + ++ = == 000 aa
aa
aa
22
Menyuruh siswa siswa Menyuruh melakukan melakukan manipulasi manipulasi aljabar, aljabar,
dengan dengan
mengingat sifat sifat mengingat persamaan. persamaan.
aa
22
cc bb 2 bb bb 2 x + xxx + ++ = == --- + ++ aa 22aa aa 22aa xx222 ++
bb 222 (x (x + ))) = == (x ++ 22aa
22
bb 2 cc -- 22aa aa
bb (x (x + ))) = == (x ++
bb222 44ac ac 222 44aa
11 bb xxx = == ---
ac bb222 44ac
22aa
22aa
22aa 22
ac bb bb2 44ac x x 111,,,222 22aa
Sifat-1
222
Persamaan kuadrat axbx ++ 0, dengan dengan a,cb, b,bilangan adalah bilangan real dan dan Persamaan kuadrat == 0, a, cc adalah bilangan Persamaan kuadrat ax2 +ax + bx cbx=++0,ccdengan a, b, dan real dan a ≠ real 0, maka persamaan tersebut adalah maka rumus abc abc untuk menentukan akar-akar akar-akar persamaan persamaan tersebut tersebut aa ≠≠akar-akar 00,, maka rumus untuk menentukan a ≠ 0, maka rumus abc untuk menentukan akar-akar persamaan tersebut
−b ± b 2 − 4ac ac bb. bb222 44ac adalah xx 2a adalah
x1, 2 =
adalah x111,,,222
22aa
c. Menemukan Rumus Untuk Menentukan Hasil Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Suruh siswa siswa mencermati mencermati nilai nilai diskriminan diskriminan dan dan menentukan menentukan sifat-sifat sifat-sifat akar akar sebuah sebuah Suruh
Akar-akar sebuah persamaan kuadrat dapat dijumlahkan atau dikalikan. persamaanmenentukan kuadrat. Diharapkan Diharapkan siswa dapatkali menemukan hal kaitannya berikut. dengan persamaan kuadrat. siswa menemukan hal berikut. Bagaimana hasil jumlah dan dapat hasil akar-akar dan koefisien-koefisien persamaan kuadrat tersebut? Untuk itu selesaikanlah masalah Sifat akar-akar akar-akar persamaan persamaan kuadrat kuadrat dapat dapat ditinjau ditinjau dari dari nilai nilai diskriminan, diskriminan, yaitu yaitu Sifat berikut.
D D
4ac. Sifat Sifat akar-akar akar-akar tersebut tersebut adalah. adalah. == bb222 –– 4ac. = b – 4ac. Sifat akar-akar tersebut adalah.
Temukan aturan (rumus) menentukan hasil dan hasil kali akar-akar 1) jika jika D >> 0, 0, maka maka persamaan persamaan kuadrat kuadrat ax ax222 ++ bx bxjumlah 0, dengan dengan a, a, b, b, cc adalah adalah bilangan bilangan 1) D ++ cc == 0, persamaan kuadrat!
real dan dan aa ≠≠ 00 memiliki memiliki dua dua akar akar real real yang yang berbeda. berbeda. Misalkan Misalkan kedua kedua akar akar tersebut tersebut xx111 real dan xx222,, maka maka xx111 ≠≠ xx222.. dan Matematika
BUKU PETUNJUK PETUNJUK GURU GURU BUKU BUKU PETUNJUK GURU
223
252 252 252
Selesaikanlah masalah di atas, lakukan tugas bersama temanmu satu kelompok. Beberapa pertanyaan yang kamu harus cermati untuk menemukan rumusaturan hasil jumlah a) Dapatkah kamu menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan yang sudah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat antara lain: milikikamu ? Aturan mana yang kamupersamaan pilih darikuadrat tiga cara di atas terkait a) kamu Dapatkah menentukan akar-akar dengan aturan yangdengan sudah kamu miliki? Aturan mana yang kamu pilih dari tiga cara di atas terkait menemukan rumus hasilrumus jumlah dan jumlah hasil kalidan akar-akar persamaan kuadrat? dengan menemukan hasil hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? b) Bagaimana syarat menjumlahkan dan mengalikan dua bentuk akar ? b) Bagaimana syarat menjumlahkan dan mengalikan dua bentuk akar? c) Dapatkah kuadrat c) Dapatkahkamu kamumenyatakan menyatakanhasil hasiljumlah jumlahdan danhasil hasilkali kaliakar-akar akar-akarpersamaan persamaan kuadrat dalam koefisien-koefisien dalam koefisien-koefisien persamaanpersamaan tersebut? tersebut? Alternatif Penyelesaian Alternatif Penyelesaian Berdasarkan rumus rumusABC ABCdi diatas, atas,akar-akar akar-akarpersamaan persamaankuadrat kuadratadalah adalah Berdasarkan
x1
b b 2 4ac b b 2 4ac dan x2 2a 2a
a. Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat x1 + x2 =
b b 2 4ac b b 2 4ac + 2a 2a
x1 + x2 =
b a
b. Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
b b 2 4ac x1 x2 = 2 a x1 x2 =
b 2 (b 2 4ac) 4a 2
x1 x2 =
c a
b b 2 4ac 2 a
Berdasarkan kedua rumus di atas, disimpulkan Persamaan kuadrat
ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real
dan a ≠ 0 dengan akar-akar x1 dan x2, maka diperoleh 224 Kelas X b c x1 + x2 = dan x1 x2 = a a
Berdasarkan kedua rumus di atas, disimpulkan Sifat-2 Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dengan akar-akar x1 dan x2, maka diperoleh −b c x1 + x2 = dan x1 × x2 = a a d. Persamaan Kuadrat Dengan Akar-akar x1 dan x2 Jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2, maka kita dapat menemukan persamaan kuadratnya. Sehingga permasalahan kita saat ini adalah sebagai berikut. Temukan aturan untuk menentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2. Selesaikanlah masalah di atas, lakukan bersama temanmu satu kelompok. Agar pekerjaan kamu lebih efektif pahamilah beberapa pertanyaan berikut a) Bagaimana kamu akan mengkonstruk sebuah persamaan kuadrat dengan Mengarahkan siswa menemukan persamaan kuadrat, jika diketahui akar-akarnya akar-akar yang diberikan? dengan memanfaatkan rumushasil hasiljumlah jumlahdan danrumus hasil hasil kali akar-akar persamaan yang b) Apa keterkaitan rumus kali akar-akar yang diberikan?
diinginkan. Diharapkan siswa dapat melakukan hal berikut.
Jika Jika diketahui akar-akar danx2 xmaka menemukan 2 maka diketahui akar-akarpersamaan persamaan kuadrat kuadrat xx11dan kitakita dapatdapat menemukan
persamaan kuadratnya. Berdasarkan definisi-1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadratnya. Berdasarkan definisi-1, kita memiliki bentuk umum persamaan 2 persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.
kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan ba, b, cc adalah bilangan real dan a ≠ 0
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ⇒ x2 + x + = 0 b cc a ax + bx + c = 0, a ≠ 0 x2 + 2x + =0 ⇒ x – (x a a1 + x2)x + x1 × x2 = 0 2
– x1)x –x2 (x – x1) = 0 x2 –⇒x(x 1 x 2 x + x1 x 2 = 0 ⇒ (x – x )(x – x ) = 0 (x – x1) x – x12 (x – x21) = 0
Sifat-3
b a c x1 x2 = a
x1 + x2 =
(x -– x1)(x – x2) = 0
Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x2 adalah (x – x1)(x – x2) = 0.
Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x2 adalah
(x - x1)(x – x2) = 0 Matematika
225
a. Berapa jam waktu yang digunakan mesin jenis pert padi.
Uji Kompetensi 7.2
50 m
50 m
50 m
50 m
50 m
50 m
E
D
505050 mmm
b. Berapa jam waktu yangdigunakan digunakan mesinjenis jenis Berapa jam jam waktu ked b.b. Berapa waktu yang yang digunakanmesin mesin jenis padi. padi. padi. mesin kedua untuk menggiling p b.digunakan Berapa yang digunakan mesin jenissatu kedu 4x +waktu 2m = yang 0 5. Jika a2 +jam a – waktu 3 =jenis 0, maka nilai terbesar 1. Persamaan b. (m Berapa – 1)x2 +jam 5.5. Jika makanilai nilaiterbesar terbesaryang yang mungk maka mungkin Jika Jika mempunyai akar-akar yang mungkin dari maka nilai terbesar yang mungk padi. real. Tentukan 5. padi. b. Berapa jam waktu yang b.digunakan mesin jenisyang kedua untuk menggiling sa Berapa jam waktu mesin jenis nilai mb.yang memenuhi! a3 +4 a2 + 9988 adalah .... 2 . digunakan adalah. . . jamDengan waktu Akar-akar yang digunakan mesin jenis kedua untuk menggiling satu peti adalah. . . 5.Berapa Jika maka nilai terbesar yang mungkin dari dan x Persamaan (m – 1)x + 4x + 2m = 1. Persamaan Kuadrat x 1 2 adalah. . didirikan . terbesar . 5. 6. Jika maka nilai yang mungkin d padi. Pada sebidang tanah akan padi. 2. Jika a dan b adalah akar-akar padi. 0 mempunyai akar-akar2real. Tentukan nilai msebuah yang memenuhi! sekolah SD. Bentuk tanah 5.Persamaan Jika ax + terbesar yang mungkin dari terbesar persamaan + adalah. c2 =+ 0, . nilai (mbx– 1)x 4xmaka +. .6. 2m = Dengan Akar-akar x1 dan x2kuadrat adalah. . .dilihat .didirikan 5. Jika maka nilai yang mungk 6. Pada sebidang tanah akan sebuah sekolah SD. 2 dan ukuran pada Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah S adalah akar-akar persamaan + bxmungkin +tanah ctanah = 0,dapat tunjukkan bahwa 2. Jika maka nilaikuadrat terbesar yang dari 5. dan Jikabahwa tunjukkan 6. Padaaxsebidang akan didirikan sebuah sekolah S gambar. r real. Tentukan nilai m yang memenuhi! dapat dilihat pada gambar. adalah. . dapat .. dilihat pada gambar. adalah. . . . tanah dan ukuran tan dapatsebuah dilihat b 4 sebidang 4ab 2 c 2adalah. a 2 c 2 akan b 2 sekolah pada 4ac gambar. 6. tanah didirikan SD. Bentuk 4 4 2 Pada 2 C . . . 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD. B ar-akar persamaana.kuadrat tunjukkan bahwa + ax =+ bx + c = 0, b. ( ) = C Berapakah ukuran 2 4 Berapakah ukurab C a a Berapakah ukura dapat 2 2 dilihat pada gambar. dapat dilihat pada gambar. bangunan 1500 sebidang tanah akan6.didirikan sebuah tanah sekolah SD.didirikan Bentukluas tanah dan ukuran c 2a 2 c 2 4ac 2 2 6. b Pada Pada sebidang akan sebuah sekolah S luas bangunan 15 3. Akar-akar persamaan kuadrat x 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Temukan persamaan b. ( - ) = C 2 4 luas bangunan 15 C Berapakah ukuran bangunan sekolah agar 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk tanah dan ukuran tanah a dilihat pada gambar. a Berapakah ukuran ba dapat E F dilihat pada gambar. kuadrat yang akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2)!dapat E 3. +Akar-akar persamaan – Fluas bangunan 1500 E m2? dilihat gambar.x2 persamaan Cpada kuadrat x2 - 2x 5 = 0dapat adalah p dan q.kuadrat Temukan luas bangunan 1500 FC untuk Berapakah ukuransatu bangunan sekolah agar 4. Dua buah jenis mesin penggiling padi digunakan menggiling peti padi. Berapakah ukura 2x + 5 = 0Cadalah p dan q. Temukan nya (p + 2) dan (q + 2)! 2 Berapakah ukuran bangunan sekolah agar D B E A luas bangunan 1500 m ? persamaan kuadrat yang akarE F 100 m luas bangunan 1 F pertama D12 jam Bdari mesin A menggiling satu peti lebih cepatD n penggiling padiUntuk digunakan menggiling satumesin peti jenis padi.luas akarnya (p +untuk 2) dan (q + 2)!padi, Abangunan 100 m 1500 m2 ? B 100 m E F E 4. Dua buah jenis mesin penggiling 1 F sekaligus, , nilai dari 7. D B A jenis kedua. Sementara jika kedua mesin digunakan dapat menggiling satu D B u peti padi, mesin padi jenis digunakan pertama lebih cepat jam dari mesin E A 100menggiling m2 untuk F 7. , nilai dari 100 m , nilai dari peti jam. menggiling D 7.8. Jika √ satupadi petiselama padi.6 Untuk A dapat menggiling satuB A√ D B√ a jika kedua mesinsatu digunakan sekaligus, 100 m 8. Jika untuk √ peti7. padi, mesin jenis pertama 100untuk m menggiling √satu peti , nilaiD dari 7.Bmesin a. Berapa jenis√pertama 8. Jika , nilai dari Ajam waktu yang digunakan untuk ad √ √ m mesin jenis dari lebih cepat 1 jam100 untuk padi.8. Jika 2 √ maka nilai yang mungk √ 7. , nilai dari √ pemfaktoran √ √√ √√ yang digunakan jenis Sementara pertama untukjika menggiling 7.9.petiHasil , nilai dari dari : mesin kedua. kedua8.satuJika b. Berapa jam waktu yang digunakan mesinnilai jenisyang kedua untuk menggiling satu peti untuk mungkindari untuk 9. Hasil pemfaktoran : untuk 7. digunakan nilai dari mesin dapat 9. Hasil pemfaktoran dari : maka nilai yang mu 8. Jika, sekaligus, √ √ adalah …√ √ peti padi selama 6 8. √√Jika √ padi. menggiling satu ada √ untuk yang digunakan mesin jenis √ kedua untuk menggiling satu peti untuk maka nilai yang mungkin 8. Jika √ 9. Hasil pemfaktoran dari : adalah. . . jam. 5. Jika maka nilai terbesar dari dari : 9. yang Hasilmungkin pemfaktoran adalah√ … √ √√ untuk jam waktu a. Berapa yang digu9. Hasil pemfaktoran dari : 9. Hasil pemfaktoran dari : adalah. . . jenis. . .pertama adalah … √ √ mesin maka nilai terbesar yangnakan mungkin dariadalah. satudari peti: padi. adalah. .... .. 9. untuk Hasilmenggiling pemfaktoran b. Berapa jam waktu yang digunalah. . . . 6. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk tanah dan ukuran tanah kan mesin jenis kedua untuk dapatmenggiling dilihat pada satu gambar. peti padi. kan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk tanah dan ukuran tanah C Berapakah ukuran bangunan sekolah agar bar. luas bangunan 1500 m2? Berapakah ukuran bangunan sekolah agar E F luas bangunan 1500 m2?
226 B
A Kelas X 100 m
D
B
SISWA 4. persamaan kuadratnya. Sehingga permasalahanBUKU kita saatPEGANGAN ini adalah
Sehingga permasalahan kita saat ini adalah
Masalah7.7
Projek Himpunlah informasi penggunaan sifat-sifat dan aturan yang berlaku pada persamaan kuadrat di bidang ekonomi, fisika, dan teknik bangunan. Kamu dapat mencari informasi tersebut dengan menggunakan internet, buku-buku dan sumber lain yang relevan. Temukan berbagai masalah dan pemecahannya menggunakan aturan dan sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas!
2. FUNGSI KUADRAT a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat sering kita temukan dalam permasalahan kehidupan nyata yang menyatu pada fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep fungsi kuadrat dapat ditemukan di dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu perhatikan dengan cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan.
Masalah-7.5 Untuk pengadaan air bersih bagi masyarakat desa, anak rantau dari desa tersebut sepakat membangun tali air dari sebuah sungai di kaki pegunungan ke rumah-rumah penduduk. Sebuah pipa besi yang panjangnya s dan berdiameter d ditanam pada kedalaman 1 m di bawah permukaan air sungai sebagai saluran air. Tentukanlah debit air yang mengalir dari pipa tersebut. (Gravitasi bumi adalah 10 m/det2).
Gambar 7.6 Sumber Air Bersih
Pahamilah masalah di atas, artinya kamu tuliskan hal apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, dan interpretasikan masalah dalam Gambar 7.6. Gunakan variabel Matematika
227
untuk menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa saja yang terkait dengan masalah yang dihadapi sehingga masalah tersebut dapat 2) Bagaimana tekanan air pada pangkal pipa dan diujung pipa dan aturan apa yang terkait diselesaikan. dengan Beberapa pertanyaan yang harus kamu pahami untuk dapat memecahkan keadaan tersebut? masalah dengan baik antara lain sebagai berikut. 3) kamu jika menentukan kecepatan dari pipa menggunakan 1) Dapatkah Apa yang terjadi luas permukaan sungaiair jauhyang lebihkeluar luas dari luasmulut permukaan pipa? pada pertanyaan 2)? aturan 2) Bagaimana tekanan air pada pangkal pipa di ujung pipa serta aturan apa yang 4) Dapatkah kamu menentukan terkait dengan keadaan tersebut? besarnya debit air yang mengalir dari pipa dengan 3) Dapatkah kecepatan air belajar yang keluar dari Dasar mulutkelas pipa V ? mengingat kamu rumusmenentukan debit zat cair, saat Kamu di Sekolah menggunakan aturan pada pertanyaan 2)? 5) keterkaitan luas penampang pipadebit dengan kecepatan airdari mengalir. 4) Apa Dapatkah kamu menentukan besarnya air yang mengalir pipa dengan mengingat rumus debit zat cair, saat kamu belajar di SD? 5) Apa keterkaitan luas penampang pipa dengan kecepatan air mengalir?
Alternatif Penyelesaian Alternatif Penyelesaian
V2
A2
Pipa
h1
A1 …………………… h…………………… Sungai …………………… …………………… …………………… p1 = gh ……………………
h2
Gambar 7.7 Ilustrasi Posisi Pipa di Dalam Sungai
Gambar 7.7: Ilustrasi Posisi Pipa di Dalam Sungai Misalkan: Misalkan: p1 adalah tekanan air pada mulut pipa adalah tekanan pipa pp12 adalah tekananair airpada padaujung mulut pipa h adalah kedalaman pipa di bawah permukaan air sungai = 1 m ph2 adalah tekanan airpipa pada pipa tanah adalah ketinggian dariujung permukaan 1 adalah kedalaman ketinggian permukaan air sungai hh2adalah pipa di bawah permukaan air sungai. V adalah kecepatan air sungai mengalir h11 adalah ketinggian pipa dari permukaan tanah. V2 adalah kecepatan air mengalir dari ujung pipa hA2 adalah ketinggian permukaan permukaanairairsungai sungai. adalah penampang 1 adalah penampang permukaan ujung pipa VA12 adalah kecepatan air sungai mengalir g adalah gravitasi bumi = 10 m/det2.
V2 adalah kecepatan air mengalir dari ujung pipa. A1 228 adalahKelas penampang permukaan air sungai X A2 adalah penampang permukaan ujung pipa
Apa yang terjadi jika A1 jauh lebih luas dari A2. Diharapkan jawaban siswa sebagai
Jika A1 >>> A2 maka V1 <<< V2, akibatnya V1 menuju 0 (nol). • Apa yang terjadi jika A1 jauh lebih Jika luas Adari A2.ADiharapkan jawaban siswa V2, akibatnya V1 menu 1 >>> 2 maka V1 <<< Karena tekanan air pada pangkal pipa dan diujung pipa sama maka berdasarkan gambar sebagai berikut. Jika A1A>>> A maka V <<< V , akibatnya V1Vtekanan menuju 0air0(nol). Karena pada pangkal pipa dan diujung Jika (nol). 1 >>> 2A2 maka 1V1 <<< 2V2, akibatnya 1 menuju Jika atas A1 >>> A2Amaka VA1 22<<< V2,Vakibatnya V1 menuju Jika A V1 <<< V1 menuju 0 (nol). 1 >>> 2 maka 2, akibatnya Jika maka V22, akibatnya V011 (nol). menuju 0 (nol). 11A>>> 11V<<< diperoleh persamaan Karena tekanan airair pipa dan diujung pipa sama maka berdasarkan gambar A2 maka Vpada <<<pangkal Vpangkal , akibatnya V1dan menuju 0 (nol). Jika A1 >>> atas diperoleh persamaan Karena tekanan pipa diujung pipa sama maka berdasarkan 1 pada 2 pipa Karena tekanan airtekanan pada pangkal pipa dan diujung pipa samasama maka berdasarkan gambar digambar Karena tekanan air pada pangkal dan diujung pipa maka berdasarkan gambar di gamb Karena air pada pangkal diujung pipa sama maka berdasarkan di 1 air2 pada 1pipa Karena tekanan pangkal pipa dan2dan diujung pipa sama maka berdasarkan p + gh + = p + gh + atas diperoleh persamaan V V 1 atas 2 2 diperoleh persamaan 1persamaan 2 1 1 atas diperoleh persamaan atas diperoleh gambar di1diperoleh atas2persamaan diperoleh persamaan atas 2 p1 + gh1 + V12 = p2 + gh2 + V22 2 2 1 +121 1 12 2 = 1 gh 12+ 1121 222 2 2 22p + p1gh gh V V = p + gh + p1 + p 1p++ 1 2 2 V V gh + = p + gh + V V 1 1 2 2 + gh + = p + gh + V V 1 2 2 gh 1 2 p + gh + = p + + V V 2 22 2 1 11 1 1 11 1 222 2g(h 22 (karena 2 12–2 h22) 1=11 V 2 2 2 22 V1 22 2menuju nol) 1 2 g(h1 – h2) = V22 (karena V12 menuju n 1 12 1 112 2 22 2 2 22 2 g(h1 g(h –g(h )–1g(h =– menuju V1(karena h2– nol) nol) V V12 menuju 12 (karena menuju V 2(karena h) –=)Vh=)222)= menuju nol) VV211nol) 2 V 1=(karena hg(h menuju nol) 22V222 (karena 1V 1 211 2h22 gh = 2 V222 (karena h = h11 – h2) 1 2 2 gh = V2 (karena h = h1 – h2) 1 21 1 2 1 22 2 gh =gh = h = h – ) V2ghV(karena (karena h = h – h ) 1 (karena = h2 1 – h 2) =2 1 2V222 (karena h12hgh 2ghgh h= =h11h–1 –h22h) 2) V2 V(karena 2gh ==2V=222 V22 2 2= 2 2gh = V22 V2 = 2 gh 2gh =2gh V 2 =2gh =ghV2 = gh 2 gh V2 =V 22 V2 22= V
V22 = 2 gh 2 2gh 2 =2V22 Kecepatan air2gh mengalir adalah pipa V2V=2 = 2 gh 2gh= V=2V22 dari 2 ghV = 2 gh Kecepatan air mengalir dari pipa adalah V = 2 g Kecepatan air mengalir pipa adalah V =adalah Kecepatan air mengalir dari pipa V 2=ghV2=gh 2 gh Kecepatan air dari mengalir dari adalah pipa Debit air yang mengalir dari sebuahadalah pipa adalah air yang mengalir persatuan wakt V V= = volume Kecepatan 2 gh Kecepatanairairmengalir mengalirdari daripipa pipa adalah 2 gh Debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah DebitDebit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah volume air yang mengalir persatuan waktu. mengalir dari sebuah pipa adalah volume air yang mengalir persatuan air yang mengalir dari sebuah pipa adalah volume air yang mengalir persatuan waktu. Debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah volume air yang mengalir persatuan waktu.vo
waktu. Debit Debitairairyang yangmengalir mengalirdari darisebuah sebuahpipa pipaadalah adalahvolume volumeairairyang yangmengalir mengalirpersatuan persatuanwak wa q .
.
.
.
. 1 2 1= ( 12 d21.)(. 22 2 gh ) (penampang pipa berbentuk lingkaran, luas penampang pipa adalah (dq )( q = (qq = (penampang pipa pipa berbentuk lingkaran, luas luas penampang pipa pipa adalah A adalah ghd2) gh )2(penampang berbentuk penampang adalah A 1 lingkaran, )( pipa berbentuk lingkaran, luas penampang pipa A = d( 2)( gh ) (penampang q = ( d2 )( 2 gh ) (penampang pipa berbentuk l 4 44 4 4 1 2 2 gh ) (penampang pipa berbentuk lingkaran, luas penampang pipa adalah q = ( ( 1121d2d2)( (penampang pipa berbentuk lingkaran, )( ) (penampang pipa berbentuk lingkaran,luas luaspenampang penampang pipa adal 2 gh 1 2 q12= 22 diameter 4d4r,22=dddadalah = r==rr2== pipa) ,2,d ddadalah diameter pipa) diameter pipa) ,adalah d adalah diameter pipa) 2 1 2 4 44 4 adalah diameter pipa adalah A) = r = d , (d d adalah diameterpipa) pipa) 4 1 2 2 2 2 1 DebitDebit mengalir pipa dinyatakan dalam fungsi berikut Debit mengalir dari pipa dinyatakan dalam fungsi berikut airdyang =air =air=yang diameter pipa) Debit mengalir dari pipadinyatakan dinyatakan dalam fungsi berikut =ryang rair d,mengalir ,d dari dadalah adalah diameter pipa) yang dari pipa dalam fungsi berikut Debit air 4yang dalam fungsi berikut dari pipa dinyatakan dalam 4 mengalir dari pipa dinyatakan Debit air yang mengalir 20 20 2 202 q(d) = (air d 22R, , d 0d R,pipa =)d q(d) =q(d) ( yang )d ,R, 0 d dinyatakan 20 (, d )d 0 d Debit fungsi Debit dari dalam fungsiberikut berikut (1) (1) (1) (1) q(d) 4=air ( 4yangmengalir )d2, ddari R, d pipa 0 dinyatakandalam 4mengalir 20 2 4 q(d) = ( )d , d R, d 0 4 2020 2 2 tenun = =( yang , d R,R,dSumatera (1)(1) berasal Kain yang Sumatera Barat atau yang lebihdengan dikenal q(d) q(d) (tenun )d , berasal d ddari 0Sumatera 0Barat )d Kain yang dari Sumatera atauBarat yang lebih dikenal dengan Kain tenun dari Barat atau yang lebih dikenal songket Kain tenun yang berasal dari atau yang lebih dikenalsongket dengan songket 4berasal 4 Kain tenun yang berasal darihasil Sumatera Barat atau yang lebih dikenal dengan songk Minangkabau merupakan suatusuatu hasilsuatu karyahasil tradional yang perlu dipertahankan. Minangkabau merupakan karya tradional yang perlu dipertahankan. kekayaan Minangkabau merupakan karya tradional yang perlu dipertahankan. kekayaan Kain tenun yang berasal dari kekayaan Sumatera Barat at Minangkabau merupakan suatu hasil karya tradional yang perlu dipertahankan. kekaya motifnya ternyata juga memiliki arti dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jenis motifnya ternyata juga memiliki arti dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jenis motifnya ternyata juga memiliki arti dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jenis Kain Barat yang dikenal dengan songk Minangkabau merupakan suatu hasil karya tradio Kaintenun tenunyang yangberasal berasaldari dariSumatera Sumatera Baratatau atau yanglebih lebih dikenal dengan son 229 motifnya ternyata juga memiliki arti dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jen Matematika motifmotif darimotif kain kain songket Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif Pucuk Rabuang, dari songket Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif Pucuk Rabuang, dari kain songket Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif Pucuk Rabuang, Minangkabau karya kekaya motifnya ternyatayang jugaperlu memiliki arti dan nilai keb Minangkabaumerupakan merupakansuatu suatuhasil hasil karyatradional tradional yang perludipertahankan. dipertahankan. keka motifmotif Itiakmotif Pulang Patang, motif Kaluak Paku, dan yang lainnya. Motif Kaluak Paku motif Itiak Pulang Patang, motif Kaluak Paku, dan yang lainnya. Motif Kaluak Paku dari kain songket Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif Pucuk Rabuan Itiak Pulang Patang, motif Kaluak Paku, dan yang lainnya. Motif Kaluak Paku motifnya dan jenis-je dari kain songkettersendiri. Minangkababu tersebut di motifnyaternyata ternyatajuga jugamemiliki memilikiarti artimotif dannilai nilaikebersamaan kebersamaan tersendiri.Adapun Adapun jenismisalnya memiliki makna bahwa kitabahwa sebagai manusia haruslah diri sejak kecil, danKaluak misalnya memiliki makna bahwa kita sebagai manusia haruslah mawas diri sejak kecil, dan danPa misalnya memiliki makna kita sebagai manusia haruslah mawas diri sejak kecil, motif Itiak Pulang Patang, motif Kaluak Paku, danmawas yang lainnya. Motif motif tersebut adalah motif Pucuk motif Itiakdiantaranya Pulang Patang, motif Kaluak Paku, motifdari darikain kainsongket songketMinangkababu Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif PucukRabuan Rabu misalnya memiliki makna bahwa kita sebagai manusia haruslah mawas diri sejak kecil, d
dengan songket Minangkabau merupakan suatu hasil karya tradional yang perlu dipertahankan. kekayaan motifnya ternyata juga memiliki arti dan nilai kebersamaan tersendiri. Adapun jenis-jenis motif dari kain songket Minangkababu tersebut diantaranya adalah motif Pucuk Rabuang, motif Itiak Pulang Patang, motif Kaluak Paku, dan yang lainnya. Motif Kaluak Paku misalnya memiliki makna bahwa kita sebagai manusia haruslah mawas diri sejak kecil dan perlu belajar sejak dini mulai dari keluarga. Pendidikan dalam keluarga menjadi bekal utama untuk menjalankan kehidupan di masyarakat. Setelah dewasa kita harus bergaul ke tengah masyarakat, sehingga bekal hidup dari keluarga bisa menjadikan diri lebih kuat dan tidak mudah terpengaruh hal negatif. Selain itu juga, motif Kaluak Paku juga memiliki makna lainnya, yaitu seorang pemimpin harus mampu menjadi teladan bagi masyarakat yang ada disekitarnya. Ukuran panjang dan lebar kain songket cukup bervariasi. Ukuran panjang dan lebar kain songket cukup bervariasi. Sekarang mari kita perhatikan salah satu jenis kain songket yaitu kain sonket motif Kaluak Paku, dalam hal ini kita jadikan bahan inspirasi mengangkat masalah matematika terkait fungsi kuadrat.
Masalah-7.6 Sebuah kain songket dengan ukuran panjang 9 m dan lebar 3 m. Di bagian 4 4 tengah terdapat 5 bagian daerah yang 451 m luas seluruhnya m. Tentukan ukuran 400 bagian kain songket yang berwarna merah dan daerah berambu benang. Gambar 7.8 Kain Songket
• Coba sendiri! Pahamilah masalah di atas, artinya kamu tuliskan hal apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, dan interpretasikan dalam gambar. Gunakan variabel untuk menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa saja yang terkait dengan masalah yang dihadapi sehingga dapat terpecahkan. Cermatilah beberapa pertanyaan yang mengarahkan kamu bekerja lebih efektif. 1) Berbentuk apakah daerah bagian dalam kain songket. Bagaimana kamu menentukan luas daerah tersebut? 2) Apakah ada keterkaitan konsep dan prinsip persamaan kuadrat untuk menentukan 230
Kelas X
ukuran daerah bagian dalam kain songket? Kenyataan hidup terkadang berbeda dengan apa yang kita harapkan. Seperti Pak Ketut yang memiliki Ijazah Sarjana Pertanian telah lama dan berulangkali melamar pekerjaan di kota Jakarta. Ternyata, Ia belum beruntung memanfaatkan ijazahnya sampai saat ini. Akhirnya, Ia kembali ke Pulau Dewata dan berencana membuat keramba ikan Gurami dan Udang. Tetapi, Ia mendapat masalah sebagai berikut.
Masalah-7.7 Pak Ketut memiliki jaring jala sepanjang 60 m. Ia ingin membuat keramba ikan gurami dan udang. Kedua keramba ikan dibuat berdampingan, seperti tampak pada gambar berikut. Gambar 7.9 Keramba Ikan Gurami dan Udang
Misalkan panjang keramba y m dan lebarnya x m, serta kelilingnya keramba k m. Tentukanlah ukuran keramba agar luasnya maksimum! Coba amati gambar keramba yang diinginkan dan renungkan beberapa pertanyaan berikut. 1) Bagaimana bentuk keramba yang direncanakan Pak Ketut? 2) Adakah konsep dan prinsip matematika yang terkait untuk menentukan panjang keliling permukaan keramba? 3) Adakah konsep dan prinsip matematika untuk menentukan luas daerah permukaan keramba ? 4) Bagaimana menentukan ukuran panjang dan lebar permukaan keramba agar luasnya maksimum dengan jaring jala yang tersedia? Alternatif Penyelesaian Penampang permukaan keramba dapat digambarkan sebagai berikut.
Matematika
231
Gambar 7.10 Posisi Tambak
Karena panjang jaring jala yang tersedia adalah 60 m maka keliling keseluruhan permukaan keramba ikan adalah 1 1 1 1 1 2 3 3 4 K = 2y + 3x = 60 ⇒ 2y = 60 – 3x ⇒ y = 30 – x 5 6 2 3 4 3 4 2 3 Luas keseluruhan permukaan keramba ikan adalah L = panjang × lebar L=y×x 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 1 1 1 1 2 3 3 4 y = 30 – x ⇒ L = y × x ⇒ L = (30 – x)x 5 6 2 3 4 3 4 2 3 5 6 2 3 4 3 4 2 3 ⇒ L = 30x – x2 Karena luas permukaan keramba tergantung nilai x maka persamaan fungsi luas dapat dinyatakan sebagai berikut. 1 1 1 1 1 2 3 3 42 ∴ L(x) = 30x – x , x ∈ R, x ≥ 0 5 6 2 3 4 3 4 2 3
Dengan mengambil beberapa harga x, diperoleh beberapa harga L dan disajikan pada tabel Dengan mengambil beberapa harga x, diperoleh beberapa harga L dan disajikan pada
berikut. tabel berikut
7.1 Nilai L dengan x merupakan bilangan genap positif Tabel Tabel 7.1: Nilai L dengan x merupakan bilangan bulatbulat genap positif
Nilai x
0
2
4
Nilai L
0
54
96
6
8
10
12
14
16
18
20
126 144 150 144
126
96
54
0
Sekarang mari kita gambarkan grafik fungsi L(x) = 30x – x32 pada bidang koordinat Sekarangdengan mari kita gambarkan L(x) 30x di– atas.x2 pada bidang koordinat bantuan nilai-nilai grafik x dan Lfungsi yang ada pada= tabel
2
dengan bantuan nilai-nilai x dan L yang ada pada tabel di atas. 232 L Kelas X 200 175 150
P (10,150)
L 200 175
P (10, 150)
150 125 100 75 50 25 0
2
4
6
8
10
12 14
16 18
20
x
Gambar 7.11 Grafik Fungsi Kuadrat
Coba cermati harga-harga x dan L di dalam Tabel 7.1 dan grafik fungsi L(x) = 30x – 3 x2, x ≥ 0 memiliki ciri-ciri sebagai berikut. 2 a) Kurva terbuka ke bawah b) Grafik memotong sumbu-x pada dua titik yang berbeda yaitu titik (0, 0) dan titik (20, 0). c) Grafik fungsi mencapai puncak pada titik (10, 150). d) Garis x = 10 membagi dua luas (sama besar) daerah di bawah kurva, sehingga garis x = 10 dapat dikatakan sebagai sumbu simetri grafik fungsi 3 L(x) = 30x – x2. 2 Berdasarkan grafik fungsi di atas, luas maksimum diperoleh saat lebar dan panjang permukaan keramba ikan, yaitu x = 10 m dan y = 15 m 3 x ⇒ y = 15 m x = 10 m dan y = 30 – 2 Luas maksimum permukaan keramba ikan adalah L= 150 m2 Perhatikan kembali setiap langkah pemecahan Masalah 7.5, 7.6, dan Masalah 7.7. Masih ingatkah kamu contoh fungsi kuadrat ketika belajar di SMP. Coba temukan model-model matematika dari setiap permasalahan yang merupakan fungsi kuadrat. Kemudian coba temukan ciri-ciri dari fungsi itu dan tuliskan konsep (pengertian) fungsi kuadrat berdasarkan ciri-ciri yang kamu ditemukan, serta hasilnya diskusikan dengan temanmu. Matematika
233
Definisi 7.2 Fungsi kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang berbentuk f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.
Misalkan A, B ⊂ R, didefinisikan fungsi f : A → B, dengan f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Dengan
: x adalah variabel bebas atau peubah bebas a adalah koefisien dari x2 b adalah koefisien dari x c adalah konstanta persamaan f(x) adalah nilai fungsi yang tergantung pada nilai variabel x.
Selanjutnya ujilah beberapa fungsi berikut, apakah merupakan fungsi kuadrat?
Latihan 7.4 Apakah fungsi berikut merupakan fungsi kuadrat? 1. Misalkan A, B ⊂ R, didefinisikan fungsi
g : A → B, dengan g(x) = c, ∀x ∈ A, c ∈ B.
2. Didefinisikan h(t) = (t – 2)2, t ∈ R, apakah h merupakan fungsi kuadrat? 3. Misalkan himpunan A = {x | -2 ≤ x < 3, x ∈ R} B = {y | -8 ≤ y < 20, y ∈ R}
Didefinisikan f : A → B f : x → x3, ∀x ∈ A
4. Misalkan himpunan A = {x | 0 ≤ x ≤ 3, x ∈ R} dan B = {y | 8 ≤ y ≤ 26, ∀y ∈ R}
Didefinisikan f : A → B, dengan f (x) = x2 + 3x + 8, ∀x ∈ A
234
Kelas X
UJI KOMPETENSI-7.3
Didefinisikan f : A B
1. Pekerjaan Pak Suradi adalah pembuat Talang Air. Ia mendapat
sebuah Talang Air dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm deng
f : x x3, x A
atas tiga bagian seperti terlihat pada Gambar.
4. Misalkan himpunan A = x 0 x 3, x R dan B = y 8 y 26, y R
Bantulah menentukan
Didefinisikan f : A B, dengan
Uji Kompetensi 7.3 f (x) = x2 + 3x + 8, x A
Pak ukuran
x
volume air yang tert x
maksimal.
x
1. Pekerjaan Pak Suradi adalah terhadap Sumbu-x dan Sumbu-y UJI KOMPETENSI-7.3 30 - 2x pembuat Talang Air. Ia mendapat sehingga terbentuk persegi panjang 2. dengan Titik A(x,Iay)diagonal terletak pada OA. garis g Perhatikan dengan persamaan 2 x + y = 10 membuat sebuah Talang Air Talang 1.pesanan Pekerjaan Pak Suradi adalah pembuat Air. mendapat pesanan membuat garis-garis berikut! tegak lurus terhadap Sumbu-x dan Sumbu-y sehingg dari lembaran seng yang lebarnya 30 gambar sebuah Talang Air dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan melipat lebarnya panjang dengan diagonal OA. Perhatikan Gambar berikut. cm dengan melipat lebarnya atas tiga y atas tiga bagianterlihat seperti terlihat pada Gambar. bagian seperti pada Gambar di bawah ini. a) Jika L menyatak Bantulah menentukan
Pak
daerah
Suradi
ukuran
A (x, y)
x
agar
lah L sebagai fung
volume air yang tertampung x
b) Apakah L sebaga
maksimal.
x
merupakan fungs x
0
30 - 2x
dalam x ?
a) Jika luasAdaerah Titik A(x,Pak y) terletak pada garis g dengan persamaan 2 xL+menyatakan y = 10. Dari titik dibuat 2.Bantulah Suradi menentukan persegi panjang yang terbentuk, ukuran x agar volume air yang garis-garis tegak lurus terhadap Sumbu-x dan Sumbu-y sehingga terbentuk persegi BUKU PEGANGAN SISWA nyatakan lah L sebagai fungsi x. tertampung maksimal. panjang dengan diagonal OA. Perhatikan Gambar berikut. b) Apakah L sebagai fungsi y 2. Titik A(x, y) terletak pada garis g merupakan fungsi kuadrat dengan persamaan 2x + y = 10. Dari dalam x? a) Jika L menyatakan luas titik A dibuat garis-garis tegak lurus daerah
persegi
panjang
yang terbentuk, nyatakan
Projek
A (x, y)
persegi
yang terbentuk,
lah L sebagai fungsi x. b) Apakah L sebagai fungsi
Rancanglah permasalahan terkait gerakan peluru dan ekonomi yang menerapmerupakan fungsi kuadrattersebut kan konsep dan aturan fungsi kuadrat. Buatlah pemecahan masalah x depan kelas. dalam x ? dalam sebuah laporan serta sajikan di 0
253
BUKU PEGANGAN SISWA
Matematika
235
Grafik Fungsipipa Kuadrat d R, d 0. Misalkan 2. ukuran diameter adalah x dan besar debit air yang20 mengalir 2. Grafik Fungsi Kuadrat 2. Grafik Fungsi Kuadrat menyatakan besar Fungsi debit airKuadrat yang mengalir dari sebuah pipa adalah q(d) = ( ) d2, 2. Grafik 2. Grafik Fungsi Kuadrat 4 20 2 ) x , x R, x persamaan 0. adalah y. Berarti y dapat Dari dinyatakan dalam x, yaitu y = f(x) = ( hasil pemecahan masalah 7.8,besar kita telah air peroleh fungsi d R, d 0. Misalkan ukuran diameter pipa adalah xkita dan debit yang mengalir 4 peroleh Dari hasil pemecahan masalah 7.8, telah persamaan fungsi kuadrat Dari hasil pemecahan masalah 7.8, kita telah peroleh persamaan fungsi kuadrat Dari hasil pemecahan masalah 7.8, kita telah peroleh persamaan fungsi kuadrat yang Dari hasil pemecahan masalah 7.8, kita telah peroleh fungsi kuadrat yang 20 persamaan 2 sebuah pipa adalah q(d) menyatakan besar x,debit air yang mengalir dari 20= Masalah 7.11kuadrat persamaan yang ) x , x R, x 0. q(d) adalah y. fungsi Berarti y dapat dinyatakan dalam yaitu y = f(x) = ( 20==( ( 20 menyatakan besar debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah 2 menyatakan besar debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah q(d) 4 menyatakan besar debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah q(d) = ( ) d4 4, 2 20 menyatakan besar debit air Misalkan yang mengalir dari sebuahpipa pipaadalah adalahx dan q(d) besar = (4 debit )aird y, b. Grafik20 Fungsi 2Kuadrat d R, d 0. ukuran diameter 4 ) d0., Misalkan ukuran 20 ipa adalah q(d) = d ( R, d 2pipa diameter adalah xdan dan besar debit air yangmen me R,4 Misalkan d pemecahan 0. Misalkan diameter xgrafik besar yang Masalah Dari hasil telah fungsi kuadrat Temukan kuadrat y Masalah = f(x)ukuran =7.8, (- kita xperoleh , pipa x xadalah Rpersamaan daribesar fungsi kuadrat ) adalah d grafik R,7.11 dd fungsi 0. ukuran diameter pipa dan debit airdebit yangair mengalir 20 mengalir d R, d 0. Misalkan ukuran diameter 4 pipa adalah x dan besar debit air yang adalah y. debit Berarti dapatmengalir dinyatakan yaitu y = f(x) = =( 2 2 ) x2, x R besar airyyang dari dalam sebuahx,pipa adalah q(d) 20 n besar debityang air menyatakan yang mengalir 20 20==( ( 2 ) )x x,4x adalah Berarti ydapat dapatdinyatakan dinyatakan dalam yaitu f(x) y.y.Berarti dalam x,x,yaitu R, x ,x 0.R,R,x x0.0. adalah20y.adalah Berarti dapat ydinyatakan dalam yaitu f(x) y=y=(=f(x) ) x4,4x 20 20x, diameter 2debit 2 2, dy ∈ R, 2 y =pipa d d ≥ 0. Misalkan ukuran adalah x dan besar R, x 0. y.) xBerarti dinyatakan (4 ) x , x yTemukan =20 f(x) = (adalah , xkuadrat R,y dapat x 0. grafikfungsi y= f(x) = (- dalam ) xyaitu , xy R= f(x) dari=grafik fungsi kuadrat x, 4 4 R, x 0. Masalah 7.11 4 =( ) x2, x air yang mengalir adalah y. Berarti y dapat dinyatakan dalam x, yaitu y = f(x) = 4 Masalah 7.11 Masalah Beberapa pertanyaan arahan7.11 yang perlu kamu cermati untuk memperoleh grafik fungsi Masalah 7.11 20 22, x7.11 x ∈ R, x Masalah 0. y = f(x) = ( ) x , x R, x ≥ 0. 20 420 20 Temukan grafikfungsi fungsikuadrat kuadratf(x) y == f(x) = (- ) 2x22, x x0.R dari grafik f )R,x2x, 20 20 R dari grafik ( y = f(x) = ( ) x2, x 20 4 ) x , x R dari grafikkuadrat fungsikuk Temukan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ( 2 Temukan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = () x , x R dari grafik fungsi 4 4 Beberapa pertanyaan arahan perluy kamu untuk grafik fungsi fungsi Temukan grafik fungsiyang kuadrat = f(x) cermati = (, x R dari grafik ) x4 4memperoleh 20 2 Temukan grafik grafik fungsi kuadrat y = yf(x)= =f(x) ( 20 grafik Temukan fungsi kuadrat = p(-4) x 2, x∈ , x R fungsi dari grafik fungsi kuadrat R) xdari 4 untuk4 menggambar grafik fungsi 20 butuhkan apa saja yang20 kamu x1)R Pikirkan dari grafik20 fungsi kuadrat 2= f(x) y ==Rf(x) () x22,2 x ∈ ) xx2, ≥x 0. = ( 20 ) x2, x R, x 0. (dari R, 0. R, x f(x) 20=p grafik 20 ) yx20 , x fungsi kuadrat y = f(x) = (- kuadrat 4) )x x,4x y = f(x) = ( , x R, x 0. 2 R, x 0. y = f(x) = ( 4 = ( 2 20 4 y = f(x) ) x4,4x 20 2 R, x 0. ) x , x R, x 0. f(x) = (y = f(x) R, x 0 dan ingat kembali bagaimana menggambar grafik fungsi =) x(4, x pertanyaan arahan untuk yang perlu kamu cermati memperoleh 1) Pikirkan 4 apa saja4Beberapa yang kamu butuhkan menggambar grafikuntuk fungsi Beberapa pertanyaan arahan yang perlu kamu cermati untuk memperoleh grafikfu Beberapa pertanyaan arahan yang perlu kamu cermati untuk memperoleh grafik Beberapa yang perlu perlu kamu kamucermati cermatiuntuk untuk memperoleh grafik fungsi Beberapapertanyaan pertanyaan arahan arahan yang memperoleh grafik 20 yang 2perlu kamu cermati untuk memperoleh grafik 20 fungsi kuadratBeberapa di20SMP. 2pertanyaan arahan f(x) =fungsi ( 2 2 ) x2, x y =R,f(x) ) x , x R dari grafik fungsi kuadratgrafik 20 ntuk memperoleh fungsi 20 20 ) x 20 , x x20 =0(-dan f(x) = (fungsi grafik 2 ingat kembali bagaimana menggambar 24 20===( ( 2 ) )x x,4x dari grafikfungsi fungsi kuadrat f(x) f(x)== , xRRdari dari grafik fungsikuadrat kuadratf(x) f(x) , xR,R,x x0.0 grafik ) )x x, x 4 y=y=(-=f(x) ) x42,4x y = f(x) (-( ) x4,4x 20 20 20 fungsi 2 R dari grafik 2 R, x 0. 2 kuadrat f(x) = ( = (4 fungsi , x R, x 0. y = f(x) = fungsi (-4 1) kuadrat ) x , x ) x kuadrat x , xkuadrat R, x butuhkan 0f(x) dengan 2) Apa f(x)R =dari ( grafik )fungsi 20 perbedaan yang kamu 4 Pikirkan apa saja 4 untuk menggambar g 4 SMP. = ( kuadrat R, x 0. ) x2di, x Pikirkan apayang saja kamu yang kamu kamu butuhkan butuhkan untuk menggambar menggambar grafik fu 1)1) Pikirkan apa saja yang 4 1) Pikirkan apa saja butuhkan untuk untuk menggambar grafik grafik fungsi 20 1) Pikirkan apasajasaja kamu butuhkan untuk menggambar fungsi 2 1) Pikirkan yangyang kamu untuk menggambar grafik fungsi grafik 20 apa 20 f(x) , x 0 R, dan kembali bagaimana menggambar ) xbutuhkan 2020 menggambar y = f(x) = (- grafik x2,kuadrat x R= ( f(x) ) fungsi )R,x2x, x x ingat 0 dengan fungsi kuadrat 2) Apa perbedaan fungsi 2 = ( 24 20 f(x)==()(x2, x ,x R,x4xingat 0 0dan dan ingatkembali kembalibagaimana bagaimana menggambar grafikfu )x xx, x ingat menggambar grafik f(x) = 4( f(x) 0R, dan kembali bagaimana menggambar grafik fungsi 20 4 4 2 )R, f(x) = (4 ) x , xdiR,SMP. x 0 dan bagaimanamenggambar menggambar grafik fungsi kuadrat daningat ingatkembali kembali bagaimana 4fungsi 3) Apa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? mana menggambar grafik 20 kuadrat diSMP. SMP. y = f(x) kuadrat = grafik (- kuadrat ) x2kuadrat , di x R SMP. fungsi di SMP. di 20 4 di SMP. 4) Bagaimanakuadrat komponen-komponen grafik fungsi setelah dicerminkan? 2) Apa perbedaan fungsi kuadrat f(x) = ( 2 2 ) x2, x R, x 0 dengan f 20 20 20 x dengan fungsi fungsikuk 2) Apa Apa perbedaan fungsikuadrat kuadrat f(x) ) )x x,4,x R,R,x x0 0dengan 2)perbedaan perbedaan fungsi =20 kuadrat 5) kamu memberikan perbedaan kedua grafik tersebut? 3) Dapatkah Apa2)kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? f(x) = ( f(x) )( x42,4 x Apa fungsi kuadrat =(fungsi 2) Apa perbedaan fungsi kuadrat 2 R, x 0 dengan fungsi kuadrat 2) Apa perbedaan fungsi kuadrat f(x) = (4 ) x , x R, x 0 dengan fungsi kuadrat 20 fungsi 4sumbu 6) Bilamana grafik memotong sumbugrafik x dan memotong y? komponen-komponen dicerminkan? R, 4) x Bagaimana 0 dengan fungsi kuadrat 2 setelah fungsi kuadrat y = f(x) = (- 2 2 ) x , x R 20 20 20==(-(- 2perbedaan y=(-=f(x) f(x) , kedua xRR grafik fungsi kuadrat tersebut? y=memberikan )R)x x,4x 5) Dapatkah kamu y = f(x) ) x , x 20 2 4 4 3) yApa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? = f(x) = () x , x R 4 3)komponen-komponen kaitan xkonsep pencerminan dengan masalah ini? 4Apasumbu 4) grafik Bagaimana grafik fungsi setelah 6) Bilamana memotong dan memotong sumbu y?dicerminkan? 3) Apa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? 3) Apa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? kamu memberikan perbedaan grafik fungsifungsi kuadratsetelah tersebut? 3) 5) ApaDapatkah kaitan konsep pencerminan dengan kedua masalah ini? 4) Bagaimana komponen-komponen grafik dicerminkan? 3) Apa kaitangrafik konsep pencerminan dengan masalahsumbu ini? y? 255 6) Bilamana memotong sumbu x dan memotong BUKU PEGANGAN SISWA 4) Bagaimana komponen-komponen grafik fungsi setelah dicerminkan? 4) Bagaimana komponen-komponen grafik fungsi setelah dicerminkan? 4) Bagaimana komponen-komponen grafik fungsi setelah dicerminkan? Dapatkah kamu memberikan perbedaan grafik fungsi kuadrat terseb 4) Bagaimana5)komponen-komponen grafik fungsi setelahkedua dicerminkan? 5) Dapatkah kamu memberikan perbedaan kedua grafik fungsi kuadrat tersebut? • Ingat kembali, bagaimana menggambarkan grafik persamaan fungsi kuadrat dan tersebut? 5) Dapatkah kamu memberikan perbedaan kedua grafik fungsi kuadrat dicerminkan? 5) Dapatkah kamu perbedaan kedua grafikx fungsi kuadrat tersebut? 6) memberikan Bilamana grafik memotong sumbu danfungsi memotong sumbu y? memanfaatkan sifat pencerminan untuk memperoleh grafik persamaan fungsi 5) Dapatkah kamu memberikan perbedaan kedua grafik kuadrat tersebut? BUKU PEGANGAN SISWA Bilamana grafikmemotong memotong sumbu danmemotong memotong sumbuy?y? 255 6)6) Bilamana grafik x xdan sumbu ngsi kuadrat 6) tersebut? Bilamana grafikbaru. memotong sumbu xsumbu dan memotong sumbu y? kuadrat yang 6) Bilamana grafik memotong sumbu x dan memotong sumbu y? mbu y? 236
Kelas X
BUKU PEGANGAN SISWA BUKU PEGANGAN SISWA BUKU PEGANGAN BUKU PEGANGAN SISWASISWA BUKU PEGANGAN SISWA 255
2 255 255
maan amaan maan fungsi fungsi fungsi kuadrat kuadrat kuadrat dan dan dan . .. kpersamaan persamaan persamaanfungsi fungsi fungsikuadrat kuadrat kuadrat Ingat kembali, bagaimana menggambarkan grafik persamaan fungsi fungsi kuadrat kuadrat dan dan Ingat kembali, bagaimanamenggambarkan menggambarkan grafik grafik persamaan persamaan Ingat kembali, bagaimana fungsi kuadrat dan memanfaatkan sifat pencerminan untuk memperoleh grafik persamaan persamaan fungsi kuadrat kuadrat memanfaatkan sifat pencerminanuntuk untukmemperoleh memperoleh grafik grafik memanfaatkan sifat pencerminan persamaan fungsi fungsi kuadrat yang baru. yang baru. baru. yang yang yangmenyatakan menyatakan menyatakanyang besarnya besarnya besarnya 20 22 yang menyatakan menyatakan besarnya besarnya Perhatikan fungsi kuadrat ) fungsi Ingat kembali, kuadrat R, x dan0,memanfaatkan yang Perhatikan fungsibagaimana kuadrat ymenggambarkan y == f(x) f(x) == (( 20grafik 2x , x Perhatikan fungsi menyatakan besarnya Perhatikan fungsi kuadrat kuadrat y = f(x) = ( 4 ) x , x R, x 0, yang menyatakan ngalir engalir ngalirdari dari daripipa pipa pipa tergantung tergantung tergantung sifat pencerminan untuk memperoleh grafik4persamaan fungsi kuadrat yang baru. debit air yang dari Besarnya debit air mengalir dari pipa pipa tergantung yang mengalir dari pipa. Besarnya debit airmengalir yang mengalir daritergantung air yangairmengalir mengalir dari pipa. pipa. Besarnya yang dari radalah adalah adalahyyy===f(x) f(x) f(x)besarnya == =debit f(0) f(0) f(0)= ==debit 0.0. 0. 20 debit Perhatikan air yangfungsi mengalir pipa. yang mengalir dari pipa tergantung kuadrat dari y = f(x) = ( Besarnya R, x air 0, yang menyatakan besarnya ) x2, xdebit pipa tergantung besarnya ukuran diameter = 0, maka debit air 4 Jika besarnya ukuran diameter (x) = 0, Jika makax debit adalah f(x) == f(0) f(0) == 0.0. besarnya ukuran diameter (x) pipa. pipa. Jika(x)xpipa. air adalah yy ==adalah f(x) an nandalam dalam dalamtabel tabel tabelberikut. berikut. berikut. besarnya ukuran diameter (x) pipa. Jika x = 0, maka debit air adalah y = f(x) = f(0) = 0. y = debit f(x) =airf(0) = mengalir 0. Untukdari beberapa nilai xdebit diberikan, nilai y =tergantung f(x) disajikan yang pipa. Besarnya air yangdiperoleh mengalir dari pipa Untuk disajikan dalam dalam tabel tabel berikut. berikut. Untukbeberapa beberapanilai nilai xx diberikan, diberikan, diperoleh diperoleh nilai y = f(x) disajikan dalam tabelukuran berikut. besarnya diameter (x) pipa. Jika x = 0, maka adalah y = f(x) dalam = f(0) =tabel 0. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilaidebit y =airf(x) disajikan berikut. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = f(x) disajikan dalam tabel berikut.
xx
00
11
22
33
4
x X 0 0 11 2 3 4 4 f(x) 00 3,51 3,51 214,04 14,043 31,6 31,6 56,17 56,17 yy==f(x) y = f(x) 14,04 31,6 31,656,1756,17 y = f(x)0 0 3,51 3,51 14,04
R, R,xxx000dapat dapat dapatdigambarkan digambarkan digambarkan 20 ) x2, x R, x 0 dapat digambarkan 20 = ( 2 Grafik persamaanfungsi fungsi kuadrat yy === ( f(x) x 0 dapat dapat didigambarkan Grafik persamaan fungsi kuadrat Grafik kuadrat Grafikpersamaan persamaan fungsi kuadrat y = f(x) , x R, x 0 dapat digambarkan ) x 20 4 2 4 ) x , x R, x 0 dapat digambarkan Grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = ( gambarkan sebagai berikut. 4 sebagaiberikut. berikut. sebagai berikut. sebagai sebagai berikut. y yy 20 70 2 22 y = f(x) = ( R, x 0 ) x2, x20 , x xR,R, R,xxx000 ) )x) xx, ,x 70 y 20 ) x22, x R, x 0 4 60 70 yy = = f(x) f(x) = = (( ) x , x R, x 0 44 60 5060 20 70 y = f(x) = ( ) x2, x R, x 0 40 50 4 50 60 30 40 50 20 40 . 30 10 30 40 Ingat kembali, bagaimana xmenggambarkan grafik pers 20 30020 11 22 3 3 4 4 5 5 6 6 10 20 memanfaatkan sifat untuk memperoleh grafi 10 Gambar20 7.12: Grafik fungsi = f(x) =( R, pencerminan x 0. ) x2, x 4 xxx xx baru. 4 5 6 10 00 11 22 33 yang 20 2 4 5kuadrat 6 y = f(x) Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi ) x , x R, x 20 = ( R, R, , xxx0.0. 0. Gambar 7.12: Grafik fungsi = f(x) = ( 20 ) x422, x R, x 0. Gambar07.12: fungsi = ( kuadrat xf(x) R, = x( 20 0. )xx2, x R, x 0 4 ) x y, = Perhatikan fungsi kuadrat 1 Grafik 2 persamaan 3sebuah 4 parabola 5= f(x) 6fungsi Dengan mencerminkan grafik 0 terhadap Sumbu-y, maka diperoleh berikut. 4 4 20 2 200. 20 20 20 2 22 Gambar 7.12: Grafik fungsi = f(x) = ( ) x , x R, x 20 Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = ( R, x )) xx22,, x )===( (( , x x R,R, R, xxmencerminkan x0 terhadap Sumbu-y, ) ))xxx, ,x maka diperoleh sebuah parabola berikut. Dengan grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = ( xair R, yang x m 4 debit air yang mengalir dari pipa. Besarnya debit 4 444 4 20 2 maka debit ai besarnya ukuran diameter pipa. 0 terhadap Sumbu-y, grafik maka diperoleh sebuah parabola berikut. Dengan mencerminkan persamaan fungsi kuadrat y =(x) f(x) = ( Jika x )=x0, , x R, x 0 terhadap Sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut. 4 Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = f(x) disajik 0 terhadap Sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut. BUKU PEGANGAN SISWA
x
BUKU PEGANGAN SISWA 256 256 256 PEGANGAN SISWA BUKU
y = f(x)
0
1
2
3
4255
0 3,51 14,04 31,6 56,17 Matematika
237
256 256
BUKU PEGANGAN SISWA Grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = ( 20 ) 256 x2, x 4
sebagai berikut.
y y 20 70 f(x) = ( 20 )2x2, x R 70 yy f(x) = ( 4 ) x , x R y 60 4 D’’ 70 60 D D 20D 20 ) x2, x R 70 50 70 60 f(x)→ = (f(x) = ( ) x2, x R 50 4 4 60 D 40 60 ’ D' D’ 50 D D 40 D 50 C’’4050 30 C C 40 30 C 40 20 ’ 30 ’ 20 C 30B’ C C’ C' C 30 B C B B 10 20 ’ 20 10 20 ’ A’ B AA B’ B' B BA B 10 10 0 xx 10 ’ 0 ’ A A 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 A -1 1 2 3 4 5 6x x -6 -5A-4 A' -3 -2 0-1 00 1A' 2 3 4 5 6 x -6 -5 -4 -3 -2 -6 -6 -5 -4-5 -3-4 -2 -3-1 -2 -1 1 2 13 42 5 36 4 5 6 y 20 20 Gambar 7.13: 7.13:Grafik Grafikfungsi fungsi20 (x)==( (7020 ) )x2x,2x, xRR Gambar (x) f(x) = ( ) x2, 20 7.13: Grafik ) xR2, x44 R GambarGambar 7.13: Grafik fungsi fungsi (x) = ( (x) = ( ) x2, x 4 60 4 4’ D D 50 y 60 20 2 20 20 2 40 Ciri-ciri fungsi kuadrat f(x)502==(() x2, x x, ,x xRRdan dan parabola atas adalah Ciri-ciri fungsi kuadrat dan parabola di atas adalah ))xdan parabola didiatas adalah Ciri-ciri fungsi yy20===(f(x) parabola 20 Ciri-ciri fungsi kuadrat R parabola atas Ciri-ciri fungsi kuadrat y = kuadrat f(x)y == (f(x) ) 4x , x R4dan di atasdi adalah 70 adalah f(x) = ( ) 4 sebagai berikut. C’ 4 30 C 4 40 60 D’ ’ 20 20 20 D 2 2 20 20 30 2 2 2 adalah a = > 0 Koefisien x adalah Koefisien 50 B B Koefisien x adalah axxx= adalah >a4a0== adalah Koefisien >>00 • 10 4 4420 • Kurva terbuka ke atas A’ 40 A Kurva terbuka ke atas x Kurva terbuka ke terbuka atas ’ Kurva ke atas atas(titik10balik minimum) diCtitik 0300) ke • Memiliki titik puncak 1 2 3 4 C5 6 -6 -5di -4 -3O (0, -2 0)-1 O (0, Memiliki titik puncak (titik balik minimum) titik Memiliki titik puncaksumbu (titik balik minimum) di titik O dua (0, 0)daerah kurva sama besar, yaitu garis • simetri yangbalik membagi Memiliki titik puncak (titik balik minimum) titik O20 (0,0)0) Memiliki puncak (titik minimum) didititik ’ O (0, 0 Memiliki sumbu yang dua kurva sama besar, yaituxgaris =0 B 6 xsumbu = 0 dan minimum y -1=dua f(0)daerah = -6 nilai -5 simetri -4 -3 -2 membagi 1 0 2daerah 3 4 5 besar, Memiliki simetri yang membagi kurva sama yaitu garis =B0 x20 2 10 Gambar 7.13: Grafik (x)besar, =besar, ( yaitu xgaris , x x= )garis simetri2yang yang membagi membagi dua daerah kurva sama yaitu xR= Memiliki sumbu simetri dua daerah kurva sama 00 ’fungsi dan nilai minimum y = f(0) = 0 – 4ac = 0 • Nilai diskriminan, D = b A A 4 dan nilai minimum y = f(0) = 0 0 minimum =4ac dan nilai minimum = f(0) f(0) ==00 Kurva menyinggung O(0, • diskriminan, Nilai diskriminan, b2 y=y–sumbu 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 0) -3 -2 -1 Nilai D = b2D– = 4ac 0 = 0x pada titik 22 diskriminan, D bbpada ––O(0, 4ac =O(0, 4ac =00 0) Nilai diskriminan, D ==xtitik Kurva menyinggung titik0) Kurva menyinggung sumbusumbu x pada 20 20 di 2atas adalah = f(x) = 7.13: ( , x R(x) dan Ciri-cirifungsi fungsikuadrat kuadrat y Gambar ) x2fungsi terhadap • Cerminkan grafik Grafik =parabola ( )x ,xR Kurva menyinggung menyinggung sumbu titik O(0, 0) sumbu xxpada pada titik O(0, 0) 4 20 20 Cerminkan y == f(x) ) xR2, terhadap x R terhadap Sumbu-x Cerminkan grafik grafik fungsi fungsi kuadratkuadrat y = f(x) ( = ( ) 4x2,x Sumbu-x dan dan4 Sumbu-x dan selidiki sifat-sifat grafik ditemukan. 4 fungsi kuadrat 22 20yang 20( 20 2 grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ) x , Cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ( ) x ,x xRRterhadap terhadapSumbu-x Sumbu-xdan dan adalah a = ditemukan. Koefisien x kuadrat >0 menyelidiki sifat-sifat grafik yang menyelidiki sifat-sifat grafik fungsi fungsi kuadrat yang ditemukan. 4 44 20 Ciri-ciri fungsikuadrat kuadrat20 y = f(x)2 = ( dan parabola di atas adal ) x2, x R terhadap Kita cerminkan grafik fungsi 20 menyelidiki sifat-sifat grafik fungsi kuadrat yang ditemukan. 2 4 Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ( ) x , x R terhadap Sumbu-x menyelidiki sifat-sifat kuadrat ditemukan. kuadrat Kurvaygrafik terbuka Kita cerminkan grafik fungsi = f(x) =fungsi (ke atas R terhadap Sumbu-x atau atau ) 4x , xyang Sumbu-x atau garis y = 0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat pencerminan bahwa 4 Memiliki titik puncak (titik balik minimum) titikdengan O (0, 0) 20 2 2arah di 2020 2 2 = 0. Dengan mengingat kembali pencerminan benda benda dengan bayangannya selalu nilai fungsi , ,x terhadap Sumbu-x atau Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat yy==berlawanan =x (bahwa bahwa garis ygaris =arah 0. yDengan mengingat kembali sifat-sifat pencerminan arah benda f(x) sifat-sifat R 20 berubah dari positif menjadi x , adalah a = Koefisien x arah. xRdengan Rbernilai terhadap Sumbu-x atau nega Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat f(x) = ( >) )0xxSehingga 4 4 4 4 Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, yaitu bayangannya berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi y ==f(x) = 20Sehingga bayangannya selalu selalu berlawanan arah. nilai fungsi kuadratkuadraty = f(x) x 2 , x R berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubah kuadrat y = f(x) = berubah dari bernilai positif menjadi garis yy = = 0. 0. Dengan mengingat kembali nilai Kurva terbuka keysifat-sifat atas garis Dengan mengingat sifat-sifat pencerminanbahwa bahwaarah arahbenda bendadengan dengan dan = f(0) = 0pencerminan kembali 4 minimum 20 2 bayangannya selalu berlawanan arah. nilai fungsi kuadrat y )y= == 2 fungsinya perubahan yy== f(x) = (titik O (0, x =,f(x) x menja negatif. Perubahan diikuti perubahan dari f(x) Memiliki titik puncak (titik minimum) di 0) bayangannya selalu berlawanan arah. fungsi kuadrat f(x)R – 4acbalik =nilai 0dari tersebut Nilai diskriminan, D Sehingga =Sehingga bfungsinya 4 20 2 ) x , xkurva R menjadi = f(x)ya= perubahan fungsinya dariyang = f(x) = (O(0,dua daerah Memiliki sumbu simetri membagi sama ybesar, Kurva menyinggung x ypada titik 4 0) persamaan fungsi kuadra R. Secarasumbu lengkap bayangan grafik 238 PEGANGAN dan nilai minimum y = f(0) = 0 256 SISWA KelasSISWA X 25620fungsi BUKUBUKU PEGANGAN R. Secaraterhadap lengkapSumbu-x bayanganadalah grafik sebagai persamaan kuadrat y = f(x) s Cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ( berikut ) x2, x R terhadap Su 2 Nilai diskriminan, D = b – 4ac = 0 terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut 4 y Kurva menyinggung sumbu x pada titik O(0, 0) menyelidiki 257 BUKU PEGANGAN SISWA sifat-sifat grafik fungsi kuadrat yyang ditemukan. 70 257 BUKU PEGANGAN SISWA 60 ’ 70 20 2 20 2) x , x R terhadap D f( Cerminkan grafik fungsi kuadrat y =Df(x) = (
70 ri bernilai positif menjadi Perubahan tersebut diikuti 20 negatif. 70 2
x R berubah dari60bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti 4 x , 60 50 50 2020 2 2 berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti , x RR berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti 40 20 20 4224 x x, x 40 20 2 2 20 (x) = ( y = f(x) ) x , x ) xx ,, xx ∈ R menjadi menjadi R. Secara lengkap bayangan ) x , x R menjadi y = f(x) = () x2, x perubahan fungsinya dari y= =(-f(x) = ( grafik 30 30 20 2 4 4 4 4 , x R berubah dari bernilai 20positif menjadi negatif. Perubahan tersebut 20 2 diikuti 2 2 2020 4 x fungsinya 20 )2setelah xx , x R menjadi y f(x) = f(x) = (- 20 )Sumbu-x , x adalah perubahan dari y f(x) = f(x) = (= ) x , R menjadi y = = (x)setelah ,xx perubahan fungsinya dari y = = ( persamaan fungsi kuadrat y f(x) dicerminkan terhadap R. Secara lengkap grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) dicerminkan 10 4 4 10 rafik persamaan fungsi kuadrat y =bayangan f(x) setelah dicerminkan 4 4
gai berikut y
60 ’ 7060 terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut 20 60 D70 D f(x) = ( )x2, x R 50 50 y 20 ’D’ 20 6060 4 2 20 50 2 x )x = (= ( )x , x, RR D f(x) =D ( 50)x5024040, x R 40 D D f(x)f(x) 44 ’ 70 4 4040 C30 30 C ’ 6030 DC’’C C D f(x) = ( 20 )x2, x R 3030 C 20 ’ 20 5020 B B 4 C ’ 2020 ’B 401010 B’ ’ B 10 B10 A A 10 ’ ’ A30 C x AA 0 C B -6 -5A-4020 -3 0 0 -21 -12 3 41 52 63 4x x5 6 ’-1 -6-6-5 -5 -2 6 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -1-1 0 1 12 23 34 45 6 5 -6 -4 -3 -2 6 -6 -5 -4 -3 B -2 -1 1 2B 3 4 5 A 10 A A’ x 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 20 2 20 2 f(x) = (- 20 f(x) x f(x) = ()x)2=,xx(-, R4 R ) x , x R 4 4 20 20 f(x) = ( ) x2, x R f(x) = ( ) x2, x R 4 6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
07
06
05
04
03
02
01
06
05
04
03
02
01
1-
12-
2-
3-
3-
4-
4-
5-
5-
6-
6-
70 60 50 40 C’ 30 20 B’ 10 A’ 0 -3 -2 -1
200 berikut 20 2 terhadap Sumbu-x adalah sebagai Secara lengkap bayangan grafik persamaan kuadraty =yyf(x) ==f(x) setelah dicerminkan R.R. Secara lengkap bayangan grafik persamaan setelah perubahan fungsinya dari )11xfungsi ,22xkuadrat f(x) = (- dicerminkan ) x2, x 0 fungsi sebagai berikut. -6 -5y = -4 f(x) -3 =-2 ( -1 3R menjadi 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 3 4 5 6 4 4 y terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut R. Secara lengkap bayangan grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) setelah dicerminkan 70 y y
4 ah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti Gambar 7.14: Grafik fungsi f(x) dan grafik pencerminan f(x)
Gambar 7.14: Grafik7.14: fungsi f(x) dan grafikf(x) pencerminan Gambar Grafik fungsi dan grafikf(x) pencerminan f(x)
2020 )2 x2,20 Ciri-cirifungsi fungsikuadrat kuadrat y=7.14: =f(x) f(x) R pencerminan dan parabolaf(x) hasilpencerminan pencerminan Ciri-ciri ykuadrat =y =(-=(-fungsi xx R hasil ) x(-,dan Gambar Grafik grafik fungsi f(x) x2,parabola x R dan parabola hasil pencerminan )dan 4 =f(x) 4 20 Ciri-ciri 20 2 2 4 y = f(x) = ( x R menjadi y = f(x) =20(- 2 ) x , x R dan parabola hasil pencer ) x , fungsi Ciri-ciri kuadrat sumbu-x (Gambar-7.14) adalah sumbu-x (Gambar-7.14) adalah : Grafik fungsi terhadap f(x) dan grafik f(x) 4terhadap Ciri-ciri fungsi pencerminan kuadrat y = f(x) = ( ) x4, x R dan parabola hasil pencerminan terhadap sumbu-x (Gambar-7.14) 4 adalah adalah sebagai berikut. minan terhadap sumbu-x (Gambar-7.14) 2 2020 f(x) gan grafik persamaan fungsi kuadrat setelah dicerminkan adalah Koefisien a2 =a -= - y =< 0< 020 Koefisien x2 xadalah 20 terhadap sumbu-x (Gambar-7.14) adalah 2 2 4 a4a==- hasil (x) = (, x R dan parabola )• x adalah <0 Koefisien pencerminan Koefisien x xadalah 4 Kurva terbuka 4 sebagai berikut 20 2 ke bawah Kurva terbuka bawah adalah a = bawah x ke <0 • Koefisien Kurva terbuka ke 4 Kurva terbuka ke bawah Memiliki titik puncak (titik balik maksimum) titik 14) adalah yMemiliki titik puncak (titik balik maksimum) di di titik OO (0,(0, 0) 0) Kurva terbuka ke bawah • Memiliki titik puncak (titik balik maksimum) di titik Oyaitu (0, 0) Memiliki titik puncak (titik balik maksimum) di titik O (0, 0)yaitu Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, garis Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, garis y =y 0= 0 70 20 Memiliki titik puncak (titik balik maksimum) di titik O (0, 0) Memiliki sumbu yangmembagi membagi dua besar, yaitu garis y=0 nilai minimum f(0) 0 60 • dandan ’ < 0 20 nilai minimum =simetri 0=simetri Memiliki sumbu yang dua daerah daerahkurva kurvasama sama besar, yaitu garis Df(0) f(x) =( )x2, x R 4D Memiliki sumbu simetri 2 yang membagi dua daerah kurva sama besar, yaitu garis y = 0 2 50 – f(0) 4ac Nilai diskriminan, dan nilainilai minimum = 0=f(0) Nilai DD =minimum b= b– 4ac 400 = 0 ydiskriminan, =nilai 0 dan dan minimum f(0) = 0 40 Kurva 2 menyinggung Sumbu x=pada O(0, Kurva Sumbu x pada O(0, – titik 4ac = 00) 0) menyinggung Nilai diskriminan, D b titik C’ 30 • Nilai C Nilai diskriminan, b2=–0 4ac = 0 4ac diskriminan, D = b2D– =
balik maksimum) di O menyinggung (0, 0) titik Kurva Sumbu x pada titik O(0, 0) 20 Kurva menyinggung SumbuSumbu x pada titik O(0, titik 0) O(0, 0) B’ B menyinggung • Kurva x pada ang membagiA10 ’dua daerah kurva sama besar, yaitu garis y = 0 A PEGANGAN SISWA BUKU PEGANGAN SISWA 0BUKU x 2 3 4 dari 5 6hasil pencerminan -5 -4 -3 -2 -1 Apa 1kesimpulan tersebut? 4ac = 0
BUKU PEGANGAN BUKU PEGANGAN SISWASISWA
u x pada titik O(0, 0)
WA
257 257 257
20 f(x) = ( ) x2, x R 4
258
Matematika
258
239
Kesimpulan Misalkan g(x) = ax2, x ∈ R, jika dicerminkan terhadap Sumbu-x maka diperoleh g*(x) = -ax2, x ∈ R dengan sumbu simetri adalah Sumbu-y dan memiliki titik puncak O (0, 0).
Masalah-7.8 Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. a. Temukan persamaan garis simetri (sumbu simetri) dan titik puncak grafik fungsi kuadrat tersebut. b. Temukan grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dari grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x ∈ R, a ≠ 0. c. Temukan titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y. d. Temukan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terkait nilai koefisien a dan titik puncak parabola.
Untuk memecahkan masalah di atas, cermati beberapa grafik fungsi kuadrat yang telah digambar sebelumnya dan beberapa pertanyaan berikut: 1) Apa yang dimaksud dengan grafik fungsi kuadrat? 2) Apa yang dimaksud dengan persamaan garis sumbu simetris grafik fungsi kuadrat? 3) Apa yang dimaksud dengan titik puncak grafik fungsi kuadrat? 4) Bagaimana menemukan aturan penentuan persamaan garis simetris dan titik puncak grafik fungsi kuadrat? 5) Apa yang dimaksud dengan transformasi geser ?. 6) Apa kaitan transformasi geser dan sifat-sifatnya untuk memperoleh sebarang grafik fungsi kuadrat dari grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x ∈ R, dan a ≠ 0?
7) Temukan arah pergeseran grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x R untuk me
7) Temukan arah pergeseran grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x ∈ R untuk
b D dan syarat-syarat dan syarat-syarat yang diperlukan! 2a 4a
mendapatkan grafik grafik fungsi f ( x) g x fungsi yang diperlukan!
8) Sifat-sifat
apa
saja
yang
kamu
simpulkan
dari
grafik
fungsi
2
240
Kelas X
b D f ( x) a x , dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 2 a 4a
dengan nilai koefisien a dan titik puncak grafik fungsi?
9) Dapatkah kamu memberi beberapa kemungkinan gambaran grafik fungsi kuad
nilai koefisien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu-x, nilai fungsi
7) Temukan grafik fungsi kuadrat g(x) =g(x) ax2, = x 7) Temukanarah arahpergeseran pergeseran grafik fungsi kuadrat axR2, untuk x Rmendapatkan untuk mendapatkan
b b D D yang diperlukan! grafik grafikfungsi fungsif (fx()x) g gx x 2a 4a dansyarat-syarat dan syarat-syarat yang diperlukan! 2a 4a 8) Sifat-sifat
8) Sifat-sifat
apa
apa
saja
saja
yang
kamu
yang
simpulkan
kamu
dari
simpulkan
grafik
fungsi
dari
grafik
8) Sifat-sifat apa saja yang kamu simpulkan dari grafik fungsi kuadrat 2
kuadrat
fungsi
kuadrat
b D , dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 berkaitan f ( x) a x b 2 D dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 berkaitan f ( x) a x 2 a 4a , dengan
2 a 4a dengan nilai koefisien a dan titik puncak grafik fungsi? berkaitan dengan nilai koefisien a dan titik puncak grafik fungsi? dengan nilai koefisien abeberapa dan titikkemungkinan puncak grafik fungsi? 9) Dapatkah gambaran grafik fungsi kuadrat terkait 9) Dapatkahkamu kamumemberi memberi beberapa kemungkinan gambaran grafik fungsi kuadrat 9) nilai Dapatkah memberi beberapa gambaran grafik fungsi kuadrat terkait koefisien a, nilai diskriminan, titik kemungkinan potongtitik terhadap sumbu-x, nilai fungsinya. terkait nilaikamu koefisien a, nilai diskriminan, potong terhadap sumbu-x, nilai fungsinya. nilai koefisien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu-x, nilai fungsinya. 2
Berdasarkan Definisi fungsi kuadrat adalah f(x) f(x) = ax= +axbx 2 + c, dengan + bx + c, Berdasarkan Definisi7.2, 7.2,bentuk bentukumum umum fungsi kuadrat adalah dengan a, b, cbilangan adalah bilangan a, b, c adalah real dan areal ≠ 0.dan a ≠ 0. 2
Berdasarkan Definisi 7.2, bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax + bx + c, dengan b a
2 2 f(x) + bx bilangan + c, a ≠ 0 = a(x a, b,=cax adalah realf(x) dan a ≠ +0. x +
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 f(x) =2 a(xb2 + f(x) = a(x +
a
b
x +a
c ), a ≠ 0 a
xb 2+
c
b),2 a ≠c0 + ), a ≠ 0 4a 2 a4a 2 a 2
2
b b b 2 b4ac b c f(x)f(x) = a[(x + 2 +)2 -x( + 2 2 -)], a 2≠+0 ), a ≠ 0 = a(x 2a a 44a a a 4a b 2 b b 2 4acb 2 4ac f(x) = a(x + ) - ( )2 - ( ), a ≠ 0 )], a ≠ 0 f(x) = a[(x 4a 2a + 2
2a
4a
b D 2 f(x) = a(x - ( ) )b2 + ( ), a ≠ 0 2 4a b 4ac 2 a f(x) = a(x + ) -( ), a ≠ 0
2a
a f(x) 0 = a(x - ( Misalkan g(x) = ax2, x R, f(x) = a(x - (
b 2 D )) + ( ), a ≠ 0 2a 4a
Misalkan axR2, x R, a 0 dan g(x) =g(x) ax2, = x
4a
b 2 D )) + ( ), a ≠ 0 2a 4a f(x) = g(x - (
b D )) + ( ) 2a 4a
b 2 D )) + ( ), a ≠ 0 b D b D 2 a 4 a )kuadrat f(x) = g(x - ( kuadrat ) + (g(x)g(x) adalah grafik fungsi Grafik fungsi Grafik fungsif(x) f(x)==g(x g(x –- ( ) ) + ( ) adalah grafik fungsi =) ax=2,axx2, R 2 a 4 a 2 a 4 a 2 dan = ax , x sejauh R x ∈ Rg(x) yang digeser satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah
f(x) = a(x - (
Sumbu-y. yang digeser sejauh (
b D ) satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah 2a 4a
Sumbu-y. 260 BUKU PEGANGAN SISWA 2 Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0, memiliki 241 Matematika b a. Persamaan sumbu simetri x = dan 2a b D b. Titik puncak P( ,SISWA ). 260 BUKU PEGANGAN 2a 4a
2a
4a
b D ) ) + ( D ) adalah grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x R a 4a satuan ke arah ) satuan kearah Sumbu-x dan digeser 2sejauh Grafik fungsi f(x) = g(x - (
4a
b D yang digeser sejauh ( ) satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah 2a 4a
Sumbu-y. (x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0,
Sifat-4fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0, Grafik b memiliki Grafik metri x = dan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan 2a a ≠ 0, memiliki b a. Persamaan sumbu simetri x = dan D 2−b a a. Persamaan sumbu simetri x = dan ). 2a b D 4a b. Titik puncak P( −b , − D ). b. Titik puncak P (2a , 4a ). 2a 4a
afik persamaan fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat-sifat
Dari beberapa sajian grafik persamaan fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat-sifat
kuadrat dan menyajikan beberapa kemungkinan kondisi grafik Dari beberapa sajian grafikkuadrat persamaan fungsi kuadrat sebelumnya turunkan kondisi sifat- grafik grafik persamaan fungsi dan menyajikan beberapa kemungkinan 2 sifat grafik persamaan fungsi kuadrat dan menyajikan beberapa kemungkinan kondisi oefisien x , nilai diskriminan dan nilai fungsi2tersebut. tersebut terkaitterkait dengan koefisien x , nilai diskriminan dan dan nilainilai fungsi tersebut. grafik tersebut dengan koefisien x2 , nilai diskriminan fungsi tersebut.
b 2 D b bilangan Dreal dan a )) + ( ), dengan a, b, c adalah Dari fungsi dengan a, a,b,b,ccadalah adalahbilangan bilanganreal dan a ), dengan Dari fungsi kuadrat f(x) = a(x - ( ) )2 + ( 2a 4a kuadrat 2a 4a berapa sifat. real a ≠diturunkan 0, dapat diturunkan sifat. ≠ 0,dan dapat beberapa beberapa sifat.
= a(x - (
Sifat-1 Sifat-5
b Dkuadrat f(x) = ax2 + bx b 2 dengan Da, Jikaakuadrat a>> 0,0, maka maka grafik persamaan fungsi persamaan fungsi f(x)grafik = a(x persamaan - ( ) )2 fungsi + ( kuadrat ) terbuka Jika f(x) =kea(x - ( +) c, ) +( ) terbuka ke a dan memiliki titik2balik a b, dan c bilangan real a ≠ 02aterbuka ke 4atas minimum 4a
b D b D , ). lik minimumatas P( dan,memiliki ). titik balik minimum P( 2a 4a 2a 4a Sifat-2
Sifat-6 b D b 2 fungsi D ) terbuka ke Jika a < 0, maka grafik persamaan kuadrat f(x) = a(x - ( ) )2 + ( ( ) ) + ( ) terbuka ke persamaan fungsi kuadrat f(x) = a(x 2 2ac, dengan4a,a b, Jika a < 0, maka grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + 2a 4a dan c bilangan real a ≠ 0 terbuka ke bawah dan titik balik maksimum b memiliki D , ). bawah dan memiliki titik balik maksimum P( −b −Db D P ( P(, )., 2a 4a balik maksimum ). 2a 42aa 4a Sifat-3
Grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan 2 Sifat-7 kuadrat f(x) =a ax + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan ≠ 0. Misal D = b2 – 4ac (D adalah diskriminan) Grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c bilangan real (D adalah diskriminan) a.danJika 0 maka y = (D f(x)adalah memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda a ≠D 0. >Misal D =grafik b2 – 4ac diskriminan) a. Jika D > 0 maka grafik y = f(x) memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda k y = f(x) memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda b. Jika D = 0 maka grafik y = f(x) menyinggung Sumbu-x pada satu titik c. Jika D < 0 maka grafik y = f(x) tidak memotong Sumbu-x
SISWA
BUKU PEGANGAN SISWA 242 Kelas X
261
261
Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemungkinan letak parabola terhadap Sumbu-x
Matematika
243
c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat Kita cermati konsep persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat sebagai berikut. • Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan aljabar yang dinyatakan dalam bentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. • Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.
Latihan 7.5 Berdasarkan kedua konsep di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut 1. Apakah sebuah persamaan kuadrat dapat diperoleh dari sebuah fungsi kuadrat? 2. Jika disubtitusikan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ke dalam persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apa yang kamu dapatkan 3. Dapatkah persamaan fungsi kuadrat dipandang sebuah persamaan kuadrat? Jelaskan. 4. Apa perbedaan konsep fungsi dengan konsep persamaan? Sifat-8 Jika sebuah fungsi kuadrat diberi nilai k, dengan k ∈ R maka diperoleh sebuah persamaan kuadrat.
Uji Kompetensi 7.4 1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 pada saat x = 2, sedangkan untuk x = - 2 fungsi bernilai -11. Tentukan fungsi kuadrat tersebut ! 2. Tentukan luas minimum segi empat EFGH di bawah ini !
244
Kelas X
3. Temukan grafik fungsi kuadrat f(x) = 4x2 – 8x + 3 dari grafik fungsi kuadrat g(x) = 4x2! 4. Persegi ABCD dengan panjang sisinya a cm. Pada sisi AB diberi titik E dengan panjang AE adalah x cm. Diantara sisi BC diberi titik F dengan panjang BF = AE. Panjang EB = FC. Tentukan luas minimum DEF !
2 3. Temukan grafik 3. fungsi Temukan kuadrat grafik f(x) fungsi = 4x2kuadrat – 8x + 3f(x) dari = grafik 4x2 – 8x fungsi + 3 dari kuadrat grafikg(x) fungsi = 4xkuadrat !
2 4. Persegi ABCD4.dengan Persegi panjang sisinya dengan apanjang cm. Pada sisinya sisi AB af(x) cm. diberi Pada titik sisi E+ AB diberi panjang titik E den 3.ABCD Temukan grafik fungsi kuadrat = 4x – 8x 3dengan dari grafik fungsi ku
4. Persegi sisinya Pada sisi AB diberi AE adalah x cm.AE Diantara adalah sisi x cm. BCABCD Diantara diberidengan titik sisiFpanjang BC dengan diberi panjang titikaFcm. BF dengan = AE. panjang Panjang BF titik = A
AE adalah x cm. DiantaraDEF sisi BC EB = FC. Tentukan EBluas = FC. minimum Tentukan DEF luas ! minimum ! diberi titik F dengan panjang BF 2
6. Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat 5. Daerah asal fungsi kuadrat f(x) = -2x EB = FC. Tentukan luas minimum DEF !setiap x bilangan di bawah ini.(untuk + 4x + 3 adalah himpunan A = {x2 |-2 5. Daerah asal fungsi 5. Daerah kuadrat asal f(x) fungsi = -2xkuadrat + 4x +f(x) 3 adalah = -2x2himpunan + 4x + 3 adalah A = {xhimpunan -2 x A 3, =x {x -2 real) ≤ x ≤ 3, x ∈ R . Tentukan daerah hasil 2 2 + 4x + 3 adalah himpunan A = { 5. Daerah asal fungsi a. kuadratf(x) f(x)==3x-2x +5x-4, x ∈ R. fungsi f !
R . Tentukan daerah R . Tentukan hasil fungsi daerah f ! hasil fungsi f !
b. f(x) =-2x2–3x+7, x ∈ R. R . Tentukan daerah hasil fungsi f !
6. Gambarkanlah 6.grafik Gambarkanlah fungsi kuadrat grafik di fungsi bawahkuadrat ini.(untuk di bawah setiap xini.(untuk bilangan setiap real) x bilangan re a. b.
Projek
6. Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat di bawah ini.(untuk setiap x bilan ( ) a. ( ) Rancanglah masalah nyata yang melibatkan grafik fungsi kuadrat pada bidang a. ( ) teknik bangunan dan fisika. Buatlah pemecahan masalah tersebut dengan ( ) b. ( ) menerapkan berbagaib.sifat( grafik fungsi kuadrat yang telah kamu pelajari. ) Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.
D. PENUTUP PENUTUP PENUTUP
PENUTUP Telah kita temukan konsep dan aturan yang berlaku pada persamaan dan fungsi Telah kita temukan Telah konsep kitaTelah temukan dan kita aturan konsep yang dan berlaku aturan pada yang persamaan berlaku pada dan fungsi persamaan temukan konsep aturan yang berlaku kuadrat. Beberapa hal yang penting sebagai pegangan kitadan untuk mendalami dan pada persa kuadrat.melanjutkan Beberapa kuadrat. hal yang Beberapa penting hal sebagai yanghaldapat penting pegangan sebagai kitasebagai untuk pegangan mendalami kita untuk men kuadrat. yang penting sebagai pegangan kitadanuntuk materi pada bahasanBeberapa berikutnya, dirangkum berikut. melanjutkan materi melanjutkan pada bahasan materi berikutnya, pada bahasan dapat berikutnya, dirangkum dapat sebagai dirangkum berikut. sebagai berikut. melanjutkan materi pada bahasan berikutnya, dapat dirangkum sebagai be 1. Bentuk umum Persamaan kuadrat adalah 1. Bentuk umum 1.Persamaan Bentuk1.umum kuadrat Persamaan adalah kuadrat adalah Bentuk umum Persamaan kuadrat adalah 2 ax + bx + c =2 0, dengan 2a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. bxdengan c =c+0, R+dan ≠dengan b, 0. c a,Rb,dan 0. a ≠ 0. ax2 + bx + c = 0, dengan ax + bxa,+ b, c = a0,a, c a R≠ dan ax 2. Untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat dapatpersamaan dilakukan dengan 2. Untuk menentukan akar-akar suatu dapat 2. Untuk menentukan 2. Untuk akar-akar menentukan suatu persamaan akar-akar suatu kuadrat persamaan dapat dilakukan kuadratkuadrat dapat dengan dilakukan caradilaku cara berikut. berikut. berikut. berikut. a. Memfaktorkan. a. Memfaktorkan. a. Memfaktorkan. a. Memfaktorkan. b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna. b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna. b. Melengkapkan b. Bentuk Melengkapkan Kuadrat Sempurna. Bentuk Kuadrat Sempurna. c. Menggunakan Rumus abc. c. Menggunakan Rumus abc. c. Menggunakanc.Rumus Menggunakan abc. Rumus abc. Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat atau sering dis Rumus untuk menentukan untuk akar-akar menentukan persamaan akar-akar kuadrat persamaan atau sering kuadrat disebut atau dengan sering disebut Rumus abcRumus adalah sebagai berikut. Rumus abc adalah sebagai berikut.
Rumus abc adalah Rumus sebagai abc berikut. adalah sebagai berikut. 2 b b 4ac
b b 2 4ac b x1, 2 b2 4ac 2a x1, 2 x1, 2 2a a Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat 3. Jumlah2dan 3. Jumlah HasilAkar-Akar Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat 3. Jumlah dan Hasil 3.danJumlah Kali danAkar-akar HasilPersamaan Kali Akar-Akar Kuadrat Persamaan Kuadrat persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, berhubungan erat d 2ax2+ bx + c = 0, berhubungan 2 Akar-akar persamaan kuadrat erat dengan koefisienAkar-akar persamaan Akar-akar kuadrat persamaan ax + a, bx b, kuadrat + dan c =c.0, ax berhubungan + xbx + cx2=merupakan erat 0, berhubungan dengan koefisieneratpersama denga koefisien Jika akar-akar 1 dan koefisien a, b, dan c. Jika x dan x merupakan akar-akar persamaan kuadrat, 1 x2c.merupakan 2Jika x1 dan koefisien a, b, dan koefisien c. Jikaa, x1b,dan dan akar-akar x2 merupakan persamaan akar-akar kuadrat, persamaan maka ku berlaku. b c berlaku.maka berlaku. berlaku. x1 x 2 x1 . x 2 dan b b c c a a dan x1dan . x2 x1 x 2 x1 xdan x1 . x 2 2persamaan dan x adalah (x - x1)(x 4. Bentuk kuadrat dengan akar-akar x 1 2 a a a a 4. Bentuk persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan xakar-akar x1)(x x2 –adalah x2) = (x 0 - x1)(x – x2 4. Bentuk persamaan kuadrat dengan x1-dan 2 adalah (x Matematika
245
BUKU PEGANGAN SISWA
BUKU PEGANGAN BUKU SISWA PEGANGAN SISWA
264
4. Bentuk persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x2 adalah (x - x1)(x – x2) = 0 5. Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Dari bentuk aljabar tersebut, grafik fungsi kuadrat dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut. a. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas. b. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah. c. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. d. Jika D = 0, maka parabola menyinggung sumbu x. e. Jika D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik. 6. Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx adalah sebagai berikut a. Menentukan titik potong dengan sumbu x, diperoleh jika y = 0. b. Menentukan titik potong dengan sumbu y, diperoleh jika x = 0.
b
. Menentukan persamaan sumbu simetri x = − 2a D d. Menentukan nilai ekstrim grafik y = . −4a b D , . e. Koordinat titik balik sebuah grafik fungsi kuadrat adalah −
c.
2a 4a
Kita telah menemukan berbagai konsep dan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan dan fungsi kuadrat. Demikian juga, kita telah terapkan dalam berbagai pemecahan masalah nyata. Selanjutnya akan kita bahas tentang geometri terkait kedudukan titik, garis, sudut, dan bidang pada bidang datar dan ruang dimensi tiga. Penguasaan kamu pada materi pada setiap bahasan akan bermanfaat dalam mendalami materi selanjutnya.
246
Kelas X
