ANALISIS HARMONIK KOEFISIEN an, bn DERET FOURIER Abraham Salusu1 ABSTRACT A period function of real variable x can perform Fourier Series which initially was used in heat equation solution in the form of partial differential equation. Harmonic analysis can be used to find coefisien an and bn from Fourier Series on functions of data sets transfered to particular interval which will be a period of the function. Euler Relation and Mean Value are the alternatives used to determine Fourier Series Coeficient. Keywords: fourier series, period function, harmonic analysis, euler, mean value
ABSTRAK Suatu fungsi periodik dari variabel real x dapat dilakukan perderetan menurut Deret Fourier, yang pada mulanya digunakan dalam penyelesaian persamaan panas dalam bentuk persamaan differensial parsial. Analisis harmonik dapat digunakan untuk mencari koefisien an dan bn dari Deret Fourier pada fungsi yang merupakan kumpulan data di mana data ditransfer ke interval tertentu yang akan merupakan periode dari fungsi. Relasi Euler dan Harga Menengah merupakan salah satu alternatif yang dapat digunakan dalam menentukan Koefisien Deret Fourier. Kata kunci: deret fourier, fungsi periodik, analisis harmonik, euler, harga menengah
1 Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara, Jln. Kebon Jeruk Raya No.27, Kebon Jeruk, Jakarta Barat 11530,
[email protected]
Analisis Harmonik …... (Abraham Salusu)
83
PENDAHULUAN Suatu fungsi periodik ƒ(x) sebagai fungsi dari variabel real x yang ditentukan dalam interval
0 ≤ x < 2π dapat dinyatakan dalam penjumlahan kosinus dan sinus yang dikenal sebagai Deret Fourier, yang diperkenalkan oleh Joseph Fourier (1768 – 1830) dengan tujuan untuk menyelesaikan persamaan panas dari suatu plat metal. Dalam perkembangan, ternyata Deret Fourier ini dapat digunakan dalam berbagai persoalan matematika dan fisika, antara lain proses signal, kelistrikan, mekanika kuantum, getaran, optik dan sebagainya.
Analisis pada koefisien an dan bn dari Deret ini dilakukan terutama bila ƒ(x) tidak dinyatakan dalam bentuk formula, melainkan sebuah kurva atau himpunan data-data dalam bentuk tabel. Himpunan nilai variabel x dari suatu fungsi ƒ(x) yang tidak diketahui dapat dibuat beberapa variasi bentuk fungsi, yang memberikan korelasi antara variabel x dengan ƒ(x), yaitu dengan kurva penyesuaian (curva fitting). Kesulitan yang dijumpai adalah memilih bentuk persamaan mana yang paling sesuai dengan data-data yang disajikan, koefisien dan derajat polinomial, bentuk eksponensial serta konstanta yang akan dimasukkan. Banyak cara untuk mendapatkan curva fitting ini termasuk pendekatan polinomial serta Analisis Harmonik (harmonic analysis) pada koefisien an dan bn dari Deret Fourier, yang merupakan pokok pembahasan pada tulisan ini (4, 5).
Analisis Bila ƒ(x) merupakan fungsi periodik dengan periode 2π, yaitu ƒ(x + 2π) = ƒ(x) untuk semua bilangan real x, maka ƒ(x) dapat dinyatakan dalam suatu Deret Fourier sebagai berikut. ∞ ⎫ a0 + ∑ ( an cos ( nx ) + bn sin ( nx ) ) ⎪ 2 n=1 ⎪ 2π ⎪⎪ 1 an = ∫ f(x) cos ( nx ) dx ⎬ π 0 ⎪ 2π ⎪ 1 ⎪ bn = ∫ f(x) sin ( nx ) dx π 0 ⎪⎭ …………………………………………... (1)
f(x) =
di mana an dan bn dinamakan koefisien Fourier dari ƒ(x), yang pada umumnya dapat dicari bila ƒ(x) dinyatakan dalam bentuk formula. Namun, sering fungsi dinyatakan dalam bentuk kurva atau variabel dalam tabel. Deret di atas dapat dinyatakan dalam bentuk ekspansi sebagai berikut. ∞ a0 + ∑ [ an cos(nx) + bn sin(nx)] 2 n=1 a = 0 + a1 cos(x) + a2 cos(3x)+ a3 cos(3x)+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ an cos(nx) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ................ (2) 2 + b1 sin(x) + b2 sin(2x)+ b3 sin(3x)+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ bn sin(nx)+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
f(x) =
Analisis terhadap koefisien an dan bn akan dilakukan dengan menggunakan Relasi Euler dan Harga Menengah (Mean Value) (2, 3).
84
Jurnal Mat Stat, Vol. 9 No. 2 Juli 2009: 83-91
Relasi Euler Dari perderetan e inx untuk x real dengan Maclaurin
⎫ n2 x2 n3 x 3 n4 x 4 n5 x 5 −i + +i +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎪ 3! 4! 5! 2! ⎪ ............................................. (3) ⎬ 2 2 4 4 3 3 5 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ n x n x nx n x = ⎜1 − ⋅ ⋅ ⋅ ⎟⎪ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ + i ⎜ nx − + 4! 3! 5! 2! ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭⎪ di mana i = -1 , i 2 = -1 , i 4 = 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ einx = 1 + inx −
Bagian pertama merupakan perderetan dari cos nx dan bagian kedua perderetan dari sin nx sehingga
einx = cos ( nx ) + i sin ( nx ) ⎫⎪ ⎬ ...................................................................................... (4) e − inx = cos ( nx ) − i sin ( nx ) ⎪⎭
atau
e inx + e − inx e inx − e − inx .................................................. (5) , sin ( nx ) = 2 2i relasi (4) di atas dikenal sebagai Relasi Euler. cos ( nx ) =
Substitusi cos ( nx ) dan sin ( nx ) pada persamaan (1)
f(x) =
∞ a0 + ∑ ⎡⎣ a n cos ( nx ) + bn sin ( nx ) ⎤⎦ menjadi 2 n=1
f(x) =
∞ a0 ⎡⎛ a b ⎞ ⎤ ⎛a b ⎞ + ∑ ⎢⎜ n + n ⎟ einx + ⎜ n - n ⎟ e − inx ⎥ 2 2i ⎠ ⎝ 2 2i ⎠ n=1 ⎣⎝ 2 ⎦
∞ ⎡⎛ a − ibn a = 0 + ∑ ⎢⎜ n 2 2 n=1 ⎣⎝
⎞ inx ⎛ an + ibn ⎞ − inx ⎤ ⎟e +⎜ ⎟e ⎥ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦
............................................................. (6)
Misalkan:
a n bn i 2 2 an = αn + βn
αn =
an bi + n sehingga diperoleh: 2 2 dan bn = i ( αn - βn ) ............................................................................ (7) dan β n =
Substitusi an dan bn ∞ a0 + ∑ (α n e nix + β n e -nix 2 n=1
f(x) =
Karena 1 = cos ( 2nπ ) + i sin ( 2nπ ) = 1
maka
2m
2niπ
)
............................................................................... (8)
e 2niπ
niπ
1 = 12m = e 2m = e m niπ
Bila rn = e m untuk n = 1, 2, ….. 2m, maka rm = -1 dan r2m = 1 sehingga dari persamaan (8)
f(x) =
∞ a0 + ∑ (α n e nix + β n e -nix 2 n=1
) akan diperoleh:
Analisis Harmonik …... (Abraham Salusu)
85
∞ a0 + ∑ (α n + β n ) 2 n=1 ∞ a π ⎛ ⎞ f ⎜ ⎟ = 0 + ∑ (α n rn + β n rn -1 ) 2 ⎝m⎠ n=1 ∞ a0 ⎛ 2π ⎞ f ⎜ + ∑ (α n rn 2 + β n rn -2 ) ⎟ =
f(0) =
2 ⎝ m ⎠ n=1 …………………………………
∞ a ⎛ 2m − 1 ⎞ f ⎜ π ⎟ = 0 + ∑ (α n rn 2m -1 + β n rn -2m+1 2 ⎝ m ⎠ n=1
)
sehingga
⎛π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2m − 1 ⎞ π⎟ f (0 ) - f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ - .... - f ⎜ ⎝m⎠ ⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠
=
∞
∑ ⎡⎣α (1 - r n
n
) + β (1 - r
+ rn 2 - ... - rn 2m -1
n
n=1
-1
n
+ rn -2 - ... - rn -2m+1 ) ⎤⎦
Untuk n = 1, 2, 3, …….., m-1, m+1, …… 2m diperoleh: 2
1 - rn + rn - ... - rn
1 - ( - rn ) = 1 + rn
2m-1
2m
=
1 - ( - rn ) = 1 + rn −1
-2m
-1
-2
1 - rn + rn - ... - rn
-2m+1
=
1 - rn 2m = 0 dan 1 + rn 1 - rn -2m =0 1 + rn −1
2m Dengan definisi dari rn, maka untuk nilai n, rn ≠ 1 dan rn = 1 di mana
1 - rm + rm 2 - ... - rm 2m -1 = 1 + 1 + 1 + .... + 1 = 2m 1 - rm -1 + rm -2 - ... - rm -2m+1 = 1 + 1 + 1 + .... + 1 = 2m iπ ( 2 rm + s )
siπ
= e m untuk r dan s bilangan asli, maka dari persamaan di atas terdapat Karena e m pengulangan dalam kelompok suku-suku yang memuat a2m+1 , ......, a4 m dan juga kelompok yang memuat β 2m+1 , ..... β 4 m sehingga diperoleh: ⎛π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2m − 1 π f (0 ) - f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ - .... - f ⎜ m m ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ m 2m ( a m + a 3m + a 5m
⎞ = 2m ( α + β + α + β + α + β ... ) m m 3m 3m 5m 5m ⎟ ⎠ ⎛ π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2m - 1 ⎞ ……………………… (9) + ... ) = f ( 0 ) - f ⎜ ⎟ + f ⎜ π⎟ ⎟ - .... - f ⎜ ⎝m⎠
⎝ m ⎠
⎝
m
⎠
Analisis untuk koefisien bn dapat dilakukan dengan cara yang sama. niπ
Misalkan ρn = e 2m (n = 1, 2, …….. , 4m ), maka ρ m = i , ρ 2m = -1, ρ 3m = -i , ρ 4m = 1 dan
ρ n 2 = rn untuk setiap n sehingga dari persamaan (8) didapat: ∞ a0 ⎛ π ⎞ f⎜ = + (α n ρ n + β n ρ n -1 ) ∑ ⎟ 2 ⎝ 2m ⎠ n=1
86
Jurnal Mat Stat, Vol. 9 No. 2 Juli 2009: 83-91
∞ a0 ⎛ 3π ⎞ f ⎜ + ∑ (α n ρ n 3 + β n ρ n -3 ) ⎟ = 2 ⎝ 2m ⎠ n=1 ∞ a ⎛ 5π ⎞ 0 f ⎜ = + α n ρ n 5 + β n ρ n -5 ) ( ∑ ⎟ 2m 2 ⎝ ⎠ n=1 …………………………………………………… ∞ a ⎛ 4m − 1 ⎞ f ⎜ π ⎟ = 0 + ∑ α n ρ n 4m -1 + β n ρ n -4m+1 . Dari persamaan di atas 2 ⎝ 2m ⎠ n=1 π 3 π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 4m − 1 ⎞ π⎟ f ⎜ ⎟ - f ⎜ ⎟ + f⎜ ⎟ - ...... - f ⎜ ⎝ 2m ⎠ ⎝ 2m ⎠ ⎝ 2m ⎠ ⎝ 2m ⎠
(
)
∞
= ∑ ⎡⎣α n ρ n (1 − ρ n 2 + ρ n 4 − ... - ρ n 4 m − 2 ) + β n ρ n −1 (1 − ρ n −2 + ρ n −4 − ... - ρ n −4 m + 2 ) ⎤⎦ ……….. (10) n=1
Untuk n = 1, 2, 3, …….., m-1, m+1, …… 2m diperoleh:
1 - ρ n 2 + ρ n 4 - ... - ρ n 4m -2 = 1 - rn + rn 2 - ... - rn 2m -1 = 0 1 - ρ n -2 + ρ n -4 - ... - ρ n -4m+2 = 1 - rn -1 + rn -2 - ... - rn -2m+1 = 0 di mana
1 - ρ n 2 + ρ n 4 - ... - ρ n 4m -2 = 1 - rn + rn 2 - ... - rn 2m -1 = 2 m 1 - ρ m + ρ m - ... - ρ m -2
-4
-4m+2
-1
-2
= 1 - rm + rm - ... - rm
-2m+1
dan
= 2m
Untuk 2m suku-suku pertama (10) didapat
2m α m ρ m + 2mβ m ρ m -1 = 2mi (α m - β m ) karena ρ m = i dan ρ m -1 = - i untuk 2m suku berikutnya
(10)
2m α 3m ρ 3m + 2mβ 3m ρ 3m -1 = - 2mi (α 3m - β 3m ) = 2m b3m dan karena
e
iπ ( 2 rm + s ) 2m
siπ
= e 2m
di mana terjadi pengulangan suku-suku sehingga diperoleh persamaan ⎛ π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 4m - 1 ⎞ .................................................. (11) 2m ( bm - b3m + b5m - ... ) = f ⎜ π⎟ ⎟ - f⎜ ⎟ + ...... - f ⎜ ⎝ 2m ⎠
⎝ 2m ⎠
⎝ 2m
⎠
Dari persamaan 9 dan 10 di atas diperoleh a30 = a50 = …… = b30 = b50 = … = 0 sehingga untuk m = 10 : ⎛ 2 0 a 1 0 = f (0 ) - f ⎜ ⎝ ⎛ π ⎞ 2 0 b10 = f ⎜ ⎟ - f ⎝ 20 ⎠
π ⎞ ⎟+ f 10 ⎠ ⎛ 3π ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ 20 ⎠
⎛ 2π ⎞ ⎛ 1 9 ⎞ dan π⎟ ⎜ ⎟ - .... - f ⎜ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎛ 39 ⎞ ...... - f ⎜ π⎟ ⎝ 20 ⎠
Dengan menggunakan kedua hasil di atas (9) dan (11), konstanta an dan bn dapat dihitung, yaitu dengan memulai dari a10, b10 , a9, b9 sampai a1 dan b1 sedang untuk a0 diperoleh dari hubungan f (0 ) =
a0 + a 1 + a 2 + ...... a 10 2
Analisis Harmonik …... (Abraham Salusu)
87
Contoh 1 Gambarkan kurva y = f(x) serta Analisis Harmonik dari data-data pada Tabel 1. Tabel 1 Data y sebagai fungsi dari x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 0 π/9 2π/9 3π/9 4π/9 5π/9 6π/9 7π/9 8π/9
y 1.98 1.69 1.7 2.15 2.79 3.11 2.77 1.82 0.67
x π 10π/9 11π/9 12π/9 13π/9 14π/9 15π/9 16π/9 17π/9 2π
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
y -0.22 -0.61 -0.58 -0.31 0.13 0.73 1.43 1.98 2.17 1.98
Untuk menghitung a10, b10, a8, b8 dan seterusnya, dibuat tabel baru lagi dengan menggunakan interpolasi linear seperti ditunjukkan pada Tabel 2. Dengan persamaan 9) untuk m = 10: 2 0 a 10 = f
(0 ) -
⎛ π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 19 ⎞ f ⎜ π⎟ ⎟+ f ⎜ ⎟ - .... - f ⎜ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
20a10 = 2.866 ⇒ a10 = 0.143 a9 = 0.11 , a8 = - 0.029 , a7 = 0.008 Demikian juga untuk konstante bn sehingga diperoleh hasil: f ( x ) = 1 .3 0 + 0 .9 2 c o s x - 0 .4 2 c o s 2 x + 0 .1 8 c o s 3 x + 1 .1 0 s in x - 0 .6 8 s in 2 x - 0 .2 1 s in 3 x
Tabel 2 Konversi Tabel 1 x
y
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 π/9 2π/9 3π/9 4π/9 5π/9 6π/9 7π/9 8π/9 π 10π/9 11π/9 12π/9 13π/9 14π/9
1.98 1.69 1.7 2.15 2.79 3.11 2.77 1.82 0.67 -0.22 -0.61 -0.58 -0.31 0.13 0.73
0 0.34906 0.34906 3π/10 4π/10 π/2 6π/10 7π/10 8π/10 9π/10 π 11π/10 12π/10 13π/10 14π/10
1.98 1.719 1.698 2.015 2.534 2.95 3.008 2.485 1.59 0.581 -0.22 -0.583 -0.364 -0.002 0.49
0 π/8 1π/4 3π/8 π/2 5π/8 3π/4 7π/8 π 9π/8 5π/4 11π/8 3π/2 13π/8 14π/8
1.98 1.69125 1.8125 2.39 2.95 3.074583 2.0575 0.81375 -0.22 -0.60625 -0.5125 -0.145 0.43 1.1675 1.5675
0 π/7 2π/7 3π/7 4π/7 5π/7 6π/7 π 8π/7 9π/7 10π/7 11π/7 12π/7 13π/7
1.98 1.692857 1.957143 2.698571 3.061429 2.362857 0.998571 -0.22 -0.60143 -0.46429 0.067143 0.83 1.665714 2.115714
0 π/6 2π/6 3π/6 4π/6 5π/6 6π/6 7π/6 8π/6 9π/6 10π/6 11π/6
1.98 1.7085 2.15 2.95 2.77 1.245 -0.22 -0.595 -0.31 0.43 1.43 2.075
0 π/5 2π/5 3π/5 4π/5 π 6π/5 7π/5 8π/5 9π/5
1.98 1.698 2.534 2.974 1.59 -0.22 -0.586 -0.046 1.76 2.018
0 π/4 2π/4 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4
1.98 1.8125 2.95 2.0575 -0.22 0.5125 0.43 1.8425
16 17 18 19
15π/9 16π/9 17π/9 2π
1.43 1.98 2.17 1.98
15π/10 16π/10 17π/10 18π/10
0.43 1.65 2.037 2.132
15π/8
2.14625
88
Jurnal Mat Stat, Vol. 9 No. 2 Juli 2009: 83-91
-
Gambar 1 Polinomial Derajat 18
Gambar 2 Analisis Harmonik
Harga Menengah (Mean Value) Deret Fourier dari suatu fungsi dinyatakan dalam bentuk: ∞ a0 + ∑ ⎡⎣ a n cos ( nx ) + bn sin ( nx ) ⎤⎦ , 2 n=1
f ( x) =
0 ≤ x < 2 π .............................. (12)
di mana
a0 =
1
π
2π
∫
f ( x) dx , an =
0
1
π
2π
∫
f ( x) cos ( nx ) dx dan
bn =
0
Dengan menggunakan Harga Menengah, Mean =
1 b−a
1
π
2π
∫ f ( x) sin ( nx ) dx ........... (13) 0
b
∫ f ( x)
dx ........................................... (14)
a
maka a0 , an dan bn pada persamaan (12) dapat dinyatakan dalam bentuk Harga Menengah menjadi: a0
=2
an = 2
2π
1
∫
2π - 0 1 2π - 0
dan bn = 2
f ( x ) dx atau a0 = 2 kali Harga Menengah dari f(x)
0
2π
∫ f ( x) cos ( nx ) dx
atau an = 2 kali Harga Menengah dari f(x) cos( nx)
0
1 2π - 0
2π
∫ f ( x) sin ( nx ) dx
atau bn = 2 kali Harga Menengah dari f(x) sin( nx)
0
Suku-suku a1 cos x + b1 sin x dari deret Fourier dinamakan first harmonic Suku-suku a2 cos nx + b2 sin nx dari deret Fourier dinamakan second harmonic dan seterusnya. Dengan menggunakan Harga Menengah di atas, maka konstanta dari deret Fourier dapat dicari. Contoh 2: dari contoh Tabel 1 sebelumnya diperoleh
Analisis Harmonik …... (Abraham Salusu)
89
Tabel 3 Nilai Sin nx dan Cos nx f(x) cos 3x
f(x)
f(x)
f(x)
cos 2x
sin x
sin 2x
sin 3x
1.98
1.98
1.98
0
0.866
1.588
1.295
0.845
0.578
1.086
1.464
0.866
1.302
0.295
-0.850
1.093
1.674
1.472
0.866
0.000
1.075
-1.075
-2.150
1.862
1.862
0.000
0.342
-0.866
0.485
-2.622
-1.395
2.748
0.954
-2.416
0.985
-0.342 -0.866
-0.540
-2.923
1.555
3.063
-1.064
-2.693
1.000
0.866
-0.866
0.000
-1.385
-1.385
2.770
2.399
-2.399
0.000
0.174
0.500
0.643
-0.985
0.866
-1.394
0.316
0.910
1.170
-1.792
1.576
0.766
-0.500
0.342
-0.643
0.866
-0.630
0.513
-0.335
0.229
-0.431
0.580
-1.000
1.000
-1.000
0.000
0.000
0.000
0.220
-0.220
0.220
0.000
0.000
0.000
3.491
-0.940
0.766
-0.500
-0.342
0.643
-0.866
0.573
-0.467
0.305
0.209
-0.392
0.528
-0.58
3.840
-0.766
0.174
0.500
-0.643
0.985
-0.866
0.444
-0.101
-0.290
0.373
-0.571
0.502
-0.31
4.189
-0.500
-0.500
1.000
-0.866
0.866
0.000
0.155
0.155
-0.310
0.268
-0.268
0.000
13π/9
0.13
4.538
-0.174
-0.940
0.500
-0.985
0.342
0.866
-0.023
-0.122
0.065
-0.128
0.044
0.113
15
14π/9
0.73
4.887
0.174
-0.940
-0.500
-0.985
-0.342
0.866
0.127
-0.686
-0.365
-0.719
-0.250
0.632
16
15π/9
1.43
5.236
0.500
-0.500
-1.000
-0.866
-0.866
0.000
0.715
-0.715
-1.430
-1.238
-1.238
0.000
17 18
16π/9 17π/9
1.98 2.17
5.585 5.934
0.766 0.940
0.173 0.766
-0.500 0.500
-0.643 -0.342
-0.985 -0.866 -0.643 -0.866
1.517 2.039
0.343 1.662
-0.990 1.084
-1.273 -0.742
-1.950 -1.395
-1.714 -1.880
-3.7563 1.6193
9.890
6.1288
-1.8358
x
y=f(x)
x
cos x
cos 2x
cos 3x
sin x
sin 2x sin 3x f(x) cosx
1
0
1.98
0
1
1
1
0
0
0
2
π/9
1.69
0.349
0.940
0.766
0.500
0.342
0.643
3
2π/9
1.7
0.698
0.766
0.174
-0.500
0.643
0.985
4
3π/9
2.15
1.047
0.500
-0.500
-1.000
0.866
5
4π/9
2.79
1.396
0.174
-0.940
-0.500
0.985
6
5π/9
3.11
1.745
-0.174
-0.940
0.500
7
6π/9
2.77
2.094
-0.500
-0.500
8
7π/9
1.82
2.443
-0.766
9
8π/9
0.67
2.792
-0.940
10
π
-0.22
3.142
11
10π/9
-0.61
12
11π/9
13
12π/9
14
23.4
8.2486
f(x)
0
0
a0 = 2 x Mean dari f(x) = 2 × 23.4 = 2,6 : 18
a1 = 2 x Mean dari f(x) cos( x) = 2 × 8.249 = 0.92
18 a2 = 2 x Mean dari f(x) cos(2 x) = 2 × 3.756 = - 0.42 18 1.619 a3 = 2 x Mean dari f(x) cos(3 x) = 2 × = 0.18 18 b1 = 2 x Mean dari f(x) sin( x) = 2 × 9.890 = 1.10 18 6.129 b2 = 2 x Mean dari f(x) sin(2x) = 2 × = - 0.68 18 b3 = 2 x Mean dari f(x) sin(3x) = 2 × -1.836 = - 0.20 sehingga hasilnya adalah: 18 f ( x ) = 1.30 + 0.92 cos ( x ) - 0.42 cos ( 2 x ) + 0.18 cos ( 3 x ) + 1.10 sin ( x ) - 0.68 sin ( 2 x ) - 0.20 sin ( 3 x )
sama dengan metode sebelumnya.
90
Jurnal Mat Stat, Vol. 9 No. 2 Juli 2009: 83-91
PENUTUP Analisis Harmonik pada koefisien Deret Fourier dengan menggunakan Relasi Euler maupun dengan Harga Menengah (Mean Value) dapat digunakan untuk mencari koefisien an dan bn dari Deret Fourier untuk fungsi yang tidak dinyatakan dalam bentuk formula, melainkan suatu himpunan data. Kedua metode memberikan hasil yang sama dalam bentuk Deret Fourier.
DAFTAR PUSTAKA Askey, R., and Haimo, D.T. (1996). "Similarities between Fourier and power series." Amer. Math. Monthly, 103. Brown, J.W., and Churchill, R.V. (1993). Fourier series and boundary problems, 5th ed., New York: McGraw-Hill. Byerly, W.E. (1999). An elementary treatise on Fourier's series, and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics, USA. Katznelson, Y. (1976). An introduction to harmonic analysis, 2nd corrected ed., New York: Dover Publications, Inc.
Analisis Harmonik …... (Abraham Salusu)
91
